混沌理论

• 但与平凡吸引子相比，它又有一些奇特的性质。系统在吸引子外的所 有状态都向吸引子靠拢，这是吸引作用，反映系统运动“稳定”的一 面；而一旦到达吸引子内，其运动又是互相排斥的，这对应着不稳定 的一面。也可以说在整体上是稳定的，而在局部上是不稳定的。在混 沌区内，两个靠的很近的点，随着时间的推移会指数发散开来；两个 相距很远的点，有可能无限的接近；它们将在混沌区中自由的游荡， 又不跳出混沌区去，因此无法描写它们的“轨迹”，无法预测其未来 的状态。1971年，法国物理学家茹勒和泰肯首次把混沌的这种性质叫 奇异吸引子或奇怪吸引子。
（三）混沌区的动力学特征
图3.3.6所示的混沌区并非一片混乱，而是具有丰富的动力学规律。 1，倒分叉。 系统通过倍周期运动进入混沌区域，而在混沌区域同样存在着一个倒分叉 情况。在混沌区的最右边首先是一片混沌，系统可以运动到整个状态空间的 任何点。随着控制参量的增大，系统的混沌区分叉为两片混沌，状态空间被 分为三个部分，两个混沌带由一个非混沌区隔开。随着控制参量的继续增大， 混沌区还可以继续分叉为4片混沌区、8片混沌区、16片混沌区、……、2k片 混沌区，形成一个反向的周期为2k的混沌带序列。 2，周期窗口 系统处于混沌区时也并非总是作混乱的随机运动，在混沌区还存在着无穷 多的周期窗口。当控制参量在这些周期窗口内取值时，系统将作规则的周期 运动。图3.3.6中自右向左的三条白色条状区域分别对应周期3窗口、周期5 窗口、周期7窗口。 3，自相似嵌套结构 系统的混沌区存在着周期窗口，而周期窗口内又存在混沌区，混沌区是一 个具有层次嵌套的自相似结构。图3.3.7是图3.3.6中某一部分的放大，可以 看出，混沌区的部分具有与整体相同的层次嵌套结构。缩小观察尺度，还可 以发现更小尺度下的混沌带和周期窗口，层层相套，无穷无尽。
• 5、非平衡过程产生的混沌是一种“奇异吸引子”
• 任何物理理论，在一定意义上都是研究物质在时空中运动的规律。 一个物质系统的运动将向何处？它有没有一定的归宿？是返回原状态， 还是会达到某种新的稳定状态？这是人们感兴趣的课题。
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当演化时间 t 趋向于无穷大时，系统所达到的 极限集合称为“吸引子”。
分叉(bifurcation)是有序演化理论的基本概念，这是混沌出
现的先兆。在动态系统演化过程中的某些关节点上，系统的定态行为 (稳定行为)可能发生定性的突然改变，即原来的稳定定态变为不稳定 定态，同时出现新的定态，这种现象就是分叉。发生分叉现象的关节 点叫做分叉点，在分叉点系统演化发生质的变化。动态系统演化中的 分叉现象充分说明了量变引起质变的规律。分叉又是一种阈值行为， 只要系统的非线性作用强到一定程度，就可能出现分叉。所以，凡是 产生混沌的系统，总可以观察到分叉序列。
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混沌理论
混沌理论曾被认为是20世纪继相对论和量子力学之后物理学的第 三次革命，可见混沌理论蕴涵着极为丰富和革命性的哲学思想。 早在19世纪末，彭加勒的科学研究就涉及到与混沌相关的一些问 题。他在研究三体问题时发现三体引力相互作用能够产生惊人的复杂 行为，确定性动力学方程的某些解有不可预测性。然而，混沌直到 20 世纪60年代才发展成为一门物理学理论。混沌分为两大类别：保守混 沌和耗散混沌。KAM定理（俄国数学家柯尔莫哥洛夫和阿诺德、莫塞 尔名字命名的KAM定理）最早揭示出保守混沌现象。耗散混沌现象的 发现则归功于美国气象学家洛仑兹（E.Lorenz），他在1961年用计算 机模拟大气湍流，在计算一个三阶常微分方程的时候，发现了混沌系 统初值敏感性的特征，于1963年发表了论文《确定性的非周期流》， 该文被视为发现耗散混沌的标志。
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例如单摆运动，如果没有摩擦或其他消耗（保 守系统），单摆将周而复始地摆下去，运动永不停 止。如果有摩擦（耗散系统），振动将逐渐减小， 最终将停在中间位臵，这个状态（不动点）就叫做 一个吸引子。耗散系统最终要收缩到相空间的有限 区域即吸引子上。0维的吸引子是一个不动点，一 维是一个极限环，二维是一个面，等等。这些吸引 子通常叫做普通吸引子或平凡吸引子。混沌状态也 是非平衡非线形系统演化的一种归宿，它相当于一 个吸引子，它是耗散运动收缩到相空间有限区域的 一种形式。
3、混沌的内部存在着超载的有序
