行星齿轮减速器的相关计算
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下面先讨论这种转化机构的常用方法——转臂固定法，其次再讨论 转化机构法的普遍关系式。
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1. 转臂固定法
如图2.1-1a所示的行星齿轮传动中，设各构件的角速度方向如图 所示。给整个行星齿轮传动加一个公共的角速度（-ωH）后便得到图 2.1-1b所示的转化机构。在转化机构中，各构件的角速度（相对于转 臂H的角速度）如表2.1-1所示。
角度变位传动或称不等移距变位齿轮传动，其变位系数和ｘ∑ ＝ｘ2±ｘ1≠0。当ｘ∑＞0时称为正传动；ｘ∑＜0时称为负传动， 应用较多的是正传动（参见图2.3-3）。采用角度变位正传动的 主要目的在于：凑中心距，避免齿轮根切，减小齿轮机构尺寸； 减少齿面磨损，提高承载能力，还有避免干涉等。
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行星齿轮减速器的相关计算
大于100的质数齿（如101，103……）的齿轮尽量不要采用，因切 齿时机械式机床计算调整较为繁琐。当采用插齿和剃齿时精加工时， 任何一个齿轮的齿数不应是插齿刀或剃齿刀齿数的倍数。
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2.2.1.2 确定各轮齿数的方法
确定各轮齿数的方法是建立在前述各种需要满足的条件的基础上，通常 有分析法和查表法，下面着重介绍分析法。
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其一是从制造上要求双联行星轮中两齿圈上各有一齿或齿槽的中 心线重合于同一径向直线Q（或平面），且分布在该径向直线的两端 （对NW型，图2.2-3a）或同一侧（对NN和WW型，见图2.2-3b）， 并给这两个特定轮齿打上记号，作为装配时定位之用。其二是各齿轮 的齿数与行星轮个数之间应满足一定的条件。
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2.1.1分析法
2.1.1.1相对速度法 相对速度法又称转化机构法，首先由威尔斯（Willes）于1841年
提出的。理论力学中的相对运动原理，即“一个机构整体的绝对运动 并不影响机构内部各构件间的相对运动”。这正如一手表中的秒针、 分针和时针的相对运动关系不因带表人的行动变化而变化。根据这一 相对运动原理，我们给整个行星轮系加上一个与转臂H的角速度ωH大 小相等、方向相反的公共角速度（-ωH）后，则行星机构中各构件间 的相对运动关系仍保持不变。但这时转臂H将固定不动，行星轮系便 转化成了定轴齿轮传动，此假想的定轴齿轮传动称为原行星齿轮传动 的转化机构。这样便可用定轴齿轮传动的传动比计算方法，首先算出 转化机构的传动比，进而求得行星齿轮传动各构件间的传动比。
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正变位与负变位 刀具中线移远齿轮坯中心，即齿条刀具中线与被 加工齿轮的分度圆分开时，称正变位，ｘ为正值，所切出的齿轮为正变 位齿轮。刀具中线移近齿轮坯中心，即齿条刀具中线与被加工齿轮的分 度圆相交时，称负变位，ｘ为负值，所切出的齿轮为负变位齿轮。
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2.2.1 行星齿轮传动齿轮齿数选择 2.2.1.1 确定各轮齿数应满足的条件
行星传动各轮齿数不能随意选取，必须根据行星传动的特点，满足一定条 件，才能进行正常传动。这些条件是：
a.传动比条件; b.邻接条件; c. 同心条件; d.装配条件; e.其它条件(轮齿强度、啮合质量等)。
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2.3.2 变位齿轮传动的类型
根据两个相互啮合齿轮的变位系数之和，变位齿轮传动可分为下列 两个类型：高度变位齿轮传动与角度变位齿轮传动。
2.3.2.1 高度变位齿轮传动
其变位系数和为ｘ∑＝ｘ2±ｘ1＝0, 即ｘ2＝-ｘ1，故亦称等移距变位。 采用高度变位的主要目的在于：避免根切、减小机构的尺寸和重量；改 善齿轮副的磨损情况，以及提高其承载能力。
式（2-14）称为配齿计算式，式中传动比以分数形式代入。当选定某一适当的za值 后，便可求出zg和zb，最后按式（2.2-5）校核邻接条件。因各轮齿数和M值都是正整数， 故在选取za值时，应使式（2.2-14）右端各项数值都是正整数。用比例法配齿数，可 得到较精确的传动比。
