最优化方法练习题答案
最优化问题
最优化问题最优化问题(一)例1：一只平底锅上只能剪两只饼。
用它剪1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。
问剪3只饼需要几分钟？怎样剪？例2：6个人各拿一只水桶到水龙头接水。
水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总的等候最短？这个最短时间是多少？例3：小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班后就能吃上晚饭。
她准备做大米饭和炒鸡蛋。
小红家有两个炉灶。
估计一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。
你认为最合理的安排要几分钟能做好饭菜？例4：在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。
1号仓库里有10吨货物，2号仓库里有20吨货物，5号仓库里有40吨货物，其余两个仓库都是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么至少要花费多少元运费才行？例5：沿铁路有5个工厂，A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运。
现在想建一座车站，使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。
车站应建在何处？如果在E的右侧增加一个工厂，车站建在何处总行程最小呢？例6：在公路干线的附近，有5个工厂A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要存库。
现在想在公路干线上建一座库房，使这5个工厂的货物运到库房的行程总和越小越好，库房应建在何处？例7：工地上有手推车20辆,其中10辆从A1到B1运垃圾,要60车次运完。
另外10辆从A2到B2运砖头，要40车次运完。
工地上的可行道路及路程如图（单位：米）所示。
有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。
那么，怎样安排才算合理呢？【练习题】1、有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。
不许倒水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？2、有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护2人，而1辆救护车只可以坐4个人。
北航最优化方法最新最全答案2015版详解
部分习题参考解答
刘红英 编
北京航空航天大学数学与系统科学学院 2015 年 5 月
内容简介
本书是《数学规划基础》(刘红英，夏勇，周水生，北京航空航天大学出版社，2012.10)的 配套教学辅导材料，较详细地给出了该教材各章后部分习题的参考解答.
前言
本习题解答自 2008 年春季开始编写，当时由硕士研究生阎凤玉提供部分习题解答， 经讨论和确认后，由作者首次录入排版. 后来陆续参加习题解答修订的硕士研究生包括王 浩、欧林鑫、朱丽媛、易彩霞和杨茜，其中的数值结果由欧林鑫提供. 作者在此向他们的 辛勤劳动表示衷心的感谢.
本解答得到了？项目的资助，在此表示感谢. 由于这些参考解答尚未经过特别严格的校对，仅供参考. 任何意见、建议或其它反馈 都可以发送至liuhongying@，在此深表感谢.
刘红英 2015.5 于北京
目录
第一章 引言
1
第二章 线性规划: 基本理论与方法
3
第三章 线性规划：应用及扩展
maximize 200x + 60y + 206z
subject to 3x + y + 5z ≤ 8000000
5x + y + 3z ≤ 5000000
x, y, z ≥ 0, 且 x, y, z 是整数.
忽略掉整性要求后，调用 Matlab 中的 linprog.m 函数求解，得最优解 x = 0, y = 500000, z = 1500000，自动满足整性要求.
(x)(∇ri
(x))T
2A(x)T A(x).
1.6 考虑向量值函数 f (x) : Rn → Rm ，设 f 的每个分量函数 fi(x) 在 x′ 都可微. 写出 f 在 x′ 的Taylor展式，请用 A(x)T 表示 ∇f (x)T (= [∇f1(x), · · · , ∇fm(x)]).
最优化练习题一
最优化练习题1．设A 为m n ⨯阶矩阵，nb R ∈，试证集合{|,,0}n S x x R Ax b x =∈=≥为凸集。
2．试证平面上椭圆22221x y a b+=所包围的区域为凸集。
3．判断下列函数为凸函数或凹函数或严格凸函数或严格凹函数：（1）221212(,)23f x x x x =+；（2）2221231231231(,,)22712f x x x x x x x x x x =+++--+4．设()f x 为定义在凸集D 上的凸函数，试证()f x 的任何局部极小点同时也必为全局极小点。
5．设n 阶矩阵0T Q Q =>，非零向量12,,,()n n p p p R m n ∈≤为Q 共轭的，证明：（1）12,,,n p p p 线性无关；（2）若n 维向量x 和12,,,n p p p 为Q 共轭的，则x=0。
6．设()TTf x x Ax b x =-，2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，(3,3)T b =，取1(0,0)Tx =，1(1,0)T p =，2(1,2)T p =-，试证由共轭方向法产生的3x 为()f x 的最优解。
7．设1()2TT f x x Qx b x c =++，0T Q Q =>，试证由精确线搜索的共轭梯度法中，有 T k k k T k kg dd Qd λ=-8．取初始点0(0,0)T x =，并且设定净度误差0.01ε=，试利用最速下降法求解下面的优化问题：222112212min 243x Rx x x x x x ∈-++-9．考虑极小化问题1min ()2nTT x Rf x x Ax b x ∈=+，其中0T A A =>，n b R ∈。
记函数()()g x f x Ax b =∇=+。
设从k x 点出发，利用精确搜索的最速下降法求出改进点1k x +，证明：（1）最速下降法的迭代公式形如1T k k k k k T k k g gx x g g Ag +=-，其中()k k g g x =；（2）一步迭代中引起目标函数的下降量为21()()()2T k k k k Tk kg g f x f x g Ag +-=。
2022年小升初数学总复习第17讲：最优化问题(附答案解析)
2022年小升初数学总复习第17讲：最优化问题一．选择题（共48小题）1．一年级53人乘车去动物园，下列（）种租车方法比较合适。
A．2辆大车B．2辆小车C．1辆大车和1辆小车2．用载重3吨和4吨的货车一次运走13吨水泥，下面哪种方案最合适。
（）A．5辆载重3吨车B．2辆载重4吨车和2辆载重3吨车C．4辆载重4吨车D．3辆载重3吨车和1辆载重4吨车3．一位老师带46名学生去公园划船，大船限乘5人，每条船租金50元，小船限乘3人，每条船租金33元，租（）最省钱。
A．10条大船B．16条小船C．8条大船和3条小船D．9条大船和1条小船4．甲、乙、丙三个商店同时销售一种原价为每袋6元的洗衣粉。
甲商店打八五折；乙商店“每满50元减10元”；丙商店“买4送1”。
学校要买10袋这种洗衣粉，想花钱最少，应该到（）商店去买。
A．甲B．乙C．丙D．都一样5．甲、乙、丙三个超市都在搞促销活动。
同一品牌原价20元一袋的粽子，甲超市每袋降价15%，乙超市“买三送一”，丙超市每袋八折出售。
妈妈要买4袋粽子，从（）超市购买更省钱。
A．甲B．乙C．丙6．同一种水果，每千克甲商店降价15%，乙商店买4送1，丙商店按八八折出售，妈妈想用最少的钱买5千克水果，应该去（）商店。
A．甲B．乙C．丙7．江城一日游，旅行社推出A、B两种优惠方案．2个大人，4个小孩，选择哪种方案省钱？（）A．江城一日游：大人每人150元，小孩每人50元B．江城一日游：每人100元，团体5人以上（含5人）优惠110C．两种方案同样优惠8．师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列（）方案最省钱．A．6条大船B．5条大船，1条小船C．4条大船，2条小船9．四（1）班36人准备租船到湖上游玩，大船每条12元，限坐8人，小船每条10元，限坐6人。
