专题33 三角函数与向量问题(解析版)

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2025届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第06讲怎样用向量法解三角函数问题含解析

第06讲怎样用向量法解三角函数问题一、学问与方法本讲主要探究平面对量与三角函数以及解三角形的综合问题的命题形式与解题思路,主要体现在以下 3 个方面。

（1）题设给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.（2）给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量表达式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,探求值域或最值或参数的取值范围等.（3) 运用向量法解三角形主要是向量的垂直与夹角问题,一对向量垂直与向量所在直线的垂直是一样的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解两向量关系问题的两大途径,关于夹角问题,可以把两个向量的夹角放在三角形中,利用正余弦定理. 三角形的面积公式求解.二、典型例题【例1】(1) .在锐角ABC 中,若137,8,,cos ,sin ,22a b m A n A ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 且m ⊥n , 则ABC 的面积为().A.C. D.(2) .平面直角坐标系中,角θ满意()34sin,cos ,0,12525OA θθ=-==-,设点B 是角θ终边上一动点,则| OA OB -∣的取值范围为【分析】第(1)问,要求三角形的面积,只需求出B ∠的正弦值,而这就要借助已知条件两个向量的垂直关系,先求出A ∠, 进而再运用正弦定理求(B ∠或其三角函数值),最终利用三角形的内角定理,找到问题的解. 第(2)问是三角函数定义、二倍角公式与用坐标运算). 两个视角各具特色,作为填空题, 从“形”的角度处理相对简捷.【解析】(1) 1,sin 02m n A A ⊥∴=, 又090,cos 0A A ∠<<∴≠则有tan A =因此60A ∠=.由正弦定理知sin sin a b A B=, 又7,8,60a b A ∠===, 843sin sin6077B ∴==又ABC 为锐角三角形,1cos 7B ∴=.()11sin sin sin cos cos sin 272714C A B A B A B =+=+=+⨯=1sin 2ABCSab C ∴==故选C . （2）【解法1】由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-= 可得 θ 为第四象限的角,且 sin 24tan cos 7θθθ==-. ∴ 点 B 在射线 ()2407y x x =-, 即 ()24700x y x += 上运动.又 OA OB BA -=, 而点 A 到射线的距离为 725d ==, 故所求取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【解法2】设OB t =, 由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=, 可得θ为第四象限的角, 324cos<,cos sin 225OA OB πθθ⎛⎫∴=-=-= ⎝⎭>⎪. 由2222248||212cos<,125OA OB OA OB OA OB t t OA OB t t -=+-⋅=+-=+>-224494925625625t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（当且仅当2425t =时等号成立），故OA OB -的取值范围为7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【解法3】由 2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=设 (0)OB t t =>, 则依据三角函数定义可得点 B 坐标为 724,2525t t ⎛⎫-⎪⎝⎭.由此可得 2222227242477||012525252525OA OB t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(当且仅当 2425t = 时等号成立).故 OA OB - 的取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【例2】（1）已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=, 求α和β的值; (2) 求246cos cos cos 777πππ++的值. 【解析】(1) 原条件可化为()3sin sin 1cos cos cos 2αβαβα+-=-. 构造向量()()sin ,1cos ,sin ,cos m n ααββ=-=由m nm n ⋅得23cos sin 2αα-+解得211 cos 0,cos ,0,222πααα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3πα∴=.3παββ=根据和的对称性可知(2) 如图129-所示,将边长为 1 的正七边形ABCDEFO 放人直角坐标系中,则()224466 1,0,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 777777OA AB BC CD ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8810101212cos ,sin,cos ,sin ,cos ,sin .777777DE EF FO ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0OA AB BC CD DE EF FO ++++++=故2468101224 1coscos cos cos cos cos ,0sin sin 77777777ππππππππ⎛+++++++++ ⎝()681012sinsin sin sin 0,07777ππππ⎫+++=⎪⎭即246810121coscos cos cos cos cos 0777777ππππππ++++++=，① 86104122 coscos ,cos cos ,cos cos 777777ππππππ===由三角函数诱导公式可得 ∴①式可化为24612cos cos cos 0.777πππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭2461coscos cos 7772πππ∴++=-【例3】已知()()() cos ,sin ,cos ,sin ,sin 2sin ,cos 2cos a b x x c x x αααα===++，其中0x απ<<<。

三角函数与向量结合的题型

三角函数与向量结合的题型三角函数与向量结合的题型是高中数学中比较常见的一种，它涉及到了三角函数和向量两个概念，需要学生掌握这两个概念的相关知识，才能够顺利地解决这类问题。

首先，我们来看看什么是三角函数。

三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等这些以角度为自变量的函数。

在三角函数中，最基本的是正弦函数和余弦函数。

正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1,1]；余弦函数的定义域也是所有实数，值域也是[-1,1]。

这两个函数在几何上可以理解为一个单位圆上某个点的纵坐标和横坐标。

接下来，我们再来看看向量。

向量是一个有大小和方向的量，用箭头表示。

在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

向量的长度可以用勾股定理求出，即∣∣a ∣∣=√(x^2+y^2)。

那么，三角函数与向量结合的题型怎么解决呢？我们可以通过将向量的坐标表示为三角函数的形式来简化问题。

例如，对于一个长度为r、与x轴夹角为θ的向量a，它的x轴投影为r*cosθ，y轴投影为r*sinθ。

因此，我们可以将a表示为a=r(cosθ,sinθ)。

这样，我们就可以将向量的坐标表示为三角函数的形式了。

接下来，我们来看几个例子。

例1：已知向量a=(3,4)，求向量a与x轴正方向所成的角度。

解：根据勾股定理可得∣∣a∣∣=5。

因此，在单位圆上，a对应的点为(3/5,4/5)。

根据正切函数的定义可得tanθ=y/x=4/3。

因此，θ=tan^-1(4/3)≈53.13°。

例2：已知向量a=(2,3)，向量b=(4,-1)，求向量a与向量b之间的夹角。

解：根据向量内积的定义可得a·b=2*4+3*(-1)=5。

又因为a·b=∣∣a∣∣*∣∣b∣∣*cosθ，所以cosθ=a·b/(∣∣a∣∣*∣∣b∣∣)=5/(√13*√17)。

因此，θ=cos^-1(5/(√13*√17))≈29.46°。

专题33 三角函数与向量问题(原卷版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化．第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值．【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值．【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ，解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。

专题：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略

专题：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略【考试要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(wx+j)的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.。

专题33 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性题2021高中数学必做黄金100题(解析版

第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
一．题源探究·黄金母题
（求函数的单调递增区间．
【解析】设，函数的单调递增区间为．由，得．易知．
【试题来源】人教版A版必修4第39页例5．
【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求
【技能方法】解决三角函数的单调性有关的问题，要结合函数的图象及其性质。
考向6已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可得，
∵函数（，）的图像与直线相邻两个交点的距离为，
∴函数的图象与直线相邻两个交点的距离为，
∴函数的周期为，故，∴ ．∴ ．
由题意得“ 对于任意的恒成立”等价于“ 对于任意的恒成立”．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故结合所给选项可得C正确．选C．
【技能方法】本题难度较大，解题时根据题意得在上的取值范围是的子集去处理，由此通过不等式可得的范围，结合选项得解．
④将的图象向右平移个单位可得到图像．
【答案】①②③
【解析】对于，
令，求得f(x)=−1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线对称故①正确．
令x= ，求得f(x)=0，可得它的图象C关于点( ，0)对称，故②正确．
令，可得，故函数f(x)在区间是增函数，故③正确，
由的图象向右平移个单位长度可以得到故排除④，
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．

三角函数练习题100题(Word版,含解析)

三角函数习题100题练兵（1-20题为三角函数的基本概念及基本公式，包括同角三角函数关系，诱导公式等，21-40题三角函数的图象与性质，41-55题为三角恒等变形，56-70为三角函数基本关系及角度制与弧度制等，包括象限角弧长与扇形面积公式等，71-90题为三角函数的综合应用，91-100为高考真题。

