习题课 椭圆的综合问题及应用-人教A版高中数学
人教版2017高中数学(选修2-1)2习题课1 椭圆的综合问题及应用PPT课件
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1.焦点三角形问题 ������2 ������2 (1)已知椭圆 ������2 + 2=1 (a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0), ������ 点P是椭圆上任意一点,则△PF1F2称为焦点三角形. (2)焦点三角形的周长为2a+2c,其面积通常有两种计算方法:一是 1 利用公式 ������△������������1 ������2 = PF1· PF2· sin∠F1PF2 ,二是利用公式
2
������△������������1 ������2 = · F1F2· |y0|=c· |y0| (其中y 是P点的纵坐标). 2 0 (3)求解焦点三角形问题时,通常要利用椭圆的定义并结合正弦定 理、余弦定理等知识进行求解.
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做一做4 已知斜率为1的直线l过椭圆 圆于A,B两点,则弦AB的长度等于
������2 2 +y =1 的右焦点,交椭 4
.
解析：右焦点( 3,0), ������ = ������- 3 , 所以 2 ������ + 4������ 2 = 4, 整理得 5x2-8 3x+8=0, 所以|AB|= 1
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2.直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆一共有三种位置关系:相交、相切、相离. (2)判断直线与椭圆位置关系的方法:将直线方程ax+by+c=0与椭 ������2 ������2 圆方程 ������2 + 2=1 (a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二 ������ 次方程,记该方程的判别式为Δ.若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则 直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离. (3)直线与椭圆相交弦的长度: l= 1 + ������ 2 |x1-x2|= 1 + ������ 2 (������ + ������ )2 -4������ ������ ,其中x1,x2是直线与
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册专题训练：椭圆大题综合题归纳分类 分层练习题含答案解析
10.椭圆大题综合归类基础过关练 ......................................................................................................................... 1 能力提升练 ......................................................................................................................... 9 培优拔尖练 .. (18)基础过关练1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,. （2）以点1(1,0)F -，2(1,0)F为焦点，经过点P ⎛ ⎝⎭.【答案】（1）22143x y +=；（2）22154x y +=.【解析】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，代入所过的点后求出,a b 可得所求的椭圆方程．（2）根据椭圆的定义可求2m ，再求出n 后可求椭圆的标准方程．【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意有221914a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）设椭圆的标准方程为22221(0)x y m n m n +=>>，焦距为02c .由题意有01c =，1PF =2PF ==有125522PF PF m +===2n ==， 2.已知点(),P x y4=，求点P 的轨迹C 的方程.【答案】22143x y +=.【分析】根据两点间距离公式和椭圆的定义即可求出P 的轨迹方程. 【详解】()P x y ，42=>，∴点P 的轨迹是以()1,0-，()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，1c ∴=，2,a b ==∴所求点P 的轨迹C 的方程为22143x y +=.3.椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>左右焦点为1F，2F ，点M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)经过点()2,3A ，倾斜角为π4直线l 与椭圆交于B ，C 两点，求BC ． 【答案】(1)2214x y +=(2)BC =【分析】（1）利用椭圆的离心率，过点M ⎛ ⎝⎭，及222a b c =+，列方程解出,a b 即可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解.（1）解：由题意得222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，解得224a b =，又因为点2M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上， 带入222214x y b b +=得21b =，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）解：易得直线l 的解析式为1y x =+，设()11,B x y ，()22,C x y 联立椭圆的方程22441x y y x ⎧+=⎨=+⎩得2580x x +=1285x x +=，120x x =12BC x=-所以BC = 4.已知椭圆C ：22221(>0)>x y a b a b +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，AB 的中点坐标为21(,)33-.求椭圆C 的标准方程；【答案】2212x y +=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标、离心率求得直线AB 的斜率得直线方程，从而求得焦点坐标，求出,,c a b 得椭圆标准方程．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式相减得22221212221x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--，2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+，将1243x x +=-，1223y y +=代入上式，得2221()12AB b k e a ⋅-=-=-，又2=e ，∴=1AB k ，∴直线l 的方程为1233y x -=+，即1y x =+，即()11,0F -，∴1c =，1a b ==，∴椭圆C 的标准方程2212x y +=；5.．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>与椭圆22198x y +=有相同的焦点1F ，2F ，且右焦点2F(1)求椭圆E 的方程；(2)若过椭圆E 左焦点1F ，且斜率为1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求2F MN 的面积． 【答案】(1)2212x y +=(2)43【分析】()1根据题意可得1c =，a =2221b a c =-=，即可求得椭圆E 的方程；()2设()11,M x y ，()22,N x y ，过1F 且斜率为1的直线l 方程为：1x y =-，直线与椭圆方程联立，消x 得y 的一元二次方程23210y y --=，结合韦达定理，即可求2F MN 的面积．（1）椭圆22198x y +=的焦点为()11,0F -，()21,0F ，∴半焦距1c =，椭圆的右焦点2F a ==，2221b a c ∴=-=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，过1F 且斜率为1的直线l 方程为：1x y =-，代入椭圆E 的方程2212x y +=，化简可得23210y y --=，121221,33y y y y ∴+=⋅=-，则1243y y -==，221211212114422233F MN F F M F F N S S S F F y y =+=⨯⨯-=⨯⨯=V V V .6.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>左顶点为A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC的内切圆的半径为4．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)2214x y +=.(2)()40，. 【分析】（1）利用等面积法求得,a b 的关系，再利用离心率得到2a b =.即可得到答案. （2）设()()1122(1,),,,,M t P x y Q x y ，分别求出,P Q 的坐标，根据斜率公式求出直线方程，则可得22(4)43ty x t =--+，即可求出定点坐标. （1）ABC的内切圆的半径为4-，2,,,AB a AO a OC b CB AC =====11112222AC r CB r AB r AB OC ∴⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯,111222222r ar ab ⨯⨯+⨯=⨯，，2222c a b c a ==+解得2a b =111222222r ar ab ⨯⨯+⨯=⨯得1,2b a ==.综上所述椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（2）设()()1122(1,),,,,M t P x y Q x y ，则直线AM 的方程为()23t y x =+与2214x y +=联立解得22281812,4949t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理可得222824,4141t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.则直线PQ 的斜率为22222221242494181882434941t ttt t t t t t t -++=--+-+-++，所以直线PQ 的方程为：2222122818494349t t t y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭22(4)43ty x t =--+故直线PQ 恒过定点，定点坐标为()40，.7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点E 与其左、右焦点12F F 、构成面积为1的直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 的直线l 交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，P 是C 上的动点，当12113x x +=时，求PAB △面积的最大值．【答案】(1)2212x y +=(2)max S =【分析】（1）根据题意由tan 41212bcc b π⎧=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩求解；（2）易知斜率存在，由2(1,0)F ，设:(1)AB y k x =-，与曲线C 方程联立，由12113x x +=结合韦达定理，求得k ，再由当P 为与AB 平行的切线的切点时，PAB △面积最大求解.（1）解：由题意得tan 41212b c c b π⎧=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩，解得1,==∴b c a ∴椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）显然斜率不存在时不满足条件，当斜率存在时，2(1,0)F ，设:(1)AB y k x =-，代入C 方程整理得()2222214220k x k x k +-+-=，22121222422,1212k k x x x x k k -∴+==++，2122121211231x x k x x x x k +∴+===-，解得k =显然k =PAB △面积最大值相同，||AB =当P 为与AB 平行的切线的切点时，PAB △面积最大，不妨设与AB平行的切线方程为y m =+，代入C方程整理得227220x m ++-=， ()22485610m m ∆=--=，解得m =m =d =，max 1||2S AB d ∴=． 8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴的两个端点分别为()()2,0,2,0A B -．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)M 为椭圆C 上除A ，B 外任意一点，直线AM 交直线4x =于点N ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BN 垂直的直线记为l ，直线BM 交y 轴于点P ，交直线l 于点Q ，求证：||||BP PQ 为定值．【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析．【分析】（1）由顶点坐标求得a ，由离心率求得c ，再求出b 得椭圆方程；（2）设11(,)M x y ，写出直线AM 方程求得N 点坐标，求出直线BN 的斜率，得直线l 斜率及方程，再求得直线BM 的方程可得其与y 轴交点P 的坐标，求出两直线交点Q 坐标，由P B Q PBP x xPQ x x -=-可得结论． （1）由已知2a =，又2c c e a ===c =1b ==， 椭圆标准方程为2214x y +=；（2）设11(,)M x y ，10y ≠，则221114x y +=，221144x y +=， 直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =得1162y y x =+，即116(4,)2y N x +， 1111623422BNy x y k x +==-+, l BN ⊥,1123l x k y +=-，直线l 的方程是1123x y x y +=-， 直线BM 的方程为11(2)2y y x x =--，令0x =得1122y y x =--，即11(0,2)2y x P --， 由111123(2)2x y x y y y x x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，因为221144x y +=，故解得1162(2)x x y y =-⎧⎪+⎨=⎪⎩，即()11226,x Q y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以021603P B Q PBP x x PQ x x --===---， 9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(21)A ，，过点(30)B ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值【答案】(1)22163x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意结合椭圆的几何性质，列出方程组，求得答案;（2）设直线l 的方程为(3)y k x =-并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，代入化简AM AN k k +的表达式，可得结论.（1）由题意椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(21)A ，，离心率为，可得222224112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a b =C 的方程为22163x y +=（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(12)121860k x k x k +-+-=， 由于直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，则42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<，设1122(,),(,)M x y N x y ,则2212122212186,1212k k x x x x k k -+==++，11(3)y k x =-22(3)y k x =-， 故121221121211(31)(2)(31)(2)22(2)(2)AM AN y y kx k x kx k k x k x x x x -----+---+=+=---- 121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++2244222k k -+==--， 即AM AN k k +为定值.10.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一。
高中数学人教A版选修2-1课件：2习题课1 椭圆的综合问题及应用
25 = ,则 4
5 c= ,2c=5. 2
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首页 探究一 探究二 探究三 思想方法
课前预习案
课堂探究案
(2)设 P(x0,y 0),则 ������△������������1 ������2 = · |F1F2|· |y0|, 由 (1)可得
1 2 1 2
椭圆两个交点的横坐标.