租（）种最省钱。
A．3条大船2条小船B．4条大船1条小船C．5条大船10．张大爷有一块长方形小菜园（如图），他想用篱笆围起来。
最优化练习题二
最优化练习题二一、解释下列概念：（1）线性规划的基本可行基，基本可行解。
（2）Q共轭向量组。
（3）无约束优化下降算法的基本思想。
H满足的三个性质。
（4）在DFP算法中要求矩阵k（5）凸集，凸规划。
二、（1）设问题（P ）为⎩⎨⎧=≥∈mi x g t s R x x f i n,,2,1;0)(.);(min 若规划（P ）是凸规划，证明：（P ）的任何局部极小点都是全局极小点。
（2）判断函数312221211052)(x x x x x x x f -+--=为凸函数或凹函数或严格凸函数或严格凹函数（3）求函数2143)(221x x e x x x f +=的梯度和Hesse 矩阵。
三、写出一维搜索0.618法的基本思想和算法框图。
四、设A 为n 阶对称正定矩阵，C x b Ax x x f T T ++=21)(，若n p p p ,,,21 为非零A 共轭向量组，证明：由任意初始点1x 出发，按迭代格式)()(min 0k k k k k p x f p x f λλλ+=+≥； k k k k p x x λ+=+1 至多迭代n 次必达到最优点。
五、设C x b Ax x x f T T ++=21)(，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1113A ，0=b ，14=c ，试任意选择最速下降法、牛顿法，共轭方向法或DFP 算法从初始点T x )1,1(=开始求)(x f 的最小值点和最小值。
六、用单纯形法求解下面线性规划的最优解和最优值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥≤++=0,21265.2max 21212121210x x x x x x x x t s x x x七、设有线性规划（P ）12121212min 2.1200x x s t x x x x x x -+⎧⎪+≥⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎩ 写出该线性规划的对偶规划（D ），任取一个基，写出单纯形表，并用图解法求出对偶规划（D ）的最优解和最优值。
最优化方法研究生期末考试练习题答案
《最优化方法》（研究生）期末考试练习题答案二.简答题1．;0, ,843 ,2 2-,3 34 s.t. ,95- min 2121212121≤=--≥+≥++y y y y y y y y y y 2．,065 6143≥+x x （以1x 为源行生成的割平面方程） 注意：在1x 为整数的情况下，因为3x ,04≥x ，该方程自然满足，这是割平面的退化情形,2141 41 43≥+x x （以2x 为源行生成的割平面方程）3．6648.31854.1*2)854.1()(2131.01146.1*2)146.1()(854.13*618.00)(618.0146.13*382.00)(382.03,031311111111111=+-==+-==+=-+==+=-+===μϕλϕμλa b a a b a b a 0.927.21.8540]1.8540[854.1,0)()(,*2211=+===≤x b a 近似的最优解：。
，初始的保留区间为即：。
所以，不经计算也可以看出事实上μϕλϕ4．令1.01.0)(4.04.0)(11)(7.27.2)(222222221)2(*111)1(*111)0(*121)1(*11-=-=-=-=-=-=-=-=-------x x x x x x x e x e x x f ex ex x f x e x x f e x e x x f拟合问题等价于求解下列最小二乘问题：∑=412))((mini ix f三.计算题1．分别用最速下降方法和修正的牛顿法求解无约束问题 22214)(min x x x f +=。
取初始点()()Tx 2,21=，.1.0=ε()().1641642,2821121⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇d f x x x f T方向为：从而最速下降法的搜索，在初始点，解：()()()()直至满足精度。
继续迭代方向为：从而最速下降法的搜索，，在从而求解得到：其中满足最优步长,.48/6565/19248/65-65/19265/6,65/96)65/6,65/96((-4,-16)*130/172,2 130,/17.)162(4)42()162,42()()(min )(122221)1(1)1(1*)1(*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇-=-=+==-+-=--=++=+d f x x f d x f d x f d x f TTT Tλλλλλλλλλλ()()2-2- 1648/1002/1 8/1002/1,8002 2,21111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--f G d G G x T索方向为：从而修正的牛顿法的搜，在初始点()()()()即为所求的极小点。
最优化课后习题答案
最优化课后习题答案最优化课后习题答案最优化是一门重要的数学学科，它研究如何在给定的约束条件下，找到一个最优的解决方案。
在学习最优化课程时，我们通常会遇到一些习题，这些习题旨在帮助我们理解和应用最优化的原理和方法。
本文将为大家提供一些最优化课后习题的答案，以帮助大家更好地掌握这门学科。
1. 线性规划问题线性规划是最优化中的一个重要分支，它主要研究线性约束条件下的最优解。
下面是一个线性规划问题的示例：Maximize Z = 3x + 5ySubject to:x + y ≤ 62x + y ≤ 8x, y ≥ 0首先，我们需要将目标函数和约束条件转化为标准形式。
将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量，得到以下标准形式：Maximize Z = 3x + 5ySubject to:x + y + s1 = 62x + y + s2 = 8x, y, s1, s2 ≥ 0接下来，我们可以使用单纯形法求解该线性规划问题。
根据单纯形法的步骤，我们可以得到最优解为 Z = 22，x = 2，y = 4，s1 = 0，s2 = 0。
2. 非线性规划问题除了线性规划，最优化还涉及到非线性规划问题。
非线性规划是指目标函数或约束条件中存在非线性项的最优化问题。
下面是一个非线性规划问题的示例：Minimize f(x) = x^2 + 3x + 5Subject to:x ≥ 0对于这个问题，我们可以使用求导的方法来找到最优解。
首先，求目标函数的导数：f'(x) = 2x + 3将导数等于零，解得 x = -1.5。
由于约束条件x ≥ 0，所以最优解为 x = 0。
3. 整数规划问题整数规划是指在最优化问题中，决策变量必须取整数值的情况。
下面是一个整数规划问题的示例：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 10x, y ≥ 0x, y 为整数对于这个问题，我们可以使用分支定界法来求解。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案37最优化问题(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题最优化问题（一）在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题，完成一件事怎样合理安排才能做到用时最少，效果最佳，这类问题在数学中称为统筹问题，解决此类问题时，必须树立统筹思想，能同时做的事，尽量同时做。
有时我们还会遇到求“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等问题，这些问题往往可以从极端情况去考虑它的最大（最小）值，在数学中称为极值问题，统筹问题和极值问题实际上都属于最优化问题。
解答最优化问题时，要注意联系实际，把题目里所说的“最优”、“最佳”或“最合理”的问题转化为相应的最大、最小问题。
经常要从以下三个方面来考虑：（1）要做哪些工作，（2）做每件事需要的最佳时间，（3）弄清所做工作的程序，最后在诸多方案中寻求一种最合理、最省事、最节约的最佳方案。
也就是说，在选择最佳方案时，要分析题意，明确要做哪些工作，分别做每项工作所需的时间等，同时安排好先做什么，后做什么，哪些工作可同时做，从而找到最佳方案。
