《第七章 玻耳兹曼统计》小结汇总

《第七章 玻耳兹曼统计》小结

一、基本概念： 1、1>>α

e 的非定域系及定域系遵守玻耳兹曼统计。

2、经典极限条件的几种表示：

1>>α

e ；

1223

2

>>⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅h mkT N

V

π;mkT

h N V π23

1>>⋅⎪⎭

⎫

⎝⎛;()

λ>>⋅3

1n

3、热力学第一定律的统计解释：

Q d W d dU += l l

l l l

l da d a dU ∑∑+=εε

l l

l d a W d ε∑=

l l

l da Q d ∑=ε

即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能量引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化。 二、相关公式

1、非定域系及定域系的最概然分布

l

e a l l βεαω--=

2、配分函数： 量子体系：∑-=

l

l

l

e

βεω1Z

∑---==l

l l l l l

l l

e e e a βεβεβεωωωN

Z N 1

半经典体系：()r r

r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l

2121,1Z ⎰⎰⎰==-βεβεω 经典体系：()r

r

r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l

2121,01Z ⎰⎰⎰==-βεβεω 3、热力学公式（热力学函数的统计表达式） 内能：β

∂∂=1

lnZ -N

U

物态方程：V

lnZ N

1∂∂=βp

定域系：自由能：1-NkTlnZ F = 熵：B M k .ln S Ω=或⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛∂∂-=ββ11lnZ ln Nk S Z

1>>αe 的非定域系（经典极限条件的玻色(费米)系统）： 自由能：!ln -NkTlnZ F 1N kT += 熵：!

ln kln S .N k B

M Ω=Ω=或!ln lnZ ln Nk S 11N k Z -⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛∂∂-=ββ

三、应用： 1、求能量均分定理

①求平均的方法要掌握：()dx x xp ⎰=x

②能量均分定理的内容---能量均分定理的应用：理想气体、固体、辐射场。

③经典理论的局限于问题 2、对1>>α

e 的非定域系的应用

①掌握由麦氏分布向具体分布的国度方法， ②掌握求平均值的公式：()dx x xp ⎰=x ③热力学公式。

⑶理想气体的内能、热容量、熵、自由能的经典理论和量子理论的求解及其表达式。

3、对定域系的应用①爱因斯坦固体热容量理论②顺磁性固体。

⑴麦克斯韦速度分布 ⑵气态方程

四、应熟练掌握的有关计算

1、由麦氏分布向具体分布的过度方法

2、求平均值的方法：()dx x xp ⎰=x

3、Ω=kln S 的证明及相关应用

4、求配分函数1Z 进而求系统的热力学性质（定域系和1>>αe 的非

定域系）

5、麦氏分布的应用

习题课

一、 求广义力的基本公式∑∂∂=l

l l

y

a εY 的应用；

例1：根据公式V

a p l l

l

∂∂-=∑ε，证明：对于极端相对论粒子，

2

/1222)(2z y X n n n L

c cp ++=

= πε ， ,2,1,0±±===z y x

n n n

有V

U p 31=

。上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。

证明：令2

/12222)(2n n n c c A y X l ++= π，3V A L A l l l

'

'==ε，因此得到

V

V A V V A V l l

l l 331313/13/4εε-=-=-=∂∂

压强

∑∑=∂∂-=l

l

l l l

l

a V

V a p εε31

因内能∑=l l a U ε，所以V

U p 3=

。 证毕

由于在求证过程中，并未涉及分布l a 的具体形式，故上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。 二、熵的统计表达式及玻耳兹曼关系的应用

例2试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为

∑-=s

Ps Ps Nk S ln

式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1

Z e N e N a P s

s s s βεβεα---=

==,∑s

对

粒子的所有量子态求和。对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？ 证明：对于定域系 证法（1）：

()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=---=⎪

⎭

⎫

⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪

⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=s

s S

S S s S S S s s s S S s s s S S S S S S Ps

Ps Nk Z P P Z P N a Z P a N Z P U N Z P N N Z P Z ln ln Nk ln Nk ln Nk ln Nk ln Nk lnZ ln Nk lnZ ln Nk S 111111111βεεβεβεββββββ 证法（2）：对于满足玻耳兹曼分布的定域系

∏∏=

Ωl

a l l

l l

a ω!N!

l

l

l

l l l

l l

l l

l l l l

l l

l a a N a a a a N N N a a N ωωωln

ln N ln ln ln ln !ln !ln ln ∑∑∑∑∑∑-=++--=+-=Ωs s s s

s s s

s s

s l

l

l

l l

l a N

a

N N N a N a a N a a a N a ln ln ln ln ln

ln ∑∑

∑∑∑∑-=-=-=ω S s

S s s s s s

s P P N N a

N a N a N N a N ln ln ln ∑∑∑

-=-== 故：∑-=Ω=s

Ps Ps Nk kT S ln ln 讨论：对满足对1>>α

e 的非定域系

011S ln !ln ln !ln lnZ ln Nk S +-=--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∂∂-=∑∑s s Ps Ps Nk N k Ps Ps Nk N k Z ββ 或0M.B ln !ln ln kln S S P P Nk N k k S S +-=-Ω=Ω=∑