(整理)微分方程详解

第二章 微分方程

本章学习目的：

本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。

1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法；

2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；

3．熟练掌握使用MATLAB 软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；

4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。

§2.1 引例 在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222=+x dt

x d ω，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。 这里我们讨论“倒葫芦形状容 器壁上的刻度问题”。

对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：

4/2H D V π=，其中容器的直径D 为常数，体积V 与相对于容器底部的任意高度H 成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。

而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？

如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：

dx x D dV 2)(4

1π=，其中x 表示高度，直径是高度的函数，记为D （x ）。可得微分方程：0

)0()(412

==V x D dx dV π

如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？

h=0.2;

d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17];

x(1)=0;v(1)=0;

for k=1:5

x(k+1)=x(k)+h;

v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);

end

x=x(1:6),v=v(1:6),

plot(x,v)

x =

Columns 1 through 5

0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 6

1.0000

v =

Columns 1 through 5

0 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 6

0.3393

§2.2 微分方程模型的建立

在工程实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，关键词“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到导数。

我们熟悉的速度公式：v dt

dy =就是一个简单的一阶微分方程。 微分方程是指含有导数或微分的等式。

一般形式：

).,,,,(0

),,,,()1()()(-'=='n n n y y y x f y y y y x F 或：

常用的建立微分方程的方法有：运用已知物理定律；利用平衡与增长式；运用微元法；应用分析法。

2.2.1 运用已知物理定律

建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍。

例2.1 一个较热的物体置于室温为180C 的房间内，该物体最初的温度是600C ，3分钟以后降到500C 。想知道它的温度降到300C 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？

牛顿冷却（加热）定律：将温度为T 的物体放入处于常温 m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差。

分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡，保持为m ，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。

建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0， 根据牛顿加热（冷却）定律：）成正比与（m T dt

dT -，建立微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=--=60

)0()(T m T k dt dT （2.1）

其中参数k >0，m =18。

2.2.2 利用平衡与增长式

许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等。利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系。

此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立。

例2.2 战斗模型：两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：

1. 预测哪一方将获胜？

2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？

3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？ 解：模型建立：

设 x(t)： t 时刻X 方存活的士兵数

y(t)： t 时刻Y 方存活的士兵数

假设：

1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量；

2）Y 方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵；

3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队 b 名士兵；

{Δt 时间内X 军队减少的士兵数 }= {Δt 时间内Y 军队消灭对方的士兵数}

即有 Δx =－ayΔt

同理 Δy =－bxΔt

令0→∆t ，得到微分方程组：

⎪⎩⎪⎨⎧>-=>-=)0()

0(b bx dt

dy a ay dt dx （2.2）

2.2.3 微元法

基本思想：通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况建立微分方程。

例2.3 一个高为2m 的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1cm 2。试求放空容器所需要的时间。

解：对孔口的流速做两条假设：

（1）t 时刻的流速依赖于此刻容器内水的高度h (t ).

（2）整个放水过程无能量损失。

分析：

放空容器意味着 ⎩⎨⎧容器内水的高度为零

容器内水的体积为零 模型建立：由流体力学知：水从孔口流出的流速Q 为通过“孔口横截面的水的体积V 对时间t 的变化率”，即

gh S dt

dV Q 262.0== （孔口流速公式） （2.3） S —孔口横截面积（单位：cm 2）

h (t ) —水面高度（单位：cm ）

t —时间（单位：s ）

当S =1cm 2，有dt gh dV 262.0=。

2.2.4 分析法

基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律。