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课前预习案
课堂探究案
做一做1 若点M是椭圆 F1,F2,则△MF1F2的周长为( ) A.4 B.6 C.8 D.4+2 3 解析：由已知得a=2,b= 3 ,c=1, 所以△MF1F2的周长等于2a+2c=4+2=6. 答案：B
������2 4
������2 + =1 上任意一点,两个焦点分别为 3
课前预习案
课堂探究案
探究一利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 【例1】 设P是椭圆 ∠F1PF2=60°. (1)求△F1PF2的面积; (2)求点P的坐标.
������2 ������2 + 75 =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若 25
4
分析：(1)根据椭圆的定义以及余弦定理求得|PF1|· |PF2|的值,然 后利用三角形面积公式������△������1 ������������2 = |PF1|· |PF2|· sin 60°求得 ;(2)由(1) 的结果根据面积公式������△������������1 ������2 = · |F1F2|· |y 0|先求得点 P 的纵坐标,再 代入椭圆方程即可求得点 P 的坐标.
������2 2 +y =1 的右焦点,交椭 4
.
解析：右焦点( 3,0), ������ = ������- 3 , 所以 2 ������ + 4������ 2 = 4, 整理得 5x2-8 3x+8=0, 所以|AB|= 1
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--第1课时椭圆的简单几何性质及其应用
2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质及其应用基础过关练题组一 椭圆的性质及应用1.焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.x 24+y 23=1B.x 24+y 2=1 C.y 24+x 23=1 D.x 2+y24=1 2.过椭圆x 24+y 23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,√3D.4,2√3 3.(2019陕西宝鸡高二上学期期末)把椭圆x 225+y 216=1的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 7,F 是左焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|等于( ) A.21 B.28 C.35 D.424.设AB 是椭圆的长轴,点C 在椭圆上,且∠CBA=π4,若AB=4,BC=√2,则椭圆的两个焦点之间的距离为 .题组二 与椭圆离心率有关的问题5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.√33D.√226.已知焦点在y 轴上的椭圆mx 2+y 2=1的离心率为√32,则m 的值为( )A.1B.2C.3D.4 7.已知焦点在x轴上的椭圆方程为x 2a2+y 2=1(a>0),过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B 两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( ) A.√32B.12C.√154D.√338.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F 1,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF 1⊥x 轴,直线AB 与y 轴交于点P,其中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆的离心率为 .题组三 与椭圆有关的范围问题 9.若点O 和点F分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 10.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点P,使得∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.[√22,1) B.(0,√22)C.[12,1) D.[12,√22) 11.已知点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一个动点,点A 的坐标为(0,5),则|PA|的最小值为 .12.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率e=√22,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4√2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A,B 是直线l:x=2√2上的不同两点,若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求|AB|的最小值.能力提升练一、选择题1.(2019辽宁抚顺六校期末联考,★★☆)已知椭圆x 2+y 2b 2+1=1(b>0)的离心率为√1010,则b 等于( )A.3B.13C.910D.3√10102.(2019山西大同高三开学考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为√22,过F 1的直线l交C 于A,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C 的方程为( )A.x 236+y 218=1B.x 216+y 210=1 C.x 24+y 22=1 D.x 216+y 28=1 3.(2020重庆沙坪坝高二期末,★★☆)已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E 的离心率为( ) A.√33 B.12C.13D.√224.(2019黑龙江大庆四中高二上学期期中,★★★)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x 216+y 28=1上的一个动点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,O 是坐标原点,若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点,且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为( ) A.[0,3) B.(0,2√2) C.[2√2,3) D.[0,4]二、填空题5.(2019皖西南联盟高二期末联考,★★☆)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为35,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.6.(2019河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),点P是椭圆上且在第一象限的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为.三、解答题7.(2019河北张家口高三开学考试,★★☆)设F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上且在第一象限内的一点,且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b的值.8.(★★★)如图,F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,AF1=F1F2.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知△AF1B的面积为40√3,求a,b的值.答案全解全析 基础过关练1.A 依题意得a=2,a+c=3,故c=1,b=√22-12=√3,故所求椭圆的标准方程是x 24+y 23=1.2.B 过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为4,最短弦为垂直于长轴的弦.易知c=1,将x=1代入x 24+y 23=1,得124+y 23=1,解得y 2=94,即y=±32,所以最短弦的长为2×32=3.故选B.3.C 设椭圆的右焦点为F',则由椭圆的定义得|P 1F|+|P 1F'|=10,由椭圆的对称性,知|P 1F'|=|P 7F|,∴|P 1F|+|P 7F|=10.同理,|P 2F|+|P 6F|=10,|P 3F|+|P 5F|=10.又|P 4F|=5,∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=35. 4.答案4√63解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知2a=4,∴a=2. ∵∠CBA=π4,BC=√2,∴不妨设点C 的坐标为(-1,1). ∵点C 在椭圆上,∴14+1b 2=1,∴b 2=43,∴c 2=a 2-b 2=4-43=83,c=2√63,则椭圆的两个焦点之间的距离为4√63. 5.D 依题意得椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,∴a 2-c 2=c 2,∴e=√22. 6.D 将椭圆的方程化为标准形式为y 2+x 21m=1,由题意得a 2=1,b 2=1m ,∴c 2=a 2-b 2=1-1m ,∴离心率e=ca =√1-1m =√32,∴m=4.7.A 易知椭圆的焦点坐标为(±√a 2-1,0),∵|AB|=1,∴当x=±√a 2-1时,y=±12.不妨设A (√a 2-1,12),则a 2-1a 2+14=1,解得a=2,∴椭圆的离心率为e=√a 2-1a=√32.故选A.8.答案 12解析 如图,易知△ABF 1∽△APO, 则|AP ||AB |=|AO ||AF 1|,即23=aa+c ,所以a=2c,所以e=c a =12.9.C 由题意得F(-1,0),设点P(x 0,y 0),则y 02=3(1-x 024)(-2≤x 0≤2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3(1-x 024)=14(x 0+2)2+2,当x 0=2时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 10. C 在△PF 1F 2中,设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m+n=2a,根据余弦定理,得(2c)2=m 2+n 2-2mncos 60°,整理得(m+n)2-3mn=4c 2,所以3mn=4a 2-4c 2, 所以4a 2-4c 2=3mn≤3(m+n 2)2=3a 2(当且仅当m=n 时,等号成立),即a 2≤4c 2,故e 2=c 2a 2≥14,又0<e<1, 所以12≤e<1.11.答案 2解析 设P(x,y),则|PA|=√x 2+(y -5)2=√x 2+y 2-10y +25. 因为点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一点,所以x 2=98-2y 2,-7≤y≤7,则|PA|=√98-2y 2+y 2-10y +25 =√-(y +5)2+148, 因为-7≤y≤7,所以当y=7时,|PA|min =2. 12.解析 (1)由题意得{ e =c a =√22,a 2=b 2+c 2,12×2a ×2b =4√2,解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1.(2)由(1)知,F 1(-√2,0),F 2(√2,0),设直线l:x=2√2上的不同两点A,B 的坐标分别为(2√2,y 1),(2√2,y 2),则AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3√2,-y 1),BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-y 2),由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得y 1y 2+6=0, 即y 2=-6y 1,不妨设y 1>0,则|AB|=|y 1-y 2|=y 1+6y 1≥2√6,当且仅当y 1=√6,y 2=-√6时等号成立,所以|AB|的最小值是2√6.能力提升练一、选择题1.B 易知b 2+1>1,由题意得(b 2+1)-1b 2+1=b 2b 2+1=110,解得b=13或b=-13(舍去),故选B.2.D 由△ABF 2的周长为16,得|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=16,根据椭圆的性质,得4a=16,即a=4.又椭圆的离心率为√22,即c a =√22,所以c=2√2,b 2=a 2-c 2=8,则椭圆C 的方程为x 216+y 28=1.3.A 如图,设椭圆的右焦点为F',连接PF',QF',根据椭圆的对称性知,线段FF'与线段PQ 在点O 处互相平分,所以四边形PFQF'为平行四边形,∴|FQ|=|PF'|,∠FPF'=60°.