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方法可得到转化机构中任意两构件的传动比。若中心轮 a、b 分别为转化机构的
主从动轮，则其传动比为：
H
i ab
H
a H
b
a
b
z z z H g b b
z z z H
a
g
a
（2.1-1）
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（其它类型配齿计算见资料）
2.2.2 NGW型行星齿轮传动齿轮参数的选择
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2.1 传动比的计算
传动比就是输入转速与输出转速之比。该比值大于1为减速传动， 反之为增速传动。
研究行星齿轮传动的传动比，离不开运动学——就是确定行星齿轮 传动中构件间的传动比和各构件的角速度。其运动学分析大致可分为 分析法和图解法两大类，其中分析法包括相对速度法、列表法和能量 法等；图解法包括速度图解法和矢量图解法。
图2.2-3 双联行星轮标记线
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5.其它条件 （1）轮齿强度
在考虑到轮齿强度方面的要求而又不增大传动的尺寸和重量时， 若承载能力取决于齿面接触强度，则各轮齿数取较多齿数的组合方案 是合理的；若承载能力取决于齿根弯曲强度，则各轮齿数取较少齿数 的组合方案是适宜的。
1. 传动比条件
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2. 邻接条件
在行星传动中，为了提高承载能力，减少机构尺寸，并考虑到动 力学的平衡问题，常在太阳轮与内齿轮之间均匀、对称地布置几个行 星齿轮。为使相邻两个行星齿轮不相互碰撞，要求其齿顶圆间有一定 的间隙，称为邻接条件。设相邻两个行星轮中心之间的距离为L，最 大行星轮齿顶圆直径为dag（见图2.2-1），则邻接条件为：L＞ dag
由于啮合副中的小齿轮采用正变位（ｘ1>0），当其齿数比u＝z2/z1的 值一定时，可以使小齿轮的齿数z1＜zmin，而不会产生根切现象，从而可 减小齿轮的外形尺寸和重量。同时由于小齿轮采用正变位，其齿根厚度 增大，齿根的最大滑动率减小，故可改善磨损情况和提高承载能力。
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采用高度变位虽可在一定程度上改善行星齿轮传动的性能， 但存在一定的缺点，如在小齿轮齿根强度提高的同时，大齿轮的 齿根强度有所下降；齿轮副不能采用更大的模数等。故在行星齿 轮传动中较为广泛的是采用角变位传动。 2.3.2.2 角度变位齿轮传动
2.2.2.1传动比的选用及分配
行星传动的传动比许用范围受结构及强度两方面的制约。 在结构方面，最大传动比受行星轮邻接条件的限制，即与行星轮的个数 ｎp有关；最小传动比受行星轮最小直径的限制（如行星轮轴孔中放置滚动 轴承）。 在强度方面，过大的传动比将使外啮合齿轮的接触强度明显降低，表 2.2-5列出了不同传动比下许用输出扭矩修正概略值。
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对重载传动的低速级齿圈宽径比系数Φ’可在1/5～1/4之间取值，即 ｂ＝d3/(4～5)。当传动比较大时，建议采用较小的齿宽。
Φ’与Φd、Φa的近似换算关系是：
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2.3 齿轮变位系数的选择
在行星齿轮传动中，除采用标准齿轮传动外，还采用变位齿轮 传动。
图2.2-5是根据接触与弯曲等强度条件推荐的z1max值，图中硬度值 是大齿轮的最低硬度，小齿轮的硬度等于或大于大齿轮的硬度。硬度 200HB、300HB和45HRC是整体热处理的硬度，60HRC是轮齿表面硬度。
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图2.2-5 小齿轮的最大齿数z1max a) 一般齿轮 b) 高速齿轮
由于采用正变位，可使齿轮副中的小齿轮的齿数ｚ1＜ｚmin而不产生根 切，从而可使机构的尺寸减少。由于啮合齿轮副中的两齿轮均可以采用 正变位，即ｘ1＞0和ｘ2＞0，从而增大其啮合角和轮齿齿根厚度，这样可 改善其耐磨性，提高其承载能力。此外，只要适当选取变位系数，可获 得齿轮副的不同啮合角，从而配凑它们的中心距。