其中1-55为选择题，56-70为填空题，71-100为解答题。

）1.函数且的图象恒过点，且点在角的终边上，则A. B. C. D.【解答】解：函数且的图象恒过定点，角的终边经过点，，，．故选B2.已知角的终边上有一点，则A. B. C. D.【解答】解：角的终边上有一点，，则．故选C．3.若，且，则角的终边位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解：，则角的终边位于一二象限，由，角的终边位于二四象限，角的终边位于第二象限．故选择．4.已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值A. B. C. D.【解答】解：是第二象限角，为其终边上一点且，，解得，，．故选A．5.已知角的终边过点，且，则的值为A. B. C. D.【解答】解：由题意，角的终边过点，可得，，，所以，解得，故选A．6.若点在角的终边上，则A. B. C. D.【解析】解：点在角的终边上，，则，，．故选B．7.在平面直角坐标系中，，点位于第一象限，且与轴的正半轴的夹角为，则向量的坐标是A. B. C. D.【解答】解：设，则，，故故选C．8.的大小关系为A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选C．9.已知角的终边上有一点，则的值为A. B. C. D.【解答】解：根据三角函数的定义可知，根据诱导公式和同角三角函数关系式可知，故选A．10.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则A. B. C. D.【解答】解：因为角的终边过点，所以是第一象限角，所以，，因为，，所以为第一象限角，，所以，所以，故选：．11.若角的终边经过点，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，，，因为的正负不确定，则正负不确定．故选C．12.下列结论中错误的是A.B.若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C.若角的终边过点，则D.若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为弧度【解答】解：．，故A正确；B.因为为第二象限角，，所以，当为偶数时，为第一象限的角，当为奇数时，为第三象限角，故B正确；C.当时，，此时，故C错误；D.若扇形的周长为，半径为，则弧长为，其圆心角的大小为弧度，故正确．故选C．13.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么A. B. C. D.【解答】解：因为内部小正方形的内切圆面积为，所以内部小正方形的内切圆的半径为，所以内部小正方形的边长为，外部大正方形的外接圆半径为，所以大正方形的边长为，设大直角三角形中长直角边为，斜边为，则，则，所以，所以大直角三角形中短直角边为，所以，，则．故选D．14.己知是第四象限角，化简为A. B. C. D.【解答】解：是第四象限角，故，又，，则．故选B．15.函数的最小正周期为A. B. C. D.【解答】解：，所以的最小正周期．故选C．16.函数的值域是A. B. C. D.【解答】解：，令，，则，，由二次函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，当时取的最小值，其最小值为，当时取得最大值，其最大值为．故函数的值域为．故选B．17.已知，，且，，则A. B. C. D.【解答】解：由题可知，，，所以，所以，又，所以，所以，当时，．因为，所以，不符合题意，当时，同理可得，故选：．18.已知，则的值为A. B. C. D.【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以．故选A．19.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为A. B. C. D.【解答】解：，由正弦定理化简得：，整理得：，，；则．当且仅当时等号成立，可得的最小值为．故选：．20.若的内角满足，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：因为为的内角，且，所以为锐角，所以．所以，所以，即．所以．故选A．21.已知函数给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③【解答】解：因为，①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；②，不是的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故③正确．故选：．22.将函数的图象先向右平移个单位长度，再将该图象上各点的横坐标缩短到原来的一半纵坐标不变，然后将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，得函数的图象，则解析式是A. B.C. D.【解答】解：由题意函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点横坐标缩短为原来的一半，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点纵坐标伸长为原来的倍，得到新函数解析式为．故选A．23.如图函数的图象与轴交于点，在轴右侧距轴最近的最高点，则不等式的解集是A.，B.，C.，D.，【解答】解：由在轴右边到轴最近的最高点坐标为，可得．再根据的图象与轴交于点，可得，结合，．由五点法作图可得，求得，不等式，即，，，求得，，故选：．24.函数的图像的一条对称轴是A. B. C. D.【解答】解：令，解得，函数图象的对称轴方程为，时，得为函数图象的一条对称轴．故选C25.已知函数，若相邻两个极值点的距离为，且当时，取得最小值，将的图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象，则满足题意的的最小正值为A. B. C. D.【解答】解：函数，所以，，相邻两个极值点的横坐标之差为，所以，所以，又，所以，当时，取得最小值，所以，，而，所以，所以，将的图象向左平移个单位得为偶函数，所以，，即．所以的最小正值为．故选A．26.函数的定义域为A. B.C. D.【解答】解：根据对数的真数大于零，得，可知：当时，，故函数的定义域为．故选A．27.设函数若是偶函数，则A. B. C. D.【解答】解：，因为为偶函数，所以当时，则，，所以，，又，所以．故选B．28.函数的部分图像如图所示，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，因为，所以，，由时，可得，所以，结合选项可得函数解析式为．故选A．29.已知函数，给出下列命题：①，都有成立；②存在常数恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数．以上命题中正确的为A.①②③④B.②③C.①②③D.①②④【解答】解：对于①，，，①正确；对于②，，由，即存在常数恒有成立，②正确；对于③，，令，，则设，，令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，则的最大值为，③错误；对于④，当时，，所以在上为增函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：．30.已知，，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则A. B. C. D.【解答】解：由题意得最小正周期，，即，直线是图象的对称轴，，又，，故选A．31.已知函数向左平移半个周期得的图象，若在上的值域为，则的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数向左平移半个周期得的图象，由，可得，由于在上的值域为，即函数的最小值为，最大值为，则，得．综上，的取值范围是．故选D．32.若，则实数的取值范围是A. B. C. D.解：，，，．，，．33.如图，过点的直线与函数的图象交于，两点，则等于A. B. C. D.【解答】解：过点的直线与函数的图象交于，两点，根据三角函数的对称性得出；，，，，．是的中点，，．故选B．34.已知函数，若函数恰有个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为A. B. C. D.解：画出函数的图象，如图：结合图象可知要使函数有个零点，则，因为，所以，所以，因为，所以，且，可设，其中，所以，所以，所以的取值范围是．故选A．35.函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为A. B. C. D.【解答】解：根据函数的部分图象，则：，，所以：，解得：，当时，，即：解得：，，因为，当时，，故：，现将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到：函数的图象．故选C．36.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D．37.设，则函数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以，所以故选A．38.人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值设某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：，则下列说法正确的是A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值【解答】解：某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：则此人收缩压；舒张压，所以此人的收缩压高于标准值、舒张压低于标准值．故选C．39.设函数，下述四个结论：①的图象的一条对称轴方程为；②是奇函数；③将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的编号是A.①②B.②③C.①③D.②③④【解答】解：由题意．对①，的对称轴为，即，故是的对称轴故①正确；对②，，故为偶函数，故②错误；对③，将的图象向左平移个单位长度得到故③正确；对④，当时，，因为是的减区间，故④错误．综上可得①③正确．故选C．40.如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为A. B. C. D.【解答】解：由图象知．因为，所以，解得，所以这段时间水深的最大值是．故选C．41.若，且，则等于A. B. C. D.【解答】解：，，则，又，，则．故选：．42.若，则A. B. C. D.【解答】解：，且，，，两边同时平方得，解得或舍去，，故选B．43.，，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选：．44.若，均为锐角，，，则A. B. C.或 D.【解答】解：为锐角，，，且，，且，，，．45.在中，已知，那么的内角，之间的关系是A. B. C. D.关系不确定【解答】解：由正弦定理，即，所以，即，所以，则，所以．故选B．46.设，，则A. B. C. D.【解答】解：根据二倍角公式可得，解得，由，可得，所以，故选A．47.设，，且，则下列结论中正确的是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以．故选A．48.已知是锐角，若，则A. B. C. D.【解答】解：已知是锐角，，若，，则．故选A．49.化简的值等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．50.已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，由得．．故选B．51.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数，由函数在上单调递减，且，得解得，又，，实数的取值范围是．故选A．52.函数的最大值为A. B. C. D.【解答】解：函数，其中，函数的最大值为，故选C．53.计算：等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．54.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，即，即，，由正弦定理可得，又，所以由余弦定理可得，故选D．55.函数取最大值时，A. B. C. D.【解答】解：，其中由确定．由与得．若，则，，，此时．所以，最大值时，，，．故选．56.已知点在第一象限，且在区间内，那么的取值范围是___________．【解答】解：由题意可知，，，借助于三角函数线可得角的取值范围为．故答案为．57.已知角的终边经过点，则实数的值是【解答】解：设，由于正切函数周期为，则，又终边经过点，所以，解得，故答案为．58.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴的非负半轴，，若点是角终边上的一点，则的值是____．【解答】解：因为点是角终边上的一点，所以，由，，则在第一象限，又，所以．故答案为．59.已知，，则____________．【解答】解：，，，，．故答案为．60.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为__________．【解答】解：由题意可得，则．故答案为．61.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为__________．【解答】解：因为，所以扇形面积公式．故答案为．62.如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．【解答】解：由于，若，，则．63.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为___________．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为，连接，过作交于，交于，交于，过作于，记扇形的面积为，由题中的长度关系易知，同理，又，可得为等腰直角三角形，可得，，，，，解得，，故答案为．64.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为______________写正数值：如果小轮的转速为转分，大轮的半径为，则大轮周上一点每秒转过的弧长为______________．【解答】解：因为大轮有齿，小轮有齿，当小轮转动两周时，大轮转动的角为，如果小轮的转速为转分，则每秒的转速为转秒，由于大轮的半径为，那么大轮周上一点每转过的弧长是．故答案为．65.终边在直线上的所有角的集合是____________．【解答】解：由终边相同的角的定义，终边落在射线的角的集合为，终边落在射线的角的集合为：，终边落在直线的角的集合为：．故答案为．66.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．【解答】解：如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为，所以为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得．故答案为．67.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角的集合是_________________________．【解答】解：由题意，得与终边相同的角可表示为，与终边相同的角可表示为，故角的集合是，故答案为．68.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角三角形的内角是第一象限角或第二象限角不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关若，则与的终边相同若，则是第二或第三象限的角．其中正确的命题是填序号【解答】解：①是第二象限角，是第一象限角，但，①错误；②三角形内角有的直角，但它不是象限角，不属于任何象限，②错误；③角的度量是角所在扇形中它所对的弧长与相应半径的比值，与扇形半径无关，③正确④与的正弦值相等，但它们终边关于轴对称，④错误；⑤余弦值小于零，的终边在第二或第三象限或非正半轴上，⑤错误．故答案为③69.已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为______ ．解：设扇形的半径为，圆心角为，弧长，此扇形的周长为，，解得：，则扇形的面积为．故答案为．70.地球的北纬线中国段被誉为中国最美风景走廊，东起舟山东经，西至普兰东经，“英雄城市”武汉东经也在其中，假设地球是一个半径为的标准球体，某旅行者从武汉出发，以离普兰不远的冷布岗日峰东经为目的地，沿纬度线前行，则该行程的路程为__________用含的代数式表示【解答】解：地球半径为，所以北纬的纬度圈半径为，因为武汉和冷布岗日峰的经度分别为东经和东经，相差，即，所以两地在北纬的纬线长是．故答案为．71.如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是．求的值；若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值．【参考答案】解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知．从而．，．因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，所以，从而．于是．因为为锐角，为钝角，所以，从而．72.如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？【参考答案】解：如图，作于点，交线段于点，连接、，，，，，，设，则，，，，，，即时，，此时在弧的四等分点处．73.如图，圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，为优弧的中点，设，在右侧为优弧不含端点上的两个不同的动点，且，记，四边形的面积为．求关于的函数关系；求的最大值及此时的大小．解：如下图所示：圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，，到的距离，若，则，到的距离，故令则，，的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，故当，即时，取最大值．74.如图，在中，，，为，，所对的边，于，且．求证：；若，求的值．【参考答案】证明：，，，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，则，即，，，由此即得证．解：，，，则，由知，，故的值为．75.已知角的终边经过点．求的值；求的值．【参考答案】解：Ⅰ因为角终边经过点，设，，则，所以，，．．Ⅱ．76.已知向量，．当时，求的值；若，且，求的值．【参考答案】解：首先，．当时，．由知，．因为，得，所以．所以．77.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为求的值；求的值．【参考答案】解：由已知得，，，因为为锐角，故，从而，同理可得，因此，，所以，，又，，，得．78.已知化简若是第二象限角，且，求的值．【参考答案】解：．是第二象限角，且，，是第二象限角，．79.如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．求，的值和，两点间的距离；应如何设计，才能使折线段最长？【参考答案】解：因为图象的最高点为，所以，由图象知的最小正周期，又，所以，所以，所以，，故，两点间的距离为，综上，的值为，的值为，，两点间的距离为；在中，设，因为，故，由正弦定理得，所以，．设折线段的长度为，则，所以的最大值是，此时的值为．故当时，折线段最长．80.已知函数．Ⅰ求的最小正周期；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：Ⅰ，所以的最小正周期为．Ⅱ因为，所以．于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．81.已知函数求函数的最小正周期；若函数对任意，有，求函数在上的值域．【参考答案】解：，的最小正周期；函数对任意，有，，当时，则，则，即，解得．综上所述，函数在上的值域为：．82.已知向量，．当时，求的值；设函数，且，求的最大值以及对应的的值．【参考答案】解：因为，所以，因为否则与矛盾，所以，所以；，因为，所以，所以当，即时，函数的最大值为．83.已知函数．求的值；从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期．【参考答案】解：Ⅰ由函数，则；Ⅱ选择条件①，则的一个周期为；由；，因为，所以；所以，所以；当，即时，在取得最小值为．选择条件②，则的一个周期为；由；因为，所以；所以当，即时，在取得最小值为．，，84.已知函数．求函数的最小正周期和单调递增区间；若存在满足，求实数的取值范围．【参考答案】解：，函数的最小正周期．由，得，的单调递增区间为．当时，可得：，令．所以若存在，满足，则实数的取值范围为．85.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【参考答案】解：函数，当，解得：，因此，函数的单调减区间为；将函数的图象向左平移个单位，得的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，故的值域为．86.函数的部分图象如图所示．求的解析式；设，求函数在上的最大值，并确定此时的值．【参考答案】解：由图知，，则，，，，，，，，的解析式为；由可知：，，，，当即时，．87.已知函数的一系列对应值如下表：根据表格提供的数据求函数的一个解析式．根据的结果，若函数周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．【参考答案】解：设的最小正周期为，则，由，得．又由解得令，即，解得，．函数的最小正周期为，且，．令．，，的图像如图．在上有两个不同的解时，，方程在时恰有两个不同的解，则，即实数的取值范围是．88.已知函数的部分图象如图所示．求函数的解析式；求函数在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：由题意可知，，，得，解得．，即，，，所以，故；当时，，得；当时，即有时，函数取得最小值；当时，即有时，函数取得最大值．故，；89.已知函数．求的值；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【参考答案】解：Ⅰ，．Ⅱ，．．由不等式恒成立，得，解得．实数的取值范围为．90.设函数，．已知，函数是偶函数，求的值；求函数的值域．【参考答案】解：由，得，为偶函数，，，或，，，，，函数的值域为：．高考真题91.（2016山东）设．求的单调递增区间；把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．【参考答案】解：由，由，得，所以的单调递增区间是．由知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即．所以．92.（2020安徽）在平面四边形中，，，，．求；若，求．解：，，，．由正弦定理得：，即，，，，．，，，．93.（2105重庆）已知函数求的最小正周期和最大值；讨论在上的单调性．【参考答案】解：．所以的最小正周期，当时，最大值为．当时，有，从而时，即时，单调递增，时，即时，单调递减，综上所述，单调增区间为，单调减区间为94.（2020上海）已知．求的值求的值．【解答】解：原式原式．95.（2017山东）设函数，其中，已知．Ⅰ求；Ⅱ将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．解：Ⅰ函数，又，，，解得，又，Ⅱ由Ⅰ知，，，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，函数当时，，，当时，取得最小值是．96（2019上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合．若，求集合；若，求使得集合恰好有两个元素；若集合恰好有三个元素：，是不超过的正整数，求的所有可能的值．【参考答案】解：等差数列的公差，数列满足，集合．当，集合，数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．①当时，，数列为常数列，仅有个元素，显然不符合条件；②当时，，，数列的周期为，中有个元素，显然不符合条件；③当时，，集合，情况满足，符合题意．④当时，，，，，或者，，当时，集合，符合条件．⑤当时，，，，，或者，，因为，取，，集合满足题意．⑥当时，，，所以，，或者，，，取，，，满足题意．⑦当时，，，所以，，或者，，，故取，，，，当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，，，，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，不是整数，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，，，．97.（2017全国）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．函数是否属于集合？说明理由；设函数，且的图象与的图象有公共点，证明：；若函数，求实数的取值范围．【参考答案】解：对于非零常数，，．因为对任意，不能恒成立，所以；因为函数且的图象与函数的图象有公共点，所以方程组：有解，消去得，显然不是方程的解，所以存在非零常数，使．于是对于有故；当时，，显然．当时，因为，所以存在非零常数，对任意，有成立，即．因为，且，所以，，。

(完整word版)高一数学必修四三角函数与向量结合知识点+练习题【含答案】(word文档良心出品)