例1用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两块大饼，烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙熟3块大饼，最少需要几分钟？分析与解：先将两块大饼同时放入锅中一起烙，3分钟两块都熟了一面，这时可将其中一块取出，另一块翻过来，再放第三块，又烙了3分钟，将两面都烙好的大饼取出，把第三块翻过来，再将第一次取出的那块换个面放入锅里面，再烙3分钟就全部烙好了。
所以烙熟3块饼最少需要9分钟。
例2妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗开水壶要用1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，为了使客人早点喝上茶，按照合理的安排，多少分钟就能沏好茶了？分析与解：经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。
开水壶不洗，不能烧开水，因此，洗开水壶和烧开水不能同时进行，而洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶这三步与烧开水可以同时进行。
从以上分析，可以这样安排：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水要用15分钟，在烧开水的同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样只要16分钟。
陈宝林最优化课后习题答案 第二章
陈宝林最优化课后习题答案第二章2.1 简答题1.最优化问题的基本模型是什么？最优化问题的基本模型是数学规划模型。
数学规划模型主要由目标函数、约束条件和决策变量组成，通过最大化或最小化目标函数，同时满足约束条件来寻求最优解。
2.什么是线性规划问题？线性规划（Linear Programming）是一类特殊的数学规划问题，其目标函数和约束条件都是线性的情况下，被称为线性规划问题。
线性规划问题可以用线性方程组和线性不等式组来表示，并且满足一定的约束条件。
3.什么是优化问题的可行解？优化问题的可行解是指满足约束条件的解。
在一个最优化问题中，除了要找到最优解外，还需要保证这个解满足所有的约束条件。
4.什么是最优解？最优解是在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解。
最优解可以通过求解优化问题的解析解、数值解或者近似解得出。
2.2 计算题1.使用单纯形法求解下列线性规划问题：max z = 5x1 + 6x2s.t.2x1 + x2 <= 8x1 + x2 <= 5x1, x2 >= 0单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效算法。
下面是使用单纯形法求解该线性规划问题的步骤：Step 1:初始化单纯形表。
x1x2s1s2bz-5-6000s1-2-110-8s2-1-101-5Step 2:选取入基变量和出基变量。
选取入基变量为x1，出基变量为s1。
Step 3:基变换。
将x1从入基变量变为出基变量，将s1从出基变量变为入基变量。
x1x2s1s2bz0-115040s111/2-104s201/2111Step 4:判断是否达到最优解。
如果目标函数的系数都为非负数，则达到最优解，并停止计算。
Step 5:计算新的单纯形表。
x1x2s1s2bz0-25/23/25/235/2x11/21/4-1/203/2s2-1/21/43/21/21/2Step 6:重复步骤2-5，直到达到最优解。
六年级下册数学试题-竞赛专题练习：统筹与最优化(含答案)全国通用
统筹与最优化练习题夯实根底:1. 一只平底锅上最多只能煎两张饼,用它煎1张饼需要2分钟〔正面、反面各1分钟〕.问: 煎2021张饼需几分钟？2. 小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚,他们来到一条河的东岸,要通过一座小木桥到西岸,但是他们4个人只有一个手电筒,由于桥的承重量小,每次只能过2人,因此必须先由2个人拿着手电筒过桥,并由1个人再将手电筒送回,再由2 个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥.,小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟.那么,4个人都通过小木桥,最少要多少分钟？3. 6个人各拿一只水桶到水龙头接水,水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4 分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟.现在只有这一个水龙头可用,问怎样安排这 6 人的打水次序,可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？理发室里有甲、乙两位理发师,同时来了五位顾客,根据他们所要理的发型,分别需要10、12、4.15、20和24分钟,诟姜5丽们发的顺便这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少时间为多少？5.有一家五口人要在夜晚过一座独木桥.他们家里的老爷爷行动非常不便,过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动,体重严重超标,过河需要时间也较长, 8母亲那么一直坚持劳作,动作还算敏捷,过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟,弟弟只要1分钟.当时正是初一夜晚又是阴天,不要说月亮,连一点星光都没有,真所谓伸手不见五指.所幸的是他们有一盏油灯,同时可以有两个人借助灯光过桥.但要命的灯油将尽,这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分,该怎样过桥呢？5所学校A,B,C,D,E 之间有公路相通,图中标出了各段公路的千米数,现在想在某所学校召开一次学生代表会议,应出席会议的A,B,C,D,E 校分别有6人,4人,8人,7人,10人,为使参加会议的代表所走的路程总和最小,会议应选在哪个学校召开？二.拓展提升：7 .在一条公路上,每隔100千米有一座仓库,共有8座,图中数字表示各仓库库存货物的重量〔单位：吨〕,其中G G为空仓库.现在要把所有的货物集中存入一个仓库里,如果每吨货物运输1千米需要0.5元,那么集中到那个仓库中运费最少,需要多少元运费？A B C D E F G H10 30 20 5 10 608 . 一支勘探队在五个山头A> B C D、E设立了基地,人数如下列图所示 .为调整使各基地人数相同,如何调动最方便？〔调动时不考虑路程远近〕6.410.新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供给自来水 〔如下列图,距离单位为千米〕,要安装水管有粗细两种选择,粗管足够供给所有村庄使用,细管只能供一个村用水,粗管每千米要 用8000元,细管每千米要2000元,如果粗细管适当搭配,互相连接,可以降低费用, 怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？自来U _________ A ______ B C D E_F G H J _______________________J30 5 2 4 2 3 2 2 2 5某工地A 有20辆卡车,要把60车渣土从A 运1 ij B,把40车砖从C 运到D 〔工地道路图 如下所示〕.问如何调运最省汽油？三.超常挑战12 .北京和上海同时制成了电子计算机假设干台,除了供给本地外,北京可以支援外地 10台,上海可以支持外地4台.现决定给重庆8台,汉口 6台,假设每台计算机的运费如右表, 上海和北京制造的机器完全相同,应该怎样调运,才能使总的运费最省？最省的运费是 多少？运费/克7a 站汉口重庆 北京4 8 上海3 59. F 图是一张道路示意图,每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间〔单明从A 到B 最快要几分钟？ 位：分〕.小11.13 .设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水,设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟,注满第二个人的桶需要2分钟,…….