冲击波第四讲
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2.4 雨贡纽曲线及瑞利曲线
冲击波关系式的各种表达式中雨贡纽曲线和瑞利直线 两式尤为重要，通过它们可以了解冲击波的一些基本 性质。 为讨论简单起见，设冲击波波前是静止状态，即u0=0， 这不会影响冲击波的热力学性质，故也不影响本节讨 论结果的普遍意义。 瑞利直线是(2.6)式，可写为
p p0
因为点B(τ1，p1)处的熵值S1大于点A(τ0，p0)处的熵 值S0，所以等熵线S1位于等熵线S0的上方。对于曲线 H0，根据(2.56)式在点B处有 g , S1 dp d H ；而 对曲线H1来说，在该点则有 g , S1 dp d H 。因此， 在点B处有
1 1 Td 3 S 2dTd 2 S d 2TdS d d 2 p 0 d 3 p 0 2 2
1 1 2 3 S S0 2 p p0 12 T0 p S
（2.61）
或
1 1 2 p 3 S S0 2 0 12 T0 S
现对（2.52）式求微分，得 1 1 dH de dp p p d （2.53） 2 2 考虑到de=TdS－pdτ，(2.53)式化为 1 dH TdS dp p p d (2.54) 2 因为沿直线(2.49)式有(τ－τ0)dp－(p－ p0)dτ=0，所以沿该直线有 dH=TdS 可见，在该直线上当dS=0时，就有dH=0， 反之亦然。这就证明了沿瑞利直线熵S的极 值点与雨贡纽函数H的极值点相重合。
0 0
0 0
定理三 若状态方程满足条件(2.48)式， 则沿着瑞利直线雨贡纽函数最多只能有 一个极值点。 这实际上是以上两个定理的推论。因为 沿瑞利直线S与H的极值点重合，而S的 极值点最多只有一个，所以H的极值点 也最多只能有一个。
冲击波解的确定性
要证明：瑞利直线与雨贡纽曲线的交点 除初始点(τ0，p0)之外只有一个。 现假设R直线与H曲线的交点超过两点， 即出现如图(a)所示的情况，则沿R直线 函数H的变化至少要出现两个以上极值， 这与定理三矛盾。因此，R直线与H曲线 相交的图像只能是如图(b)所示的情况， 即交点最多只能有两个，一个是波前的 “0”状态，另一个就是波后状态。
p G g , S
对此式求微商，得 dG g g S S d
d 2G 2 g 2 g S g S S SS g S S d 2
在初始点(τ0，p0)处有
dG 0 g 0 , S0 d 2 d G 0 g , S 0 0 d 2
p, S d p dp H
这说明物质的等熵压缩率大于冲击压缩率。
二次冲击波的雨贡纽曲线
设介质中通过第一个冲击波之后，接着又出现第二个 冲击波。若第一个冲击波把介质的初始状态(τ0，p0) 变到了(τ1，p1)，则状态(τ1，p1)就是第二冲击波的 波前状态。这两个冲击波的雨贡纽曲线是不重合的。
，它的微商为
dp c 2 d
2
d2 p c2 1 3 2 d
在(τ0，p0)点以上两曲线的相应微商相等。
现在来看等熵线在(τ，p) 平面上的分布情况。根 据(2.48)式的前两点性质 可知，等熵线也是单调 向上凹的。又根据gS>0 得知，若S1>S0，则对相 同的τ值有，即熵值大的 等熵线在上方。所以， 不同熵值的等熵线的分 布如图4.5所示。
1 1
dp dp d H1 d H0
注意到这两者都是负值，所以曲线H0比H 1陡，即第 二冲击波的雨贡纽曲线H1在第一冲击波的雨贡纽曲线 H0的下方.