根据椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a,又|PF|=2|QF|,∴|PF'|=23a,|PF|=43a,而|FF'|=2c.在△F'PF 中,由余弦定理,得(2c)2=(23a)2+(43a)2-2×23a×43a×cos 60°,即c 2a2=13,∴椭圆的离心率e=c a =√33.4.B 如图,延长PF 2,F 1M 交于点N,则△PF 1N 为等腰三角形,M 为F 1N 的中点,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=12·||PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||.由图可知,当P 在短轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值,此时|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,当P 在长轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值,此时|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,但点P 不能在坐标轴上,所以|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为(0,2√2).二、填空题 5.答案y 225+x 216=1解析 设椭圆C 的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),则椭圆C 的面积为S=πab=20π,又e=√1-b 2a 2=35,解得a 2=25,b 2=16.所以椭圆C 的标准方程为y 225+x 216=1.6.答案√32解析 如图,延长F 2A 交F 1P 的延长线于点M.由题意可知|PM|=|PF 2|,由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a, 则|PF 1|+|PM|=|MF 1|=2a. 易知OA 是△F 1F 2M 的中位线, ∴|OA|=12|MF 1|=a. 又|OA|=2b,∴2b=a,则a 2=4b 2=4(a 2-c 2), 即c 2=34a 2,∴e 2=34,又e∈(0,1),∴e=√32.三、解答题 7.解析 (1)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c ,b 2a ),由k MN =k MF 1=34,得b 2a-0c -(-c )=34,即2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入,得2c 2+3ac-2a 2=0,即2e 2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,设直线MF 1与y 轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a.①由|MN|=5|F 1N|,得|DF 1|=2|F 1N|, 则F 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则{2(-c -x 1)=c ,-2y 1=2,即{x 1=-32c ,y 1=-1, 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 由①②及a 2=b 2+c 2得9(a 2-4a )4a 2+14a =1,解得a=7,则b=√4a =2√7. 8.解析 (1)∵AF 1=F 1F 2, ∴a=2c,∴e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a-m.∵AF 1=F 1F 2=AF 2,∴△AF 1F 2是等边三角形, ∴∠F 1F 2B=180°-∠F 1F 2A=180°-60°=120°.在△BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2-2|BF 2||F 1F 2|cos∠F 1F 2B,即(2a-m)2=m 2+a 2-2am×(-12), ∴m=35a. ∵△AF 1B 的面积S=12|BA||F 1A|sin 60° =12×(a +35a)×a×√32=40√3,∴a=10,∴c=5,b=5√3.。
2021学年新教材数学人教A版必修第一册课件：第三章 习题课 椭圆的综合问题及应用
∵P(3,2)为AB的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=4. ∵点A,B都在椭圆上,
答案:2x+3y-12=0
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
探究一
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数学建模素养——椭圆的实际应用问题 典例某火星探测器的运行轨道是以火星(其半径R=34百千米)的中 心F为右焦点的椭圆.已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最 近的点)A到火星表面的距离为8百千米,远火星点(轨道上离火星表 面最远的点)B到火星表面的距离为800百千米.假定探测器由近火 星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为 百千米时 进行变轨,其中a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长,求此时探测 器与火星表面的距离(精确到1百千米).
所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2, 故当x=-1时,|OP|2+|PF|2的最小值等于2. 答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,则这
条弦所在的直线方程为 .
探究一
探究二
高中数学第二章2.1椭圆2.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用优化练习新人教A版选修1
2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用[课时作业] [A 组 基础巩固]1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5或m ≠1D ．m ≥1且m ≠5解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， 若5>m ，则m ≥1，若5<m ，则必有公共点， ∴m ≥1且m ≠5. 答案：D2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k的值为( )A ．±1B ．± 2C ．±33D ．± 3 解析：因为椭圆的离心率为33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33，选C.答案：C3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，±b 2a .∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝ac.又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12.答案：D4．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2，的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－23 3D ．以上都不对解析：由题意知yx －2的几何意义是椭圆上的点(x ，y )与点 (2,0)两点连线的斜率，∴当直线y ＝k (x －2)与椭圆相切(切点在x 轴上方)时，yx －2＝k 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 2＋y 2＝4 整理得(4＋k 2)x 2－4k 2x 2＋4k 2－4＝0.Δ＝(－4k 2)2－4(4＋k 2)(4k 2－4)＝16(4－3k 2)＝0，即k ＝－233(k ＝233舍去)时，符合题意． 答案：C5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)． 由FA →＝3FB →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF →|＝－2＋n 2＝1＋1＝ 2.故选A. 答案：A6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，那么椭圆的方程是________．解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a ＝2c ， 又a －c ＝3， 故c ＝3，a ＝23， ∴b 2＝(23)2－3＝9， 椭圆的方程为x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝17．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r ＞0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50， 即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝6 2. 答案：6 28．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM →·AM →＝0， ∴AM →⊥PM →.∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2， ∴|PM →|min ＝ 3.答案： 39．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 解析：(1)∵2b ＝23，c ＝1， ∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．解析：椭圆的右焦点为F (1,0)，∴l AB ：y ＝2x －2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y24＝1，得3x 2－5x ＝0，∴x ＝0或x ＝53，∴A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， ∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |)＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋43＝53. [B 组 能力提升]1．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若A B →·A F →2＝0，|A B →|＝|A F →2|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.3－ 2 C.3－1 D.2－1解析：在Rt △ABF 2中，设|AF 2|＝m ，则|AB |＝m ，|BF 2|＝2m ，所以4a ＝(2＋2)m . 又在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝2a －m ＝22m ，|F 1F 2|＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，则2c ＝62m . 所以椭圆的离心率e ＝2c2a ＝621＋22＝6－ 3.答案：A2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能 解析： ∵e ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝4c 2，b 2＝a 2－c 2＝3c 2， ∴b ＝3c ，方程ax 2＋bx －c ＝0， 可化为2cx 2＋3cx －c ＝0， 即2x 2＋3x －1＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝74<2， ∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．故选A. 答案：A3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 答案：64．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，得c a ＝22，所以e＝22. 答案：225．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得，ax 21＋by 21＝1，① ax 22＋by 22＝1.②②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.而y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22， 则b ＝2a .