最优化方法练习题答案

（1） ；（2）
解：隐枚举法：
（1）将（0，0，0）（0，0，1）（0，1，0）（1，0，0）（0，1，1）（1，0，1）（1，1，0）（1，1，1）分别带入到约束条件中，可以得到：原问题的最优解是（0，0，1），目标函数最优值2.
（2）将（0，0，0，0，0）（0，0，0，0，1）（0，0，0，1，0）（0，0，1，0，0）….（1，1，1，1，1）分别带入到约束条件中，可以得到：原问题的最优解是（1，1，0，0，0），目标函数最优值-5。
练习题二
1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R1、R2、和R3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量对3种资源报价 作为本问题的决策变量。
确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小”。
functiong=gfun(x)
g=[2*x(1),50*x(2)];
调用frcg.m文件
x0=[2,2]’;epsilon=1e-6;
[x,val,k]=frcg('fun','gfun',x0,epsilon)
单纯形表计算略；当所有非基变量为负数，人工变量 =0.5，所以原问题无可行解。
请同学们自己求解。
Matlab调用代码：
f=[-10;-15;-12];
A=[5,3,1;-5,6,15;-2,-1,-1];
b=[9;15;-5];
lb=[0;0;0];
x=linprog(f,A,b,[],[],lb)
该题可以用单纯形法或matlab自带工具箱命令（linprog）求解。
*9、求解下列不平衡运输问题（各数据表中，方框内的数字为单位价格 ，框外右侧的一列数为各发点的供应量 ，框底下一行数是各收点的需求量 ）：
（1）51710要求收点3的需求必须正好满足。
64680
32515
752050
（2）51020要求收点1的需求必须由发点4供应。
x5
0
x1
2
1
-2
1
0
0
0
x4
2
0
[1]
-2
1
0
0
x5
5
0
1
1
0
1
cj-zj
0
-1
1
0
0
因检验数σ2<0最小，故确定x2为换入非基变量，以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x4作为换出的基变量。
cj→
0
-1
1
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1
6
1
0
-3
2
0
-1
x2
2
0
1
-2
1
0
0
x5
3
0
0
[3]
-1
1
cj-zj
0
0
-1
1
0
因检验数σ3<0最小，故确定x3为换入非基变量，以x1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x5作为换出的基变量。
cj→
0
-1
1
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1
9
1
0
0
1
1
-1
x2
4
0
1
0
1/3
2/3
1
x3
1
0
0
1
-1/3
练习题一
1、建立优化模型应考虑哪些要素?
答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型 ，讨论解的可行域 ，若存在一点 ，对于 均有 则称 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列 ，满足 ，则迭代法收敛；收敛的停止准则有 ， ， ， ， 等等。
故
令 可得 求出 点之后，与上类似地，进行第二次迭代： 令
令步长变量为 ，最优步长为 ，则有
故 令 可得
此时所达到的精度
本题最优解 ，
解二：利用matlab程序求解
首先建立目标函数及其梯度函数的M文件
functionf=fun(x)
f=x(1)-x(2)+2*x(1)*x(1)+2*x(1)*x(2)+x(2)*x(2);
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
2
1
[1]
-2
1
0
0
0
x5
3
2
1
1
0
1
0
0
x6
4
-1
0
1
0
0
1
cj-zj
1
-1
1
0
0
0
因检验数σ2<0，故确定x2为换入非基变量，以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x4作为换出的基变量。
cj→
1
-1
1
0
0
0
CB
基
b
x1
x4
x3
x4
x5
x6
x=
33
y=
-39
最优解[33]；最优值39
（2）调用matlab编译程序bbmethod
f=[-7;-9];G=[-13;71];h=[6;35]
[x,y]=bbmethod(f,G,h,[],[],[0;0],[],[1;0],1)
x=
50
y=
-35
最优解[50]；最优值35
7、用隐枚举法和Matlab软件求解下列问题：
0
0
x4
3
1
2
0
1
cj-zj
4-3M
1-M
0
0
4
x1
1
1
1/3
1/3
0
0
x4
2
0
[5/3]
-1/3
1
cj-zj
0
-1/3
M-4/3
0
4
x1
3/5
1
0
2/5
-1/5
1
x2
6/5
0
1
-1/5
3/5
cj-zj
0
0
M-7/5
1/5
因检验数σj>0，表明已求得最优解： 。
Matlab调用代码：
f=[4;1];
1/3
cj-zj
0
0
0
2/3
1/3
因检验数σj>0，表明已求得最优解： 。
4、分别用大 法、两阶段法和Matlab软件求解下列线性规划问题：
（1） ；（2）
解：（1）大M法
根据题意约束条件1和2可以合并为1，引入松弛变量x3，x4，构造新问题。
cj→
4
1
M
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
M
x3
3
[3]
1
1
输出结果
x=
0
0
1
fval=
2
（2）
调用代码：
f=[-3;-2;5;2;3];
%价值向量f
A=[1,1,1,2,1;7,0,3,-4,3;-11,6,0,-3,3];
%不等式约束系数矩阵A，[]中的分号“；”%为行分隔符
b=[4;8;-1];
%不等式约束右端常数向量b