2.5 冲击波基本性质
(1)穿过冲击波时，压力、密度等各量的变化， 与它们在可逆绝热过程中的相应变化之差，乃 是冲击波强度的三阶以上项。 这里对两种过程作比较，指的是它们的初始状 态相同，且变化后它们的量中有一个量的终态 值也是相同的，比如说两种过程最终都变化到 相同的密度值。 2.4节证明了，在初始点(τ0，p0)处等熵线与 雨贡纽曲线二阶相切，这实际上就证明了上述 性质。
8 1 p0 0 d2 p 3 2 d 1 1 0
于是，在点(τ0，p0)处有 d 2 p 0 dp 0 2 p0 0 1 p 0 0 d d 2 这与理想气体的等熵线p=A(S)ργ在该点的一阶、二阶微 商完全相等。
2 2 0
g d gS dS d
由此得
dS g d gS
再作一次微商，得
g g S dS g SS dS d S 2 2 d gS g S d g S d
2
2
（2.50）
dS 0 d
若假设沿直线((2.49)式)熵有极值，则应有 而由(2.50)式且考虑到条件(2.48)式，这时有
S 0 S 0 0
，于是得到
这就证明了，雨贡纽曲线p=G(τ)与等熵线p=g(τ，S0) 在点(τ0，p0)处二阶相切，图4.3中的曲线S就代表过点 (τ0，p0)的等熵线。
对理想气体情况容易直接看出这一性质。对其雨贡纽曲线 （2.45）式求微商，得 4 p0 0 dp 2 d 1 1 0
瑞利直线（波速线）的物理意 义
波速线是一定波速的冲击波传过具有同一 初始状态 (p0, v0)的不同介质所达到的 终点状态的连线。
雨贡纽曲线（冲击绝热线）的物理意 义
冲击绝热线上各个点的状态就是不同波速 冲击波传过同一初始状态点(p0, v0)的同 一介质所达到的终点状态的连线。
雨贡纽曲线与等熵线的关系
D2
2 0
( 0 )
（2.43）
雨贡纽关系式的一般 形式是
1 p p0 0 2
e , p e0 0 , p0
（2.44）
对于理想气体，它是(2.13)式，即 p 1 0 1 （2.45）
p0
首先，证明一个重要性质：雨贡纽曲线与等熵线在初 始点处二阶相切。 同前H(τ，p)=0或p=G(τ)表示雨贡纽曲线，而等熵 线为p=g(τ，S0)，其中熵S=S0为常数。 由状态方程p=g(τ，S)可得S=S(τ，p)，于是沿雨贡 纽曲线有S=S(τ，G(τ))=S(τ)，即熵只是τ的函数。 所以，对雨贡纽曲线有
（2.62）
(3)冲击波是压缩冲击波，即通过冲击波时压力和密度将 增加。 因为冲击波是不可逆过程，所以通过冲击波时S－S0>0， 于是由(2.57)式或者(2.62)式看出，只要沿雨贡纽曲线 d 2 p d 2 0 在(τ0，p0)点有 ，则在该点就有d τ<0， 即通过冲击波时密度增加，从而压力亦增加。 2 2 若 d p d 0 ，则得dτ>0，即穿过冲击波时密度下降， 也就是产生所谓的稀疏冲击波。 以上结果说明，对于满足条件(2.47)式或者(2.48)式的 介质，若沿雨贡纽曲线dS≠0(即一定是dS>0)，则必定 有dτ<0。所以，欲证明冲击波的压缩性，实际只要证明 沿雨贡纽曲线熵S(τ)的单调性。
max 1 0 1
min 0
1 1
对于凝聚介质
max 0
min
1 0 1
关于曲线的形状，由(2.45) 式及(2.46)式都看出，理想 气体和凝聚介质的雨贡纽关 系式都有
对大多数介质，都假设 其状态方程p=g(τ，S) 具有如下性质：
下节将证明，沿雨贡纽曲线熵随τ的减小而增加， 即 dS d 0 ，又已知H=0与p=g(τ，S0)两曲线在(τ0，p0) 处相切，所以曲线H=0位于等熵线p=g(τ，S0)的上方。 由于沿雨贡纽曲线 p G g , S 有
H
dp dS g g S d H d H
dp 0 （2.47） d 2 d p 0 d 2
g 0 g 0 （2.48） gS 0
瑞利直线上熵的变化
ຫໍສະໝຸດ Baidu
定理一 若介质的状态方程p=g(τ，S)满足条件(2.48) 式，则沿瑞利直线熵S最多只有一个极大值。 现将瑞利直线的方程(2.43)写为 p p0 0 (2.49) 其中斜率 D ，对于给定的直线它是一个常数， 沿直线微分，得 dp d 。考虑到沿直线还满足状态 方程p=g(τ，S)，于是