三角函数与向量题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，则ϕ和B 的值依次为（）A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3 【分析】根据向量的坐标确定平行公式为⎩⎨⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】由平移向量知向量平移公式⎩⎨⎧ x '＝x －π6y '＝y －3，即⎩⎨⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C. 【解析2】由向量→a ＝(－π6，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移π6个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y ＝sin2(x ＋π6)－3，即y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C.【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(sinA －cosA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值.【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范围求最值.【解】（Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝－(cosA ＋sinA)(cosA －sinA)，则sin 2A ＝34，又A 为锐角，所以sinA ＝32，则A ＝π3. （Ⅱ）y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos (π－π3－B)－3B 2＝2sin 2B ＋cos(π3－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B ＝32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1. ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6)，∴2B －π6＝π2，解得B ＝π3，y max ＝2. 【点评】本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．【分析】第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan α2的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．【解】（Ⅰ）∵→a ⊥→b ，∴→a ·→b ＝0．而→a ＝（3sinα，cosα），→b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故→a ·→b ＝6sin 2α＋5sinαcosα－4cos 2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan 2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12．∵α∈（3π2，2π），tanα＜0，故tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43．（Ⅱ）∵α∈（3π2，2π），∴α2∈（3π4，π）．由tanα＝－43，求得tan α2＝－12，tan α2＝2（舍去）．∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法. 题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例4】已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝255.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.【分析】利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cos β即可.【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝255，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝45，将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得 12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12＝45，∴cos(α－β)＝35. (Ⅱ)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－35，得sin(α－β)＝45，又sin β＝－513，∴cos β＝1213， ∴sin α＝sin ［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365. 点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f(π2)＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx ，由f(π2)＝2，得m(1＋sin π2)＋cos π2＝2，解得m ＝1. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx ＋cosx ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1，当sin(x ＋π4)＝－1时，f(x)的最小值为1－ 2. 点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．题型六解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，a ＝23，且→m·→n ＝12．（Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值．（Ⅱ）求b ＋c 的取值范围．【分析】第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b 、c 的方程组求取b ＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B 的三角函数式，进而求得b ＋c 的范围.【解】（Ⅰ）∵→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，且→m·→n ＝12， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12，即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. 又由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，所以bc ＝4，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4.（Ⅱ）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3， ∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π3)， ∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4]. [点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b ＋c 没有利用分别求出b 、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角B 的范围.三角函数（结合向量）练习题1. 已知向量a = (3，2)，b =()cos ,2sin 2x x ωω-，（)0>ω。

高三数学三角与向量专题训练带解析

2015届高三数学三角与向量专题训练（带解析）2015届高三数学三角与向量专题训练（带解析）一、选择、填空题1、（2014广东高考）已知向量则下列向量中与成夹角的是A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）2、（2012广东高考）若向量，，则（）A.B.C.D.3、（2011广东高考）若向量满足∥且，则A．4B．3C．2D．04、（2014广东高考）在中，角所对应的边分别为，已知，则5、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为(）A．B．C．D．6、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）已知菱形的边长为，，点分别在边上，.若，，则A．B．C．D．7、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）在中，已知,则的面积是（）A．B．C．或D．8、（惠州市2015届高三第二次调研考试）设向量，，则下列结论中正确的是()A．B．C．D．与垂直9、（江门市普通高中2015届高三调研测试）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．1010、（韶关市十校2015届高三10月联考）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）A.；B．；C.；D.11、（深圳市2015届高三上学期第一次五校联考）已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．12、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=．13、（肇庆市2015届高三10月质检）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若+++所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0二、解答题1、（2014广东高考）已知函数，且，（1）求的值；（2）若，，求。

解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形(6大题型)(解析版)

解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形目录题型一三角恒等变换与三角函数 1题型二正余弦定理解三角形的边与角 3题型三利用正弦定理求三角形外接圆 6题型四解三角形中边长或周长的最值范围 8题型五解三角形中面积的最值范围 10题型六三角形的角平分线、中线、垂线 13必刷大题 16三角恒等变换与三角函数大题典例1.(24-25高三上·河南·月考)已知向量m =(cos x +sin x ,3sin x ),n=(cos x -sin x ,2cos x )，函数g (x )=m ⋅n .(1)求g (x )的最小正周期;(2)若函数f (x )=g (x )-a 在区间0,π2上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)π；(2)[1,2).【解析】(1)g (x )=m ⋅n =cos 2x -sin 2x +23sin x cos x ，=cos2x +3sin2x =2sin 2x +π6∴g (x )的最小正周期T =2π2=π；(2)由题知g (x )=a 在区间0,π2上恰有两个不同的实数根，即函数g (x )在区间0,π2上的图象与直线y =a 恰有两个交点，令u =2x +π6,∵x ∈0,π2 ,∴u ∈π6,7π6 ，作出y =2sin u u ∈π6,7π6的图象与直线y =a ，如图.由图知，当1≤a <2时，y =2sin u u ∈π6,7π6的图象与直线y =a 有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).解法指导此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。

1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：(1)二倍角公式：sin 2α=2sin αcos α(S 2α)；cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α(C 2α)(2)降幂公式：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2，2、再通过辅助角公式“化一”，化为y =A sin (ωx +φ)+B3、辅助角公式：a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中tan φ=ba.4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：一般将ωx +ϕ看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。

三角函数与向量结合的题型

三角函数与向量结合的题型【引言】在高中数学课程中，三角函数和向量是两个重要的概念。

它们分别代表了数学的几何和代数两个方面。

三角函数帮助我们研究角度、三角形的性质，而向量则使得我们能够进行矢量运算和分析。

这两个概念的结合可以带来更加复杂和有趣的数学题型。

在本文中，我们将探讨三角函数与向量结合的题型，从简单到复杂，逐步深入地理解这个主题。

【1. 什么是三角函数】三角函数是描述角度和角度相关的性质的一组函数。

其中最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

我们通常用sin、cos和tan来表示它们。

三角函数的定义涉及到一个直角三角形的三个边长或角度，使得我们能够通过角度来研究三角形的性质。

三角函数在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。

【2. 什么是向量】向量是用来表示大小和方向的量。

在数学中，向量通常用有序数对或有序数组来表示。

有向线段也可以看作是向量的几何表示。

向量在几何和代数中都有广泛的应用。

我们可以通过向量进行矢量运算，如向量加法、向量减法和数量乘法。

向量还可以用于描述力、速度和位移等物理量。

【3. 三角函数与向量的关系】三角函数和向量之间有许多密切相关的关系。

我们可以通过三角函数来表达向量的方向。

给定一个向量，我们可以计算出它与横轴的夹角，并通过三角函数来表示这个夹角的大小。

我们可以使用三角函数来计算两个向量之间的夹角。

夹角的正弦、余弦和正切值可以帮助我们理解向量之间的关系和性质。

在解决几何问题时，我们常常会遇到涉及角度和向量的复杂题目，这些题目需要我们结合三角函数和向量来求解。

【4. 三角函数与向量结合的题型举例】下面我们来看一些常见的三角函数与向量结合的题型。

4.1 题型一：求两个向量的夹角已知两个向量a和b，求它们的夹角。

解决这个问题时，我们可以使用向量的数量积和三角函数来求解。

具体步骤如下：计算向量a和b的数量积，即a·b。

计算a和b的模长，即|a|和|b|。

高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)