又∵|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.又由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b. ∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入，得a ＝13，b ＝23.∴所求椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.6．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22，F 1，F 2为其焦点，一直线过点F 1与椭圆相交于A ，B 两点，且△F 2AB 的最大面积为2，求椭圆的方程． 解析：由e ＝22得a ∶b ∶c ＝2∶1∶1， 所以椭圆方程设为x 2＋2y 2＝2c 2. 设直线AB ：x ＝my －c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －c x 2＋2y 2＝2c 2，得(m 2＋2)y 2－2mcy －c 2＝0，Δ＝4m 2c 2＋4c 2(m 2＋2)＝4c 2(2m 2＋2) ＝8c 2(m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是方程的两个根．得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2mc m 2＋2，y 1y 2＝－c2m 2＋2，所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝22c m 2＋1m 2＋2S △ABF 2＝12|F 1F 2||y 1－y 2| ＝c ·22c ·m 2＋1m 2＋2＝22c2m 2＋1＋1m 2＋1≤22c 2·12＝2c 2，当且仅当m ＝0时，即AB ⊥x 轴时取等号， ∴2c 2＝2，c ＝1，所以，所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1。
高中数学人教A版选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 课时分层练习题含答案解析
3.1.1 椭圆及其标准方程基础练习一、单选题1．已知P 是椭圆2212516x y +=上的一个点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若13PF =，则2PF 等于（ ） A ．10 B ．7 C ．5 D ．22．以()11,0F -，()21,0F 为焦点，且经过点1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程为（ ）A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22134x y +=D ．2214x y +=3．已知椭圆143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于M ，N 两点，若1F MN△的周长为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．84．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，P 为椭圆上一点，若12||||6PF PF +=，则12PF F △的周长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．45．已知椭圆C ：21y x k+=的一个焦点为（0，-2），则k 的值为（ ）A ．5B ．3C ．9D ．25标准方程是（ ）A ．221168x y +=B ．221168y x +=C ．2212416x y +=D ．221249x y +=7．已知椭圆C ：()2210x y a b a b+=>>的右焦点为)，右顶点为A ，O 为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若四边形OMAN 是正方形，则C 的方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22153x y +=C ．22175x y +=D ．22197x y +=【答案】A8．已知点12,F F分别是椭圆1259x y+=的左､右焦点,点P在此椭圆上,1260F PF∠=,则12PF F∆的面积等于A B．C．D．60及三角形面积公式即可求解【详解】椭圆225x+9．已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线22:1x yCm n+=描述正确的是（）A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线C．曲线C的椭圆D．曲线C可表示为渐近线方程是y=的双曲线A ．M 到两定点()0,2，()0,2-的距离之和为4B ．M 到两定点()0,2，()0,2-的距离之和为6C ．M 到两定点()3,0，()3,0-的距离之和为6D ．M 到两定点()3,0，()3,0-的距离之和为8 【答案】BD【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.【详解】因为两定点()0,2，()0,2-的距离为46<，所以选项A 不符合椭圆定义，选项B 符合椭圆定义；因为两定点()3,0，()3,0-的距离为68<，所以选项C 不符合椭圆定义，选项D 符合，11．在曲线()22:10,0C Ax By A B +=>>中，（ ）A ．当AB >时，则曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆 B ．当A B ≠时，则曲线C 为椭圆 C ．曲线C 关于直线y x =对称D ．当A B ≠时，则曲线C 的焦距为【答案】ABD12．若椭圆221254x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为3，则点P 到另一焦点2F 的距离为______．【详解】 又PF 13．过椭圆142x y +=的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的2ABF 的周长是______．【答案】8，利用椭圆的定义可得出2ABF 的周长由题意可知，2ABF 的周长为12BF BF +14．椭圆22115x y m ++=的焦距为4，则m ＝______．1715．已知方程164x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是_______；16．椭圆194x y +=的短轴长为______．17．椭圆123x y +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为_____.19．已知椭圆22110036x y+=上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离．20．已知椭圆的两个焦点分别为1和2，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为221 259x y+=？(1)22110064x y +=； (2)221916x y +=；(3)2222x y +=．49-，求点A 的轨迹方程．．用圆规画一个圆，然后在圆内标记点，并把圆周上的点1折叠到点，连接1，标记出1OP 与折痕1l 的交点1M （如图），若不断在圆周上取新的点2P ，3P ，…进行折叠并得到标记点2M ，3M ，…，则点1M ，2M ，3M ，…形成的轨迹是什么？并说明理由．24．已知定点1、2和动点．(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M 的轨迹及其方程． 条件①：1212MF MF += 条件②：128MF MF +=(2)()1220MF MF a a +=>，求：动点M 的轨迹及其方程．一、单选题1．椭圆22110064x y+=的焦点为1F，2F，椭圆上的点P满足1260F PF∠=︒，则点P到x轴的距离为（）A B C D．64 312PF F S=2．已知1F 、2F 是椭圆2:1163x y C +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，则12PF PF ⋅（ ）A ．有最大值，为16B ．有最小值，为16C ．有最大值，为4D ．有最小值，为43．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得122F PF π∠=B ．12cos F PF ∠的最小值为725-C ．12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为9D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925根据120D D F F ⋅<得，结合余弦定理与基本不等式求解判断进而计算面积判断选项，由于()(124,3,4,3F F D D =--=-，1216D D F F ⋅=-12F PF S=对于D 4．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动．当点D 在滑槽AB 内做往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动．记点N 的运动轨迹为1C ，点M 的运动轨迹为2C ．若1O N D N ==，3MN =，过2C 上的点P 向1C 作切线，则切线长的最大值为______．依题意，2MD DN =，且1DN ON ==，)()00,2x y x t y -=-，且()0220x t x y ⎧-⎪⎨+⎪⎩5．如图，1，2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为_______．在1PF Q 中，6．与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且过点()3,2-的椭圆方程为______．【答案】2211510x y +=【分析】结合已知条件求出c ，然后利用7．已知直线y =与椭圆在第一象限内交于M 点，又MF 2⊥x 轴，F 2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F 1，若122MF MF ⋅=，求椭圆的标准方程．，进而由122MF MF ⋅=求得.⎝又因为122MF MF ⋅=，所以122,MF MF c ⎛⋅=- ⎝()2,2M ，1F 矩形的最大面积．9．已知P 是椭圆221259x y +=上的一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点．(1)若1290F PF ∠=︒，求12PF F 的面积； (2)求12PF PF ⋅的最大值． 12Rt F PF 中，11002PF -⋅12F PF 的面积为(1)求曲线C 的方程；(2)曲线C 上是否存在点M 使12MF MF ⊥?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．11．已知椭圆1C 与椭圆2:1305x y C +=具有共同的焦点1F ，2F ，点P 在椭圆1C 上，12PF PF ⊥，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．①椭圆1C 过点()；②椭圆1C 的短轴长为10；③椭圆1C 的离心率为2．(1)求椭圆1C 的标准方程； (2)求12PF F △的面积．12PF F S=12．已知椭圆()2210x y a b a b +=>>的长轴长为4，右焦点到直线4x =的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y x =M ，N 两点，椭圆上存在点P ，使得()()0OP OM ON λλ=+>，求实数λ的值.所以(0,OM =-，87ON ⎛= ⎝又()83,7OP OM ON λλ⎛=+= ⎝8363,77P λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，13．已知P 点坐标为(0,2)-，点,A B 分别为椭圆22:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右顶点，ABP △是等腰直角三角形，长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.所以0OM ON ⋅>，即12121x x y y x +=)(2122k x x k +-。
数学人教A版选择性必修第一册3.1.2椭圆的实际应用课件
为R，卫星近地点、远地点距离地面分别是 R,求, 5“R嫦娥五号”卫星轨道的离心率
22
解：设椭圆方程为x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
由题意得：a c 7R , a c 3R
2
2
a 5R ,c R 2
e c 2 a5
练一练
2、国家体育场（又名鸟巢）。其俯视图可近似看成两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆
c a
3 2
e1 e2 , b2 5
3 2
a22 b22 a2
, a2
10
小椭圆长轴长为20.