• 混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构 具有相似性，即所谓的自相似性。 • 混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓 普适性。费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和 Xt+1=rsinXt的迭代计算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出， 再将前次的输出作输入，如此反复迭代计算。当r值较小时，结果趋 向一个定数，当r超过某值时，其轨迹出现分岔。值得注意的是前一 个函数是生物种群变化的逻辑斯蒂方程，r值加大表示非线性程度加 大，当非线性加大到一定程度后，来年的种群数变得无法预测。
图3.3.7 嵌套在一级周期窗口中的二级周期窗口
4，费根鲍姆常数
逻辑斯蒂方程倍周期分叉序列对应的控制参量具有规则的收敛方 式。令 a a a a （3.3.3） 当k→∞时，这个比值存在极限值 4.669 （3.3.4）
混沌的特征
• 对初始条件的敏感依赖性
• 极为有限的可预测性 • 混沌的内部存在着超载的有序。
• 1、对初始条件的敏感依赖性
• 这是混沌系统的典型特征。意思是说，初始条 件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别，或 者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在他 的玩具天气模型中发现了这一特性。 • 在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临 界点，那里小小的变化会放大，例如，人行道上摆 满自行车，导致行人走上车行道，又导致一次车祸， 又导致交通中断几小时，又导致一连串的误事……。 然而混沌意味着这种临界点比比皆是。它们无孔不 入，无时不在。在天气这样的系统中，对初始条件 的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所 不能逃避的后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注 定要失败。信息从小尺度传向大尺度，把初始的随 机性放大。在社会经济活动中，某些因素可促使成 千上万个业主一夜之间改变策略，从而导致经济形 势的巨变，我们至少从1997年东南亚金融危机中感 到了这一点。
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它们间的重要差别在于：平衡态热力学混沌所表现出的随机现象 是系统演化的短期行为无法确定。比如掷骰子，第一次掷的结果就无 法确定，而长期则服从统计规律；非线形动力学混沌则不然，系统的 短期演化结果是确定的，是可以预测的；只有经过长期演化，其结果 才是不确定的，不可预测的。比如天气预报，三天以内的天气状况是 可以预测的，三天以后的旧无法预测了。
混沌理论
混沌
原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文 Chaos）。这些表面上看起来无规律、不可预测的 现象，实际上有它自己的规律。 • 混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加 以处理和应用。 • 60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理 学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济 学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。 • 科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确 定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性 理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可 重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表 明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性 系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处 理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系 统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问 题中，混沌是无处不在的！
4、确定系统的内在随机性.
