数学归纳法,数列极限

第10讲 数学归纳法、数列极限

一、

知识要点 1.

数学归纳法及其证明步骤 2.

数列极限 3.

数列极限的四则运算性质 4.

无穷数列的各项和 二、

经典例题 1. 数学归纳法

例1. 用数学归纳法证明:

（1）(1)(2)...()213...(21)n n n n n n +++=-

（2）设1111...,23n a n N n

*=++++∈，证明对一切2n ≥的自然数，等式121...(1)n n a a a n a -+++=-均成立

例2. n N *∈，用数学归纳法证明：

（1）21243n n +++能被13整除

（2）(31)71n n +⨯-能被9整除

例3. （1）数列{}n a 满足2111,1n n n a a a na +==-+，猜想并证明n a 的一个通项公

式

（2）数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1,n n N *

>∈时，11n n n S a a --=-，

求123,,a a a ，并求证{}n a 是等比数列

2. 数列的极限

例4. 求下列各个数列极限

（1）n （2）32

2lim()2112n n n n n →∞+-- （3）23lim (1)1

n

n n a a a →∞<+

例5. 求下列各个数列极限

（1）12lim()21

n n n n +→∞- （2）22221321lim[...](1)(1)(1)n n n n n n →∞-++++++

例6. 求下列各个数列极限：

（1）11113lim 3n n n n n a a ----→∞-+ （2）(1)1lim()a n n n n

+→∞+

例7. 计算：（1）2221321lim(..)12n m n n n m

→∞-++++++ （2）222lim(..)1335(21)(21)

n n n →∞+++⨯⨯-⨯+ （3）22221111lim[(1)(1)(1)...(1)]234n n

→∞---- （4）23231

1...lim (1)1...n

n n a a a a a b b b b b -→∞+++++<≤+++++

3. 无穷等比数列各项和以及应用

例8. 利用等比数列各项和，计算：

（1）111...( (224)

n -+-+-+++ （2）121412()()..() (234923)

n

n n +++++++ （3）223234

(1...)(1...)(1...)...q q q q q q q q ++++++++++++ 11(1...)...(01)n n n q q q q --+++++<<

例9. 已知函数()()y f x x D =∈，方程()f x x =的根x ，称为函数()f x 的不动点；

若1a D ∈，1()n n a f a +=()n N *

∈，则称{}n a 为由函数()f x 导出的数列

设函数 242(),()(0,0,()40)3x ax b g x h x c ad bc d a bc x cx d

++==≠-≠-+>++ （1） 求函数()g x 的不动点12x ，x

（2） 设13a =，{}n a 是由函数()g x 导出的数列，对（1）中的两个不动点

12x ，x （12x

{

}n n a x a x --是等比数列，并求lim n n a →∞

例10. 已知()y f x =满足1(1)()lg (0,1,2,)n f n f n a a a n n N -*-=->≠≥∈，且

(1)lg f a =，是否存在实数,αβ，使得2()(1)lg f n n n a αβ=+-对于任

何n N *

∈都成立，证明你的结论

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