瑞利直线上雨贡纽函数的变化
定理二 瑞利直线上熵的极值点同时是雨贡纽函数的极 值点；反之，雨贡纽函数的极值点也是该直线上熵的 极值点。 下列函数称为雨贡纽函数： 1 H , p e e0 p p0 0 （2.52） 2 显然，H(τ，p)=0就是雨贡纽曲线。
事实上，第一个冲击波 的雨贡纽曲线H0(τ， p)=0是以点A(τ0，p0)为 起点的(图4.6)，而第二 冲击波的雨贡纽曲线 H1(τ，p)=0的起点则是 B(τ1，p1)。因为在点 B(τ1，p1)处曲线H0是与 等熵线S1即p=g(τ，S1) 相交，而曲线H1则是与 该等熵线二阶相切，所 以曲线H0与H1不可能重 合。
对于凝聚介质，其雨贡纽曲线是(2.46)式，求微商得
2 4c0 dp 2 d 1 1 0 2 8 1 c0 d2 p 3 2 d 1 1 0
2 凝聚介质的等熵线是 p A S 0c0
1 1 0
对取实用状态方程(2.30)式的凝聚介质， 它是(2.31)式，即 2 0 p p* 1 1 0 （2.46） 其中 p c 。
* 2 0 0
再则，(2.45)式及(2.46)式都表明，沿雨贡纽曲 线压力p可以由0变到∞，而比容τ则只能在τmax与 τmin之间变化， 对于理想气体相应p=0及p=∞有
g d S 0 2 d gS
2
（2.51）
这就是说，若S有极值，则是极大值。由此也同时得知， 沿该直线S不可能是常数。现在假设沿该直线S有两个以 上的极大值，那么，在两个极大值之间必定有一个极小值， 但是，由(2.51)式知道，所有的熵的极值都是极大值，所 以，沿瑞利直线熵S最多只能有一个极大值。定理一证完。
而根据条件(2.48)式有gτ<0，gS>0，所以当 dS 有
d H 0
时，
并且
dp 0 d H
dp g d H
（2.55）
g , S dp d H
或 （2.56） 这说明雨贡纽曲线比等熵线陡，故雨贡纽曲线是自下而上 与等熵线S=S (τ，p)>S0相交。后一个不等式还可写为
(2)穿过冲击波时，熵的增量是冲击波强度的三阶量。
现沿雨贡纽曲线微分三次，得
在点(τ0，p0)处有即dS=d2S =0，于是在该点有 1 Td 3 S d d 2 p 0 （2.57） 2 因在点(τ0，p0)处有 d 2 p d 2G g d 2 0 ，所以（2.57）式 给出 3 Td 3 S d （2.58） 并且，当dτ<0时， d3S>0 （2.59） 这就证明了，熵是增加的，且其增量是冲击波强度的三阶 量。
冲击波关系式的各种表达式中雨贡纽曲线和瑞利直线 两式尤为重要，通过它们可以了解冲击波的一些基本 性质。 为讨论简单起见，设冲击波波前是静止状态，即u0=0， 这不会影响冲击波的热力学性质，故也不影响本节讨 论结果的普遍意义。 瑞利直线是(2.6)式，可写为
p p0
因为点B(τ1，p1)处的熵值S1大于点A(τ0，p0)处的熵 值S0，所以等熵线S1位于等熵线S0的上方。对于曲线 H0，根据(2.56)式在点B处有 g , S1 dp d H ；而 对曲线H1来说，在该点则有 g , S1 dp d H 。因此， 在点B处有
1 1 Td 3 S 2dTd 2 S d 2TdS d d 2 p 0 d 3 p 0 2 2
1 1 2 3 S S0 2 p p0 12 T0 p S
（2.61）
或
1 1 2 p 3 S S0 2 0 12 T0 S
现对（2.52）式求微分，得 1 1 dH de dp p p d （2.53） 2 2 考虑到de=TdS－pdτ，(2.53)式化为 1 dH TdS dp p p d (2.54) 2 因为沿直线(2.49)式有(τ－τ0)dp－(p－ p0)dτ=0，所以沿该直线有 dH=TdS 可见，在该直线上当dS=0时，就有dH=0， 反之亦然。这就证明了沿瑞利直线熵S的极 值点与雨贡纽函数H的极值点相重合。
0 0
0 0
定理三 若状态方程满足条件(2.48)式， 则沿着瑞利直线雨贡纽函数最多只能有 一个极值点。 这实际上是以上两个定理的推论。因为 沿瑞利直线S与H的极值点重合，而S的 极值点最多只有一个，所以H的极值点 也最多只能有一个。