例题讲 授：
例题2：如图是一个足球在太阳光照射下的影子，已知足球的直径为20cm,现太阳光 与地面的夹角为 3，00 求椭圆形影子的离心率。
例题讲
授：
A
例题2：如图是一个足球在太阳光照射下的影子，已知足球的直径
第三章 圆锥曲线方程
椭圆的实际应用
知识回顾：
1、椭的定义：
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的 点的轨迹叫椭圆。
2、椭圆的标准方程：
焦点在x轴上的椭圆方程：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0）
焦点在y轴上的椭圆方程：
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)
3.椭圆的简单几何性质
焦点位置
顶点 范围 长/短轴 对称性 离心率
焦点在x轴上
焦点在y轴上
y B2
y A2 F2
A1 F1 O
x F2 A2
B1
x
B1 O
B2
F1
A1
A1(a,0), A2 (a,0),B1(0,b),B2(0,b) A1(0,a), A2 (0, a),B1(b,0),B2(b,0)
高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(1)练习(含解析)新人教A版选修2-1(2021年
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椭圆的简单的几何性质(1）一、选择题1．如果方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( ) A．(3，＋∞）B．（－∞，－2）C．（3,＋∞)∪（－∞，－2）D．(3,＋∞）∪（－6，－2）［答案］D[解析] 由于椭圆的焦点在x轴上，所以错误!即错误!解得a〉3或－6〈a〈－2，故选D。
2．若焦点在y轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为错误!，则m的值为( ）A．1 B．错误!C. 3 D．错误!［答案］B［解析] 由题意得a2＝2，b2＝m,∴c2＝2－m，又错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴m＝错误!。
3．椭圆C1：错误!＋错误!＝1和椭圆C2：错误!＋错误!＝1 （0〈k〈9）有( ）A．等长的长轴B．相等的焦距C．相等的离心率D．等长的短轴［答案] B4．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为错误!，过F2的直线B的周长为4错误!，则C的方程为( ）l交C于A、B两点，若△AF1A.错误!＋错误!＝1 B．错误!＋y2＝1C.错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［答案] A[解析] 根据条件可知错误!＝错误!,且4a＝4错误!，∴a＝3，c＝1，b＝错误!，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.二、填空题5．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．[答案］错误!＋x2＝1［解析] 由已知，2a＝8，2c＝2错误!，∴a＝4，c＝错误!，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为错误!＋x2＝1.6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤32.则长轴长的取值范围为________．[答案] （2,4］［解析] ∵b＝1，∴c2＝a2－1，又错误!＝错误!＝1－错误!≤错误!，∴错误!≥错误!，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长为2〈2a≤4。
高中数学新人教A版选修2-1课件：习题课——椭圆的综合问题及应用
探究二
探究三
当堂检测
(2)由(1)知a=2,|F1F2|=2c=2.
在△PF1F2中,由勾股定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,
即|PF2|2=|PF1|2+4.
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4,
所以|PF2|=4-|PF1|.
从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+4.
答案有三种位置关系,分别为相交、相切、相离.
课前篇自主预习
2.直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆有三种位置关系:相交、相切、相离.
(2)判断直线与椭圆位置关系的方法:将直线方程ax+by+c=0
2
与椭圆方程 2
+
2
2 =1(a>b>0)联立,消去
y(或 x),得到关于 x(或 y)的
一元二次方程,记该方程的判别式为 Δ.若 Δ>0,则直线与椭圆相交;
3
解得|PF1|=2.
1
2
1
2
3
2
3
2
所以△ PF1F2 的面积 S= ·|PF1|·|F1F2|= × ×2= ,即△ PF1F2
3
2
的面积是 .
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二与椭圆有关的轨迹问题
例2 已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,
8
4
又因为|AF1|=2|AF2|,所以|AF1|=3,|AF2|=3.
在△ AF1F2 中,由余弦定理,得
高中数学2.2.1椭圆及其标准方程课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝1[解析] 将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．6．(2019－2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．53B ．103C ．215D ． 415[解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4.设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415.故选D ．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．(福州市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝|MF 2|2＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D )A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ．3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( AD )A ．a >3B ．a <－2C ．－2<a <3D ．－6<a <－2[解析] 由题意得a 2>a ＋6>0， 解得a >3或－6<a <－2，故选AD ．4．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.故选AB ．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析] ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③.6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为__15__.[解析] 由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2a －|PF 2|＝10＋(|PM |－|PF 2|)≤10＋|MF 2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM |＋|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为x29＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知0a2＋9b2＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为y281＋x29＝1.故椭圆的标准方程为y281＋x29＝1或x29＋y2＝1.8．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝52，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。
2025新教材高中数学第3章习题课椭圆的综合问题及应用分层作业pptx课件新人教A版选择性必修第一册
=
即椭圆 C
2
,∴c=
2
2,∴b2=a2-c2=2,
2
的方程为
4
2
+ =1.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
(2)设点 A 的坐标为(x1,y1),点 B 的坐标为(x2,y2),
将 y= 2x+n 代入椭圆 C 的方程,整理得 5x2+4 2nx+2n2-4=0,
∴的取值范围是
2
,1
2
.故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
>
2
,
2
10.(多选题)设 A,B 是椭圆
2
C: 4
2
+ =1
长轴的两个顶点,若 C 上存在点 P 满
足∠APB=120°,则 k 的取值可以是( AD )
4
A.
3
B.2
C.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
kPA=
,kPB= ,所以 kPA·kPB=
0 +5
0 -5
0 +5
9(2
-25)
0
9
25
=
=- ,故 D 错误.
2
0 -25
+
2
02
2 9( 0 -25)
∵P(3,2)为AB的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=4.
∵点A,B都在椭圆上,
∴412 + 912 =144,422 + 922 =144.两式相减得 4(x1-x2)(x1+x2)
新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程习题课椭圆的综合问题及应用课件新人教A版选择性必修第一册
问题1直线与椭圆的位置关系问题的解决方式实质是解析几何“四步曲”
大观念的实施过程,在“明确几何问题→几何问题代数表示→代数运算→
运算结果几何说明”这一过程中,我们需要注意什么?
问题2经验需要从一些典型问题中去获得,如位置关系的判断、中点弦问
题、定点定值问题、最值问题等.在这些典型问题的解决过程中,要始终
∴12 + 412 =16,22 + 422 =16,
两式相减,得(12 − 22 )+4(12 − 22 )=0,
∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
1 -2
1 +2
4
1
∴
=-4( + )=-4×2=-2,
1 -2
1
2
即
1
kAB=- .故所求直线的方程为
2
代入椭圆方程得 +(kx+
2
整理得
1
2
+
2
2)2=1,
x2+2 2kx+1=0,
直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,等价于 Δ=8k -4
2
解得 k<-
2
或
2
2
k> 2 ,所以
k 的取值范围为 -∞,-
2
2
∪
1
2
+
2
2
,+∞
2
.