第3讲三角恒等变换知识与方法本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.二倍角公式sin22sin cos ααα=;缩角升幂2221sin2(sin cos ),1cos22cos ,1cos22sin ααααααα±=±+=-=.扩角降幂22sin21cos21cos2sin cos ,sin ,cos 222ααααααα-+===.3.辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+（其中cos ϕϕ==,辅助角ϕ所在象限由点(),a b 的象限决定,tan b a ϕ⎫=⎪⎭. 注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.典型例题【例1】若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【分析】本题为已知两个角,αβtan tan αβ,一般先“化切为弦”,发现sin sin tan tan cos cos αβαβαβ=,因此需探求角,αβ的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.【解析】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=. 两式分别相加、相减得21cos cos ,sin sin 55αβαβ==,故sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 【点睛】tan tan αβ转化为sin sin cos cos αβαβ,运用已知两角和与差的余弦公式展开,然后相加、相减可得;若为tan tan αβ,则化为sin cos cos sin αβαβ,利用两角和与差的正弦公式展开,然后相加、相减可得.【例2】若cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则()cos αβ-=______. 【分析】本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.【解析】因为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,所以22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=,即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=,整理得()22cos 1αβ+-=,所以()1cos 2αβ-=-. 【点睛】将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γsin sin ,cos cos ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()cos αβ-;或已知sin cos ,cos sin ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()sin αβ+.【例3】已知()sin 22sin αββ+=,且2tan1tan 22αα=-,则()tan αβ+=______.【分析】本题求角αβ+的正切值,涉及的角有2,,2ααββ+,函数名有正弦与正切.从待求目标出发,先利用二倍角正切公式求出α的正切,再将式子()sin 22sin αββ+=,化为关于α+β与α的三角函数值,得到()tan αβ+与tan α的关系求解.【解析】因为2tan1tan 22αα=-,所以22tan2tan 21tan2ααα==-.又()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤++=+-⎣⎦⎣⎦，所以()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+++=+-+,即()()sin cos 3cos sin αβααβα+=+.等号两边同除以()cos cos ααβ+,得()tan 3tan 6αβα+==.【点睛】要善于将三角恒等变换公式展开和变形.在计算过程中注意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将2αβ+表示为(),αβαβ++表示为()αβα+-;角α是2α的二倍. 【例4】计算4cos50tan40-=（）B.21 【分析】本题为三角函数式4cos50tan40-的化简与求值,涉及的角有40,50,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,注意到2sin80sin40cos40-中的角有80,40,先将80化为12040-,再将()sin 12040-展开,合并求解.【解析】原式sin404sin40cos40sin402sin80sin404sin40cos40cos40cos40--=-==()2sin 12040sin403cos40sin40sin403cos40cos40--+-===,答案选 C.【点睛】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换和拆角等. 【例5】计算()sin40tan103-.【分析】本题计算()sin40tan103-的值,涉及的角有40,10,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用辅助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特殊角和特殊值的隐含关系,注意公式的逆用.【解析】解法1：原式()sin40sin103cos10sin10sin403cos10cos10-⎛⎫=-=⎪⎝⎭解法2：原式()sin40tan10tan60=-【点睛】解法1,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.【例6】()1sin cos sincos )θθθθθπ⎛⎫++- ⎪<<的结果是___________.【分析】,方法是缩角升幂,去根号,加绝对值符号,开方时注意θ的范围是0θπ<<.注意到分子中含有sincos22θθ-,因此分子1sin cos θθ++的处理也化为半角的三角函数.一方面,()1sin cos 1sin cos θθθθ++=++=222sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2222222222θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 222θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;另一方面,()21sin cos 1cos sin 2cos 2θθθθθ++=++=+2sincos2cos sin cos 22222θθθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算能力. 【解析】0,cos0222θπθ<<>,原式212sin cos 2cos 1sin cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪=222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222cos 2cos 2θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭===-.【点睛】依题意,可求得cos 02θ>,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.【例7】已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ,则tan2α=（） A.43B.34C.34- D.43- 【分析】本题为已知同角α的正弦、余弦三角函数值的和,求角α的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出α的正弦、余弦三角函数值,再求出α的正切值,最后求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于tan α的二次齐次式,则更为方便.【解析】解法1：由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222cos cos 1αα⎫+=⎪⎪⎝⎭.所以210cos 30αα-+=,解得cos α=.当cos α=,sin 2cos αα==,此时tan 3α=;当cos α=时,sin α=此时1tan 3α=-. 所以tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--.故选C.解法2：将sin 2cos αα+=平方,得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=. 所以2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos 2αααααα++=+,所以22tan 4tan 45tan 12ααα++=+, 所以23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--. 故选C.【点睛】由题意,结合22sin cos 1αα+=可得sin ,cos αα,进而可得tan α,将其代入二倍角的正切公式求解.【例8】若50,sin 4413x x ππ⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭,求cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【分析】此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发现2242x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.若从诱导公式角度入手,可以把2x 看成是4x π+的“二倍角”.而44x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】解法1：因为04x π<<,所以120,cos 44413x x πππ⎛⎫<-<-== ⎪⎝⎭, 所以120cos2sin 22sin cos 244169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意到442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 原式cos22413cos 4x x π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法2：因为04x π<<,所以044x ππ<-<.所以12sin sin cos 424413x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以原式sin 22sin cos 242442sin 413cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法3：由5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭展开得()5cos sin 213x x -=,所以cos sin 13x x -=.所以)22cos2cos sin cos 4x x x x π==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为22(cos sin )(cos sin )2x x x x -++=,所以cos sin 13x x +=. 故原式2413=. 【点睛】(1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中注意角的范围的变化.(2)在恒等变形中,注意变角优先,要根据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特殊角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口. (3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.【例9】化简1sin4cos41sin4cos4αααα+-++.【分析】可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,2(sin cos )1sin2ααα±=±及1-22cos22sin ,1cos22cos αααα=+=;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.【解析】1 原式()()221cos4sin42sin 22sin2cos21cos4sin42cos 22sin2cos2αααααααααα-++==+++ 【解析】2原式()()222222(sin2cos2)cos 2sin 2(sin2cos2)cos 2sin 2αααααααα+--=++- 【点睛】对于较复杂的三角函数式的化简与求值题,一般先观察式子的结构特征,在熟练堂握三角函数变换公式的基础上,灵活运用公式的变形、公式的逆用等.【例10】已知02πβαπ<<<<,且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()cos αβ+的值.【分析】本题已知cos ,sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值,要求角αβ+的余弦值.观察已知角和所求角,可作222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的配凑角变换,利用余弦的差角公式求2αβ+的正弦值或余弦值,最后用二倍角公式求角αβ+的余弦值.【解析】因为02πβαπ<<<<,所以,,,24242βπαππαπβ⎛⎫⎛⎫-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()22239cos 2cos1212729αβαβ++=-=⨯-=-⎝⎭.【点睛】“凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角αβ+的余弦函数值,而已知角只有,22βααβ--,因此要将αβ+配凑为22βααβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的二倍.【例11】已知都是锐角,若sin αβ==,则αβ+=______________. A.4πB.34πC.4π和34πD.4π-和34π- 【分析】本题要求角αβ+的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到,αβ都是锐角,0αβπ<+<,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求()cos αβ+.【解析】因为sin αβ==且,αβ都是锐角,所以cos αβ==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==. 又()0,αβπ+∈,所以4παβ+=.故选A.【点睛】例已知,αβ的正弦值,根据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出,αβ的余弦值，接下来利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+,然后结合αβ+αβ+的取值范围这里选用()cos αβ+求解,若选用()sin αβ+求解,应先考虑缩小αβ+的取值范围,否则会产生增解34παβ+=.【例12】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭R . (1)求()f x 的最小正周期.(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【分析】本题研究三角函数()f x 的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,需要将已知函数式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,常用公式为辅助角公式.【解析】(1) ()3sin2cos2f x x x x x⎫=+-⎪⎪⎭所以()f x 的最小正周期2T ππω==.(2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以max min?()()2f x f x ==-.【点睛】用二倍角公式降幂,结合辅助角公式研究三角函数的图象与性质.强化训练1.若()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【答案】2- 【解析】1sin cos cos sin 5αβαβ+=,3sin cos cos sin 5αβαβ-=,两式分别相加、相减得,21sin cos ,cos sin 55αβαβ==- 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.2.已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则()tan x y -的值是（）B.C.【答案】B 【解析】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,两式平方并相加得 ()822cos cos sin sin 9x y x y -+=, 即()5cos 9x y -=. 因为,x y 为锐角,sin sin 0x y -<,所以x y <.所以()sin x y -==()()()sin tan cos 5x y x y x y --==--. 3.求值:tan20tan403tan20tan40++.【解析】原式()()tan 20401tan20tan403tan20tan40=+-+ )1tan20tan403tan20tan403=-+=. 4.化简2cos10sin20cos20-. 【解析】:原式2cos10sin20cos20-==5.求值():cos4013tan10+. 【解析】原式3sin10cos10cos40cos10+=⨯()2sin 1030cos40cos10+=⨯ 2sin40cos40sin801cos10cos10===.6.化简()()()()22:cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ-+++-+. 【解析】解法1：原式=()()1cos 12021cos 120211cos cos 222222θθθθθθ+-++⎛⎫⎫⎛+++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭34=.解法2:由余弦的平方差公式得()()22cos cos cos sin αβαβαβ+-=-,所以原式()()()()2cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ⎡⎤=-++--+⎣⎦34=.7.已知3sin 4cos 0αα-=,则23cos2α+=_______.【答案】2925【解析】因为3sin 4cos 0αα-=所以4tan 3α=.所以222222cos sin 1tan 7cos2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++, 所以212923cos222525α+=-=. 8.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】【解析】解法1：由1sin cos 2αα=+和22sin cos 1αα+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得11sin 44αα+-+==, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解法2：由1sin cos 2αα=+可得1sin cos 2αα-=,等号两边平方可得3sin24α=, 则27(sin cos )4αα+=. 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos 2αα+=, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭9.设3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,. 【解析】因为3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.原式cos cos 22αα====-.10.已知函数(),12f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R . (1)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. (2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(1)164f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-. 故4324sin22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 所以27cos212sin 25θθ=-=-.从而1722cos2sin23425f ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.已知()113cos ,cos 714ααβ=-=,且02πβα<<<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)因为1cos ,072παα=<<,所以sin tan 7αα==所以22tan tan21tan 14847ααα===---. (2)因为02παβ<-<,所以()sin αβ-==所以()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦11317142=⨯+=. 因为02πβ<<,所以3πβ=.12.已知函数()26cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,,B C 为图象与x 轴的交点,ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数()f x 的值域.(2)若()0f x =且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.【解析】(1)由已知可得,()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以正三角形ABC 的高为从而4BC =. 所以函数()f x 的周期428T =⨯=,即28πω=,4πω=函数()f x 的值域为⎡-⎣.(2)已知()0f x =由(1)有()00435f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 即04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以03cos 435x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故()001443f x x πππ⎛⎫+=++⎪⎝⎭00sin cos 43435x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦.。

2020高考数学核心突破《专题三三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)

专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1．(1)要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( C ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数，再利用平移法则求解． (2)先求函数f (x )的解析式，再利用解析式求最值．解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度．故选C. (2)由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，14·2πω＝5π6－7π12，解得ω＝2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，可得2·7π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．突破点拨(1)由表中数据先写出A ，ω，φ的值，再由ωx ＋φ＝0，π，2π，求出其余值． (2)写出函数y ＝g (x )的解析式，由y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，利用整体思想建立关于θ的方程，根据k ∈Z 及θ＞0，求出θ的最小值．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点：一是函数名称是否一致；二是弄清由谁平移得到谁；三是左右的平移是自变量本身的变化．(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题，一般由函数的最值可确定A ，由函数的周期可确定ω，由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二三角函数的性质1. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．突破点拨(1)先将已知解析式化简，然后求解．(2)根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)与y ＝sin x 的关系求解．解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎝⎛⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 2. 设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．突破点拨(1)先用公式化简，再利用三角函数的性质求解． (2)将x ＝π8代入，求ω，则周期可求．解析由已知得f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，所以f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即f (x )取最大值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z . 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，其最小正周期为π.求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论．三角函数的综合应用【预测】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω＞0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．思维导航(1)解题导引：①先化简函数f (x )的解析式，再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式；②先求函数g (x )的解析式，再求在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． (2)方法指导：三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合，通过变换将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意整体思想的应用．规范解答(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2 ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)．根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1. 故函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数 g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象．根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. 【变式考法】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ (0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意，知 f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即y ＝g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .1．(教材回归)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意，故选A. 2．(2017·广西南宁质检)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度后，得到f (x )的图象，则( B )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称解析将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象对应的解析式为f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2－π3(k ∈Z )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称；令2x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称；f ⎝⎛⎭⎫7π3＝－12.故选B. 3．(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π；②直线x ＝π3是图象的一条对称轴；③在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数”的一个函数是( D )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3解析对于A 项，B 项，∵T ＝2π2＝π，故A 项，B 项不正确．对于C 项，若直线x ＝π3为其图象的一条对称轴，则π3×12＋π3＝k π，k ∈Z ，得π2＝k π，k ∈Z ，k 不存在，不满足题意，故C 项不正确．对于D 项，因为T ＝2π12＝4π，且由x 2＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π3，k ∈Z ；当k ＝0时，x ＝π3为图象的一条对称轴．由2k π＋π2≤x 2＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π3，4k π＋7π3，k ∈Z ，所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数，故D 项正确．故选D.4．(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数y ＝f (x )的图象向左平移4π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上的最大值为( C )A ．3B ．332C.322D ．22解析由图象可知函数y ＝f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3－π3＝4π， ∴ω＝12.又点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫0，－32在函数y ＝f (x )的图象上， ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，且|φ|<π2.∴φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， ∴g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－π6＝3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2，可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤－3，322，即g (x )的最大值为322.5．(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案 20.56．(高考改编)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是__②④__.解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，而⎣⎡⎦⎤0，π6⃘⎣⎡⎦⎤－512π＋k π，π12＋k π(k ∈Z )，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ，令－3＋a ＝3，得a ＝23，所以④正确．所以正确的判断为②④.7．(考点聚焦)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx ·cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 8．(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解析 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 9．(母题营养)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，求实数m 的最大值．解析 (1)因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ. 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得cos 2θ＝15.所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝2cos 2θ＋12(2cos 2θ－1)＝3cos 2θ－12＝110.(2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 依题意，得g (x )＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4，即g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，2m －π4. 又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以－π4＜2m －π4≤π2，即0＜m ≤3π8，故实数m的最大值为3π8.10．(母题营养)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域．解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，从而ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点，于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋2B ．32C ．62D ．－2解析由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2＋ 2.故选A.第2讲三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1．(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( A )A.17 B ．16C ．57D ．56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝( D )A.210B ．－210C ．－7210D ．7210突破点拨(1)注意到β＝(α＋β)－α，再结合已知条件求tan β的值． (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4，再实施运算．解析 (1)tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A.(2)∵α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45<32， ∴α＋π3是钝角，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35，cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫712π＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3·cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π4＝7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式，再利用同角三角函数基本关系式求解． (2)切化弦，转化为二倍角公式，再利用(1)的结论求解．解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin α cos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (2)降幂与升幂：通过二倍角公式得到． (3)弦、切互化：一般是切化弦．题型二解三角形1. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求解．(2)利用勾股定理得到边的一个方程，结合已知条件解方程组求得边长，然后求面积．解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.【变式考法】 (1)在本例条件下，求角B 的范围． (2)在本例条件下，若B ＝60°，b ＝2，求a 的值．解析 (1)因为b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －2ac2ac ＝0，又因为0<B <π，所以0<B ≤π2.(2)因为b 2＝2ac ，b ＝2，所以ac ＝1，又因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2＝3，所以a ＋c ＝5，所以a ＝5＋12或5－12. 2. △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．突破点拨(1)利用面积关系得边的关系，再利用正弦定理求解． (2)先利用面积比求BD ，再利用余弦定理求解．解析 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理，正弦定理可以将角转化为边，也可以将边转化成角，当涉及边的平方关系时，一般利用余弦定理，要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式，灵活选用．有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ，再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中，因为∠P AC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4，由余弦定理得PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos ∠P AC ，所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2AP ·(4－AP )·cos 60°，整理得AP 2－4AP ＋4＝0，解得AP ＝2，所以AC ＝2.所以△APC 是等边三角形，所以∠ACP ＝60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°.因为△APB 的面积是332，所以12AP ·PB ·sin ∠APB ＝332，所以PB ＝3.在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2AP ·PB ·cos ∠APB ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AB ＝19.在△APB 中，由正弦定理得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP，所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，AC <BC ，P 为BC 右上方一点，满足∠BPC ＝90°.(1)若BP ＝2，求AP 的长； (2)求△BPC 周长的最大值．解析由题意知1＝AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝2(BC ＝1舍去，则∠CAB ＝90°.又∠BPC ＝90°，且BP ＝2，所以∠PBC ＝45°，从而∠ABP ＝75°.连接AP ，由余弦定理得AP ＝3＋2－2×3×2×6－24＝6＋22. (2)由(1)可知BC ＝2或BC ＝1，又因为求△BPC 周长的最大值，所以BC ＝2，设BP ＝m ，PC ＝n ，则m 2＋n 2＝4.由于BC 长为定值，因此求△BPC 周长的最大值只需求BP ＋PC ＝m ＋n 的最大值即可．又4＝m 2＋n 2≥(m ＋n )22，则m ＋n ≤22，当且仅当m ＝n ＝2时取等号，此时△BPC 的周长取得最大值，为2＋2 2.1．(教材回归)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C＝2B ，则sin Bsin A＝( D )A.c 2a 2＋b 2－c 2 B ．b 2a 2＋b 2－c 2C.a 2a 2＋b 2－c2 D ．c 2a 2＋c 2－b2解析由已知，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以sin C sin B ＝2cos B ．由正弦定理及余弦定理，得c b ＝2×a 2＋c 2－b 22ac ，则b a ＝c 2a 2＋c 2－b2. 再由正弦定理，得sin B sin A ＝c 2a 2＋c 2－b 2，故选D.3．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.4．(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中，角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点，且CD ＝1，∠DBM ＝∠DMB ＝∠CAB ，则MA ＝__2__.解析如图，设∠DMB ＝θ，则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π2－2θ，∠AMB ＝π－θ，∠ABM ＝π2－2θ，在Rt △ABC 中，cos θ＝cos ∠CAB ＝ACAB ；在△CDA 中，由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ACsin 2θ；在△AMB 中，由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ABsin (π－θ)， ∴CD MA ＝AC ·sin θAB ·sin 2θ＝AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ＝12，从而MA ＝2. 5．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝__1__.解析在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos Ac ＝2×4×346＝1.6．(书中淘金)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB . ∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB ，得600sin 45°＝CBsin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.7．(考点聚焦)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值．解析 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 8．(教材回归)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 9．(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab . (1)若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；(2)若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C . 解析 (1)已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，结合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0，解得sin A ＝6±24. 因为0<A <π6，所以sin A <12，所以sin A ＝6－24.(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从而有3sin C ＋cos C ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1. 又π6<C ＋π6<7π6，所以C ＝π3.10．(2017·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理，得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3，因为a sin A ＝2sin π3＝43，所以由正弦定理得b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.方法二由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的取值范围．解析 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最大值为2，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a ，得a <2， ∴a 的取值范围是[1,2)．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解析 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A . ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.3．(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若C ＝2B ，求证：cos A ＝3cos B －4cos 3B ；(2)若b sin B －c sin C ＝a ，且△ABC 的面积S ＝b 2＋c 2－a 24，求角B .解析 (1)证明：∵C ＝2B ，∴A ＝π－3B ， ∴cos A ＝cos(π－3B )＝－cos(B ＋2B ) ＝－cos B cos 2B ＋sin B sin 2B ＝－cos B (2cos 2B －1)＋2sin 2B cos B＝cos B －2cos 3B ＋2cos B (1－cos 2B )＝3cos B －4cos 3B ， ∴cos A ＝3cos B －4cos 3B .(2)在△ABC 中，∵S ＝b 2＋c 2－a 24，∴S ＝b 2＋c 2－a 24＝12bc sin A .由余弦定理知b 2＋c 2－a 24＝12bc cos A ，∴12bc cos A ＝12bc sin A ，∴tan A ＝1，而A ∈(0，π)，∴A ＝π4.∵b sin B －c sin C ＝a ，由正弦定理，得 sin 2B －sin 2C ＝sin A ＝22， ∴cos 2C －cos 2B ＝ 2.∵2C ＝2π－2A －2B ＝3π2－2B ，∴－sin 2B －cos 2B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π4＝－1. ∵B ∈(0，π)，∴2B ＋π4＝3π2，∴B ＝5π8.4．(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，12，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2－cos A ＝12，bc ＝1，b ＋c ＝3，求a 的值．解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0，12代入f (x )的解析式，得sin φ＝12. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.又因为最小正周期T ＝π2×2＝π，所以ω＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以π6≤2x ＋π6≤13π6，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2或2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤3π2，13π6时，f (x )递增，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，π时，f (x )递增．所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6－cos A ＝32sin A ＋12cos A －cos A ＝32sin A －12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，所以A －π6＝π6或5π6，即A ＝π3或A ＝π(舍去)．又因为bc ＝1，b ＋c ＝3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝6，所以a ＝ 6. 5．(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．解析 (1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ，∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3.(2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1，又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6，∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 6．(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析 (1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ，∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ，即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2， ∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.第3讲平面向量题型一向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题：1. (1)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋k c)∥(2b－a)，则k＝－1613.(2)如图，E为平行四边形ABCD的边DC的中点，F为△ABD的重心，且AB→＝a，AD→＝b，则FE→＝23b＋16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解．(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解．解析(1)因为(a＋k c)∥(2b－a)，又a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－1613.(2)由F为△ABD的重心，得AF→＝23×12AC→＝13(a＋b)．又AE→＝AD→＋DE→＝b＋12a，所以FE→＝AE→－AF→＝23b＋16a.2．(1)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝12，y＝－16.(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__－3__.突破点拨(1)画出图形，利用向量加减法则求解．(2)利用向量的坐标运算求解．。

