线面积分典型例题

线面积分典型例题

一、对弧长的积分的概念、性质

1、概念：n

i i i L

i f x y ds f s 0

1

(,)lim (,)λξη→==∆∑⎰

其中：L ：平面上的曲线弧段，

λ：L 上各小弧段的长度的最大值，

i s ∆：L 上第i 个小弧段的长度

2、几何意义：L

ds =⎰表示L 的弧长。

3、性质：被积函数的x y ,满足L 的方程，与L 的方向无关，对积分路径的可加性

4、计算公式

（1）x t L t y t ()

:,()ϕαβ=⎧≤≤⎨=ψ⎩

，则L f x y ds f t t (,)((),(β

α

ϕ=

ψ⎰⎰

（2）x x

L y y x a x b a x b y y x :(),,()

=⎧=≤≤⇒≤≤⎨=⎩，则

b

L

a

f x y ds f x y x (,)(,(=

⎰

⎰

（3）x x y L x x y c y d c y d y y

()

:(),,=⎧=≤≤⇒≤≤⎨=⎩，则

d

L

c

f x y ds f x y y (,)((),=

⎰

⎰

例1 （08年期末考试，一、6，4分）设L 为直线y x =上点(0,0)到点（1，1）之间的一段，则曲线积分L

xy ds 2⎰＝ 。

例2 （07年期末考试，二、2，3分）曲线L 为从原点到点（1，1）的直线段，

则曲线积分L

⎰的值等于 。

例3 （06年期末考试，一、4，3分）设平面曲线L 为下半圆周y =

则曲线积分L

x y ds 22()+⎰的值等于 。

例4 （03年期末考试，五，8分）在曲线弧L ：x t t y t t sin ,1cos (02)π=-=-≤≤上分布有质点，线密度x y y (,)ρ=，求它的质量。

二、对坐标的曲线积分

1、概念：L

P x y dx Q x y dy (,)(,)+⎰，L 为有向曲线

2、物理意义：变力F P x y Q x y {(,),(,)}=沿有向曲线L 所做的功。

3、性质：被积函数的x y ,满足L 的方程，与L 的方向有关（L

L

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy (,)(,)(,)(,)-+=-+⎰⎰），对积分路径的可加性

4、计算公式

（1）x t L t t y t ():,,()起点终点ϕαβ=⎧==⎨=ψ⎩

，则

[][]{}L

P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt (,)(,)((),()()((),()()β

α

ϕϕϕ''+=

ψ+ψψ⎰

⎰ （2）x x

L y y x x a x b x a x b y y x :(),,,,()

起点终点起点终点=⎧===⇒==⎨=⎩，则

[]b

L

a

P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx (,)(,)(,())(,())()'+=

+⎰

⎰

（3）x x y L x x y y c y d y c y d y y

()

:(),,,,起点终点起点终点=⎧===⇒==⎨=⎩，则

[]d

L

c

P x y dx Q x y dy P x y y x y Q x y y dy (,)(,)((),)()((),)'+=

+⎰

⎰

（4）两类线积分之间的关系

[]L

L

P x y Q x y ds P x y dx Q x y dy (,)cos (,)cos (,)(,)αβ+=+⎰⎰

,αβ为有向曲线L 在（x ，y ）处的切向量的方向角

5、格林公式及其应用

（1）格林公式：L D Q P dxdy P x y dx Q x y dy x y (,)(,)⎛⎫

∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，L 是闭区域D

的取正向的边界曲线。

注意：（ⅰ）公式成立的的条件：D 为闭区域，L 是D 的取正向的边界曲线，函数P x y Q x y (,),(,)在D 上有一阶连续偏导数。

（ⅱ）格林公式的适用范围：若不满足，可补充适当的有向弧段，使得L 封闭；或补充适当的闭曲线挖去奇点，使之满足格林公式。 （2）曲线积分与路径无关的概念及定理

定理：设区域G 是一个单连通区域，函数P x y Q x y (,),(,)在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分L

P x y dx Q x y dy (,)(,)+⎰在G 内与路径无关（或沿G

内任意闭曲线的曲线积分为零）⇔

Q P

x y

∂∂=∂∂在G 内恒成立。 （3）P x y dx Q x y dy (,)(,)+为全微分式的概念，如何求u x y (,)使得

du x y P x y dx Q x y dy (,)(,)(,)=+？

定理：设区域G 是一个单连通区域，函数P x y Q x y (,),(,)在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分L

P x y dx Q x y dy (,)(,)+⎰在G 内为某一函数u x y (,)的

全微分⇔

Q P

x y

∂∂=∂∂在G 内恒成立，且 x y x y u x y P x y dx Q x y dy 0,0(,)()

(,)(,)(,)=+⎰

，x y 00(,)为G 内一点

例1 （08年期末考试，一、5，4分）设L 为取逆时针方向的圆周x y 229+=，则曲线积分L

xy y dx x x dy 2(22)(4)-+-⎰＝ 。

例2 （07年期末考试，六、7分）计算xy xy L

ye x y dx xe x y dy (31)(33)+-+++-+⎰，

其中L 为从点（－a ，0

）沿椭圆y =-a ，0）的一段曲线。