如此下去,当只有两个水龙头时,如何巧妙安排这十个人打水,使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？14 .有十个村庄,座落在从县城出发的一条公路上,现要安装水管,从县城供各村自来水.可以用粗、细两种水管,粗管每千米7000元,细管每千米2000元.粗管足够供给所有各村用水,细管只能供给一个村用水,各村与县城间距离如下列图所示〔图中单位是千米〕,现要求按最节约的方法铺设,总费用是多少？, 30 5 2423 / 2 2 5县城A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A m四.杯赛演练：15 .〔三帆中学分班测试题〕有七个村庄A1,A , …,A7分布在公路两侧〔见右图〕,由一些小路与公路相连,要在公路上设一个汽车站,要使汽车站到各村庄的距离和最小,车站应设在哪里？答案：1 .在不浪费时间的情况下：两张饼可同时煎完,三张饼也可以：首先A,B的正面,然后拿走A,煎B的反面和C的正面,然后拿走B ,煎A,C的反面.2021 2 1003 3,完全可以不浪费时间煎完,从而所需时间为：2021 2 2 2021分钟.2 .方法一：要想用最少的时间, 4人都通过小木桥,可采用让过桥最快的小强往返走,将手电筒送回,这样就能保证时间最短了.第一步：小强与小明一起过桥,并由小强带手电筒返回,共用：1.5 1 2.5 〔分钟〕；第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回,共用了 2 1 3〔分钟〕；第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了 2.5分钟；所以,4个人都通过小木桥,最少用 2.5 3 2.5 8 〔分钟〕.方法二：要想用最少的时间, 4人都能过桥,保证时间最短还可以：第一步：小强与小明一起过桥,并由小强带手电筒返回,共用：1.5 1 2.5 〔分钟〕；第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后再由小明带手电返回,共用了 2.5 1.5 4 〔分钟〕；第三步：最后小强与小小明一起过桥用了 1.5分钟；3 .第一个人接水时,包括他本人在内,共有6个人等候,第二个人接水时,有5个人等候；第6个人接水时,只有他1个人等候.可见,等候的人越多〔一开始时〕,接水时间应当越短,这样总的等候时间才会最少,因此,应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水,这个最短时间是 3 645 5 46 37 2 10 100 〔分〕.4 . 一人理发时,其他人需等待,为使总的等待时间尽量短,应让理发所需时间少的人先理.甲先给需10分钟的人理发,然后15分钟的,最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发,然后20分钟的,甲给需10分钟的人理发时,有2人等待,占用三人的时间和为〔10 3 〕分；然后,甲给需15分钟的人理发,有1人等待,占用两人的时间和为〔15 2 〕分；最后,甲给需24分钟的人理发,无人等待.甲理发的三个人,共用〔10 3 15 2 24 〕分,乙理发的两个人,共用〔12 2 20 〕分.总的占用时间为〔10 3 15 2 24〕〔12 2 2.128〔分〕.5 .首先姐姐跟弟弟一起过,用时3分钟,姐姐再回去送油灯,用时3分钟,老爷爷跟爸爸一起过河,用时12分钟,弟弟将灯送回去,用时1分钟,弟弟和母亲一起过,用时 6 分钟,弟弟送灯过河,用时1分钟,最后与姐姐一起过河,用时3分钟.一共用时： 3 3 12 1 6 1 3 29 〔分钟〕.最后能够平安全部过河.6 .根据小往大靠的原那么,A处的人数相对BCDE的总人数要小很多,因此首先排除A地,而B,C,D,E不能简单比拟出.枚举结果如下：B地集合：共行走6 2 8 3 7 2 10 〔3 2〕 100千米.C地集合：共行走 6 〔2 3〕4 3 7 〔2 3〕 10 2 97千米.D地集合：共行走 6 〔2 2〕4 2 8 〔3 2〕 10 4 112千米.E地集合：共行走6 〔2 3 2〕 4 〔3 2〕 8 2 7 4 106千米. 其中C地集合的路程总和最小,所以集合地应选在C地.7 .根据这道题可以用“小往大处靠〞的原那么来解决. H点60吨,存的货物最多,那么先处8 .五个基地人员总数为17 4 16 14 9 60 (人).依题意,调整后每个基地应各有60 5 12 (人).因此,需要从多于12人的基地A,C, D向缺乏12人的基地B, E调人.为了防止对流,经试验容易得到调整方案如下：先从D调2人到E,这样E尚缺1人；再由A调1人给E ,那么E到达要求.此时,A尚多余4人,C 也多余4人,总共8人全部调到 B ,那么B亦符合要求.调动示意图如下所示,这样的图形叫做物资流向图.用流向图代替调运方案,能直观地看出调运状况及有无对流现象,又可防止列表和计算的麻烦.图中箭头表示流向,箭杆上的数字表示流量.说明：发生对流的调运方案不可能是最优方案,这个原那么可以证实:I II A| [■& “】吨如上图,设A1R=a千米,B2B1=b千米,B1Aa=c千米.如果从A1运1吨货物到B1,同时又从A2运1吨货物到B2,那么在B1B2之间A I的物资从西向东运输, A的货物从东向西运输,两者发生对流,于是这样调动的总吨千米数为：(a b) (b c) a c 2b .而如果从A I运1吨货物到B2,同时从A2运1吨货物到B I,那么运输总吨千米数为a c,显然a c a c 2b .9 .我们采用分析排除法,将道路图逐步简化.从A到O有两条路,2 C2O用6分钟,2 F- O用7分钟,排除后者,可将FO抹去, 但AF不能抹去,由于从A到B还有其它路线经过AF,简化为图⑴.从A到E还剩两条路,2 CH GA E用12分钟,Z CHO E用10分钟,排除前者,可将CG G既去,简化为图(2).从A到D还剩两条路, 2CH8 D用12分钟,2 HRD用13分钟,排除后者,可将AH HD抹去,简化为图⑶.从A到B还剩两条路,A9仁dEf B用17分钟, A-C-O A B用16分钟,排除前者,可将OE E喷去,简化为图(4) .小明按A-C-O^ AB走最快,用16分钟.(4) 10 .由于细管相对于粗管来讲,价钱要少一些,因此先假设都用细管.那么从自来水厂到J村要铺设10根细管,自来水厂到I村要铺设9根细管,依次下去,我们用图表示铺细管的情况.由理小势力,A往H那个方向集中,集中到以继续向H方向集中,B点集中到D点, 那么D H谁看成大势力都可以.例如把E点,E点是65吨所以E点也要集中到易求了.运费最少为：(10 500 30 400巳B变成40吨,判断仍是H的势力最大,所D点变成60吨.此时D点和H点都是60吨, H点集中到F点,F点是70吨.把D点集中到F点.确定了集中地点为F点,运输费用也就容20 200 5 100 60200) 0.5 16750(元).于粗管是细管价格的4倍,如果用细管代替粗管重叠数超过4条费用更大, 仅在3条或3条以下才会节约,而细管只能供给一村用水,所以粗管从水厂一直接到G 村为止,再用三条细管连接H I、J三个村,这样费用最低,总费用：8000 〔30 5 2 4 2 3 2〕 2000 〔2 3 2 2 5〕 414000 〔元〕.11 .如果各派10辆车分别运渣土和砖,那么每运一车渣土要空车跑回300米,每运一车砖那么要空车跑回360米,这样到完成任务总共空车跑了：300 60 360 40 32400 〔米〕.如果一辆从从ZB-G-AA 跑一圈,那么每运一车渣土,运一车砖要空车跑：240 90 330 〔米〕；因此,先派20辆车都从A开始运渣土到B,再空车开往C运科到D后空车返回A,这样每辆车跑两圈就完成了运科任务 .然后再派这20辆车都从A运渣土到B 再空车返回A ,那么运渣土任务也完成了.这时总共空车跑了：330 40 300 20 19200 〔米〕后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米,这是最正确节油的调运方案.12 .方法一：此题中虽然上海到汉口的运费最少,只有3百元,但是上海到汉口比北京到汉口只节省〔4 3 〕1百元,相比之下,上海到重庆比北京到重庆要节省〔8 5 〕3百元.所以重庆所需台数应由上海尽量满足,即上海的4台全部调运重庆,北京再补给重庆4台,汉口的6台从北京调运.总运费为：5 4 8 4 4 6 76〔百元〕.