专题33 三角函数的概念(解析版)

专题33 三角函数的概念考点1 任意角的三角函数1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，则cos A的值是（）A．35B．45C．43D．54【答案】A【解析】∵∠C＝90°，a＝4，b＝3，∴c＝√42+32＝5，∴cos A＝bc ＝35.2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A．34B．43C．35D．45【答案】D【解析】根据网格特点可知，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得，AB＝√AC2+BC2＝5，则cosα＝ACAB ＝45.3.如图，点A为α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC【答案】C【解析】∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝BDBC ＝BCAB＝DCAC，只有选项C错误.4.角θ的终边过点P（－1,2），则sinθ等于（）A．√55B ．2√55C ．－√55D ．－2√55【答案】B【解析】由题意可得，x ＝－1，y ＝2，r ＝|OP |＝√5， ∴sin θ＝√5＝2√55.5.已知角α的终边过点P （－3,4），则sin α＋cos α等于（） A ．35 B ．－45 C ．15 D ．－15 【答案】C【解析】sin α＝45，cos α＝－35，故sin α＋cos α＝15.6.已知点P 在角4π3的终边上，且|OP |＝4，则P 点的坐标为（） A ．（－2，－2√3） B ．（－12，－√32）C ．（－2√3，－2）D ．（－√32，－12）【答案】A【解析】设P点的坐标为（x，y），由三角函数的定义得，x＝|OP|cos4π3＝4×（－12）＝－2，y＝|OP|sin4π3＝4×(−√32)＝－2√3.则P（－2，－2√3）.7.已知α是第二象限角，P（x，√5）为其终边上一点，且cosα＝√24x，则x等于（）A．√3B．±√3C．－√2D．－√3【答案】D【解析】∵cosα＝xr ＝√x2+5＝√24x，∴x＝0（∵α是第二象限角，舍去）或x＝√3（舍去）或x＝－√3.8.已知角α的终边过点P（－4m,3m）（m＜0），则2sinα＋cosα的值是（）A．1B．25C．－25D．－1【答案】C【解析】∵角α的终边过点P（－4m,3m）（m＜0），∴r＝|OP|＝√(−4m)2+(3m)2＝√25m2＝－5m，则2sinα＋cosα＝2×3m−5m ＋−4m−5m＝－65＋45＝－25.9.如图，AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，AD＝4，AC＝6，则sin∠EBC＝________.【答案】√53【解析】∵AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠ADC＝90°，AD＝4，AC＝6，∴CD＝√AC2−AD2＝√62−42＝√20＝2√5，∴sin∠DAC＝CDAC ＝2√56＝√53，∴sin∠EBC＝√53.10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是______.【答案】34【解析】在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A＋∠B＝90°，∠BCD＋∠B＝90°. ∴∠A＝∠BCD，∴tan∠BCD＝tan∠A＝BCAC ＝68＝34.11.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝√10，则m－n＝________.【答案】2【解析】∵y＝3x，sinα＜0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，且m＜0，n＜0，n＝3m.∴|OP|＝√m2+n2＝√10|m|＝－√10m＝√10.∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.12.已知角α顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边在直线l：2x－y＝0上，且cosα＜0，点P（a，b）是α终边上的一点，且|OP|＝√5，求a＋b的值.【答案】∵角α顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边在直线l：2x－y＝0上，且cosα＜0，∴点P（a，b）在第三象限，a＜0，b＜0，∴tanα＝2，即ba＝2，又|OP|＝√5，即a2＋b2＝5，解得a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.考点2 三角函数值在各象限的符号13.若角θ同时满足sinθ＜0，且tanθ＜0，则角θ的终边一定落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由sinθ＜0，可知：θ的终边在第三、四象限或终边落在y轴的非正半轴上；由tanθ＜0，可知：θ的终边在第二、四象限.综上可知：角θ的终边一定落在第四象限.14.若A、B为锐角△ABC的两内角，则点P（sin B－cos A，cos B－sin A）是（）A．第一象限的点B．第二象限的点C．第三象限的点D．第四象限的点【答案】D【解析】∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B＞π2，∴A＞π2－B，B＞π2－A，sin A＞sin（π2－B）＝cos B，sin B＞sin（π2－A）＝cos A，∴sin B－cos A＞0，cos B－sin A＜0，∴点P（sin B－cos A，cos B－sin A）是第四象限的点.15.函数y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域是（）A．{3}B．{3，－1} C．{3,1，－1} D．{3,1，－1，－3}【答案】B【解析】当x是第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，tan x＞0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝1＋1＋1＝3；当x是第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，tan x＜0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝1－1－1＝－1；当x是第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，tan x＞0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝－1－1＋1＝－1；当x是第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，tan x＜0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝－1＋1－1＝－1；综上可得，函数y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域是{－1,3}.考点3诱导公式一16.点A（sin2011°，cos2011°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵sin2011°＝sin（5×360°＋211°）＝sin211°＜0，cos2011°＝cos （5×360°＋211°）＝cos211°＜0， ∴横坐标和纵坐标都是负数， ∴对应的点位于第三象限.17.如果角α的终边经过点P （sin780°，cos （－330°）），则sin α等于（） A ．√32B ．12 C ．√22D ．1 【答案】C【解析】sin780°＝sin （2×360°＋60°）＝sin60°＝√32，cos （－330°）＝cos （－360°＋30°）＝cos30°＝√32，所以点P （√32，√32），所以r ＝|OP |＝√62.由三角函数的定义，得sin α＝yr ＝√32√62＝√22.18.sin1830°等于（） A ．12 B ．－12 C ．√32D ．－√32【答案】A【解析】sin1830°＝sin （30°＋5×360°）＝sin30°＝12. 19.求下列各式的值. （1）cos25π3＋tan （；（2）sin （－1320°）cos1110°＋cos （－1020°）sin750°＋tan495°. 【答案】（1）原式＝cos （＋tan （＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.（2）原式＝sin （－4×360°＋120°）cos （3×360°＋30°）＋cos （－3×360°＋60°）sin （2×360°＋30°）＋tan （360°＋135°）＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝√32×√32＋12×12－1＝0.考点4 单位圆与三角函数线 20.下列说法不正确的是（）A ．当角α的终边在x 轴上时，角α的正切线是一个点B ．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在C ．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D ．余弦线和正切线的始点都是原点【答案】D【解析】余弦线始点是原点，正切线的始点是点（1,0）.21.不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是（） A ．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在【答案】D【解析】由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确.22.函数值tan224°，sin136°，cos310°的大小关系是（）A．cos310°＜sin136°＜tan224°B．sin136°＜cos310°＜tan224°C．cos310°＜tan224°＜sin136°D．tan224°＜sin136°＜cos310°【答案】A【解析】tan224°＝tan44°，sin136°＝sin44°，cos310°＝cos50°＝sin40°，如图∠COF＝44°，CF是44°的正切线，EG是正弦线，OE是余弦线，DI是40°的正弦线，由图可知CF＞EG＞DI，所以cos310°＜sin136°＜tan224°.23.设a＝sin（－1），b＝cos（－1），c＝tan（－1），则有（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b【答案】C【解析】作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b＝OM＞0，a＝MP＜0，c＝AT ＜0，且MP＞AT.∴b＞a＞c，即c＜a＜b.24.如果MP、OM分别是角3π的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是（）16A．MP＜OM＜0B．MP＜0＜OMC．MP＞OM＞0D．OM＞MP＞0【答案】D【解析】如图可知，OM＞MP＞0.25.如图，MP → 、OM → 、AT→ 分别是240°角的正弦线、余弦线、正切线，则其数量一定有（）A ．MP ＜OM ＜ATB ．OM ＜MP ＜ATC ．AT ＜OM ＜MPD ．OM ＜AT ＜MP【答案】A【解析】∵MP → 、OM → 、AT→ 分别是240°角的正弦线、余弦线、正切线， ∴MP → ＝sin240°，OM → ＝cos240°，AT→ ＝tan240°，其数量关系为：MP ＜OM ＜AT . 26.若0＜α＜2π，则使sin α＜√32和cos α＞12同时成立的α的取值范围是（） A ．（－π3，π3）B ．（0，π3）C ．（5π3，2π）D ．（0，π3）∪（5π3，2π）【答案】D【解析】∵0＜α＜2π，sin α＜√32， ∴0＜α＜π3或2π3＜α＜2π，①∵0＜α＜2π，cos α＞12，∴0＜α＜π3或5π3＜α＜2π，② ①②取交集得0＜α＜π3或5π3＜α＜2π. 27.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合.（1）sin α≥√22；（2）cos α≤12；（3）|cos α|＞|sin α|. 【答案】（1）由下图知：当sin α≥√22时，角α满足的集合为{α|π4+2kπ≤α≤3π4+2kπ,k ∈Z}.（2）由下图知：当cos α≤时，角α满足的集合为{α|π3+2kπ≤α≤5π3+2kπ,k ∈Z}.（3）如下图，作出单位圆.所以角α满足的集合为{α|kπ−π4<α<kπ+π4，k ∈Z}28.利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围. （1）sin θ≥√32；（2）－12≤cos θ＜√32.【答案】（1）下图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即{θ|2kπ+π3≤θ≤2kπ+2π3，k ∈Z}.（2）下图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即{θ|2kπ−23π≤θ≤2kπ−π6或2kπ+π6<θ≤2kπ+23π，k ∈Z}.。