=4k2-2>0,
规律方法
直线与椭圆位置关系的判断方法
0 0 -0 -20 +2
规律方法
定点、定值问题的求法
高中数学 2.2.2.2椭圆方程及性质的应用课时作业 新人教A版选修21
椭圆方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于( )A.4B.2C.1D.4【解析】选C.因为+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标F(,0),将x=代入+y2=1得,y=±,故|AB|=1.2.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.3.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必与椭圆相交,故选A.4.(2014·杭州高二检测)已知椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直线OM的斜率为,则的值为( )A. B. C. D.2【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),由题意可得==,=-1 ①因为A,B在椭圆上,所以m+n=1,m+n=1,两式相减可得m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y2)(y1+y2)=0 ②所以=-,即-1=-,所以-1=-·,=.5.(2014·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则k AB·k OM的值为( )A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,+=1,+=1,作差得=,所以k AB·k OM=·===e2-1.6.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解题指南】本题中给出AB的中点坐标,所以在解题时先设出A,B两点坐标,然后采用点差法求解.【解析】选D.由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+ a2= a2b2①,b2+ a2= a2b2②,由①-②得b2(-)+ a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜率为k==,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.【变式训练】椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( )A. B. C. D.-【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②得+=0,又因为弦中点为M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以+=0,所以k==.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·天水高二检测)过点M(1,1)作一直线与椭圆+=1相交于A,B两点,若M点恰好为弦AB的中点,则AB所在直线的方程为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得4+9=9×4,4+9=9×4,两式相减,得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,由中点坐标公式得=1,=1,所以k==-,所以所求直线方程为4x+9y-13=0.答案:4x+9y-13=08.(2014·德州高二检测)如图,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.【解析】因为|OF2|=c,所以=c2=,所以c=2.又因为P点在椭圆上,且P(1,),所以+=1,所以+=1.又因为a2=b2+c2=4+b2,所以b2=2.答案:29.(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在三角形ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,解得|AF|=6.在三角形ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F′,连接AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形AFBF′为矩形,则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a,所以2a=|AF|+|AF′|=6+8=14.故离心率e===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得a+b=1, ①a+b=1. ②②-①,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而=k AB=-1,=k OC=,则b= a.又因为|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,所以|x2-x1|=2. 又由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·=4,将b=a代入,得a=,b=,所以所求的椭圆方程为+y2=1.【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==.因为|AB|=2,所以=1. ①设C(x,y),则x==,y=1-x=.因为OC的斜率为,所以=.代入①,得a=,b=.所以椭圆方程为+y2=1.11.(2014·德阳高二检测)已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(,1).(1)求椭圆的方程.(2)已知与圆x2+y2=相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A,B,O为坐标原点,求·的值.【解题指南】(1)由e=,及椭圆C过点M(,1)建立方程组,即可确定椭圆C的方程.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),讨论l的斜率不存在时l:x=±,此时·=-=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由l与圆相切得3m2-8k2-8=0,再将l代入椭圆方程,利用根与系数的关系及向量的数量积公式即可求得.【解析】(1)因为e=,又椭圆C过点M(,1),所以解得所以椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,l:x=±,则x1=x2=±,y1=-y2,所以·=-=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由于l与圆相切得:=,所以3m2-8k2-8=0.将l的方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=-,x1·x2=,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2==0,综上,·=0.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·成都高二检测)直线l:x-2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.由x-2y+2=0,令y=0,得F1(-2,0).令x=0,得B(0,1),即c=2,b=1,所以a=,所以e===.2.(2014·北京高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为( )A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=>2,所以a2+b2<4,所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点P是椭圆内的点,所以过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.故选C.3.(2013·大纲版全国卷)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是,那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B.C. D.【解题指南】将P(x0,y0)代入到+=1中,得到x0与y0之间的关系,利用·为定值求解的取值范围.【解析】选B.设P(x0,y0),则+=1,=,=,·===-,故=-.因为∈[-2,-1],所以∈.4.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为( )A.2B.-2C.D.-【解析】选D.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则+=1, ①+=1, ②①-②得=-(y1+y2)(y1-y2),所以=-=-.因为k1=,k2=,所以k1=-.所以k1·k2=-.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.【解析】右焦点为(1,0),故直线为y=2(x-1).由消去y,得3x2-5x=0,所以x=0或x=,从而A(0,-2),B.所以|AB|===.又O到AB的距离d==,所以S△AOB=·|AB|·d=××=.答案:6.(2014·广州高二检测)已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<+<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为.【解析】依题意知P位于椭圆C的内部(异于原点O),因此有|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a,即2≤|PF1|+|PF2|<2,故范围为[2,2).答案:[2,2)三、解答题(每小题12分,共24分)7.圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=,椭圆C2的方程为+=1(a>b>0),C2离心率为.若C1与C2相交于A,B 两点,且线段AB恰好为圆C1的直径.求直线AB的方程和椭圆C2的方程.【解析】由e=得a2=2c2=2b2.所以椭圆C2的方程为+=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由圆心(2,1)得x1+x2=4,y1+y2=2.又+=1,+=1,相减整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.从而=-1,所以直线方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.代入椭圆方程,得3x2-12x+18-2b2=0.因为直线AB与椭圆相交,所以Δ>0,即b2>0.由|AB|=|x1-x2|===2,所以b2=8,a2=16,所以椭圆方程为+=1.8.(2013·重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.(1)求该椭圆的标准方程.(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出Q点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆Q外可求△PP′Q的面积S的最大值以及圆的标准方程.【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=,得b2==8,从而a2==16,故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x ++8=(x-2x0)2-+8(x∈).设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1∈,所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以S =|2y1||x1-x0| =×2|x0|==.当x0=±时,△PP′Q的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP| ==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.- 11 -。
高中数学 专题2.2.1 椭圆及其方程练习(含解析)新人教A版选修2-1(2021年整理)
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椭圆及其方程一、选择题1．已知方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )A．m〈2 B．1<m〈2C．m〈－1或1<m〈2 D．m<－1或1〈m<错误![答案］D[解析］由题意得错误!即错误!∴1〈m<错误!或m〈－1,故选D.2．若△ABC的两个焦点坐标为A(－4，0）、B（4,0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（）A。
错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1(y≠0）C.错误!＋错误!＝1（y≠0) D。
错误!＋错误!＝1(y≠0)［答案] D[解析］∵｜AB｜＝8,△ABC的周长为18，∴|AC|＋|BC｜＝10〉｜AB｜，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B,又因为C点的纵坐标不能为零,所以选D.3．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q,使得|PQ|＝|PF2｜，那么动点Q的轨迹是（)A．圆B．椭圆C．射线D．直线［答案] A4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，－2)和C(0,2）,顶点B在椭圆错误!＋错误!＝1上，则错误!的值是( ）A.错误!B．2C．2 3 D．4[答案］A［解析］由椭圆定义得｜BA|＋｜BC|＝4错误!，又∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!，故选A。