方法二：此题也可以采用下面的代数方法解决,设北京调运汉口X台,调运重庆〔10 x 〕台,那么上海应调运汉口〔6 x 〕台,调运重庆4 〔6 x〕 x 2 〔台〕,总运费W 4x 8〔10 x 3〔6 x 5〔x 2〕 4x 80 8x 18 3x 5x 10 88 2x,由于要使总运费88 2x最小,需要2x最大.由于x是北京调运汉口的台数,且x 6,所以当x6时,总运费W 88 2 6 76 〔百元〕最小.由x 6可知,北京调运汉口6台,调运重庆4台,上海调运汉口0台,调运重庆4台.13.要想总的时间最少,显然计算总时间时,1、2计算了5次,3、4计算了4次,5、6计算了3次,7、8计算了2次,9、10计算了1次.所以有最短时间为：〔12 5 〔3 4 4 〔5 6〕 3 〔7 6 2 〔9 10〕 1 125 分钟.14 .由于细管相对于粗管来讲,价钱要少一些,因此先假设都用细管.那么从县城到A I村要铺设10根细管,A I村到A2村要铺设9根细管,依次下去,我们用图表示铺细管的情况. 因为粗管每千米7000元,细管每千米2000元,所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱.这样一来,但凡超过3根细管的路段,都应改铺粗管.因此,从县城到A7村铺1根粗管,A7村到A8村铺3根细管,A8村到A9村铺2根细管, A9村到A i.村铺1根细管.总费用为：7000 (30 5 2 4 2 3 2) 2000 (2 3 2 2 5 1) 36600(元).15 . B, C, F都是1个村的出口,而D,E是2个村的出口,如下列图示：1 12 2 1------ •------------- * ----------- e«*——BCD ---------- E ------- F令F处的1 左移到E ,那么E处1 2 11 2 , 那么还需继续左移到 D ,此时12 2 11,因此车站应设在D处.。
最优化方法信赖域方法例题
最优化方法信赖域方法例题信赖域方法是求解无约束优化问题的一种常用方法，其基本思想是在当前点附近构造一个局部模型，并利用这个模型来引导下一步搜索方向，以期望加速收敛。
以下是一个信赖域方法的例题：假设要求解如下无约束优化问题：minimize f(x) = 2x1^2 + x2^2 - 2x1x2 - 4x1其中x = (x1, x2)T为变量向量。
根据信赖域方法的思路，首先需要在当前点xk处构造一个局部二次模型来近似目标函数f(x)，即：m(k)(p)=f(xk)+g(k)Tp+0.5TpTB(k)T p其中p表示搜索方向，g(k)和B(k)分别表示目标函数在xk处的梯度和Hessian矩阵。
然后，需要找到信赖域半径δk，使得在搜索方向p的范数不超过δk的条件下，局部模型能够较好地近似目标函数。
具体来说，需要最小化如下子问题：minimize m(k)(p)subject to ||p||<=δk对于上述例题，可以通过以下步骤来求解：1. 初始点为x0 = (0, 0)T，初始信赖域半径为δ0 = 1。
2. 计算目标函数在x0处的梯度和Hessian矩阵：g(0) = (-4, 0)TB(0) = [[4, -2], [-2, 2]]3. 解信赖域子问题，得到搜索方向pk和对应的模型改进量mk： pk = argmin m(k)(p)subject to ||p||<=δkpk = (0.5, -0.5)Tmk = -0.254. 计算实际改进量rk和相应的系数ηk：rk = f(xk) - f(xk+pk)γk = rk/mkif γk < 0.25:δk+1 = 0.5δkelse if γk > 0.75:δk+1 = 2δkelse:δk+1 = δk5. 根据信赖域半径更新规则，计算下一次迭代的点xk+1和信赖域半径δk+1：if γk > 0:xk+1 = xk + pkelse:xk+1 = xkδk+1 = δk6. 重复步骤2-5，直到收敛。
利用微积分求解最优化问题优化练习题
利用微积分求解最优化问题优化练习题在应用微积分的数学领域中，最优化问题是一个重要的研究方向。
最优化问题旨在寻找一个函数的最大值或最小值，以满足一定的约束条件。
通过运用微积分的相关知识和技巧，我们能够有效地解决这类问题。
本文将通过一些优化练习题来演示如何通过微积分来解决最优化问题。
优化练习题1：求解函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x 的最小值。
解答：为了找到这个函数的最小值，我们首先需要找到函数的极值点。
为此，我们计算函数的导数 f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。
接下来，我们将导数 f'(x) 置于零，以求解得到函数的极值点。
即：6x^2 - 18x + 12 = 0将方程进行因式分解，我们有：6(x^2 - 3x + 2) = 0进一步进行因式分解，得到：6(x - 2)(x - 1) = 0解得 x = 1 或 x = 2。
现在，我们需要判断这两个极值点是函数的极大值还是极小值。
为此，我们可以通过计算 f''(x) = 12x - 18 的值来判断。
当 x = 1 时，f''(1) = 12(1) - 18 = -6，为负值，说明函数 f(x) 在 x = 1处取得极大值。
当 x = 2 时，f''(2) = 12(2) - 18 = 6，为正值，说明函数 f(x) 在 x = 2处取得极小值。
所以，函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x 的最小值为 f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) = 4。
综上所述，函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x 在 x = 2 时取得最小值为 4。
优化练习题2：求解函数 g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x 的最大值。
解答：同样地，我们需要找到函数的极值点。
计算函数的导数 g'(x) = 3x^2 - 12x + 9，并将其置于零来求解极值点。
最优化-刘志斌-课后习题3-5参考答案要点word版本
最优化-刘志斌-课后习题3-5参考答案要点练习题三1、用0.618法求解问题12)(min 30+-=≥t t t t ϕ的近似最优解，已知)(t ϕ的单谷区间为]3,0[，要求最后区间精度0.5ε=。
答：t=0.8115；最小值-0.0886.（调用golds.m 函数）（见例题讲解5） 2、求无约束非线性规划问题min ),,(321x x x f =123222124x x x x -++ 的最优解解一：由极值存在的必要条件求出稳定点： 1122f x x ∂=-∂，228f x x ∂=∂，332f x x ∂=∂，则由()0f x ∇=得11x =，20x =，30x = 再用充分条件进行检验：2212f x ∂=∂，2228f x ∂=∂，2232fx ∂=∂，2120f x x ∂=∂∂，2130f x x ∂=∂∂，2230f x x ∂=∂∂ 即2200080002f ⎛⎫⎪∇= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵得极小点为T *(1,0,0)x =，最优值为-1。
解二：目标函数改写成min ),,(321x x x f =222123(1)41x x x -++- 易知最优解为（1,0,0），最优值为-1。
3、用最速下降法求解无约束非线性规划问题。
2221212122)(m in x x x x x x X f +++-=其中T x x X ),(21=，给定初始点T X )0,0(0=。