• 混沌现象是由系统内部的非线性因素引起的， 是系统内在随机性的表现，而不是外来随即扰动所 产生的不规则结果。混沌理论的研究表明，只要确 定性系统中有非线性因素作用，系统就会在一定的 控制参数范围内产生一种内在的随机性，即确定性 混沌。
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混沌现象是确定性系统的一种“内在随机性”， 它有别于由系统外部引入不确定随机影响而产生的 随机性。为了与类似大量分子热运动的外在随机性 和无序性加以区别，我们称所研的混沌为非线形动 力学混沌，而把系统处于平衡态时究所呈现的杂乱 无章的热运动混乱状态称为平衡态热力学混沌。
典型系统方程
（一）洛仑兹方程与奇怪吸引子
洛仑兹当年建立的非线性方程为
该方程的吸引子是一种如图3.3.4所示的 奇怪吸引子
平庸吸引子通常体现为不动点、极限环或者环面，系统在吸引子上的运 动是简单有序的，即系统总是逐步趋向于一个惟一的极限状态。然而洛仑兹 方程的吸引子表现为无限多个曲面构成的复杂几何对象，处处连续，又处处 有空隙，整体看上去像连在一起的两个轮子，中心处各有一个不动点。系统 在奇怪吸引子上的运动表现为在绕一个不动点行走若干圈之后会随机地跑到 另一个轮上绕另一个不动点运动，以后还会随机地回到前一个轮子上继续绕 行，每次绕每一个不动点运动的圈数、圈子大小都不确定，显示出显著的随 机性。 洛仑兹方程证明了完全确定性的方程可以内在地产生出随机性，这完全 颠覆了之前科学对于动力学方程的认识。一般来讲，只要确定了一个系统的 动力学方程和初始条件，该系统的长期行为就是惟一确定的。然而，洛仑兹 方程的奇怪吸引子揭示出具有完全确定性的系统可以内在地生长出随机性。 奇怪吸引子的存在使得系统的行为对于初值具有极强的敏感性。只要系 统的两个初值不同，无论二者之间的差别有多么的小，在以后的运行中都会 被放大到巨大偏差的尺度。洛仑兹曾经用著名的“蝴蝶效应”来形象地说明 混沌系统的这种初值敏感性：纽约州的蝴蝶扇动一下翅膀，可能导致德克萨 斯州刮起龙卷风！
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2、极为有限的可预测性
• 当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为局 部的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌现象， 如湍流中的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升降、心 脏的纤颤、精神病行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。 • 信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消 除不确定性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物 的预测就会更准确。但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信 息的机器，成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义。那么 信息是从哪里来的呢？以湍流为例，物理学家认为，来自微观尺度的 热库，来自几十亿在随机热力学舞动中的分子。再以城市经济运动为 例，信息来自成千上万个有决策权的业主的生产行为，来自千百万个 消费者的消费行为，来自系统之外的环境的变化。
（二）逻辑斯蒂方程与倍周期分叉
昆虫群体的繁殖演化情况经常用逻辑斯蒂方程来描述，也称 为虫口模型， x ax (1 x )
n1 n n
a为控制参量，状态参量x为虫口数，xn为第n代虫口数，n=0， 1，2，……。 在x—a平面上考察虫口模型，如图3.3.5所示。
系统在控制参量a0到 a1的区间内呈稳定的一点周期运动；当控 制参量变化为a1时，系统失去原来的稳定性，开始作稳定的2点周期 运动；当控制参量变化为a2时，系统开始作稳定的4点周期运动；随 着控制参量的增大，系统还会出现新的稳定周期运动：8点周期运动、 16点周期运动、32点周期运动等一切可能的2k点周期运动。这种每经 过一次分叉后周期就增大一倍的现象，称为倍周期分叉，是出现混沌 运动的前兆。 当k→∞，即2k→2∞时，极限点为a∞=3.569945……。在控制参 量为a∞时，系统将出现周期无穷大即非周期定态运动，系统从此进 入混沌运动区。图3.3.6为倍周期分叉进入混沌的全图。
• 6、混沌区具有分数维数
• 奇异吸引子往往具有分数维数。系统到达混沌区后，被限制在奇 异吸引子内。在吸引子中，可以到处游荡，各态历经，但其轨道又不 能充满整个区域，它们彼此间有无穷多的空隙。
• 7、混沌区具有无穷嵌套的自相似结构
• 在混沌区内，从大到小，一层一层类似洋葱头或套箱，具有自相 似结构。这些自相似结构无穷无尽的互相套叠，从而形成了“无穷嵌 套的自相似结构”。我们任取其中一小单元，放大来看都和原来混沌 区一样，具有和整体相似的结构，包含整个系统的“信息”。由此可 见，混沌现象既具有紊乱性，又具有规律性。