2022版人教A版高中数学选择性必修第一册练习题--直线与椭圆的位置关系及其应用
2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一直线与椭圆的位置关系1.直线y=x+1与椭圆x 25+y24=1的位置关系是 ()A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.若直线y=kx+2与椭圆x 23+y22=1有且只有一个交点,则斜率k的值是()A.√63 B.−√63C.±√63D.±√333.椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k的值为()A.±1B.±√2C.±√33D.±√34.(2020山东聊城高二上期末)直线y=kx+2与焦点在x轴上的椭圆x 216+y2b2=1(b>0)恒有两个公共点,则实数b的取值范围是. 题组二直线与椭圆的相交弦问题5.直线y=x+1被椭圆x 24+y22=1所截得的线段的中点的坐标是()A.(23,53) B.(43,73)C.(-23,13) D.(-132,-172)6.过原点的直线l与曲线C:x 23+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于√6,则直线l的斜率k的可能取值是()A.√33 B.−√33C.√3D.17.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点.设O为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-3 B.-13C.−13或−3 D.±138.过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .9.(2021江西南昌二中高二上月考)在平面直角坐标系中,已知动点P 到定点F 1(-1,0)、F 2(1,0)的距离之和为2√2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)若直线l :y =x +t 与曲线C 交于A 、B 两点,|AB |=4√23,求t 的值.题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用 10.设椭圆C :x 29+y 24=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限的交点为P ,则直线PF 1的斜率为 ( ) A.13B.12C.√33D.√3211.(2020北京清华大学附中高二上期中)已知椭圆C :x 216+y 24=1的右顶点为A ,上顶点为B.点E 在椭圆C 上,且不在直线AB 上. (1)求椭圆C 的离心率和直线AB 的方程; (2)若以AE 为直径的圆经过点B ,求点E 的坐标.能力提升练题组一直线与椭圆的相交弦问题1.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=-2x-3D.y=-2x+32.(2020浙江宁波九校高二上期末,)已知圆C:(x+3)2+y2=48和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于M点,则M点的轨迹方程为;若直线l与M点的轨迹相交,且相交弦的中点为P(2,1),则直线l的方程是.3.(2021江苏南京金陵中学高二上月考,)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为2√3π,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,求△OAB面积的最大值.题组二 直线与椭圆位置关系的综合运用 4.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx +ny =4和圆x 2+y 2=4没有交点,则过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点的个数为 ( )A.0或1B.2C.1D.0 5.(2021江西上饶高二上月考,)已知椭圆C :x 28+y 26=1的左、右顶点分别为A 、B ,点P 为椭圆C 上不同于A ,B 的动点,若直线PA 斜率的取值范围是[1,2],则直线PB 斜率的取值范围是 ( )A.[-2,-1]B.[-32,-34]C.[-1,-12] D.[-34,-38]6.(2021江苏泰州中学高二上期初检测,)如图,椭圆C :x 24+y 2=1的右顶点为A ,上顶点为B ,动直线l 交椭圆C 于M 、N 两点,且始终满足OM ⊥ON ,作OH ⊥MN 交MN 于点H ,则HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A.[3-2√3,3+2√3]B.[45-4√55,45+4√55]C.[-65,145] D.[-54,154] 7.(多选)()已知椭圆C :x 24+y 22=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,直线y =kx (k ≠0)与C 交于A ,B 两点,AE ⊥x 轴,垂足为E ,直线BE 与C 的另一个交点为P ,则下列结论正确的是 ( )A.四边形AF 1BF 2为平行四边形B.∠F 1PF 2<90°C.直线BE 的斜率为12k D.∠PAB >90°8.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F1作斜率为12的直线l 与C 交于A ,B 两点,若|OF 1|=|OA |,则椭圆C 的离心率为 .9.(2020海南中学高二上期中,)已知点P 是椭圆x 225+y 29=1上任意一点,则当点P到直线4x -5y +40=0的距离达到最小值时,点P 的坐标为 . 10.(2020天津一中高二上期末质量调查,)已知椭圆C :x 24+y 23=1,F 1,F 2分别为椭圆的左,右焦点,P 为椭圆上任意一点. (1)若|PF 1|-|PF 2|=1,求△PF 1F 2的面积;(2)是否存在直线l ,使得当l 经过椭圆左顶点A 且与椭圆相交于点B ,点D 与点B 关于x 轴对称,满足OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−207?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 11.()已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22,点P(−√2,1)在该椭圆上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若点A ,B 是椭圆C 上关于直线y =kx +1(k ≠0)对称的两点,求实数k 的取值范围.12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,且|F1F2|=2,离心率为√22.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≥x2)两点.(i)求|AF2|·|BF2|的最小值;(ii)点Q是直线l上异于F2的点,且满足|QA||QB|=|F2A||F2B|,求证:点Q在一条定直线上.答案全解全析 基础过关练1.A 直线y =x +1过点(0,1),将(0,1)代入x 25+y 24=1得,0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.2.C 由{y =kx +2,x 23+y 22=1,消去y ,并整理得(2+3k 2)x 2+12kx +6=0,由题意知Δ=(12k )2-4×6×(2+3k 2)=0, 解得k =±√63,故选C . 3.C 因为椭圆的离心率为√33,所以c a=√33,即c =√33a,c2=13a2=a2−b2,所以b2=23a2.当x =b 时,直线与椭圆的交点的纵坐标为y =kb,则交点为(b,kb),代入椭圆方程得b 2a2+k 2b 2b 2=1,即23+k2=1,所以k2=13,解得k =±√33,故选C .4.答案 (2,4)解析 直线y =kx +2恒过定点(0,2),要保证直线与椭圆有两个公共点,则定点需在椭圆内,所以016+4b 2<1,又b >0,所以b >2,又因为椭圆的焦点在x 轴上,所以b <a =4,即b ∈(2,4).5.C 联立{y =x +1,x 24+y 22=1,消去y 并整理,得3x 2+4x -2=0.设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点M (x 0,y 0).∴x 1+x 2=-43,x0=x 1+x 22=−23,y0=x0+1=13,∴中点坐标为(-23,13).6.D 设直线l 的方程为y =kx (k ≠0),直线l 与曲线C 交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{x 23+y 2=1,y =kx ,消去y 得(1+3k2)x2−3=0,则x1+x2=0,x1x2=−31+3k 2,所以|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2√121+3k 2=√6,解得k 2=1,故选D .7.B 由x 22+y 2=1,得a 2=2,b 2=1,则c 2=a 2-b 2=1,则焦点坐标为(±1,0).不妨设直线l 过右焦点,因为l 的倾斜角为45°,所以直线l 的方程为y =x -1. 代入x 22+y 2=1得x 2+2(x -1)2-2=0,即3x 2-4x =0.设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=0,x 1+x 2=43,y1y2=(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=−43+1=−13,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=0−13=−13. 8.答案 53解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),又直线的斜率k =2,所以直线的方程为y =2(x -1),将其与x 25+y 24=1联立,消去y,得3x2−5x =0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=√1+k 2·|x1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+22×√(53)2-4×0=5√53.设原点到直线的距离为d,则d =|-2|√(-1)+22=2√55. 所以S △OAB =12|AB |·d =12×5√53×2√55=53.9.解析 (1)因为|PF 1|+|PF 2|=2√2>|F1F2|=2,所以动点P 的轨迹为椭圆,且长轴长2a =2√2,焦点坐标为(-1,0),(1,0), 所以a =√2,c =1,又因为a 2=b 2+c 2,所以b 2=1, 所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{x 2+2y 2-2=0,y =x +t ,消去y ,得3x 2+4tx +2t 2-2=0,所以x 1+x 2=-4t3,x1x2=2t 2-23,Δ=16t 2-12(2t 2-2)=24-8t 2>0,即t 2<3.所以|AB |=√1+12·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√23·√24-8t 2=4√23,解得t =±1,满足Δ>0,所以t =±1. 10.B 依题意得,a 2=9,b 2=4,∴c 2=5, 因此以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=5. 由{x 2+y 2=5,x 29+y 24=1,得{x 2=95,y 2=165, 又点P 在第一象限,∴P (3√55,4√55), 又F 1(-√5,0), ∴k PF 1=4√55-03√55+√5=12,故选B .11.解析 (1)由题可得a =4,b =2,c =2√3,则A(4,0),B(0,2),椭圆的离心率e =c a=√32. 直线AB 的方程为x 4+y2=1,即x +2y -4=0.(2)设E (x 0,y 0),由题意可知AB ⊥BE , 即k AB ×k BE =-1, 结合(1)得-12×y 0-2x 0=-1,则2x 0=y 0-2,∵E 是椭圆C 上的点, ∴x 0216+y 024=1.联立{x 0216+y 024=1,2x 0=y 0-2,消去x 0,整理得17y 02−4y0−60=0,解得y0=2(舍去)或y0=−3017,则x0=−3217,所以E (-3217,-3017). 能力提升练1.ACD 直线y =2x -3与直线l 关于原点对称,直线y =-2x -3与直线l 关于x 轴对称,直线y =-2x +3与直线l 关于y 轴对称,因此A 、C 、D 中的直线被椭圆C 截得的弦长一定为7,而直线y =2x +1被椭圆C 截得的弦长大于7.故选ACD .2.答案x 212+y 23=1;x +2y -4=0解析 由圆的方程可知,圆心C (-3,0),半径等于4√3,设点M 的坐标为(x ,y ), ∵BP 的垂直平分线交CP 于点M , ∴|MB |=|MP |.又|MP |+|MC |=4√3,∴|MC |+|MB |=4√3>|BC|.依据椭圆的定义可得,点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且2a =4√3,即a =2√3,c =3,∴b =√3, 故M 点的轨迹方程为x 212+y 23=1.