解一：目标函数()f x 的梯度112122()()142()122()()f x x x x f x x x f x x ∂⎡⎤⎢⎥∂++⎡⎤⎢⎥∇==⎢⎥-++∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦(0)1()1f X ⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦令搜索方向(1)(0)1()1d f X -⎡⎤=-∇=⎢⎥⎣⎦再从(0)X 出发，沿(1)d 方向作一维寻优，令步长变量为λ，最优步长为1λ，则有(0)(1)0101Xdλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故(0)(1)2221()()()2()2()2()f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--+-+-+=-=令'1()220ϕλλ=-=可得11λ= (1)(0)(1)1011011X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 求出(1)X 点之后，与上类似地，进行第二次迭代：(1)1()1f X -⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦ 令(2)(1)1()1d f X ⎡⎤=-∇=⎢⎥⎣⎦令步长变量为λ，最优步长为2λ，则有(1)(2)111111X d λλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故(1)(2)2222()()(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)521()f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--++-+-+++=--=令'2()1020ϕλλ=-=可得 215λ= (2)(1)(2)2110.8111 1.25X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2)0.2()0.2f X ⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦ 此时所达到的精度(2)()0.2828f X ∇≈ 本题最优解11.5X *-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()1,25f X *=-解二：利用matlab 程序求解首先建立目标函数及其梯度函数的M 文件 function f=fun(x)f=x(1)-x(2)+2*x(1)*x(1)+2*x(1)*x(2)+x(2)*x(2); function g=gfun(x)g=[1+4*x(1)+2*x(2),-1+2*x(1) +2* x(2) ]; 调用grad.m 文件 x0=[0,0];[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0) 结果x=[ -1.0000 ,1.5000] val= -1.2500 k=33即迭代33次的到最优解x=[ -1.0000 ,1.5000]；最优值val= -1.2500。
小学四年级奥数第7讲 最优化问题(含答案分析)
第7讲最优化问题一、知识要点在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练【例题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎3个饼至少需要多少分钟？练习1：1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。
烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？练习2：1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。
他完成这几件事最少需要多少分钟？2、小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。
为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。
卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？练习3：1、甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。
热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？2、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。
最优化方法练习题答案
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素“答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停顿准则。
答：针对一般优化模型，讨论解的可行域，假设存在一()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===L L D 点，对于均有则称为优化模型最优解，最优解存在；*X D ∈X D ∀∈*()()f X f X ≤*X 迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列，满足，(1)(2)(),,,K X X X L L (1)()()()K K f X f X +≤则迭代法收敛；收敛的停顿准则有，，(1)()k k x x ε+-<(1)()()k k k x x xε+-<，，等等。
()()(1)()k k f x f x ε+-<()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<()()k f x ε∇<练习题二1、*公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购〔可能用于生产附加值更高的产品〕。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？〔该问题称为例2.1的对偶问题〕。
解：确定决策变量对3种资源报价作为本问题的决策变量。
123,,y y y 确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小〞。
确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++*2、研究线性规划的对偶理论和方法〔包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法〕。
答：略。
3、用单纯形法求解以下线性规划问题：〔1〕⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ；〔2〕⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i 解：〔1〕引入松弛变量*4，*5，*6c j →1-11C B基b*1*2*3*4*5*60*421[1]-21000*532110100*64-101001c j -z j1-11因检验数σ2<0，故确定*2为换入非基变量，以*2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量*4作为换出的基变量。
北航最优化方法习题2015版(下)
易见最优解 件为：
y∗
=0， 于是得原问题的解
x∗
=
1, y ∗
=0.
(b) 该问题的 Lagrange 函数 L(x, y, λ) = x2 + y 2 + λ((x − 1)3 − y 2 ) . KKT条 2x + 3λ(x − 1)2 = 0 2y − 2λy = 0 (x − 1)3 − y 2 = 0.
9 T ∗ 首先，因为 x∗ = ( 3 2 , 4 ) 满足约束条件，且有 I (x ) = {1} , 所以由互补条件有 ∗ ∗ λ∗ 2 = λ3 = λ4 = 0 . 再将
3 1 g ∗ = (− , )T , 2 2
T a∗ 1 = (3, −1) .
代入上边的梯度条件，即KKT条件的前两个方程，解得 λ∗ 1 = 足KKT条件.
由两个等式约束得 x1 = 2x2 , x3 =
750 , x2 2
从而原问题可既约为
16x2 2+
33000 x2
minimize √
subject to x2 > 0.
3 求稳定点， 得 x∗ 2 = 10
33 32 .
将 x∗ 代入 KKT 条件中的梯度条件(第一个和第三个方程)，解得 Lagrange
7.6 考虑找曲线 (x − 1)3 = y 2 上哪个点离原点最近(在Euclidean范数意义下)的问题.
可以将该问题表述为
minimize
x,y
f (x, y ) = x2 + y 2
subject to (x − 1)3 = y 2 . (a) 用图解法求解该问题. 消去 y 求解问题, 所得到的函数有极小点吗？给出结 果不一致的可能原因. 消去 x 求解问题, 得到怎样的结果? (b) 对于该问题, 找到所有的KKT点. LICQ 成立吗?请给出结果可能的解释.
