线性代数—解线性方程组的消元法PPT课件

第三章
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1
本章讨论关于线性方程组的两个问题：
一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法 （即下面介绍的高斯消元法）。
二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有 解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无 穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面 的问题。
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2
第一节 解线性方程组的消元法
（3）一个方程加上另一个方程的 k 倍． （以 i k j 替换 i ）
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7
3．上述三种变换都是可逆的． 若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
2x22x32x40, 2
4 31 5 x 2 5 x 3 3 x 4 6 , 3
3x23x34x4 3, 4
.
4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x2 2 x3 2 x4 0,
2
5x2 5x3 3x4
6,
3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
2 1 2
1 2 4 3 0 6 9 0
5 7 1 28
0 1719 13
1 2 4 3 0 1 8 13 0 2 3 0
1 2 4 3
0 1 8 13
0
0
1326
解得唯一解 x1 1, x2 3, x3 2.
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13
例3 解线性方程组 x31x12xx2235xx33x34x41,2, 2x1x22x32x4 3.
例1 用高斯消元法解线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2, 1
4xx116xx2222xx33x24x4
4, 4,
2 3
(1)
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
解
x1 x2 2x3 x4 4, 1
(1)
1 2 3 2
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
x2 x3 x4 0,
x4 3,
2 3
0 0, 4
用“回代”的方法求出解：
x1 x34
x2 x3 3 其中x3为任意取. 值
x4 3
.
6
小结：
1．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i）
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2x3x40,
2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
.
5
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
x2 x3 x4 0,
2
2 x4 6, 3
x4 3, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
4 23
0 c22
0
A
0
0 0
0 0
0 0
c1r c2r c rr 0 0 0
c1n d 1
c2n d2
c rn d r
0
d
r
1
0 0
0 0
其 中 cii0(i1 , ,r),
方程组有解的充分必要条件是 dr r 即 为 系 数 矩 阵 A 的 秩 , r r ( A ) ,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
.
3
x1 x2 2x3 x4 4, 1
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
2 3 x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 2 1
解
1 2 3 1 1 (A,b)3 1 5 3 2
2 1 2 2 3
1 2 3 1 1 0 5 4 01 0 54 0 1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
最后一个为矛盾方程组 0 2, 故方程组无解.
.
14
线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 , a21x1 a22x2 a2nxn b2 , am1x1 am2x2 amnxn bm .
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0 2 6 0 0 1. 3
11
1
0 0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 2 1
4 0
r3 r4
1 0
6 3
r4 2r3
0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 1 0
4
0
3 0
对应的方程组为
a11
系数矩阵
A
a21 am1
a12 a22 am2
a1n
a2n amn
,
a11 a12 a1n b1
增广矩阵
A(A, b) aam211
.
a2 2 am2
a2n am n
bbm 2 ,
15
利 用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 将 A 化 为 阶 梯 形 ,
c11 c12
x1 x2 2x3 x4 4
x2 x3 x4 0
,
x4 3
x1 x34 由下到上逐个解得 x2 x3 3 ，其中 x3为任意取. 值
x4 3
.
12
2x1 2x2 x3 6 例2 解线性方程组 x1 2x2 4x3 3 .
5x1 7x2 x3 28
解
2 2 1 6 (A,b)1 2 4 3
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2
r1 r2
2
1
1
1 4 1 2
r3 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
.
10
1 1 2 2 1 1
1 4 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 03 55 33 4 6 3
.
8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
2 1 1 1 2
A(Ab) 341
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
称为方程组(1)的增广矩阵．
对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行变 换．
.
9
用矩阵的初等行变换解方程组(1)：
2 1 1 1 2
B
1 4
若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) r,