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（2）NW型、WW型和NN型的装配条件 在这三种型式的行星传动中，行星轮为双联齿轮。如果行星轮的
两个齿圈的相对位置可以在安装时调整，则只要满足传动比、邻接与 同心条件就可以装配，且装配后再将行星轮两个齿圈相互固定成一体 即可。若双联行星轮是在同一坯料上插齿而成不可调的一个整体零件， 则其装配条件有两个。
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4. 装配条件
一般行星传动中，行星轮数目大于1。要使几个行星轮能均匀装入，并保 证与中心轮正确啮合而没有错位现象，所应具备的齿数关系即为装配条件。
（1）NGW型的装配条件
行星轮均布，相邻两行星轮所夹的中心角为2π/np，该中心角区域内太阳 轮、行星轮、内齿圈节圆连线所组成的扇形中所包含的齿距数之和为整数时， 啮合关系正确，行星轮均可正常装配。装配条件如下：
行星传动中小齿轮最小齿数 z1max ，对于硬度小于350HB的软齿面， 推荐 z1max ≥17；硬度大于350HB的硬齿面，推荐 z1max ≥12。
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（2）啮合质量 高速重载行星传动中，为减少运转过程中的振动和噪声，使传动
有良好的工作平稳性，在各对啮合齿轮的齿数之间，应当没有公约数， 即互为质数；中心轮的齿数也不宜为行星轮数目的整倍数。 （3）齿形加工
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38ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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2.2.2.2 齿宽系数及齿宽的确定
确定齿宽的方法有多种，常用有以下几种： 1. 小齿轮的宽径比Φd=b/d1一定 对单台设计，通常不需要过多考虑零部件通用性等，一般可按小齿轮（太阳 轮与行星轮中直径较小者）的宽径比Φd=b/d1来确定齿宽，Φd=0.5～1。 2. 齿宽系数Φa一定 Φa指齿宽ｂ与中心距a的比值，Φa=b/a。通常齿宽系数的公称范围为Φa ＝0.4～0.8 3. 齿圈宽径比系数Φ’一定 在系列设计时，每个机座号（规格）的内齿圈公称直径及齿宽通常是不变 的，而小齿轮的直径、中心距等均随速比改变，因而有齿圈宽径比系数一定。 齿宽与齿圈分度圆公称直径之比，简称齿圈宽径比系数，Φ’＝ｂ/d3 齿圈宽径比系数的范围为Φ’＝0.15～0.28。
图2.2-1邻接条件 13
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表2.2-1为NGW型行星轮数目与传动比范围的关系，其中最大传 动比即受邻接条件所决定。
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3. 同心条件 行星传动装置的特点为输入与输出轴是同轴线的，即各中心轮的轴
线与行星架轴线是重合的。为保证中心轮和行星架轴线重合条件下的 正确啮合，由中心轮和行星轮组成的各啮合副的实际中心距必须相等， 称之为同心条件。
2.3.1 变位齿轮原理
用范成法加工齿轮，齿条刀具的中线与齿坯分度圆相切时，加 工出来的齿轮称为标准齿轮。若其他条件不变，仅使齿坯的分度 圆不再与刀具的中线相切（变成分离或相交），这样加工出来的 齿轮称为变位齿轮。
变位量与变位系数。刀具中线与齿坯分度圆切线的距离称变位 量，其值用ｘ•ｍ表示，其中ｍ为模数，ｘ为变位系数。变位系数 即变位量与模数的比值。参见图2.3-1。
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2.1.1.2各类行星齿轮传动的传动比计算
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2.1.2 传动比图解法（略） 2.2 主要参数的确定
行星传动参数的确定基于传递功率、输入转速、传动比等已知的给定参数。 基本几何参数的选择必须满足特定的条件；齿轮及其它构件须满足必要的强 度条件。
图2.1-1 行星齿轮传动及其转化机构
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上表中，
H a
、
H b
、
H g
、和
H H
等符号的右上角标
H
表示构件