（完整版）三角函数与平面向量综合题的六种类型

（完整版）三角函数与平面向量综合题的六种类型第1讲三角函数与平面向量综合题3.17题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值.题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合【例2】已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.题型四三角函数与平面向量数量积的综合【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =．（1）求cos C ；（2）若52CB CA ?=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c ．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】()f x a b =?r r ，其中向量(,cos 2)a m x =r，(1sin 2,1)b x =+r ，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

2018高考数学(文)大一轮复习习题冲刺985压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量Word版含答案

压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2．(1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式－2＜f (x )－m ＜2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，故2≤1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2． (2)因为－2＜f (x )－m ＜2⇔f (x )－2＜m ＜f (x )＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以m ＞f (x )max －2且m ＜f (x )min ＋2．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )max ＝3，f (x )min ＝2，所以1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)．本题求解的关键在于将三角函数f (x )进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f (x )的最值．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )的最小值为3，求a 的值．解：(1)由题意得2πω·π＝2π2，所以ω＝1．又A ＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 17π4＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4．由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)．故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3(cos 2x ＋1)＝3＋3＋3sin 2x ＋3cos 2x ＝3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6．因为h (x )的最小值为3，令3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12．因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2b －c a ＝cos Ccos A ．(1)求A 的大小；(2)当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围． (1)已知在△ABC 中，2b －c a ＝cos Ccos A ，由正弦定理，得2sin B －sin C sin A ＝cos Ccos A，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12，所以A ＝60°． (2)由正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C＝2，则b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝2 ＝2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12cos 2B ＋32sin 2B＝4＋2sin(2B －30°)．因为0°＜B ＜120°，所以－30°＜2B －30°＜210°，所以－12＜sin(2B －30°)≤1，所以3＜b 2＋c 2≤6．即b 2＋c 2的取值范围是(3,6]．三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6． (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6 ＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6． ∴函数f (x )的最大值为2．要使f (x )取最大值，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z ．故f (x )取最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z． (2)由题意知，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12．∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3．在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ．由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，当且仅当b ＝c ＝1时等号成立．即a 2≥1．∴当b ＝c ＝1时，实数a 的最小值为1．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A ．2－1B ．1C ． 2D ．2法一：(目标不等式法)因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0，所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2，故|a ＋b |＝2．展开(a －c )·(b －c )≤0，得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0，即0－(a ＋b )·c ＋1≤0，整理，得(a ＋b )·c ≥1．而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ，所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1．所以|a ＋b －c |2≤1，即|a ＋b －c |≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1．法二：(基向量法)取向量a ，b 作为平面向量的一组基底，设c ＝ma ＋nb ．由|c |＝1，即|ma ＋nb |＝1，可得(ma )2＋(nb )2＋2mna ·b ＝1，由题意，知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0．整理，得m 2＋n 2＝1．而a －c ＝(1－m )a －nb ，b －c ＝－ma ＋(1－n )b ，故由(a －c )·(b －c )≤0，得·≤0，展开，得m (m －1)a 2＋n (n －1)b 2≤0，即m 2－m ＋n 2－n ≤0，又m 2＋n 2＝1，故m ＋n ≥1．而a ＋b －c ＝(1－m )a ＋(1－n )b ，故|a ＋b －c |2＝2＝(1－m )2a 2＋2(1－m )(1－n )a ·b ＋(1－n )2b 2＝(1－m )2＋(1－n )2＝m 2＋n 2－2(m ＋n )＋2 ＝3－2(m ＋n )．又m ＋n ≥1，所以3－2(m ＋n )≤1．故|a ＋b －c |2≤1，即|a ＋b －c |≤1．故|a ＋b －c |的最大值为1．法三：(坐标法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则A (1,0)，B (0,1)．设C (x ，y )，则c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1．则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )，故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－x )×(－x )＋(－y )×(1－y )≤0，整理，得1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1．而a ＋b －c ＝(1－x,1－y )，则|a ＋b －c |＝－x2＋－y2＝3－x ＋y ．因为x ＋y ≥1，所以3－2(x ＋y )≤1，即|a ＋b －c |≤1．所以|a ＋b －c |的最大值为1．法四：(三角函数法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，A (1,0)，B (0,1)．因为|c |＝1，设∠COA ＝θ，所以C 点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a －c ＝(1－cos θ，－sin θ)，b －c ＝(－cos θ，1－sin θ)，故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0，整理，得sin θ＋cos θ≥1．而a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)，则|a ＋b －c |＝－cos θ2＋－sin θ2＝3－θ＋cos θ．因为sin θ＋cos θ≥1，所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1，即|a ＋b －c |≤1，所以|a ＋b －c |的最大值为1．法五：(数形结合法)设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，因为|a |＝|b |＝|c |＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上．易知CA ―→＝a －c ，CB ―→＝b －c ，|c |＝|OC ―→|．由(a －c )·(b －c )≤0，可得CA ―→·CB ―→≤0，则π2≤∠BCA ＜π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上．由a ·b ＝0，得OA ⊥OB ，设OD ―→＝a ＋b ，如图(2)所示，因为a ＋b －c ＝OD ―→－OC ―→＝CD ―→，所以|a ＋b －c |＝|CD ―→|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离，显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1，即|a ＋b －c |的最大值为1． B平面向量具有双重性，处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： (1)利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决； (2)利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．1．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，AC ―→·BE ―→＝113，则∠BAD 的大小为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π4解析：选D 依题意，AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AB ―→＋34BD ―→＝AB ―→＋34(AD ―→－AB ―→)＝14AB ―→＋34AD ―→，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13AD ―→－AB ―→，所以AC ―→·BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB ―→＋34AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD ―→－AB ―→＝－14|AB ―→|2＋14|AD ―→|2－23AD ―→·AB ―→＝－14×22＋14×(22)2－23AD ―→·AB ―→＝113，所以AD ―→·AB ―→＝－4，所以cos ∠BAD ＝AD ―→·AB ―→| AD ―→|·|AB ―→|＝－42×22＝－22，因为0＜∠BAD ＜π，所以∠BAD ＝3π4．2．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．解析：法一：(等价转化思想) 因为DF ―→＝19λDC ―→，DC ―→＝12AB ―→，CF ―→＝DF ―→－DC ―→＝19λDC ―→－DC ―→＝1－9λ9λDC ―→＝1－9λ18λAB ―→，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋1－9λ18λAB ―→＝1＋9λ18λAB ―→＋BC ―→．所以AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9λ18λ AB ―→＋BC ―→＝1＋9λ18λAB ―→2＋λBC ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋λ·1＋9λ18λAB ―→·BC ―→＝1＋9λ18λ×4＋λ＋19＋9λ18×2×1×cos 120° ＝29λ＋12λ＋1718≥2 29λ·12λ＋1718＝2918，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．法二：(坐标法)以线段AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋19λDC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，所以AE ―→·AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋32×32λ ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．答案：29181．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么OA ―→·OB ―→的取值范围是( ) A ．解析：选A 依题意，(OA ―→＋OB ―→)2≥13(OB ―→－OA ―→)2，化简得OA ―→·OB ―→≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边，可得|OA ―→|－|OB ―→|＜|AB ―→|＝|OB ―→－OA ―→|，两边平方可得(|OA ―→|－|OB ―→|)2＜(OB ―→－OA ―→)2，化简可得OA ―→·OB ―→＜4，∴－2≤OA ―→·OB ―→＜4．2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→且|OA ―→|＝|AB ―→|，则向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为( )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32解析：选A 由2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，由题意知|OA ―→|＝|AB ―→|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°．所以向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为|BA ―→|·cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12．故选A ．3．(2017·石家庄质检)设α，β∈，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，即sin(α－β)＝1，α，β∈， ∴α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin (α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为．故选C ．4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a ，b 为单位向量，若向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选D ∵向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |， ∴|c －(a ＋b )|＝|a －b |≥|c |－|a ＋b |， ∴|c |≤|a ＋b |＋|a －b |≤a ＋b |2＋|a －b |2＝a 2＋2b 2＝22．当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时，(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝22． ∴|c |≤22．∴|c |的最大值为22． 5．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：选D f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4．因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以T2＞2π－π，即πω＞π，所以0＜ω＜1．当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4＜k π＜2ωπ－π4(k ∈Z)，即k 2＋18＜ω＜k ＋14(k ∈Z)．当k ＝0时，18＜ω＜14；当k ＝1时，58＜ω＜54．所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0＜ω≤18或14≤ω≤58．6．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4．若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B ． 7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a 2＋c 2＝ac ＋b 2，b ＝3，且a ≥c ，则2a －c 的最小值是________．解析：由a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，则B ＝60°，又a ≥c ，则A ≥C ＝120°－A ，所以60°≤A ＜120°，asin A ＝c sin C ＝b sin B ＝332＝2，则2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin A －2sin(120°－A )＝23sin(A －30°)，当A ＝60°时，2a －c 取得最小值3．答案： 38．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A－B )取最大值时，角B 的值为______．解析：由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )，整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ，易得tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B1＋3tan 2B ＝21tan B＋3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值，此时B ＝π6．答案：π69．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b |a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪aa ＋b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋b |a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b |a ＋b |＋b a ＋b |a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋ba ＋b |a ＋b |＝|a ＋b |．∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6． ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12．答案：1210．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R)． (1)若α∈且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3．由f (α)＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z ．于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z ．又α∈，故α＝5π12．(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z ．由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z ．由θ＞0可得，当k ＝1时，θ取得最小值π6． 11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sinB sinC ．(1)求角A ；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理及sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，知a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．又0＜A ＜π2，所以A ＝π3． (2)由(1)知A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以B ＝2π3－C ．因为a ＝23，所以23sinπ3＝b sin B ＝c sin C ，所以b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以b ＋c ＝4sin B ＋4sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋4sin C＝23(cos C ＋3sin C )＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6．因为△ABC 是锐角三角形，所以0＜B ＝2π3－C ＜π2，所以π6＜C ＜π2，所以π3＜C ＋π6＜2π3，所以32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤1，所以6＜43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤43．故b ＋c 的取值范围为(6,43]．12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b ． (1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值；(2)若b ＝5，AC ―→·CB ―→＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B ·AC ―→＝m AO ―→，求m 的值．解：(1)由2a cos B ＝2c －b ，得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ，即2sin A cos B ＝2sin(A ＋B )－sin B ，整理得2cos A sin B ＝sin B ．∵sin B ≠0，故cos A ＝12，则A ＝60°．由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314，知cos B ＝5314，所以sin B ＝1114．所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314．(2)AC ―→·CB ―→＝AC ―→·(AB ―→－AC ―→) ＝AC ―→·AB ―→－AC ―→2＝|AC ―→|·|AB ―→|·cos A －|AC ―→|2 ＝12bc －b 2＝－5，又b ＝5，解得c ＝8，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×5×8×32＝103． (3)由cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B·AC ―→＝m AO ―→，可得cos B sin C ·AB ―→·AO ―→＋cos C sin B ·AC ―→·AO ―→＝m AO ―→2，(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，所以AB ―→·AO ―→＝12AB ―→2，AC ―→·AO ―→＝12AC ―→2，又|AO ―→|＝a2sin A，所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a 2sin 2A ，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C ) ＝2sin A ＝3．。

