线面积分典型例题

线面积分典型例题一、对弧长的积分的概念、性质1、概念：ni i i Li f x y ds f s 01(,)lim (,)λξη→==∆∑⎰其中：L ：平面上的曲线弧段，λ：L 上各小弧段的长度的最大值，i s ∆：L 上第i 个小弧段的长度2、几何意义：Lds =⎰表示L 的弧长。

3、性质：被积函数的x y ,满足L 的方程，与L 的方向无关，对积分路径的可加性4、计算公式（1）x t L t y t ():,()ϕαβ=⎧≤≤⎨=ψ⎩，则L f x y ds f t t (,)((),(βαϕ=ψ⎰⎰（2）x xL y y x a x b a x b y y x :(),,()=⎧=≤≤⇒≤≤⎨=⎩，则bLaf x y ds f x y x (,)(,(=⎰⎰（3）x x y L x x y c y d c y d y y():(),,=⎧=≤≤⇒≤≤⎨=⎩，则dLcf x y ds f x y y (,)((),=⎰⎰例1 （08年期末考试，一、6，4分）设L 为直线y x =上点(0,0)到点（1，1）之间的一段，则曲线积分Lxy ds 2⎰＝ 。

例2 （07年期末考试，二、2，3分）曲线L 为从原点到点（1，1）的直线段，则曲线积分L⎰的值等于 。

例3 （06年期末考试，一、4，3分）设平面曲线L 为下半圆周y =则曲线积分Lx y ds 22()+⎰的值等于 。

例4 （03年期末考试，五，8分）在曲线弧L ：x t t y t t sin ,1cos (02)π=-=-≤≤上分布有质点，线密度x y y (,)ρ=，求它的质量。

二、对坐标的曲线积分1、概念：LP x y dx Q x y dy (,)(,)+⎰，L 为有向曲线2、物理意义：变力F P x y Q x y {(,),(,)}=沿有向曲线L 所做的功。

3、性质：被积函数的x y ,满足L 的方程，与L 的方向有关（LLP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy (,)(,)(,)(,)-+=-+⎰⎰），对积分路径的可加性4、计算公式（1）x t L t t y t ():,,()起点终点ϕαβ=⎧==⎨=ψ⎩，则[][]{}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt (,)(,)((),()()((),()()βαϕϕϕ''+=ψ+ψψ⎰⎰ （2）x xL y y x x a x b x a x b y y x :(),,,,()起点终点起点终点=⎧===⇒==⎨=⎩，则[]bLaP x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx (,)(,)(,())(,())()'+=+⎰⎰（3）x x y L x x y y c y d y c y d y y():(),,,,起点终点起点终点=⎧===⇒==⎨=⎩，则[]dLcP x y dx Q x y dy P x y y x y Q x y y dy (,)(,)((),)()((),)'+=+⎰⎰（4）两类线积分之间的关系[]LLP x y Q x y ds P x y dx Q x y dy (,)cos (,)cos (,)(,)αβ+=+⎰⎰,αβ为有向曲线L 在（x ，y ）处的切向量的方向角5、格林公式及其应用（1）格林公式：L D Q P dxdy P x y dx Q x y dy x y (,)(,)⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，L 是闭区域D的取正向的边界曲线。

注意：（ⅰ）公式成立的的条件：D 为闭区域，L 是D 的取正向的边界曲线，函数P x y Q x y (,),(,)在D 上有一阶连续偏导数。

（ⅱ）格林公式的适用范围：若不满足，可补充适当的有向弧段，使得L 封闭；或补充适当的闭曲线挖去奇点，使之满足格林公式。

（2）曲线积分与路径无关的概念及定理定理：设区域G 是一个单连通区域，函数P x y Q x y (,),(,)在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分LP x y dx Q x y dy (,)(,)+⎰在G 内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）⇔Q Px y∂∂=∂∂在G 内恒成立。

（3）P x y dx Q x y dy (,)(,)+为全微分式的概念，如何求u x y (,)使得du x y P x y dx Q x y dy (,)(,)(,)=+？定理：设区域G 是一个单连通区域，函数P x y Q x y (,),(,)在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分LP x y dx Q x y dy (,)(,)+⎰在G 内为某一函数u x y (,)的全微分⇔Q Px y∂∂=∂∂在G 内恒成立，且 x y x y u x y P x y dx Q x y dy 0,0(,)()(,)(,)(,)=+⎰，x y 00(,)为G 内一点例1 （08年期末考试，一、5，4分）设L 为取逆时针方向的圆周x y 229+=，则曲线积分Lxy y dx x x dy 2(22)(4)-+-⎰＝ 。

例2 （07年期末考试，六、7分）计算xy xy Lye x y dx xe x y dy (31)(33)+-+++-+⎰，其中L 为从点（－a ，0）沿椭圆y =-a ，0）的一段曲线。

例3 （07年期末考试，十二、7分）设曲线积分Lxy dx y x dy 2()ϕ+⎰与路径无关，其中x ()ϕ连续可导，且(0)0ϕ=，计算xy dx y x dy (1,1)2(0,0)()ϕ+⎰。

