第7章习题解答

7－1. 在图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为M，另在滑块D上作用水平力F。机构尺寸如图所示。求当机构平衡时，力F与力偶矩M的关系。

7－2. 图示桁架中，已知AD=DB=6m，CD=3m，节点D处载荷为P。试用虚位移原理求杆3的内力。

7－3. 组合梁由铰链C 铰接AC 和CE 而成，载荷分布如图所示。已知跨度l=8m ，P=4900N ，均布力q=2450N/m ，力偶矩M=4900N ⋅m ；求支座反力。

N 2450N 14700N 2450==-=E B A F F F ，，

7－4 组合梁由水平梁AC 、CD 组成，如图所。已知：F 1= 20kN ，F 2 = 12kN ，q = 4kN/m ，M = 2kN ·m 。不计梁自重，试求：固定端A 和支座B 处的约束力。

组合梁由水平梁AC 、CD 组成，如图12－16a 所。已知：F 1= 20kN ，F 2 = 12kN ，q = 4kN/m ，M = 2kN ·m 。不计梁自重，试求：固定端A 和支座B 处的约束力。

(a)

2 2

(b)

(d )

(e)

图12－16 例题12－5图

解：组合梁为静定结构，其自由度为零，不可能发生虚位移。为能应用虚位移原理确定A 、B 二处的约束力，可逐次解除一个约束，代之以作用力，使系统具有一个自由度，并解除约束处的正应力视为主动力；分析系统各主动力作用点的虚位移以及相应的虚功，应用虚位移原理建立求解约束力的方程。

为方便计算，可事先算出分布载荷合力大小及作用点。对于本例：

kN 41=⨯==q F F K H

各作用点如图12－16b 所示，且HC = CK = 0.5m 。

1．计算支座B 处的约束力

解除支座B ，代之以作用力F N B ，并将其视为主动力。

此时，梁CD 绕点C 转动，系统具有一个自由度。设梁CD 的虚位移为ϕδ，则各主动力作用点的虚位移如图12－16b 所示。

应用虚位移原理，有

0δ=∑

F W ，

0δ30sin δδδ2N =︒+--D B B K K r F M r F r F ϕ （a ）

图12－16b 中的几何关系，

2

2

2

δr

ϕϕϕδ2δ;δδ;

δ5.0δ===D B K r r r

将上述各式代入虚位移原理表达式（a ），有

0δ)5.0(2N =+--ϕF M F F B K （b ）

因为0δ≠ϕ，于是，由式（b ）求得支座B 的约束力为

kN 125.02N =-+=M F F F K B （c ）

2．求固定端A 处的约束力偶

解除A 端的转动约束，使之成为允许转动的固定铰支座，并代之以约束力偶M A ， 将M A 视为主动力偶（图12－16c ）。这时，梁AC 和CD 可分别绕点A 、B 转动，系统具有一个自由度。设梁AC 有一虚位移δβ，则梁AC 、CD 上各主动力作用点相应的虚位移如图12－16c 所示。

根据虚位移原理

0δ=∑F W ，

可得下述方程

0δ60cos δδδδδ21=-︒+---γβM r F r F r F r F M D K K H H E A （d ）

根据图12－6c 中所示之几何关系，各主动力作用点的虚位移分别为

β

γβγβ

γββδ2δδ,

δδ5.0δδ2δ,δ5.1δ,δ5.0δ=======D K H E r r r r

代入式（d ），得到

0δ)25.15.0(21=-+---βM F F F F M K H A （e ）

由于 δβ≠0 ，所以

m kN 1225.15.021⋅=+-++=M F F F F M K H A （逆时针转向） （f ）

3．求固定端A 处的水平约束力

解除A 端的水平约束，使之变为只能水平移动、而不能铅直移动和自由转动的新约束（图12－16d ），视水平约束力F Ax 为主动力。这时系统具有一个自由度，使梁AC 和CD 只能沿水平方向平动，设A 点有一水平虚位移δx A ，则其他主动力作用点，将产生如图12－16d 所示的虚位移。

应用虚位移原理，写出

060sin δδ2=︒-D A Ax r F x F （g ）

由于系统水平平动，所以δx A =δ r D ，故上式为

0δ)60sin (2=︒-A Ax x F F （h ）

因为 δx A ≠0，所以

kN 3660sin 2=︒=F F Ax （i ）

4．求固定端A 处的铅垂约束力

解除A 端的铅直约束，使之变成只能铅直移动，而不能水平移动和自由转动的新约束（图12－16e ），并视铅垂约束力F Ay 为主动力。这时，梁AB 平动，梁CD 绕点B 转动，系统具有一个自由度。

设点A 有一铅垂虚位移δy A ，其余各主动力作用点及梁CD 的虚位移如图12－16e 所示。应用虚位移原理，有

0δδ30sin δδδδ21=-︒+---θM r F r F r F r F y F D K K H H E A Ay （j ）

由于梁AC 铅垂平动，梁CD 绕点B 转动，于是，由图12－16e 得到：

A

C

A K A

C H E y CB

r y r y r r r δδδ,δ5.0δδδδδ======θ 将上述各式代入式（j ），得

0δ)30sin 5.0(21=-︒+---A K H Ay y M F F F F F （k ）

因为 0δ≠A y ，故有

kN 225.05.021=+-++=M F F F F F K H Ay

7－5. 试求图示梁－桁架组合结构中1、2两杆的内力。已知kN 41=F ，kN 52=F 。

1．求杆1内力，给图（a ）虚位移，虚功表达式为

0cos δcos δδδ1N 1N 21='++--ϕϕG F E D r F r F y F y F 因为

θ

δ3δ=D y ，θδ2δ=E y ， θδ5δ=F r ，θδ5δ=G r

所以