《最优化方法》复习题
《最优化方法》复习题一、 简述题1、怎样判断一个函数是否为凸函数.（例如: 判断函数2122212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 2、写出几种迭代的收敛条件.3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）.见书本61页(利用单纯形表求解);69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点. 简述共轭梯度法的基本思想.写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。
5、叙述常用优化算法的迭代公式．（1）0.618法的迭代公式：(1)(),().k k k k kk k k a b a a b a λτμτ=+--⎧⎨=+-⎩（2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)()n k kk k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+⎧=+-⎪⎪=-⎨⎪=+-⎪⎩．（3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 11k k kk x x G g -+=-． （4）推导最速下降法用于问题1min ()2TT f x x Gx b x c =++的迭代公式： 1()T k kk k k T k k kg g x x f x g G gx +=-∇（5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇． （6）共轭方向法用于问题1min ()2TT f x x Qx b x c =++的迭代公式： 1()T k kk k k T k kf x d x x d d Qd +∇=-．二、计算题双折线法练习题 课本135页 例3.9.1 FR 共轭梯度法例题：课本150页 例4.3.5 二次规划有效集：课本213页例6.3.2,所有留过的课后习题.三、练习题：1、设n n A R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2TT f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 2(),()f x Ax b f x A ∇=+∇=．2、设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ϕ''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+．3、证明：凸规划min ()x Sf x ∈的任意局部最优解必是全局最优解．证明 用反证法．设x S ∈为凸规划问题min ()x Sf x ∈的局部最优解，即存在x 的某个δ邻域()N x δ，使()(),()f x f x x N x S δ≤∀∈．若x 不是全局最优解，则存在x S ∈，使()()f x f x <．由于()f x 为S 上的凸函数，因此(0,1)λ∀∈，有((1))()(1)()()f x x f x f x f x λλλλ+-≤+-<．当λ充分接近1时，可使(1)()x x N x S δλλ+-∈，于是()((1))f x f x x λλ≤+-，矛盾．从而x 是全局最优解．4、已知线性规划：123123123123123min ()2;..360,2210,20,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪++≤⎪⎪-+≤⎨⎪+-≤⎪⎪≥⎩ （1）用单纯形法求解该线性规划问题； （2）写出线性规划的对偶问题；解 （1）引进变量456,,x x x ，将给定的线性规划问题化为标准形式：123123412351236126min ()2;..360,2210,20,,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪+++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎪≥⎩所给问题的最优解为(0,20,0)T x =，最优值为20f =-． （2）所给问题的对偶问题为：123123123123123max ()601020;..32,21,21,,,0.g y y y y s t y y y y y y y y y y y y =---⎧⎪---≤⎪⎪-+-≤-⎨⎪--+≤⎪⎪≥⎩5、用0.618法求解 2min ()(3)t t ϕ=-，要求缩短后的区间长度不超过0.2，初始区间取[0,10]． 解 第一次迭代： 取11[,][0,10],0.2a b ε==． 确定最初试探点11,λμ分别为11110.382() 3.82a b a λ=+-=，11110.618() 6.18a b a μ=+-=．求目标函数值：21()(3.823)0.67ϕλ=-=，21()(6.183)10.11ϕμ=-=． 比较目标函数值：11()()ϕλϕμ<． 比较11 6.1800.2a με-=->=． 第二次迭代：212121210, 6.18, 3.82,()()0.67a a b μμλϕμϕλ========．2222220.382()0.382(6.180) 2.36,()(2.363)0.4a b a λϕλ=+-=-==-=．2222()(), 3.82a ϕλϕμμε<-=>． 第三次迭代：323232320, 3.82, 2.36,()()0.4a a b μμλϕμϕλ========．2333330.382()0.382(3.820) 1.46,()(1.463) 2.37a b a λϕλ=+-=-==-=．3333()(), 3.82 1.46b ϕλϕμλε>-=->．第四次迭代：434343431.46, 3.82, 2.36,()()0.4a b b λλμϕλϕμ========．444440.618() 1.460.0.618(3.82 1.46) 2.918,()0.0067a b a μϕμ=+-=+-==． 4444()(), 3.82 2.36b ϕλϕμλε>-=->． 第五次迭代：545454542.36, 3.82, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．555550.618() 3.262,()0.0686a b a μϕμ=+-==． 5555()(), 3.262 2.36a ϕλϕμμε<-=->． 第六次迭代：656565652.36, 3.262, 2.918,()()0.0067a a b μμλϕμϕλ========．666660.382() 2.7045,()0.087a b a λϕλ=+-==．6666()(), 3.262 2.7045b ϕλϕμλε>-=->． 第七次迭代：767676762.7045, 3.262, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．777770.618() 3.049,()0.002a b a μϕμ=+-==． 7777()(),b ϕλϕμλε>->． 第八次迭代：878787872.918, 3.262, 3.049,()()0.002a b b λλμϕλϕμ========．888880.618() 3.131,()0.017a b a μϕμ=+-==． 8888()(),a ϕλϕμμε<->． 第九次迭代：989899982.918, 3.131, 3.049,()()0.002a a b μμλϕμϕλ========．999990.382() 2.999,()0.000001a b a λϕλ=+-==． 9999()(), 3.049 2.918a ϕλϕμμε<-=-<．故993.0242x λμ+==．6、用最速下降法求解 22112212min ()2243f x x x x x x x =++--,取(0)(1,1)T x =,迭代两次．解 1212()(224,243)T f x x x x x ∇=+-+-， 将()f x 写成1()2TT f x x Gx b x =+的形式，则224,243Q b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 第一次迭代：(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)()()()()()T T f x f x xxf x f x G f x ∇∇=-∇∇∇ 0(0,3)1013220131/4(0,3)243⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 第二次迭代：(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)()()()()()T T f x f x xx f x f x G f x ∇∇=-∇∇∇ 3/2(3/2,0)13/27/40223/21/401/4(3/2,0)240-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 7、用FR 共轭梯度法求解222123123123min ()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++-，取(0)11(,1,)22T x =，迭代两次．若给定0.01,ε=判定是否还需进行迭代计算． 解 222123121323()3()2()f x x x x x x x x x x =++-++，再写成1()2T f x x Gx =，622262226G --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，()f x Gx ∇=．第一次迭代：(0)()(0,4,0)T f x ∇=，令(0)0()(0,4,0)T d f x =-∇=-，从(0)x 出发，沿0d 进行一维搜索，即求(0)200min ()21648f x d λλλλ≥+=-+的最优解，得(1)(0)0001/6,(1/2,1/3,1/2)T x x d λλ==+=．第一次迭代：(1)()(4/3,0,4/3)T f x ∇=．2(1)02(0)()29()f x f x α∇==∇， (1)100()(4/3,8/9,4/3)T d f x d α=-∇+=---．从(1)x 出发，沿1d 进行一维搜索，即求(1)10142362214181418min ()(,,)262233923392261423f x d λλλλλλλλ≥⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪+=------ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭的最优解，得(2)(1)1111/24/333,1/38/9(0,0,0)881/24/3T x x d λλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．此时(2)(2)()(0,0,0),()00.01T f x f x ε∇=∇=<=．得问题的最优解为(0,0,0)T x =，无需再进行迭代计算． 8、求解问题 （方法不限定）()22121212121211min 51022..2330420,0f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥取初始点()0,5T.9、采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=解：取T x)1,1()0(= I B =0 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∇12212)(x x x x x f第一步迭代：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇10)()0(x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-=-10)()0(10)0(x f B d ，ααααφ+-+=+=2)0()0()1(21)()(d x f ，令0)('=αφ，求得2/10=α；第二步迭代：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=211)0(0)0()1(d x x α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇021)()1(x f ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=210)0()1()0(x x s⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∇-∇=121)()()0()1()0(x f x f y⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112/32112/1100010011B-=)1(d ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∇-4121)()1(11x f B ，)()()1()1(d x f ααφ+=，令0)('=αφ，求得21=α。
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解：隐枚举法：
（1）将（0，0，0）（0，0，1）（0，1，0）（1，0，0）（0，1，1）（1，0，1）（1，1，0）（1，1，1）分别带入到约束条件中，可以得到：原问题的最优解是（0，0，1），目标函数最优值2.