例4 （06年期末考试，八、8分）设f x ()(,)在-∞+∞上有连续的一阶导数，求曲线积分L y f xy x dx y f xy dy y y 2221()()1+⎡⎤+-⎣⎦⎰，L 为从点A B 2(3,)(1,2)3到点。

例 5 （04年期末考试，二、3，3分）曲线积分Lax bxy y dx ax bxy cy dy 2222()()+++++⎰与路径无关的充要条件是 。

例6（04年期末考试，四、3，7分）设u ()ϕ有连续导数，u x y 22=+，计算曲线积分[]AB x u y dx y u xy dy 2()()2ϕϕ⎡⎤+++⎣⎦⎰，式中AB 是第一象限中连接点A(5,0)， B(3,4)的任意光滑曲线。

例7（03年期末考试，七、10分）设f x ()(0,)定义在+∞，具有一阶连续导数，f (1)0=，且对在右半平面内的任意闭曲线L ，曲线积分x yL e f x ydx xf x e dy ()()0⎡⎤⎡⎤-++=⎣⎦⎣⎦⎰。

求（1）f x ();（2）求函数u x y (,)使它的全微分等于x ye f x ydx xf x e dy ()()⎡⎤⎡⎤-++⎣⎦⎣⎦。

例8 （02年期末考试，七、10分）已知变力F yzi zx j xyk =++，问将质点从原点沿直线移到曲面x y za b c2222221++=的第一卦限部分上的哪一点做功最大？并求出最大功。

例9（99研）求x x LI e y b x y dx e y ax dy sin ()(cos )⎡⎤=-++-⎣⎦⎰，其中a ，b为正的常数，L 为从点A(2a,0)沿曲线y =O(0,0)的弧。

例10（2000研）计算曲线积分Lxdy ydxx y 224-+⎰，其中L 是以点(1,0) 为中心，R(>1)为半径的圆周，取逆时针方向。

例11 计算L xdy ydxx y 22-+⎰，L 为曲线x a t t a y a t (sin )(1cos )π=--⎧⎨=-⎩中从t ＝0到t ＝2π的一段。

三、对面积的曲面积分1、概念：f x y z dS (,,)∑⎰⎰，∑为空间曲面2、几何意义：dS ∑=⎰⎰∑的面积；物理意义：面密度为u f x y z (,,)=的曲面∑的质量。

3、性质：被积函数的x y ,满足∑的方程，对积分区域的可加性4、计算公式（1）若z z x y dS :(,),∑==，xyD f x y z dS f x y z x y (,,)(,,(,∑=⎰⎰⎰⎰（2）若y y x z dS :(,),∑==，xzD f x y z dS f x y x z z (,,)(,(,),∑=⎰⎰⎰⎰（3）若x x y z dS :(,),∑==，yzD f x y z dS f x y z y z (,,)((,),,∑=⎰⎰⎰⎰例 1 （08年期末考试，五，7分）计算x y dS (1)∑++⎰⎰，其中∑为z x y z 221()(01)2=+≤≤。

例2 （07年期末考试，一、3，3分）已知曲面∑的方程为z x y z 221(0)=--≤，则22=⎰⎰。

例3 （06年期末考试，九、8分）计算曲面积分x y z dS ()∑++⎰⎰，其中∑为上半球面x y z R z 2222(0)++=≥。

例4设曲面∑是x y z 2366++=位于第一卦限部分，则曲面积分x y z dS ()32∑++=⎰⎰ 。

例5设曲面∑是z x y z 221()(1)2=+≤，求曲面积分zdS ∑⎰⎰。

例 6 计算曲面积分dSx y 2(1)∑++⎰⎰，其中∑是x y z x y z 1,0,0,0++≤≥≥≥的边界曲面。

四、对坐标的曲面积分1、概念：P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy (,,)(,,)(,,)∑++⎰⎰，∑为空间有向曲面2、物理意义：设稳定流动的不可压缩流体的流速场由v P x y z i Q x y z j R x y z k (,,)(,,)(,,)=++给出，∑是速度场中的一片有向曲面，则在单位时间内流向∑指定侧的流量为P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy (,,)(,,)(,,)∑++⎰⎰3、性质：被积函数的x y ,满足∑的方程，对积分区域的可加性，R x y z dxdy (,,)∑⎰⎰＝R x y z dxdy (,,)-∑-⎰⎰，-∑指的是与∑相反的一侧。

当曲面∑为母线平行于z 轴的柱面时，∑在xoy 面的投影为一曲线段，因此投影面积为0，从而R x y z dxdy (,,)∑⎰⎰＝0.。

其余两种情况类似。

4、计算公式 （1）“一投二代三定号”xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy (,,)(,,(,))∑=±⎰⎰⎰⎰yzD P x y z dydz R x y z y z dydz (,,)((,),,)∑=±⎰⎰⎰⎰xzD Q x y z dzdx R x y x z z dzdx (,,)(,(,),)∑=±⎰⎰⎰⎰（2）利用两类面积分之间的联系[]Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS cos cos cos αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰x y z cos ,cos ,cos (,,)是有向曲面在处的法向量的单位余弦αβγ∑注：第一类曲面积分可以自己选择合适的投影方向，该关系可简化第二类曲面积分的计算，实现投影转移。