通信原理第2章(4)

∫
x
0
e dt
−t 2
x≥a
当
x ≤ a 时：
x
1 ( z − a)2 F ( x) = ∫ exp[− ]dz 2 −∞ 2σ 2πσ ∞ 1 ( z − a)2 1 = exp[ − ] dz + 2σ 2 2πσ ∫−∞ 2πσ 1 = 1− 2πσ
∫x
∞
( z − a)2 exp[− ]dz 2 2σ
查表可得:
erfc( x) = 1 − erf ( x)
P ( x > 2) = 0.1587
2.3.6 高斯白噪声
信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密 度均匀分布在整个频率范围内，即
n0 Pξ (ω) = 2
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中 n0为一常数，单位是瓦/赫。 显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即：
（3） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对所有j≠k 有bjk=0，这时有： fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)=
1 (2π )
n
n
2
∏σ j
j =1
n
exp[−∑
j =1
n
( x j − a j )2 2σ
]
2 j
]
=∏
j =1
1 exp[ − 2πσ j
1 (2π ) σ 1σ 2 ...σ n B
−1 gexp[ 2B
n 1 2 2 1 2
n n
∑ ∑B
j =1 k =1
xa (x − ) 2ak xk − ak j −
jk
σ
(
2σ
)(
j
σk
)]]
2.3.2 高斯随机过程概率密度函数的重要性质
（1） 可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期 望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。 fn(x1, x2,…, xn; t1,t2,…,tn) =
π
2σ
π
∫
x
1 x−a = 1 − erfc( ) 2 2σ
x≤a
并且他们之间有相互关系如下：
1 x Φ ( x) = 1 − erfc ( ) 2 2 1 x Q ( x ) = erfc( ) 2 2
erfc( x ) = 2Q ( 2 x ) = 2[1 − Φ ( 2 x )]
例:1-2均值为零的高斯随机变量,其方差σ = 4 ,求x>2的概率是多少?
2.3高斯随机过程
2.3.1 定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正态分布，则 称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函数表示如下：
1
n 2 1
fn(x1, x2,…, xn; t1,t2,…,tn)=
(2π ) σ 1σ 2 ...σ n B 2 x j − ak xk − ak −1 n n gexp[ B jk ( )( )] ∑ ∑ 2 B j =1 k =1 σj σk
2 x
解:
a = 0. ∴ x > a
1 1 x−a F ( x) = + erf ( ) 2 2 2σ
1 1 x−a )] P ( x > 2) = 1 − P ( x < 2) = 1 − [ + erf ( 2 2 2σ 1 1 1 = 1 − [ + erf ( )] 2 2 2
1 1 2 = − erf ( ) 2 2 2 1 2 = erfc( ) 2 2
2
1 Φ ( x ) = ∫ φ ( t ) dt = 2π −∞
x
−∞
∫e
x
t2 − 2
dt
( −∞ < x < +∞ )
x2 − 8
如果用今天所学方法:
P ( x > 2) = 1 − P ( x < 2)
= 1 − Φ (1) = Q (1)
x−a 根据：F ( x) = Φ σ
式中，a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。可以很容易 画出概率密度函数的图形：
图2-3 正态分布的概率密度
由上式和上图可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)对称于x=a这条直线。
f ( x) = 1 e 2πσ
2 x−a ) ( −
2σ 2
( −∞ < x < +∞ )
(2)
∫
∫
∞
−∞
f ( x)dx = 1
( x j − a j )2 2σ
2 j
= f(x1, t1)·f(x2, t2)…f(xn, tn) 也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 那么 它们也是统计独立的。 而在我们平时遇到的高斯过程基本都满足以上特性。 因此，我们可以将复杂的多维概率密度求解转化为比较简单的 一维概率密度函数的乘积的形式。
n0 R(τ) = δ (τ ) 2
这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个时刻上的 随机变量都是互不相关的。 下图画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。
Pξ (ω)
R ( τ)
n0 δ (τ ) 2
n0 2
f
0
f
如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。 可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不 仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
1 (2π ) σ 1σ 2 ...σ n B
2 n 1 2
−1 gexp[ 2B
∑ ∑B
j =1 k =1
n
n
jk
(
x j − ak
σj
)(
xk − ak
σk
)]
因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。 （2） 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方 差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质（1）知， 它的n维分布与时间起点无关。 所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。
erfc( x) = 1 − erf ( x) =
2
π
∫
∞
x
e dt
−t 2
它是自变量递减函数，erfc(0)=1，erfc(∞)=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。
我们可以令新积分变量 t = ( z − a ) / 2σ ，代入到一维正态分 布随机变量的分布函数式当中。这里需要分 x ≥ a 与 x ≤ a 两种情 况分别讨论： 当
x
∫
x
−∞
e
− t 2 /2
dt
1 = 2π
= Φ
∫
x −a
σ
−∞
t2 exp(− )dt 2
x−a σ
例:1-1均值为零的高斯随机变量,其方差σ = 4 ,求x>2的概率是多少?