冲击波解的确定性
要证明：瑞利直线与雨贡纽曲线的交点 除初始点(τ0，p0)之外只有一个。 现假设R直线与H曲线的交点超过两点， 即出现如图(a)所示的情况，则沿R直线 函数H的变化至少要出现两个以上极值， 这与定理三矛盾。因此，R直线与H曲线 相交的图像只能是如图(b)所示的情况， 即交点最多只能有两个，一个是波前的 “0”状态，另一个就是波后状态。
p G g , S
对此式求微商，得 dG g g S S d
d 2G 2 g 2 g S g S S SS g S S d 2
在初始点(τ0，p0)处有
dG 0 g 0 , S0 d 2 d G 0 g , S 0 0 d 2
p, S d p dp H
这说明物质的等熵压缩率大于冲击压缩率。
二次冲击波的雨贡纽曲线
设介质中通过第一个冲击波之后，接着又出现第二个 冲击波。若第一个冲击波把介质的初始状态(τ0，p0) 变到了(τ1，p1)，则状态(τ1，p1)就是第二冲击波的 波前状态。这两个冲击波的雨贡纽曲线是不重合的。
，它的微商为
dp c 2 d
2
d2 p c2 1 3 2 d
在(τ0，p0)点以上两曲线的相应微商相等。
现在来看等熵线在(τ，p) 平面上的分布情况。根 据(2.48)式的前两点性质 可知，等熵线也是单调 向上凹的。又根据gS>0 得知，若S1>S0，则对相 同的τ值有，即熵值大的 等熵线在上方。所以， 不同熵值的等熵线的分 布如图4.5所示。
1 1
dp dp d H1 d H0
注意到这两者都是负值，所以曲线H0比H 1陡，即第 二冲击波的雨贡纽曲线H1在第一冲击波的雨贡纽曲线 H0的下方.
2.5 冲击波基本性质
(1)穿过冲击波时，压力、密度等各量的变化， 与它们在可逆绝热过程中的相应变化之差，乃 是冲击波强度的三阶以上项。 这里对两种过程作比较，指的是它们的初始状 态相同，且变化后它们的量中有一个量的终态 值也是相同的，比如说两种过程最终都变化到 相同的密度值。 2.4节证明了，在初始点(τ0，p0)处等熵线与 雨贡纽曲线二阶相切，这实际上就证明了上述 性质。
8 1 p0 0 d2 p 3 2 d 1 1 0
于是，在点(τ0，p0)处有 d 2 p 0 dp 0 2 p0 0 1 p 0 0 d d 2 这与理想气体的等熵线p=A(S)ργ在该点的一阶、二阶微 商完全相等。
2 2 0
g d gS dS d
由此得
dS g d gS
再作一次微商，得
g g S dS g SS dS d S 2 2 d gS g S d g S d
2
2
（2.50）
dS 0 d
若假设沿直线((2.49)式)熵有极值，则应有 而由(2.50)式且考虑到条件(2.48)式，这时有
S 0 S 0 0
，于是得到
这就证明了，雨贡纽曲线p=G(τ)与等熵线p=g(τ，S0) 在点(τ0，p0)处二阶相切，图4.3中的曲线S就代表过点 (τ0，p0)的等熵线。
对理想气体情况容易直接看出这一性质。对其雨贡纽曲线 （2.45）式求微商，得 4 p0 0 dp 2 d 1 1 0
瑞利直线（波速线）的物理意 义
波速线是一定波速的冲击波传过具有同一 初始状态 (p0, v0)的不同介质所达到的 终点状态的连线。
雨贡纽曲线（冲击绝热线）的物理意 义
冲击绝热线上各个点的状态就是不同波速 冲击波传过同一初始状态点(p0, v0)的同 一介质所达到的终点状态的连线。
雨贡纽曲线与等熵线的关系
D2
2 0
( 0 )
（2.43）
雨贡纽关系式的一般 形式是
1 p p0 0 2
e , p e0 0 , p0
（2.44）
对于理想气体，它是(2.13)式，即 p 1 0 1 （2.45）
p0
首先，证明一个重要性质：雨贡纽曲线与等熵线在初 始点处二阶相切。 同前H(τ，p)=0或p=G(τ)表示雨贡纽曲线，而等熵 线为p=g(τ，S0)，其中熵S=S0为常数。 由状态方程p=g(τ，S)可得S=S(τ，p)，于是沿雨贡 纽曲线有S=S(τ，G(τ))=S(τ)，即熵只是τ的函数。 所以，对雨贡纽曲线有
（2.62）