三角函数与平面向量结合问题-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题04三角函数与平面向量结合问题类型对应典例三角函数的定义与平面向量的运算相结合典例1三角恒等变换与平面向量运算相结合典例2三角函数的图象与平面向量相结合典例3三角函数的性质与平面向量、不等式相结合典例4三角函数图象的性质与平面向量运算相结合典例5平面向量的数量积运算与三角函数相结合典例6三角函数的性质与平面向量的数量积相结合典例7【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 和单位圆上的两点()10B ,，34,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 是劣弧 BC上一点，BOC α∠=，BOP β∠=．（1）若OC OP ⊥，求()()sin sin παβ-+-的值；（2）设()f t OA tOP =+ ，当()f t 的最小值为1时，求OP OC ⋅的值．【思路引导】（1）根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，利用2πβα=-可求得sin cos βα=-，结合诱导公式可化简求出结果；（2）利用向量坐标表示可得到()2cos ,sin OA tOP t t ββ+=+ ，可求得224cos 4OA tOP t t β+=++ ，根据二次函数性质可求得22min44cos OA tOP β+=- ，从而利用()f t 的最小值构造方程可求得2cos β，根据角的范围可求得sin β和cos β，进而根据数量积的坐标运算可求得结果.【典例2】在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()12c =-．（1）若a b c +=，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//a b c + ，求β的值．【思路引导】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．【典例3】已知向量a m x (,cos 2)= ，b x n (sin 2,)= ，设函数()f x a b =⋅ ，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.【思路引导】（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点(12π和点2(,2)3π-代入就可得到关于,m n 的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到()y g x =的解析式，利用最高点到点(0,3)的距离的最小值为1求得ϕ角，得()2cos 2g x x =，求减区间需令[]22,2x k k πππ∈+解x 的范围【典例4】已知函数()()f x a b c=+，其中向量()sin ,cos a x x =-，()sin ,3cos b x x =-，()cos ,sin c x x =-，x ∈R .（Ⅰ）若()52f α=，588ππα-<<-，求cos 2α的值；（Ⅱ）不等式()2f x m -<在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)利用向量数量积公式得到()f x 后,再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式,根据已知条件及同角公式解得3cos 244πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再将所求变成33cos 2cos 244ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦后,利用两角差的余弦公式求得;(Ⅱ)将不等式恒成立转化为最大最小值可解得.【典例5】已知向量()a cos x cos x ωω=-，，()b sin x xωω=（ω＞0），且函数()f x a b=⋅的两个相邻对称中心之间的距离是4π．（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）若函数()()1g x m x =+-在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两个零点，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）首先利用平面向量的数量积的应用求出函数的关系式，进一步把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的零点和方程之间的转换的应用，利用函数的定义域和值域之间的关系求出m 的范围．【典例6】已知实数0θπ≤≤，()cos ,sin a θθ= ，()0,1j = ，若向量b满足()0a b j +⋅= ，且0a b ⋅= .（1）若2a b -= ，求b；（2）若()()f x b x a b =+- 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求实数θ的取值范围.【思路引导】（1）设出b 的坐标，结合0a b ⋅= 、2a b -= 、()0a b j +⋅= ，解方程，先求得θ的值，再求得b的坐标.（2）利用向量模的运算、数量积的运算化简()f x 表达式，结合二次函数的性质列不等式，解不等式求得b的取值范围.设出b的坐标，结合()0a b j +⋅= 、0a b ⋅= ，解方程，用θ表示出2b ，根据b 的取值范围列不等式，解不等式求得cos θ的取值范围，进而求得θ的取值范围.【典例7】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin e αα=，设,(0)OA e λλ=>，向量ππcos ,sin 22OB ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．（1）若π6βα=-，求向量OA 与OB 的夹角；（2）若2AB OB ≥对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围．【思路引导】(1)由题意结合平面向量的坐标表示，结合平面向量的数量积运算法则可得1cos sin 62πθ==.则向量OA 与OB的夹角为3π.(2)原问题等价于2230OA OB λ-⋅-≥任意实数,αβ都成立.分离参数可得()23sin 2λαβλ-≥-任意实数,αβ都成立.结合三角函数的性质求解关于实数λ的不等式可得3λ≥.1.已知向量)1,2sin a x xωω=+，)()0b x x ωωω=->r .（1）当2x k πωπ≠+，k Z ∈时，若向量()1,0c =r ，)d =u r ，且()()//a c b d -+r r r u r，求224sin cos x x ωω-的值；（2）若函数()f x a b =⋅ 的图象的相邻两对称轴之间的距离为4π，当,86x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．2.已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2Am x n x x A ==>，函数()f x m n =⋅ 的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.3.已知点()2,0A ，()0,2B -，()2,0F -，设AOC α∠=，[)0,2απ∈，其中O 为坐标原点.（1）设点C 在x 轴上方，到线段AF 3AFC π∠=，求α和线段AC 的大小；（2）设点D 为线段OA 的中点，若2OC =uuu r，且点C 在第二象限内,求)cos y OB BC OA α=⋅+⋅ 的取值范围.4.已知向量())2=+ a x ωϕ，22,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ b ，其中0>ω，02πϕ<<，函数()f x a b =⋅ 的图像过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）计算()()()122019f f f ++⋅⋅⋅+的值．5.已知向量)()2,1,cos ,cos 1m x n x x ωωω==+，设函数()f x m n b =⋅+ .（1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，[]0,3ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.6.已知(sin ,cos ),(sin ,sin )a x x b x x ==，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的对称轴方程；（2）若对任意实数[,]63x ππ∈，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．7.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC = ，且AOC=x ∠，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量m BC = ，(1cos ,sin 2cos )n x x x =-- ，求m n ⋅ 的最小值及对应的x 值．8.已知向量(p = ，()cos ,sin q x x =.（1）若//p q u r r，求2sin 2cos x x -的值；（2）设函数()f x p q =⋅ ，将函数()f x 的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再把所得的图象向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.9.已知向量(3sin ,cos )x x =m ，(cos )x x =-n ，3()2f x =⋅-m n .（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值；（2）若方程()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.10.已知O 为坐标原点，()22cos ,1OA x =，()OB x a=+()R,R x a a ∈∈且为常数，若()•f x OA OB =.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值.参考答案【典例1】解：（1）由34,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭可知：4sin 5α=，3cos 5α=-OC OP⊥ 2πβα∴=-3sin sin cos 25πβαα⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭()()431sin sin sin sin 555παβαβ∴-+-=-=-=（2）由题意得：()cos ,sin P ββ()2,0OA ∴= ，()cos ,sin OP ββ=()2cos ,sin OA tOP t t ββ∴+=+()()22222cos sin 4cos 4OA tOP t t t t βββ∴+=++=++ 当2cos t β=-时，22min44cos OA tOP β+=- ()min 1f t ∴==，解得：23cos 4β=1sin 2β∴==0βα<< 6πβ∴=3cos 2β∴=31,22P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭3414525210OP OC -⎛⎫∴⋅=-⨯+⨯=⎪⎝⎭【典例2】解：（1）因为()cos sin a αα= ，，()sin cos b ββ=- ，，()12c =-，所以1a b c ===，且()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ⋅=-+=-.因为a b c += ，所以22a b c +=，即2221a a b b +⋅+= ，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．（2）因为5π6α=，所以3122a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，．依题意，1sin cos 22b c ββ⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，．因为()//a b c +，所以)()11cos sin 022ββ-+--=．化简得，11sin 22ββ-=，所以()π1sin 32β-=．因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．【典例3】试题解析：（1）由题意知．()y f x =的过图象过点(12π和2(,2)3π-，所以sincos ,66442sin cos ,33m n m n ππππ=+-=+即13,2212,22m n m n =+-=--解得{1.m n ==（2）由（1）知．由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++．设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，1=，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．将其代入()y g x =得sin(216πϕ+=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin(22cos 22g x x x π=+=．由222,k x k k πππ-+≤≤∈Z 得,2k x k k πππ-+≤≤∈Z ，所以函数()y f x =的单调递增区间为[,],2k k k Zπππ-+∈【典例4】解：()()f x a b c=+()()sin ,cos sin cos ,sin 3cos x x x x x x =--- 222sin 2sin cos 3cos 1sin 22cos x x x x x x=-+=-+32cos 2sin 2224x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭（Ⅰ）若()52f α=，则352242πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3sin(244πα+=，由588ππα-<<-∴544ππα-<2<-，即3242πππα-<2+<，则3cos 244πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则333333cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦142424⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵不等式()2f x m -<在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴()22f x m -<-<，即()()22f x m f x -<<+在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，当,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，372,44x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则当324x ππ+=，即8x π=时,()f x 取得最大值，最大值为()max 2f x =，当33242x ππ+=，即38x π=时,()f x 取得最小值，最小值为()min 322f x π=+2=,则2222m m >-⎧⎪⎨<-+⎪⎩,得04m <<，即实数m的取值范围是(0,4-.【典例5】解：（1）向量()a cos x cos x ωω=-，，()b sin x x ωω= ，所以()f x a b =⋅= sinωx •cosωx cos 2ωx ()121222232sin x cos x sin x πωωω⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭．函数的两个相邻对称中心之间的距离是4π．所以函数的最小正周期为2π，由于ω＞0，所以242πωπ==，所以f （x ）＝sin （4x 3π-）．则f （6π）4632sin ππ⎛⎫=⋅--= ⎪⎝⎭sin 332π-=0．（2）由于f （x ）＝sin （4x 3π-）．则()()1g x m x =+-在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两个零点，即31432m x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭0，即m 1432x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以24333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，在24333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数的图象与y ＝m 有两个交点，最高点除外．当433x ππ-=时，m 31222=+=，当432x ππ-=时，m 12=，所以当m 122⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，函数的图象在在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两个零点．【典例6】解：（1）设()00,b x y = ，则()00cos ,sin b x a y θθ=+++ ，∵0a b ⋅=，由2a b -= 得()24a b-= ，得2224a a b b -⋅+= ，得2104b -+= ，得b =，∵()0a b j +⋅=，∴0sin 0y θ+=，∴0sin y θ=-，∵0a b ⋅= ，∴00cos sin 0x y θθ+=，∴20sin cos x θθ=，∴()22222002sin 3sin cos x y b θθθ⎛⎫=+=⇒+- ⎪⎝⎭3tan θ=⇒=，∵[]0,θπ∈，∴3πθ=，或23πθ=，∴当3πθ=时，032x =，032y =-，当23πθ=时，032x =-，032y =-，所以3,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或3,22b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.（2）()()()1f x b x a b xa x b =+-=+-==∵()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以对称轴()2221221b b--≤+ ，即1b ≤ ，设()00,b x y = ，则()00cos ,sin b x a y θθ=+++，又∵()0a b j +⋅= ，且0a b ⋅= ，∴0sin y θ=-，20sin cos x θθ=.∴22222020sin sin 1cos x b y θθθ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭，即22sin cos θθ≤，21cos 2θ≥，∴,11,22cos θ⎤⎡∈--⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ，∴30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .【典例7】解析：（1）由题意，()cos ,sin (0)OA λαλαλ=> ，()sin ,cos OB ββ=-，所以OA λ= ，1OB =，设向量OA 与OB的夹角为θ,所以()()cos sin sin cos cos sin 1OA OB OA OBλαβλαβθαβλ-+⋅===-⋅⋅.因为6πβα=-，即6παβ-=，所以1cos sin 62πθ==.又因为[]0,θπ∈，所以3πθ=,即向量OA 与OB 的夹角为3π.（2）因为2AB OB ≥ 对任意实数,αβ都成立，而1OB =,所以24AB ≥，即()24OB OA-≥任意实数,αβ都成立..因为OA λ= ，所以2230OA OBλ-⋅-≥任意实数,αβ都成立.所以()22sin 30λλαβ---≥任意实数,αβ都成立.因为0λ>，所以()23sin 2λαβλ-≥-任意实数,αβ都成立.所以2312λλ-≥，即2230λλ--≥，又因为0λ>，所以3λ≥1.【思路引导】（1）先将a c -r r 和b d +r u r用坐标形式表示出来，然后根据向量平行对应的坐标表示得到tan x ω的值，然后利用22sin cos 1x x ωω+=将224sin cos x x ωω-进行变形即可求值；（2）计算并化简()f x ，根据相邻两对称轴之间的距离为4π求解出ω的值，然后根据x 范围即可求解出()f x 的最大值和最小值.解：（1）因为),2sin a c x x ωω-=r r，),cos b d x x ωω+=r u r，又因为()()//a c b d -+r r r u r，2cos x x x ωωω=，又因为()2x k k Z πωπ≠+∈，所以3tan 6x ω=，所以22222222114sin cos 4tan 1834sin cos 1sin cos tan 113112x x x x x x x x ωωωωωωωω----====-+++；（2）()))112sin cos f x a b ωx ωx ωx ωx=⋅=+-+)22cos 1sin 2sin 222sin 23x x x x x πωωωωω⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭，因为相邻两对称轴之间的距离为4π，所以242T ππ=⨯=，所以224Tπω==，所以2ω=，所以()2sin 43πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为,86x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,36ππx π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()max 2sin 22f x π==，此时24x π=，()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时8x π=-.2.【解析】（Ⅰ）()(sin ,1)cos ,cos 2)sin 2.26A f x m n x x x A x π⎛⎫=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭因为()f x m n =⋅的最大值为6，所以 6.A =（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，得到()6sin 26sin 2.1263t x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()6sin 4.3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为5[0,24x π∈所以74,336x πππ≤+≤()6sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为76sin 3,6π⨯=-最大值为6sin 6,2π⨯=所以()g x 在5[0,]24π上的值域为[]3,6.-3.【思路引导】（1）过点C 作AF 的垂线，垂足为点E ，可得出CE =2CF =，可得出OCF ∆为等边三角形，可求出α的值，然后在ACF ∆中利用余弦定理求出AC ；（2）由题中条件求出DC 、OB 、OA的坐标，化简)cos y OB BC OA α=⋅+⋅ 的解析式为4cos 223y πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据α的取值范围，结合余弦函数的定义域与基本性质可求出y 的取值范围.解：（1）过C 作AF 的垂线，垂足为E ，则CE =在直角三角形FCE 中，2sin CEFC CFE==∠，又2OF =，3OFC π∠=，所以OFC ∆为正三角形.所以3FOC π∠=，从而23FOC παπ=-∠=.在AFC ∆中，AC ===；（2）()2,0A ，点D 为线段OA 的中点，()1,0D ∴，2OC = 且点C 在第二象限内，()2cos ,2sin C αα∴，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而()2cos 1,2sin DC αα=- ，()2cos ,2sin 2BC αα=+ ，()2,0OA = ，()0,2OB =-，则)2cos cos 4cos y OB BC OA αααα=⋅+⋅=-+()221cos 24cos 223πααα⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以472,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，从而1cos 2123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，04cos 2263πα⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，因此，)cos y OB BC OA α=⋅+⋅的取值范围为(]0,6.4.【思路引导】（1）先求出()1cos 2()f x x ωϕ=-+，则()1,2B 为函数()f x 的图象的一个最高点，又点B 与其相邻的最高点的距离为4，所以242πω=，可得4πω=，再将点()1,2B 代入求出4πϕ=即可求出()1sin 2f x x π=+，最后令322222k x k πππππ+≤≤+解之即可求出函数()f x 的单调递减区间；（2）根据函数()f x 的最小正周期4，则()()()()()()()()()()1220195041234123f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++++++⎡⎤⎣⎦求出()1f 、()2f 、()3f 、()4f 的值代入计算即可.解：（1）因为())2=+a x ωϕ，22,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭b ())1cos2()22∴=⋅=-+=-+ f x a b x x ωϕωϕ()max 2∴=f x ，则点()1,2B 为函数()f x 的图象的一个最高点．点B 与其相邻的最高点的距离为4，242∴=πω，得4πω=．函数()f x 的图象过点()1,2B ，1cos 222⎛⎫∴-+=⎪⎝⎭πϕ即sin 21=ϕ.02πϕ<<，4πϕ∴=．()1cos 21sin 442⎛⎫∴=-+=+ ⎪⎝⎭f x x x πππ，由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈．()f x ∴的单调递减区间是[]41,43++k k ，k Z ∈．（2）由（1）知，()1sin2=+f x x π，()f x ∴是周期为4的周期函数，且()12f =，()21f =，()30f =，()41f =()()()()12344∴+++=f f f f 而201945043=⨯+，()()()12201945042102019∴++⋅⋅⋅+=⨯+++=f f f 5.思路引导：（1）根据平面向量数量积运算求解出函数()•f x m n b =+，利用函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[]0,3ω∈可得1ω=，结合三角函数的性质可得其单调区间；（2）当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求出函数()f x 的单调性，函数()f x 有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b 的取值范围.试题解析：解：向量),1m x ω=，()cos ,cos21n x x ωω=+，()2•cos cos 1f x m n b x x x bωωω=+=+++133sin2cos2sin 222262x x b x b πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭（1）∵函数()f x 图象关于直线6x π=对称，∴()2•662k k Z πππωπ+=+∈，解得：()31k k Z ω=+∈，∵[]0,3ω∈，∴1ω=，∴()3sin 262f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由（1）知()3sin 262f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∵70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．又()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，∴当70312f f ππ⎛⎫⎛⎫>≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭时函数()f x 有且只有一个零点．即435sinsin326b ππ≤--<或3102b ++=，所以满足条件的3352,22b ⎛⎤-⎧⎫∈-⋃- ⎨⎬⎥ ⎩⎭⎝⎦．6.【详解】（I ）()21cos21sin sin cosx sin222x f x a b x x x -=⋅=+⋅=+ 21sin 2242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令242x k k Z πππ-=+∈，，解得328k x k Z ππ=+∈．∴f x （）的对称轴方程为328k x k Z ππ=+∈，．（II ）由1f x （）≥得1sin 21242x π⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即sin 242x π⎛⎫-≥⎪⎝⎭，∴3222444k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，．故x 的取值集合为42xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，．（Ⅲ）∵63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴5212412x πππ≤-≤，又∵sin y x =在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，∴5sinsin 212412x sin πππ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，又5sinsin 12644πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值是()2621332424max f x ++=⨯+=，∵2f x m -（）＜恒成立，∴2max m f x -＞（），即354m ->，∴实数m 的取值范围是35,4⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．7.【思路引导】（1）设D （t ，0）（0≤t ≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）由题意得⋅=m n1sin （2x 4π+），再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．解：（I ）设(,0)(01)D t t ≤≤，又22,22C ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭所以22OC OD t ⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭所以22211||122OC OD t t +=-++=-+21(01)22t t ⎛=-+≤≤ ⎪⎝⎭所以当2t =时，||OC OD +uuu r uuu r最小值为2．（II ）由题意得(cos ,sin )C x x ，(cos 1,sin )m BC x x ==+则221cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x⋅=-+-=--124x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52444x πππ≤+≤所以当242x ππ+=时，即8x π=时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1所以8x π=时，124m n x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=8.解：（1）(p = ，()cos ,sin q x x = ，且//p q u r r，sin x x ∴=，则tan x =222222sin cos cos 2tan 1231sin 2cos sin cos tan 14x x x x x x x x x ---∴-===++；（2）()cos 2sin 6f x p q x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ，由题意可得()52sin 22sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()5222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得()236k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈.∴函数()y g x =的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦.9.【思路引导】（1）先通过数量积求出5()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数即可求出最大值．（2）方程()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根表示()f x a =与y 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，画出()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图像易得a 的取值范围．【详解】（1）2333()3sin cos sin 2222f x x x x x =⋅-=--=-+m n 35(1cos 2)sin 2cos 2222226x x x x π⎛⎫+-=-+=+ ⎪⎝⎭.当52262x k πππ+=+，即6x k ππ=-，k ∈Z 时，函数f （x ）取得最大值.（2）由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.而函数()g x x =在区间53,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间311,26ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增.又113,622g g ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，562g π⎛⎫= ⎪⎝⎭.结合图象（如图），所以方程()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根时，2a ⎛∈- ⎝⎦.故实数a 的取值范围为2⎛- ⎝⎦.10.【思路引导】（1）通过向量的数量积，把OA ，OB的坐标，代入函数解析式，利用向量积的运算求得函数解析式，进而得到函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）通过x ∈[0，2π]，求出相位的范围，然后求出函数的最大值，利用最大值为2，直接求得a ．解：(1)由题意()()22cos ,1,(,,OA x OB x a x R a R a ==-∈∈ 是常数）所以()22cos cos212sin 216f x x x a x x a x a π⎛⎫=++=+++=+++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为22ππ=，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 有最小值a ,所以2a =.。