a、b、g
和
H
相对于转臂
H
的相对角速度。
H H
=0 表明转臂固定不动，即原来的行星轮系变
为假想的定轴齿轮传动，如图 2.1-1b 所示。故应用定轴齿轮传动的传动比计算
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1. 转臂固定法
如图2.1-1a所示的行星齿轮传动中，设各构件的角速度方向如图 所示。给整个行星齿轮传动加一个公共的角速度（-ωH）后便得到图 2.1-1b所示的转化机构。在转化机构中，各构件的角速度（相对于转 臂H的角速度）如表2.1-1所示。
角度变位传动或称不等移距变位齿轮传动，其变位系数和ｘ∑ ＝ｘ2±ｘ1≠0。当ｘ∑＞0时称为正传动；ｘ∑＜0时称为负传动， 应用较多的是正传动（参见图2.3-3）。采用角度变位正传动的 主要目的在于：凑中心距，避免齿轮根切，减小齿轮机构尺寸； 减少齿面磨损，提高承载能力，还有避免干涉等。
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大于100的质数齿（如101，103……）的齿轮尽量不要采用，因切 齿时机械式机床计算调整较为繁琐。当采用插齿和剃齿时精加工时， 任何一个齿轮的齿数不应是插齿刀或剃齿刀齿数的倍数。
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2.2.1.2 确定各轮齿数的方法
确定各轮齿数的方法是建立在前述各种需要满足的条件的基础上，通常 有分析法和查表法，下面着重介绍分析法。
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其一是从制造上要求双联行星轮中两齿圈上各有一齿或齿槽的中 心线重合于同一径向直线Q（或平面），且分布在该径向直线的两端 （对NW型，图2.2-3a）或同一侧（对NN和WW型，见图2.2-3b）， 并给这两个特定轮齿打上记号，作为装配时定位之用。其二是各齿轮 的齿数与行星轮个数之间应满足一定的条件。
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2.1.1分析法
2.1.1.1相对速度法 相对速度法又称转化机构法，首先由威尔斯（Willes）于1841年
提出的。理论力学中的相对运动原理，即“一个机构整体的绝对运动 并不影响机构内部各构件间的相对运动”。这正如一手表中的秒针、 分针和时针的相对运动关系不因带表人的行动变化而变化。根据这一 相对运动原理，我们给整个行星轮系加上一个与转臂H的角速度ωH大 小相等、方向相反的公共角速度（-ωH）后，则行星机构中各构件间 的相对运动关系仍保持不变。但这时转臂H将固定不动，行星轮系便 转化成了定轴齿轮传动，此假想的定轴齿轮传动称为原行星齿轮传动 的转化机构。这样便可用定轴齿轮传动的传动比计算方法，首先算出 转化机构的传动比，进而求得行星齿轮传动各构件间的传动比。
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正变位与负变位 刀具中线移远齿轮坯中心，即齿条刀具中线与被 加工齿轮的分度圆分开时，称正变位，ｘ为正值，所切出的齿轮为正变 位齿轮。刀具中线移近齿轮坯中心，即齿条刀具中线与被加工齿轮的分 度圆相交时，称负变位，ｘ为负值，所切出的齿轮为负变位齿轮。
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2.2.1 行星齿轮传动齿轮齿数选择 2.2.1.1 确定各轮齿数应满足的条件
行星传动各轮齿数不能随意选取，必须根据行星传动的特点，满足一定条 件，才能进行正常传动。这些条件是：
a.传动比条件; b.邻接条件; c. 同心条件; d.装配条件; e.其它条件(轮齿强度、啮合质量等)。
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2.3.2 变位齿轮传动的类型
根据两个相互啮合齿轮的变位系数之和，变位齿轮传动可分为下列 两个类型：高度变位齿轮传动与角度变位齿轮传动。
2.3.2.1 高度变位齿轮传动
其变位系数和为ｘ∑＝ｘ2±ｘ1＝0, 即ｘ2＝-ｘ1，故亦称等移距变位。 采用高度变位的主要目的在于：避免根切、减小机构的尺寸和重量；改 善齿轮副的磨损情况，以及提高其承载能力。
式（2-14）称为配齿计算式，式中传动比以分数形式代入。当选定某一适当的za值 后，便可求出zg和zb，最后按式（2.2-5）校核邻接条件。因各轮齿数和M值都是正整数， 故在选取za值时，应使式（2.2-14）右端各项数值都是正整数。用比例法配齿数，可 得到较精确的传动比。