2 x
解:
1 e dx. P ( x > 2) = 1 − P ( x < 2) = 1 − ∫ −∞ 2 2π 2 t 1 1 −2 x = 2t 1 − ∫ e dt. −∞ 2π 查表可得: = 1 − 0.8413 = 0.1587 = 1 − Φ (1)
但是，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。 但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的 工作频带，我们就可以把它视为白噪声。
= 0.1587
2.3.5 误差函数与互补误差函数
（1） 误差函数的定义式为：
erf ( x) =
2
∫ π
x
0
e dt
−t 2
它是自变量的递增函数，erf (0)=0，erf (∞)=1，且erf(-x)=-erf(x)。 （2） 互补误差函数的定义式为： 我们称1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x), 即：
式中:
ak=E[ξ(tk)]，σ2k=E[ξ(tk)-ak]2
而|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即:
B = b 1 21
…
1
b12 … … …
b1n … 1
… b2n
bn1 bn2 …
|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子。 bjk为归一化协方差函数，因此有：
b jk =
E{ξ[(t j ) − a j ]ξ[(tk ) − ak ]} σ j σk
x−a 2 σ 1 1 [( 2 t + a ) − a ) 2σ exp[ − = + ]d 2σ t 2 ∫ 0 2 2σ 2π σ −a 2 1 1 x2 2 σ exp( −t ) dt erf ( x) = = + ∫ 2 π π 0
x ≥ a 时：
1 1 x−a = + erf ( ) 2 2 2σ
2.3.3 一维高斯随机变量概率密度函数的重要性质
根据刚才的内容可知：以后分析问题时，会经常用到高斯过程 中的一维分布。 而高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其 一维概率密度函数可表示为：
1 f ( x) = e 2πσ
2 x −a ) ( −
2σ 2
( −∞ < x < +∞ )
(1)概率积分函数与Q函数
2.3.4 概率积分函数与Q函数(标准正态分布函数)
概率积分函数定义为: 1 Φ( x) = 2π
∫
x
−∞
e
− t 2 /2
dt
x2 − 2
1 e 而刚才出现的标准概率密度函数为: φ ( x ) = 2π
很显然,所谓的概率积分函数,就是随机变量标准正态分布的分布 函数。 这是一个在数学手册上有数值和曲线的特殊函数， 有Φ(∞)=1。 Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其 定义为： 1 ∞ − t 2 /2 Q( x) = 1 − Φ ( x) = e dt , x ≥ 0 ∫ x 2π
F ( x ) = p (ξ ≤ x ) = ∫
x
−∞
1 ( z − a)2 exp[− ]dz 2 2σ 2πσ
这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和 可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，将其转换为可 以用数学表查出值的特殊函数的形式。
一般常用以下几种特殊函数： (2)误差函数与互补误差函数
且有： −∞ f ( x)dx =
a
∫
∞
a
1 f ( x )dx = 2
（3） a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ的 减小而变高和变窄。 当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布的概率密度函数：
1 φ ( x) = e 2π
x2 − 2
( −∞ < x < +∞ )
在实际解题中，往往需要我们求高斯随机变量ξ小于或等于任 意取值x的概率P(ξ≤x) ，因此还要用到正态分布函数。 正态分布函数是概率密度函数的积分，即：
我们可以令新积分变量 t = ( z − a ) / σ ，代入到一维正态分布随 机变量的分布函数式当中。得到：
1 ( z − a) 2 F ( x) = ∫ exp[− ]dz 2 1 −∞ 2σ 2πσ Φ( x) = 2π x 1 ( z − a)2 = exp[− ]dz 2 ∫ −∞ 2σ 2πσ x−a 2 1 [ ( t σ + a ) − a )] t =( z − a )/σ σ exp[ − ]dtσ → 2 ∫ 2σ 2πσ −∞
∫x
∞
( z − a)2 exp[− ]dz 2 2σ
t = ( z − a ) / 2σ
∞ 1 [( 2σ t + a) − a) 2 = 1− ]d 2σ t x − a exp[ − 2 ∫ 2σ 2πσ 2σ ∞ 1 ∞ 2 2 2 − t = 1− e dt ∫ x−a exp(−t )dt erfc( x) =
显然，当n=1的时候。就是一维随机变量正态分布的概率密度函 数: 1 b12 … b1n 2
1 f ( x) = e 2πσ
−
( x −a )
2σ 2
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( −∞ < x < +∞ )
B= b 1 21
…
… b2n
… … …
bn1 bn2 …
1
= f1 tt2 ,…,ttn )= n(x1, x2,…, xn; t1 ,, 2,…, n)
x
1 ( z − a)2 F ( x) = ∫ exp[− ]dz 2 −∞ 2σ 2πσ a x 1 ( z − a)2 1 ( z − a)2 = exp[− ]dz + exp[− ]dz 2 2 ∫ ∫ −∞ a 2σ 2σ 2πσ 2πσ x 1 1 ( z − a)2 = + exp[− ]dz 2 ∫ t = ( z − a ) / 2σ a 2 2σ 2πσ