2.3随机变量的数字特征

E[X-E(X)]2
为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X). 称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
2. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代 表性差;
如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X)
它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
例3 已知某种股票每股价格X的平均值为1元 ，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或 低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式 P(X>1+a∪X<1-a)<0.01 0.01 P{| X 1 | a} 2 ; a
0.01 0 .1 2 a
令
a 0.1
2
a 0.32
O


1000 1000

x x
2组
O


随机变量在期望周围的波动情况 ——方差、标准差
如何定义？
E| X-E(x) |
方便计算
E{X-E(X)}2
X1

O

X2
1000

Xn
x
E(X)=1000
1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称

其中 f ( x ) 为X的概率密度.
例1 将资金投资在房地产和商业，收益都与市场状 态有关。把未来市场划分为好、中、差三个等级， 其发生的概率分别为0.2、0.7、0.1。 投资房地产的收益X（万元）和投资商业的收益Y （万元）的分布列为： 房地产 X 11 3 -3 问：该投资者如何选择？ P 0.2 0.7 0.1
E ( X ) xp( x)dx.连续型


E(C)=C
E(ax)=a E(X)
E[g(X)+f(X)]=E[g(X)]+E[f(X)]
D( X ) 0 P(X C) 1
三、切比雪夫不等式
若随机变量X的期望和方差存在，则对任意 0，有 D( X ) P{| X E( X ) | } ; 2 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。
2 2
最常用的计算公式
(4) Var ( X ) 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C , 即 P { X C } 1.
求:投一颗骰子出现的点数为随机变量X
的Var（X）
练习：88页3
数学期望
E ( X ) xk p k .离散型
k 1
方差（标准差）
方法1 Var(x)=E[X-E(X)]2 方法2 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 Var(C)=0 Var(aX+b)=a2Var(X)
E(X)=0
Var ( X )
1 2
E(X)=0Βιβλιοθήκη Var ( X ) 1 3
2 Var( X ) E{X - E(X)} E(X2 )
练习：88页2
二、性质
1.数学期望的性质
• （1）E（c）= c • （2）E(aX)=a E(X) • （3）E[g(X)+f(X)]=E[g(X)]+E[f(X)]
商业
Y 6 P 0.2
4
-1
0.7 0.1
收益波动情况： Var(X)=E[X-E(X)]2
Var( X ) (11 4) 2 0.2 (3 4) 2 0.7 (3 4) 2 0.1 15.4
Var(Y ) (6 3.9) 2 0.2 (4 3.9) 2 0.7 (1 3.9) 2 0.1 3.29
随机变量的数字特征
方差与标准差
随机变量的数字特征
• 数学期望（平均值） E ( X ) xk pk .
k 1
E ( X ) xf ( x)dx.


研究随机变量与其均值的偏离程度也十分必要。 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.
1组

你会选哪一组 呢。为什么？
作为随机变量的代表性好.
3. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算 离散型随机变量的方差
Var ( X ) [ x k E ( X )] 2 p k ,
k 1
其中 P{ X xk } pk , k 1,2,是 X 的分布律.
连续型随机变量的方差
Var ( X ) [ x E ( X )] 2 f ( x) d x,
2
E{[CX b CE( X ) b]2 } C 2 E{[ X E( X )]2 }
C 2Var( X ).
(3) Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.
证明: Var(X)=E[X-E(X)]2
E{X 2 2 XE( X ) [ E( X )]2 } E( X 2 ) 2E( X ) E( X ) [ E( X )]2 E( X ) [ E( X )]
E ( X ) x(1 x ) d x x(1 x ) d x 0,
1 0
0
1
Var( X ) E{ X E ( X )}2 E ( X 2 ) 0 1 1 2 2 x (1 x) d x x (1 x) d x ,
1 0
6
均匀分布
商业
解：平均收益
E(X)=11*0.2+3*0.7-3*0.1=4 (万元) E(Y)=6*0.2+4*0.7-1*0.1=3.9 (万元)
Y 6 P 0.2
4
-1
0.7 0.1
你决定在什么 产业投资了？
房地产的平均收益比商业大0.1万元；但房地产的收 益波动大，风险比商业大一倍多。
房地产
X 11 3 -3 P 0.2 0.7 0.1
随机变量X服从区间 [-1，1]上的均匀分布
概率密度为 1 p( x) 2 , 1 x 1, 0, 其他. 求 Var ( X ).
倒三角分布
随机变量 X 具有概率密度 x, 1 x 0, f ( x) x, 0 x 1, 0, 其他. 求 Var ( X ).
( X ) Var( X ) 15.4 3.92
(Y ) Var(Y ) 3.29 1.81
例2 设随机变量 X 具有概率密度 1 x, 1 x 0, f ( x) 1 x, 0 x 1, 三角分布的 0, 其他. 概率密度函数 求 Var ( X ). 解：由定义知
2. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 Va r (C ) 0.
Var(C) E(C E(C)2 ) E(0) 0 证明
(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
Var(CX b) C Var( X ).
2
证明 Var(CX b) E{[CX b E(CX b)] }