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方法可得到转化机构中任意两构件的传动比。若中心轮 a、b 分别为转化机构的
主从动轮，则其传动比为：
H
i ab
H
a H
b
a
b
z z z H g b b
z z z H
a
g
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（2.1-1）
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2.2.2 NGW型行星齿轮传动齿轮参数的选择
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2.1 传动比的计算
传动比就是输入转速与输出转速之比。该比值大于1为减速传动， 反之为增速传动。
研究行星齿轮传动的传动比，离不开运动学——就是确定行星齿轮 传动中构件间的传动比和各构件的角速度。其运动学分析大致可分为 分析法和图解法两大类，其中分析法包括相对速度法、列表法和能量 法等；图解法包括速度图解法和矢量图解法。
图2.2-3 双联行星轮标记线
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5.其它条件 （1）轮齿强度
在考虑到轮齿强度方面的要求而又不增大传动的尺寸和重量时， 若承载能力取决于齿面接触强度，则各轮齿数取较多齿数的组合方案 是合理的；若承载能力取决于齿根弯曲强度，则各轮齿数取较少齿数 的组合方案是适宜的。
1. 传动比条件
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2. 邻接条件
在行星传动中，为了提高承载能力，减少机构尺寸，并考虑到动 力学的平衡问题，常在太阳轮与内齿轮之间均匀、对称地布置几个行 星齿轮。为使相邻两个行星齿轮不相互碰撞，要求其齿顶圆间有一定 的间隙，称为邻接条件。设相邻两个行星轮中心之间的距离为L，最 大行星轮齿顶圆直径为dag（见图2.2-1），则邻接条件为：L＞ dag
由于啮合副中的小齿轮采用正变位（ｘ1>0），当其齿数比u＝z2/z1的 值一定时，可以使小齿轮的齿数z1＜zmin，而不会产生根切现象，从而可 减小齿轮的外形尺寸和重量。同时由于小齿轮采用正变位，其齿根厚度 增大，齿根的最大滑动率减小，故可改善磨损情况和提高承载能力。
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采用高度变位虽可在一定程度上改善行星齿轮传动的性能， 但存在一定的缺点，如在小齿轮齿根强度提高的同时，大齿轮的 齿根强度有所下降；齿轮副不能采用更大的模数等。故在行星齿 轮传动中较为广泛的是采用角变位传动。 2.3.2.2 角度变位齿轮传动
2.2.2.1传动比的选用及分配
行星传动的传动比许用范围受结构及强度两方面的制约。 在结构方面，最大传动比受行星轮邻接条件的限制，即与行星轮的个数 ｎp有关；最小传动比受行星轮最小直径的限制（如行星轮轴孔中放置滚动 轴承）。 在强度方面，过大的传动比将使外啮合齿轮的接触强度明显降低，表 2.2-5列出了不同传动比下许用输出扭矩修正概略值。
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对重载传动的低速级齿圈宽径比系数Φ’可在1/5～1/4之间取值，即 ｂ＝d3/(4～5)。当传动比较大时，建议采用较小的齿宽。
Φ’与Φd、Φa的近似换算关系是：
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2.3 齿轮变位系数的选择
在行星齿轮传动中，除采用标准齿轮传动外，还采用变位齿轮 传动。
图2.2-5是根据接触与弯曲等强度条件推荐的z1max值，图中硬度值 是大齿轮的最低硬度，小齿轮的硬度等于或大于大齿轮的硬度。硬度 200HB、300HB和45HRC是整体热处理的硬度，60HRC是轮齿表面硬度。
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图2.2-5 小齿轮的最大齿数z1max a) 一般齿轮 b) 高速齿轮
由于采用正变位，可使齿轮副中的小齿轮的齿数ｚ1＜ｚmin而不产生根 切，从而可使机构的尺寸减少。由于啮合齿轮副中的两齿轮均可以采用 正变位，即ｘ1＞0和ｘ2＞0，从而增大其啮合角和轮齿齿根厚度，这样可 改善其耐磨性，提高其承载能力。此外，只要适当选取变位系数，可获 得齿轮副的不同啮合角，从而配凑它们的中心距。