(3)冲击波是压缩冲击波，即通过冲击波时压力和密度将 增加。 因为冲击波是不可逆过程，所以通过冲击波时S－S0>0， 于是由(2.57)式或者(2.62)式看出，只要沿雨贡纽曲线 d 2 p d 2 0 在(τ0，p0)点有 ，则在该点就有d τ<0， 即通过冲击波时密度增加，从而压力亦增加。 2 2 若 d p d 0 ，则得dτ>0，即穿过冲击波时密度下降， 也就是产生所谓的稀疏冲击波。 以上结果说明，对于满足条件(2.47)式或者(2.48)式的 介质，若沿雨贡纽曲线dS≠0(即一定是dS>0)，则必定 有dτ<0。所以，欲证明冲击波的压缩性，实际只要证明 沿雨贡纽曲线熵S(τ)的单调性。
max 1 0 1
min 0
1 1
对于凝聚介质
max 0
min
1 0 1
关于曲线的形状，由(2.45) 式及(2.46)式都看出，理想 气体和凝聚介质的雨贡纽关 系式都有
对大多数介质，都假设 其状态方程p=g(τ，S) 具有如下性质：
下节将证明，沿雨贡纽曲线熵随τ的减小而增加， 即 dS d 0 ，又已知H=0与p=g(τ，S0)两曲线在(τ0，p0) 处相切，所以曲线H=0位于等熵线p=g(τ，S0)的上方。 由于沿雨贡纽曲线 p G g , S 有
H
dp dS g g S d H d H
dp 0 （2.47） d 2 d p 0 d 2
g 0 g 0 （2.48） gS 0
瑞利直线上熵的变化
ຫໍສະໝຸດ Baidu
定理一 若介质的状态方程p=g(τ，S)满足条件(2.48) 式，则沿瑞利直线熵S最多只有一个极大值。 现将瑞利直线的方程(2.43)写为 p p0 0 (2.49) 其中斜率 D ，对于给定的直线它是一个常数， 沿直线微分，得 dp d 。考虑到沿直线还满足状态 方程p=g(τ，S)，于是
瑞利直线上雨贡纽函数的变化
定理二 瑞利直线上熵的极值点同时是雨贡纽函数的极 值点；反之，雨贡纽函数的极值点也是该直线上熵的 极值点。 下列函数称为雨贡纽函数： 1 H , p e e0 p p0 0 （2.52） 2 显然，H(τ，p)=0就是雨贡纽曲线。
事实上，第一个冲击波 的雨贡纽曲线H0(τ， p)=0是以点A(τ0，p0)为 起点的(图4.6)，而第二 冲击波的雨贡纽曲线 H1(τ，p)=0的起点则是 B(τ1，p1)。因为在点 B(τ1，p1)处曲线H0是与 等熵线S1即p=g(τ，S1) 相交，而曲线H1则是与 该等熵线二阶相切，所 以曲线H0与H1不可能重 合。
对于凝聚介质，其雨贡纽曲线是(2.46)式，求微商得
2 4c0 dp 2 d 1 1 0 2 8 1 c0 d2 p 3 2 d 1 1 0
2 凝聚介质的等熵线是 p A S 0c0
1 1 0
对取实用状态方程(2.30)式的凝聚介质， 它是(2.31)式，即 2 0 p p* 1 1 0 （2.46） 其中 p c 。
* 2 0 0
再则，(2.45)式及(2.46)式都表明，沿雨贡纽曲 线压力p可以由0变到∞，而比容τ则只能在τmax与 τmin之间变化， 对于理想气体相应p=0及p=∞有
g d S 0 2 d gS
2
（2.51）
这就是说，若S有极值，则是极大值。由此也同时得知， 沿该直线S不可能是常数。现在假设沿该直线S有两个以 上的极大值，那么，在两个极大值之间必定有一个极小值， 但是，由(2.51)式知道，所有的熵的极值都是极大值，所 以，沿瑞利直线熵S最多只能有一个极大值。定理一证完。
而根据条件(2.48)式有gτ<0，gS>0，所以当 dS 有
d H 0
时，
并且
dp 0 d H
dp g d H
（2.55）
g , S dp d H
或 （2.56） 这说明雨贡纽曲线比等熵线陡，故雨贡纽曲线是自下而上 与等熵线S=S (τ，p)>S0相交。后一个不等式还可写为
(2)穿过冲击波时，熵的增量是冲击波强度的三阶量。
现沿雨贡纽曲线微分三次，得
在点(τ0，p0)处有即dS=d2S =0，于是在该点有 1 Td 3 S d d 2 p 0 （2.57） 2 因在点(τ0，p0)处有 d 2 p d 2G g d 2 0 ，所以（2.57）式 给出 3 Td 3 S d （2.58） 并且，当dτ<0时， d3S>0 （2.59） 这就证明了，熵是增加的，且其增量是冲击波强度的三阶 量。