第3章 赋范线性空间

n
例4
l p ( P 1) 是线性空间，若
定义 x
p
( xi ) ，则(R n , x p )是赋范线性空间
i 1

1 p p
( x, y) x y ( xi yi )1/ p ， 距离

p
特别的， l ——表示一切有界数列 x ( x1 , x2 ,, xn ,) 的全体，按通常定义下的“加法” “数乘”运算是线性空 间。若
距离 (x, y) x y tmax] x(t ) y(t ) [ a ,b
n ② x 1 a x(t ) dt ，则(R , x 1 )是赋范线性空间
b
例3
L2 [a, b] 是线性空间，若
b 2 1 2
定义 x ( a x(t ) dt ) ，则(R , x )是赋范线性空间。
有界线性算子：指 T 既是线性算子，又是有界算子
n m 例：① 设 A 是 m n 阶矩阵， 则 T : x R Ax R
是有界线性算子
d T : x(t ) C1[a, b] x(t ) f [a, b] 是无界线性算子 ② dt
（4）可逆算子：设算子 T : D(T ) N (T ) ，若存在算子 T ,使
x sup xi ，则(R n , x )是赋范线性空间。 定义
1i

i 1
注：由于(E, )在 (x, y) x y 定义下也是 ( E , ) ， 所以在(E,
)中可类似定义——邻域、开集、闭集、极
限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的结论— —完备性、可分性、紧性等。
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间） 。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1
Rn——n 维向量全体，在通常意义下的“加法”
“数乘”运算下是线性空间。
例2 C[a, b] 、L[ a, b] ——在[a, b] 上可积分函数全体，在 通常意义下的“加法” “数乘”运算下是线性空间。
1） 定义（按范数收敛）设 E 是赋范线性空间，点列
xn 及x E ，如果
lim xn x 0
n
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim xn x (强)。 n
{ （数域） 2） 性质 设 E 是赋范线性空间,{xn }, yn } E , { n } K
例如：范数 Tx x 是连续泛函； R1 中连续函数 f ( x) 。
（3）有界算子 定义 1 若算子 T 将 D(T ) 中的任一有界集映射为有界 集，则称 T 是有界算子。
定义 2 若 M 0, 对于x D(T ) , 都有 ，
Tx M x
则称 T 是有界算子。
等价性：若 T 是线性算子，则上述两种定义等价
称 T 为 D(T ) 上的线性算子。特别的， T 0 0 T 0 0 。
d 例如： C [a, b] （连续可导函数全体）中， T dt D ，则
1
d d d [k1 x(t ) k2 y (t )] k1 x(t ) k2 y (t ) dt dt dt
（2）连续算子 若 xn , x D (T ) ，当 xn x(n ) 时，Txn Tx ，称 T 为连续算子。
（1） x y y x
（2） ( x y) Z x ( y Z )
“零元素” E , 有x 0 x 0 （3）
“负元素” x E , 有x ( x) 0 （4）
（5） ( x ) ( ) x （6）1 x x, 0 x 0 （7） ( )x x x （8） ( x y ) x y
1）线性算子（或线性泛函）的几个概念
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) E N (T ) E1 。 设 E
（1）线性算子：若 x, y D(T ), K (数域) ，有
T ( x y ) Tx Ty 即 T ( x y) Tx Ty T ( x) Tx
1) 性质：除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋范 线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列） பைடு நூலகம் （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构（ 有相同 的代数运算性质） 。
（3）常见赋范线性空间 例1 在欧氏空间 Rn 中，
x ( x1, x2 ,, xn ), y ( y1, y2 ,, yn ) R n
定义 ① x 2
x
i 1
n
2
i
n ，则(R , x 2 )是赋范线性空间。
距离 (x, y) x y ② x

( xi yi )2
3）范数的等价性 定义（等价）设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1 和 x 2 如果由 xn 1 0 xn 2 0 ，称 x 1 比 x 2 更强； 若又有 xn 2 0 xn 1 0 ，即 x 2 比 x 1 更强， 则称范数 x 1 与 x 2 等价。
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1 、 x 2 、 x 相互等价
列三条（ 范数公理） （1）正定性： x 0,当且仅当x 0时, x 0 （2）齐次性： x x （3）三角不等式 x, y E, 有 x y x y x y 则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
(E, )或 E 。
（2）(E, )与 ( E , ) 之间的关系 若在(E, )中，按范数定义距离，即 验证得知 满足距离的三条公理，因此，(E, )在范数意 义下（以后均指这种情况）是距离空间 ( E , ) ，称为由范 数导出的距离空间。
（1）有界性：若 xn x(n ) ，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性： 即范数 x 是 x 的连续函数 xn x时, xn x
（3）线性运算对范数收敛的连续性 即若 xn x, yn y , n
xn yn x y , n xn x
特别的，若 E 为赋范线性空间，而 E1 为 Banach 空间
B( E E1 ) 也为 Banach 空间。
2）线性算子（或线性泛函）的性质——有界性和连续性
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D (T ) 连续 在 D(T ) 上处 处连续
（5） 线性算子空间 定义：设 E、E1 是同一数域 K 上的赋范线性空间，则 ① 集合{T T 是E E1的线性算子} 称为线性算子空间， 记作 （E E1 )
② 集合 {T T 是E E1的有界线性算子} 称为有界线性算 子空间，记作
B ( E E1 )
若在上述空间中引入线性运算： (T1 T2 ) x T1 x T2 x, (T ) x (Tx)
T 1 : N (T ) N (T 1 )
1
x D(T ), 当Tx y N (T )时,有T 1 y x ，则称 T 为 且对于
可逆算子，而 T 称为 T 的逆。
1
例如
设 A 是 n 阶可逆方阵，则算子
T : x R n y Ax R n
1 n 1 n 的逆算子为 T : y R x A y R 。
§3.1 定义和举例
1） 定义 （线性空间） 设 E 是非空集合， 是实数域。 K 在 E 中定义两种运算， 加法： x, y E , 存在唯一 z E , 记作 z x y 数乘： x E , k , 存在唯一 E , 记作 x 且满足八条运算规律：
（3）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间 (E, )按范数导出的距离空间
( E , ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
§3.2 按范数收敛
赋范线性空间中的点列的收敛性及概念， 只要在 由范数导出的距离 (x, y) x y 之下来讨论，就可以 得到相应的结论。
i 1
n
max xi ，则(R n , x )是赋范线性空间。 1 i n
n i 1
③ x 1 xi ，则(R n , x 1 )是赋范线性空间。
例2 C[a, b] 是线性空间，若 定义 ①
x max x(t ) ，则(R n , x )是赋范线性空间。 t[ a ,b ]
B 其中 x D(T1 ) D(T2 ) E , K 。 （E E1 ) ， ( E E1 ) 成 则
为线性空间，因此可以定义范数。 在 B( E E1 ) 中定义范数
T sup
x 0
Tx x
sup Tx sup
x 1 x 1
Tx
x （可证明）
则 B( E E1 ) 为赋范线性空间。
注意： 距离空间 赋范线性空间 。
x, y E, (x, y) x y ，
但当距离空间满足下列三条时 ① 是线性空间； ② (x, y) (x y,0)； ③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公 理成立，则距离空间 ( E , ) 也是(E, )。
第3章 赋范线性空间 §3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5
定义和举例 按范数收敛
有限维赋范线性空间
线性算子与线性泛函
赋范线性空间中的各种收敛
在第 2 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。 点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广， 然而它是只有距离结构、 没有代数结构 （代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。