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（2）NW型、WW型和NN型的装配条件 在这三种型式的行星传动中，行星轮为双联齿轮。如果行星轮的
两个齿圈的相对位置可以在安装时调整，则只要满足传动比、邻接与 同心条件就可以装配，且装配后再将行星轮两个齿圈相互固定成一体 即可。若双联行星轮是在同一坯料上插齿而成不可调的一个整体零件， 则其装配条件有两个。
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4. 装配条件
一般行星传动中，行星轮数目大于1。要使几个行星轮能均匀装入，并保 证与中心轮正确啮合而没有错位现象，所应具备的齿数关系即为装配条件。
（1）NGW型的装配条件
行星轮均布，相邻两行星轮所夹的中心角为2π/np，该中心角区域内太阳 轮、行星轮、内齿圈节圆连线所组成的扇形中所包含的齿距数之和为整数时， 啮合关系正确，行星轮均可正常装配。装配条件如下：
行星传动中小齿轮最小齿数 z1max ，对于硬度小于350HB的软齿面， 推荐 z1max ≥17；硬度大于350HB的硬齿面，推荐 z1max ≥12。
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（2）啮合质量 高速重载行星传动中，为减少运转过程中的振动和噪声，使传动
有良好的工作平稳性，在各对啮合齿轮的齿数之间，应当没有公约数， 即互为质数；中心轮的齿数也不宜为行星轮数目的整倍数。 （3）齿形加工
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行星齿轮减速器的相关计算
2.2.2.2 齿宽系数及齿宽的确定
确定齿宽的方法有多种，常用有以下几种： 1. 小齿轮的宽径比Φd=b/d1一定 对单台设计，通常不需要过多考虑零部件通用性等，一般可按小齿轮（太阳 轮与行星轮中直径较小者）的宽径比Φd=b/d1来确定齿宽，Φd=0.5～1。 2. 齿宽系数Φa一定 Φa指齿宽ｂ与中心距a的比值，Φa=b/a。通常齿宽系数的公称范围为Φa ＝0.4～0.8 3. 齿圈宽径比系数Φ’一定 在系列设计时，每个机座号（规格）的内齿圈公称直径及齿宽通常是不变 的，而小齿轮的直径、中心距等均随速比改变，因而有齿圈宽径比系数一定。 齿宽与齿圈分度圆公称直径之比，简称齿圈宽径比系数，Φ’＝ｂ/d3 齿圈宽径比系数的范围为Φ’＝0.15～0.28。
图2.2-1邻接条件 13
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表2.2-1为NGW型行星轮数目与传动比范围的关系，其中最大传 动比即受邻接条件所决定。
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3. 同心条件 行星传动装置的特点为输入与输出轴是同轴线的，即各中心轮的轴
线与行星架轴线是重合的。为保证中心轮和行星架轴线重合条件下的 正确啮合，由中心轮和行星轮组成的各啮合副的实际中心距必须相等， 称之为同心条件。
2.3.1 变位齿轮原理
用范成法加工齿轮，齿条刀具的中线与齿坯分度圆相切时，加 工出来的齿轮称为标准齿轮。若其他条件不变，仅使齿坯的分度 圆不再与刀具的中线相切（变成分离或相交），这样加工出来的 齿轮称为变位齿轮。
变位量与变位系数。刀具中线与齿坯分度圆切线的距离称变位 量，其值用ｘ•ｍ表示，其中ｍ为模数，ｘ为变位系数。变位系数 即变位量与模数的比值。参见图2.3-1。
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2.1.1.2各类行星齿轮传动的传动比计算
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2.1.2 传动比图解法（略） 2.2 主要参数的确定
行星传动参数的确定基于传递功率、输入转速、传动比等已知的给定参数。 基本几何参数的选择必须满足特定的条件；齿轮及其它构件须满足必要的强 度条件。
图2.1-1 行星齿轮传动及其转化机构
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上表中，
H a
、
H b
、
H g
、和
H H
等符号的右上角标
H
表示构件
a、b、g
和
H
相对于转臂
H
的相对角速度。
H H
=0 表明转臂固定不动，即原来的行星轮系变
为假想的定轴齿轮传动，如图 2.1-1b 所示。故应用定轴齿轮传动的传动比计算