[x,fval]=bintprog(f,A,b,[],[]);
val=-1.2500
k=1
5、用Fletcher—Reeves法求解问题
其中 ，要求选取初始点 。
解一：
，
第一次迭代：令 ，
即，
第二次迭代：
， ，
第三次迭代：
……（建议同学们自己做下去，注意判别 ）
解二：利用matlab程序求解
首先建立目标函数及其梯度函数的M文件
functionf=fun(x)
f=x(1)^2+25*x(2)*x(2);
， ， ，则由 得 ， ，
再用充分条件进行检验：
， ， ， ， ，
即 为正定矩阵得极小点为 ，最优值为-1。
解二：目标函数改写成
min =
易知最优解为（1,0,0），最优值为-1。
3、用最速下降法求解无约束非线性规划问题。
其中 ，给定初始点 。
解一：目标函数 的梯度
令搜索方向 再从 出发，沿 方向作一维寻优，令步长变量为 ，最优步长为 ，则有
确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：
*2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：
（1） ；（2）
解：（1）引入松弛变量x4，x5，x6
cj→
1
-1
1
0
0
0
CB
functiong=gfun(x)
g=[1+4*x(1)+2*x(2),-1+2*x(1)+2*x(2)];
调用grad.m文件
x0=[0,0];
[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0)
结果
x=[-1.0000,1.5000]
val=-1.2500
k=33
即迭代33次的到最优解x=[-1.0000,1.5000]；最优值val=-1.2500。
表2-28
运价/产粮
(元/吨)区
化肥厂
甲
乙
丙
丁
各厂供应量/万吨
A1
5
4
9
10
7
8
A3
8
4
2
9
3
各区需要量/万吨
6
6
3
3
解：设A、B、C三个化肥厂为A1、A2、A3，甲、乙、丙、丁四个产粮区为B1、B2、B3、B4；cij为由Ai运化肥至Bj的运价，单位是元/吨；xij为由Ai运往Bj的化肥数量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）单位是吨；z表示总运费，单位为元，依题意问题的数学模型为：
输出结果：
原题无可行解。
5、用内点法和Matlab软件求解下列线性规划问题：
解：用内点法的过程自己书写，参考答案：最优解 ；最优值5
Matlab调用代码：
f=[2;1;1];
Aeq=[1,2,2;2,1,0];
beq=[6;5];
lb=[0;0;0];
[x,fval]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb)
输出结果：
Optimizationterminated.
x=
1.3333
2.3333
0.0000
fval=
5.0000
6、用分支定界法求解下列问题：
（1） ；（2）
解：（1）调用matlab编译程序bbmethod
f=[-5;-8];G=[11;59];h=[6;45]
[x,y]=bbmethod(f,G,h,[],[],[0;0],[],[1;1],1)
32410
75215
96015
51015
解答略。
10、一公司经理要分派4位推销员去4个地区推销某种商品。推销员各有不同的经验和能力，因而他们在不同地区能获得的利润不同，其获利估计值如表2-29所示。公司经理应怎样分派才使总利润最大？
表2-29
地区
推销员
1
2
3
4
1
35
27
28
37
2
28
34
29
40
3
35
0
1/3
2/3
0
1
x3
1/3
1/3
0
1
-1/3
1/3
0
0
x6
11/3
-4/3
0
0
1/3
-1/3
1
cj-zj
7/3
0
3
2/3
1/3
0
因检验数σj>0，表明已求得最优解： ，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为： 。
（2）根据题意选取x1，x4，x5，为基变量：
cj→
0
-1
1
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
Matlab软件求解：
（1）
调用代码：
f=[4;3;2];
%价值向量f
A=[2,-5,3;-4,-1,-3;0,-1,-1];
%不等式约束系数矩阵A，[]中的分号“；”%为行分隔符
b=[4;-3;-1];
%不等式约束右端常数向量b
[x,fval]=bintprog(f,A,b,[],[]);
%调用函数bintprog。注意两个空数组的占位作用。
4、试用Newton法求解第3题。
解一：计算目标函数的梯度和Hesse阵
目标函数 的梯度
，其逆矩阵为
计算 。
本题最优解 ，
解二：除了第3题建立两个M文件外，还需建立Hesse矩阵的M文件
利用matlab程序求解
首先建立目标函数及其梯度函数的M文件
functionf=fun(x)
f=x(1)-x(2)+2*x(1)*x(1)+2*x(1)*x(2)+x(2)*x(2);
1→1，2→4，3→3，4→2
此时总利润W=35+40+32+32=139
练习题三
1、用0.618法求解问题
的近似最优解，已知 的单谷区间为 ，要求最后区间精度 。
答：t=0.8115；最小值-0.0886.（调用golds.m函数）
2、求无约束非线性规划问题
min =
的最优解
解一：由极值存在的必要条件求出稳定点：
24
32
33
4
24
32
25
28
解：用求极大值的“匈牙利法”求解。
效率矩阵表示为：
所画（）0元素少于n（n＝4），未得到最优解，需要继续变换矩阵（求能覆盖所有0元素的最少数直线集合）：
未被直线覆盖的最小元素为cij=2，在未被直线覆盖处减去2，在直线交叉处加上2。
∴得最优解：
∴使总利润为最大的分配任务方案为：
-1
x2
2
1
1
-2
1
0
0
0
x5
1
1
0
[3]
-1
1
0
0
x6
4
-1
0
1
0
0
1
cj-zj
2
0
-1
1
0
0
因检验数σ3<0，故确定x3为换入非基变量，以x3的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x5作为换出的基变量。
cj→