（2）将（0，0，0，0，0）（0，0，0，0，1）（0，0，0，1，0）（0，0，1，0，0）….（1，1，1，1，1）分别带入到约束条件中，可以得到：原问题的最优解是（1，1，0，0，0），目标函数最优值-5。
练习题二
1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R1、R2、和R3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量对3种资源报价 作为本问题的决策变量。
确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小”。
functiong=gfun(x)
g=[2*x(1),50*x(2)];
调用frcg.m文件
x0=[2,2]’;epsilon=1e-6;
[x,val,k]=frcg('fun','gfun',x0,epsilon)
单纯形表计算略；当所有非基变量为负数，人工变量 =0.5，所以原问题无可行解。
请同学们自己求解。
Matlab调用代码：
f=[-10;-15;-12];
A=[5,3,1;-5,6,15;-2,-1,-1];
b=[9;15;-5];
lb=[0;0;0];
x=linprog(f,A,b,[],[],lb)
该题可以用单纯形法或matlab自带工具箱命令（linprog）求解。
*9、求解下列不平衡运输问题（各数据表中，方框内的数字为单位价格 ，框外右侧的一列数为各发点的供应量 ，框底下一行数是各收点的需求量 ）：
（1）51710要求收点3的需求必须正好满足。
64680
32515
752050
（2）51020要求收点1的需求必须由发点4供应。
x5
0
x1
2
1
-2
1
0
0
0
x4
2
0
[1]
-2
1
0
0
x5
5
0
1
1
0
1
cj-zj
0
-1
1
0
0
因检验数σ2<0最小，故确定x2为换入非基变量，以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x4作为换出的基变量。
cj→
0
-1
1
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1
6
1
0
-3
2
0
-1
x2
2
0
1
-2
1
0
0
x5
3
0
0
[3]
-1
1
cj-zj
0
0
-1
1
0
因检验数σ3<0最小，故确定x3为换入非基变量，以x1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x5作为换出的基变量。
cj→
0
-1
1
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1
9
1
0
0
1
1
-1
x2
4
0
1
0
1/3
2/3
1
x3
1
0
0
1
-1/3
练习题一
1、建立优化模型应考虑哪些要素?
答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型 ，讨论解的可行域 ，若存在一点 ，对于 均有 则称 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列 ，满足 ，则迭代法收敛；收敛的停止准则有 ， ， ， ， 等等。
故
令 可得 求出 点之后，与上类似地，进行第二次迭代： 令
令步长变量为 ，最优步长为 ，则有
故 令 可得
此时所达到的精度
本题最优解 ，
解二：利用matlab程序求解
首先建立目标函数及其梯度函数的M文件
functionf=fun(x)
f=x(1)-x(2)+2*x(1)*x(1)+2*x(1)*x(2)+x(2)*x(2);
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
2
1
[1]
-2
1
0
0
0
x5
3
2
1
1
0
1
0
0
x6
4
-1
0
1
0
0
1
cj-zj
1
-1
1
0
0
0
因检验数σ2<0，故确定x2为换入非基变量，以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x4作为换出的基变量。
cj→
1
-1
1
0
0
0
CB
基
b
x1
x4
x3
x4
x5
x6
x=
33
y=
-39
最优解[33]；最优值39
（2）调用matlab编译程序bbmethod
f=[-7;-9];G=[-13;71];h=[6;35]
[x,y]=bbmethod(f,G,h,[],[],[0;0],[],[1;0],1)
x=
50
y=
-35
最优解[50]；最优值35
7、用隐枚举法和Matlab软件求解下列问题：
0
0
x4
3
1
2
0
1
cj-zj
4-3M
1-M
0
0
4
x1
1
1
1/3
1/3
0
0
x4
2
0
[5/3]
-1/3
1
cj-zj
0
-1/3
M-4/3
0
4
x1
3/5
1
0
2/5
-1/5
1
x2
6/5
0
1
-1/5
3/5
cj-zj
0
0
M-7/5
1/5
因检验数σj>0，表明已求得最优解： 。
Matlab调用代码：
f=[4;1];
1/3
cj-zj
0
0
0
2/3
1/3
因检验数σj>0，表明已求得最优解： 。
4、分别用大 法、两阶段法和Matlab软件求解下列线性规划问题：
（1） ；（2）
解：（1）大M法
根据题意约束条件1和2可以合并为1，引入松弛变量x3，x4，构造新问题。
cj→
4
1
M
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
M
x3
3
[3]
1
1
输出结果
x=
0
0
1
fval=
2
（2）
调用代码：
f=[-3;-2;5;2;3];
%价值向量f
A=[1,1,1,2,1;7,0,3,-4,3;-11,6,0,-3,3];
%不等式约束系数矩阵A，[]中的分号“；”%为行分隔符
b=[4;8;-1];
%不等式约束右端常数向量b
[x,fval]=bintprog(f,A,b,[],[]);
val=-1.2500
k=1
5、用Fletcher—Reeves法求解问题
其中 ，要求选取初始点 。
解一：
，
第一次迭代：令 ，
即，
第二次迭代：
， ，
第三次迭代：
……（建议同学们自己做下去，注意判别 ）
解二：利用matlab程序求解
首先建立目标函数及其梯度函数的M文件
functionf=fun(x)
f=x(1)^2+25*x(2)*x(2);
， ， ，则由 得 ， ，
再用充分条件进行检验：
， ， ， ， ，
即 为正定矩阵得极小点为 ，最优值为-1。
解二：目标函数改写成
min =
易知最优解为（1,0,0），最优值为-1。
3、用最速下降法求解无约束非线性规划问题。
其中 ，给定初始点 。
解一：目标函数 的梯度
令搜索方向 再从 出发，沿 方向作一维寻优，令步长变量为 ，最优步长为 ，则有
确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：
*2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：
（1） ；（2）
解：（1）引入松弛变量x4，x5，x6
cj→
1
-1
1
0
0
0
CB
functiong=gfun(x)
g=[1+4*x(1)+2*x(2),-1+2*x(1)+2*x(2)];
调用grad.m文件
x0=[0,0];
[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0)