三角函数解三角形平面向量

三角函数解三角形平面向量一、三角函数三角函数是描述角的函数，它们包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

这些函数常用于解决涉及角度的问题，如测量高度、距离和速度等。

以下是三角函数的定义和性质：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即sinθ = opposite / hypotenuse。

正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1,1]。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent / hypotenuse。

余弦函数的定义域是所有实数，值域也是[-1,1]。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanθ = opposite / adjacent。

正切函数的定义域是所有实数，值域是整个实数集。

除了上述基本的三角函数，还有其他一些相关函数，如余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）等。

这些函数之间存在一些重要的关系，如互余关系、倒数关系和倒数值关系等。

二、解三角形解三角形是指根据给定的已知条件，计算出三角形的各个未知量。

通常，解三角形要求计算三边、三角形的内角和外角等。

以下是解三角形的常用方法：1. 余弦定理：当已知三角形的两边和夹角时，可以利用余弦定理计算第三边的长度。

余弦定理的公式为c² = a² + b² - 2abcosC。

2. 正弦定理：当已知三角形的一边和与之相对的两个夹角时，可以利用正弦定理计算其他两条边的长度。

正弦定理的公式为a / sinA = b / sinB = c / sinC。

3.应用三角函数：当已知三角形的一边和一个角的正弦、余弦或正切值时，可以利用三角函数计算其他未知量。

这需要结合三角函数的定义和性质进行计算。

解三角形是在实际问题中非常常见的应用，例如在航海中计算船只的位置和航向，或在测绘中计算地标的位置和高度等。

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专题33 三角函数与向量问题专题知识梳理平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 考点探究【例1】 (2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【解析】(1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6. (2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.【例2】 (2018·南京模拟)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，t 为实数. (1)若a －b ＝⎝⎛⎭⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值. 【解析】(1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝⎛⎭⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝（cos α＋sin α）－（cos α－sin α）2＝35，所以t ＝sin 2α＝925.(2)因为t ＝1，且a ·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815，所以tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237. 题组训练1.(2018·苏、锡、常、镇调研)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围.【解析】 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. (1)∵m ·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C ). ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12，故1＜f (A )＜32. 故f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 2. (2018·南通、扬州等六市调研)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝⎛⎭⎫－12，32. (1)若|a ＋b |＝|c |，求sin(α－β)的值；(2)设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值.【解析】 (1)因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，所以|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β).因为|a ＋b |＝|c |，所以|a ＋b |2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(2)因为α＝5π6，所以a ＝⎝⎛⎭⎫－32，12.依题意，b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫－sin β－12，cos β＋32.因为a ∥(b ＋c )，所以－32⎝⎛⎭⎫cos β＋32－12⎝⎛⎭⎫－sin β－12＝0. 化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝12.因为0＜β＜π，所以－π3＜β－π3＜2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.3.（2019·扬州中学月考）已知向量(2,1),(sin ,cos()),2A m nBC =-=+u r r 角,,A B C 为ABC ∆的内角，其所对的边分别为,,.a b c（1）当.m n u r r取得最大值时，求角A 的大小；（2）在（1）成立的条件下，当3a =时，求22b c +的取值范围.【解析】（1），令sin,2At =，原式，当，即，时，取得最大值.（2）当时，，.由正弦定理得：（为的外接圆半径）于是.由，得，于是，，所以的范围是.4.（2018·南京三模）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．【解析】（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α．由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75．所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925．（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14．所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815．从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237．5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(sin A 2，cos A 2)，n ＝(cos A 2，－cos A2)，且2m ·n ＋|m |＝22，AB →·AC →＝1. (1)求角A 的大小； (2)求△ABC 的面积S .【解析】 (1)因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝sinA －(cosA ＋1)＝2sin(A －π4)－1，又|m |＝1，所以2m ·n＋|m |＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝22，即sin(A －π4)＝12.因为0＜A ＜π，所以－π4＜A －π4＜3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12. (2)cosA ＝cos 5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝cos π6cos π4－sin π6sin π4＝6－24，因为AB →·AC →＝bccosA ＝1，所以bc ＝6＋2.又sinA ＝sin 5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32. 6.已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)．(1)若m·n ＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．【解】 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12＝sin (x 2＋π6)＋12.(1)∵m ·n ＝1，∴sin (x 2＋π6)＝12，cos (x ＋π3)＝1－2sin 2(x 2＋π6)＝12，∴cos (2π3－x)＝－cos (x ＋π3)＝－12.(2)∵(2a －c)cos B ＝b cos C ，由正弦定理得：(2sin A －sin C)cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin (B ＋C)．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin (B ＋C)＝sin A ，且sin A≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin (A 2＋π6)＜1.又∵f(x)＝m ·n ＝sin (x 2＋π6)＋12，∴f(A)＝sin (A 2＋π6)＋12，故1＜f (A )＜32.故f (A )的取值范围是(1，32)．。

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