数学建模论文(乒乓球)

摘要一、问题重述 1.背景： 2.问题：A 、B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。

根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜ija 局。

由此得矩阵()ij R a =如下：123123214034531R βββααα⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？二、问题分析乒乓球比赛对阵双方谁获胜可以看作是概率问题。

根据题目意思，两队各派3名选手上场，并各有3种出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。

而且根据以往经验给出了打满5局A 队可胜的局数构成的矩阵（如题图）。

我们可以通过这个矩阵求出在双方某种出场顺序下，A 队每一局获胜的概率，并求出对应矩阵。

由于是五局三胜制，获胜情况包括：1.前三局获胜，整场结束。

2.打完四局后才结束，即前三局只赢了两局。

3.打完第五局后才结束，即前四局只赢了两局。

我们进而可以求出整场比赛下来，A 队获胜的概率。

对于问题一，我们可以通过比较对阵双方在各种出场顺序情况下，赢得整场比赛的概率平均值来判断哪一方的实力更强。

对于问题二，我们可以求出每队在选择某一出场顺序下，赢得整场比赛的概率，这其实可以看成是条件概率的问题。

概率平均值大的即为所求的稳妥方案。

例如A 队选择a1出场方案的情况下赢得整场比赛的概率，求出在B 队以各种出场方案情况下，A 队获胜概率的平均值，若此平均值比a2,a3的情况下大，则对A 队来说，a1方案即为稳妥方案。

在这里，还要求出B 队的各种矩阵。

对于问题三，与问题二类似，较为稳妥的方案即为所要的方案。

对于问题四，由于比赛存在没打满五局就结束的情况，因为比赛是采取五局三胜制，如果在五局之前比赛结果就出来了，就没有必要进行下面几局的必要了。

三、模型假设与约定1、假设队员都正常发挥。

2、外界环境变化忽略。

3、对手双方的出场顺序相互独立，互不影响。

四、符号说明R ：在打满5局，A 队可胜局数的矩阵。

Q ：在打满5局，A 队可胜局数的矩阵。

R1:在打满5局，A 队每局可胜的概率矩阵。

R2:在打满5局，A 队最终可胜的概率矩阵。

Q1:在打满5局，B 队每局可胜的概率矩阵。

Q2:在打满5局，B 队最终可胜概率的矩阵。

五、模型建立A 队打满5局A 队可胜ija 局。

的矩阵()ij R a =已知，如下：123123214034531R βββααα⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此可以求出B 队打满5局A 队可胜ij b 局。

由此得矩阵)(ij b Q =如下：411224053Q321321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αααβββ对于A 队，由R 矩阵可以求得矩阵R1，ij P 1=/5a ij :⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2.06.018.06.008.02.04.01R 同理对于B 队：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==8.02.02.04.04.08.0016.01Q 2）（ij P比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。

下面我们来计算在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率： A 队最后获胜，可以分成下列几种情况：令ij ij P 1p =;（1）A 队前三局获胜。

这种情况的概率为3ji p ；（2）在前三局中A 队胜二局，B 队胜一局，第四局A 队又胜一局。

这种情况的概率为)1(3)1(3223j i j i j i j i j i p p p p p C -=- ；（3）在前四局中A 队胜二局，最后A 队又胜一局。

这种情况的概率为232224)1(6)1(j i j i j i j i j i p p p p p C -=- ；把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率=j i q 2333)1(6)1(3j i j i j i j i j i p p p p p -+-+)]21(6)1(31[23j i j i j i j i p p p p +-+-+=)61510(23j i j i j i p p p +-= 。

将⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2.06.018.06.008.02.04.01R 各数值代入上式，可以计算出A 队最后获胜的一个矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==06.068.0194.068.0094.006.032.0)(2R ij r对于B 队，最后获胜，可以分成下列几种情况： 令ij ij P 2p =;（1）B 队前三局获胜。

这种情况的概率为3ji p ；（2）在前三局中B 队胜二局，A 队胜一局，第四局B 队又胜一局。

这种情况的概率为)1(3)1(3223j i j i j i j i j i p p p p p C -=- ；（3）在前四局中B 队胜二局，最后B 队又胜一局。

这种情况的概率为232224)1(6)1(j i j i j i j i j i p p p p p C -=- ；把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率=j i q 2333)1(6)1(3j i j i j i j i j i p p p p p -+-+)]21(6)1(31[23j i j i j i j i p p p p +-+-+=)61510(23j i j i j i p p p +-= 。

将⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8.02.02.04.04.08.0016.01Q 各数值代入上式，可以计算出B 队最后获胜的一个矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==94.006.006.032.032.094.00186.0q 2Q ）（ij问题1：最后平均获胜概率为：A 队 9/p131i 31⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==ij j rB 队9/q 2p 31i 31⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==ij j 取p1,p2中大者所属队即为实力更强的。

问题2：对于A 队，若选用1α出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jr α； 若选用2α出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jr α； 若选用3α出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 33⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jr α；对于B 队，若选用1β出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=j q β； 若选用2β出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=j q β； 若选用3β出场顺序，平均获胜概率为3/q p 31j 33⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=j β； 稳妥方案即为选平均获胜概率最大的那种出场方案。

即A 队选用1p α，2p α，3p α中较大的那种出场顺序。

B 队选用1p β，2p β，3p β中较大的那种出场顺序。

问题3：此问题类似问题2，选用较为稳妥的方案即是。

问题4：此问题将在模型优缺点分析中讲述。

六、模型求解 问题1：依题目所给的数据，52.09/p131i 31=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==ij j r ,48.09/q 2p 31i 31=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==ij j 。

队的实力更强些。

A ∴>2p 1p问题2：依题目所给的数据，44.03/p 31j 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=j r α 54.03/p 31j 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=j r α 58.03/p 31j 33=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=j r α 所以A 队最稳妥的方案是3α出场顺序。

56.03/p 31j 11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jq β53.03/p 31j 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jq β 35.03/q p 31j 33=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jβ 所以B 队最稳妥的出场顺序是1β出场顺序所以当A 队以3α，B 队以1β出场顺序，时，找到对应的R2，或者Q2矩阵，得知，最终将是A 队获胜。

问题3：由问题2，知在稳妥的方案下，A 队获胜的概率为1，所以会选用以3α 的出场顺序参赛。

问题4：此问题将在模型优缺点分析中讲述。

七、模型优缺点分析比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。

优点：虽是在打满五局的情况下得到的，但是可以推测两队的实力情况，进而指导出场方案缺点：这只是在打满五局的情况下得到的，并不符合实际参赛规格，因此以上处理也仅供参考，但并不能完全凭借。

八、进一步讨论针对其他赛事，如网球，排球，以及下等，我们也可以采取上述类似的方案，建立相应的模型，从而找到最优解。

九、附录。