设直线l 交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,AB 的中点为(2,1), ∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 则x 1212+y 123=1,x 2212+y 223=1,作差得4(x 1-x 2)12=−2(y 1-y 2)3,∴y 1-y 2x 1-x 2=−12,故直线l 的方程是y -1=-12(x -2),即x +2y -4=0.3.解析 (1)依题意有{ab =2√3,a =2c ,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =√3,所以椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1.(2)由题意知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x =my +1, 由方程组{x =my +1,x 24+y 23=1,得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y1y2=−93m 2+4,所以|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12√m 2+13m 2+4,所以S △OAB =12×|OP |×|y 1-y 2| =6√m 2+13m 2+4,令t =√m 2+1(t ≥1),则m 2=t 2-1,S △OAB =6t 3t 2+1=63t+1t,因为y =3t +1t 在[1,+∞)上单调递增,所以当t =1,即m =0时,△OAB 面积取得最大值,为32.4.B 因为直线mx +ny =4和圆x 2+y 2=4没有交点,所以√m 2+n 2>2,所以m2+n2<4,而m 29+n 24≤m 24+n 24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y 24=1必有两个交点,故选B .5.D 依题意得A (-2√2,0),B(2√2,0), 设P (x 0,y 0),则x 028+y 026=1,从而y 02=34(8-x 02),①又k PA =0x +2√2kPB =x -2√2,因此k PA ·k PB =x +2√2·x -2√2=y 02x 02-8,将①式代入得k PA ·k PB =-34,则kPA =−34·1k PB,又1≤k PA ≤2,所以1≤-34·1k PB≤2,故-34≤k PB ≤-38,故选D .6.C 直线l 的斜率显然存在,设直线l :y =kx +b ,与椭圆方程联立,得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-4=0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 得x 1+x 2=-8kb 1+4k 2,x1x2=4b 2-41+4k 2,因为OM ⊥ON ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+b )(kx 2+b )=0, 代入整理得5b 2=4k 2+4, 则|OH |2=(√1+k2)2=b 21+k 2=45, 所以点H 在圆O :x 2+y 2=45上运动,记线段AB 的中点为D , 直线AB 与圆O :x 2+y 2=45相切,则HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|HD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|HD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−54, 在Rt △AOB 中,易知|OD |=12|AB|=√52. 所以|HD |∈[√52-2√55,√52+2√55]=[√510,9√510],|HD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−54∈[-65,145],即HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-65,145].故选C .7.ABC 由椭圆的对称性知,四边形AF 1BF 2是平行四边形,故A 正确; ∵a 2=4,b 2=2,∴c 2=2, ∴∠F 1AF 2<90°, 又∠F 1PF 2<∠F 1AF 2<90°, 故B 正确;由{x 2+2y 2=4,y =kx 得{x 2=41+2k 2,y 2=4k 21+2k2, 结合图形,不妨设k >0, 则A (2√1+2k 2,2k √1+2k 2),B −2√1+2k 2,−2k √1+2k 2,E (2√1+2k 2,0),∴k BE =2k√1+2k 22√1+2k 2+2√1+2k 2=12k ,故C 正确;取k =2,则A (23,43),B (-23,-43),E (23,0),∴直线BE 的方程为y =x -23,与椭圆方程联立得,P (149,89),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(89,-49),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-43,-83),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3227+3227=0,∴∠PAB >90°错误.故选ABC .8.答案√53解析 如图所示,设右焦点为F 2,则|OF 1|=|OA |=|OF 2|,∴AF 1⊥AF 2, 又tan ∠AF 1F 2=12,∴|AF 1|=4√55c,|AF2|=2√55c.因此,2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ,∴e =ca =√53.9.答案 (-4,95)解析 设平行于直线4x -5y +40=0且与椭圆相切的直线方程为4x -5y +c =0(c ≠40).由{9x 2+25y 2=225,4x -5y +c =0,得25x 2+8cx +c 2-225=0, 令Δ=(8c )2-4×25×(c 2-225)=0, 得c 2=625,解得c =±25.结合图形(图略)可知c =25,此时,x 2+8x +16=0⇒x =-4. 代入4x -5y +25=0得,y =95,∴P (-4,95).10.解析 (1)由{|PF 1|+|PF 2|=4,|PF 1|-|PF 2|=1,得{|PF 1|=52,|PF 2|=32,易求得|F 1F 2|=2. ∵|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,∴PF 2⊥F 1F 2,∴S △PF 1F 2=12|PF 2|·|F 1F 2|=32.(2)存在.易知A (-2,0),故可设直线l 的方程为y =k (x +2),联立{y =k (x +2),x 24+y 23=1,消去y ,得(4k 2+3)x 2+16k 2x +16k 2-12=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1x 2=16k 2-124k 2+3,又x1=−2,∴x2=6-8k 24k 2+3,则B (6-8k 24k 2+3,12k4k 2+3), 故D6-8k 24k 2+3,−12k 4k 2+3,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6-8k 24k 2+3)2−144k 2(4k 2+3)2=64k 4-240k 2+36(4k 2+3)2=−207,即16k 4-25k 2+9=0,故(k 2-1)(16k 2-9)=0.∴k =±1或k =±34.∴存在满足条件的直线l ,且直线l 的方程为y =x +2或y =-x -2或y =34(x +2)或y =−34(x +2).11.解析 (1)e =ca=√22,即c2=12a2,b2=a2−c2=12a 2,将P (-√2,1)代入椭圆方程,得2a2+1b 2=1,∴a 2=4,b 2=2, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),y 1≠y 2,AB 的中点为(x 0,y 0),易知直线y =kx +1(k ≠0)恒过点(0,1),则x 12+(y 1-1)2=x 22+(y 2-1)2,∵点A ,B 在椭圆上,∴x 12=4-2y 12,x 22=4-2y 22, ∴4-2y 12+(y 1-1)2=4-2y 22+(y 2-1)2,化简得y 12-y 22=−2(y1−y2),即y1+y2=−2,∴y0=y 1+y 22=-1.又AB 的中点在直线y =kx +1上, ∴-1=kx 0+1,解得x 0=-2k .由{x 2+2y 2=4,y =-1,可得x =±√2, ∴0<-2k<√2或−√2<−2k<0,即k <−√2或k >√2.故k 的取值范围是(-∞,-√2)∪(√2,+∞). 12.解析 (1)由题意得c =1.因为离心率为√22,所以a=√2,所以b =1.所以椭圆的方程是x 22+y 2=1.(2)(i)由(1)知F 2(1,0),当直线l 的斜率不存在时,不妨设A (1,√22),B (1,-√22),所以|AF 2|·|BF 2|=12.当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程可设为y =k (x -1).联立{x 22+y 2=1,y =k (x -1),消去y ,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2=0.所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x1x2=2k 2-21+2k 2.所以|AF 2|=√(x 1-1)2+y 12=√1+k 2|x1−1|,|BF2|=√(x 2-1)2+y 22=√1+k 2|x 2-1|. 所以|AF 2|·|BF 2|=(1+k 2)|x 1x 2-(x 1+x 2)+1|=(1+k 2)|2k 2-21+2k2-4k 21+2k2+1|=1+k 21+2k 2 =12(1+11+2k 2). 因为11+2k 2∈(0,1],所以|AF 2|·|BF 2|的取值范围是(12,1]. 因为当直线l 的斜率不存在时,|AF 2|·|BF 2|=12,所以|AF 2|·|BF 2|的最小值是12.(ii)证明:由题意得,直线l 的斜率一定存在.因为点Q 在直线l 上,所以设点Q 的坐标是(m ,k (m -1)). 因为|QA ||QB |=|F 2k ||F 2B |,所以点Q 一定在BA 的延长线上, 所以m -x 1m -x 2=x 1-11-x 2,即(m +1)(x 1+x 2)-2x 1x 2-2m =0. 所以4k 2(m+1)1+2k 2−2(2k 2-2)1+2k 2-2m =0.化简得m =2.所以点Q 的坐标是(2,k ). 因此点Q 在定直线x =2上.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 椭圆的综合问题及其应用
(3)函数法:选择恰当的自变量,构建目标函数,转化为求函数的最大(小)值或
范围.
变式训练1 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆
周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆Γ的中心为原点O,焦
4
点F1,F2均在x轴上,离心率等于 5 ,面积为15π.
(1)求Γ的标准方程;
9
y-625
=
9 2 +2 -7
2
(9+25)
−
9
2 800+5 104
=2 <0
625
625(9+25 )
36
S△COD< 5 .综合①②可得,△COD
恒成立,
36
面积的最大值为 5 .
探究点三
【例 3】 已知椭圆
椭圆中的定点、定值问题
2
C: 2
+
2
=1(a>b>0)的离心率
2
2
所以△ =|y1-y2|= (1 + 2 ) -41 2 =
1
2
-6
( 2 )
3 +4
+
36
3 2 +4=12 2 +1
.
2
3 +4
令 t=
2
+ 1,t≥1,则△ =
因为当 t≥1 时,函数
所以
1
12
3 2 +1
=
12
3+
1
.
1
y=3t+ 单调递增,
2
3
2
+ 2
= 1,
高中数学第二章2.1椭圆2.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用优化练习新人教A版选修1
a2
＋
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
y1－ y2
y1＋ y2
y1－ y2
1
b2
＝ 0，根据题意有 x1＋ x2＝ 2× 1＝ 2， y1＋ y2＝ 2× 1＝ 2，且 x1－ x2＝－ 2，
22
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c2
2
所以 a2＋ b2× － 2 ＝ 0，得 a2＝ 2b2，所以 a2＝ 2(a2－ c2)，整理得 a2＝ 2c2，得 a＝ 2 ，所以 e＝ 2 .
B． m≥ 1 或 0< m<1 D ．m≥ 1 且 m≠ 5
答案： D
x2 y2
3
2．椭圆 a2＋ b2＝ 1(a>b>0) 的离心率为 3 ，若直线 y＝ kx 与其一个交点的横坐标为
b，则 k 的
值为 ( )
A．± 1
B．± 2
3 C．±
3
D ．± 3
解析：因为椭圆的离心率为
3
c3
3
1
2
3 ，所以有 a＝ 3 ，即 c＝ 3 a， c2＝ 3a2＝ a2－b2，所以 b2＝ 3a2.
2 m
3 2＋m2＝ m2，则
2
2
6 2c＝ m.
2
6
2c 2
所以椭圆的离心率 e＝ 2a＝
＝ 6－ 3. 2
1＋ 2
答案： A
x2 y2
1
2．设椭圆 a2＋b2＝ 1(a> b>0) 的离心率
e＝ ，右焦点为 2
F(c,0)，方程 ax2＋ bx－ c＝0 的两个实根
分别为 x1 和 x2，则点 P(x1， x2)( ) A．必在圆 x2＋ y2＝ 2 内 B．必在圆 x2＋ y2＝ 2 上 C．必在圆 x2＋ y2＝ 2 外