最新人教数学必修五课件24等比数列二

研一研·问题探究、课堂更高效
§2.4（二）
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的
产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开
始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)
解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….
答 (1)定义法：aan＋n1＝q(常数)； (2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)；
开 关
(3)通项法：an＝a1qn－1(a1q≠0，n∈N*)．
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§2.4（二）
探究2 如何判断或证明一个数列不是等比数列？
答 如果判断或证明一个数列不是等比数列，只要找到连续
的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际 含义．
本 讲 栏
的三项不成等比数列即可，即存在 an0 ，an0+1 ，an0+2 ，且
a2 n0 1
≠an0 ·a n0+2 .
目
开
关
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§2.4（二）
问题 1 若数列{an}为等差数列，公差为 d，bn＝can (c>0 且 c≠1)，
试问数列{bn}是什么数列？并证明比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在．
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
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§2.4（二）
探究点三 等比数列的判断方法
探究1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？
本 讲 栏 目
栏
目 a2·a5·a8·…·a29＝(a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17)
开 关
＝(a2a29)5＝(a1a30)5＝25＝32.
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§2.4（二）
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1， (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式．
2014人教数学必修五课件24等 比数列二
§2.4（二）
【学习目标】
1．灵活应用等比数列的定义及通项公式．
2．熟悉等比数列的有关性质．
本 3．系统了解判断是否成等比数列的方法．
讲 栏
【学法指导】
目 开
1．等差数列与等比数列联系十分紧密，既有诸多相似之处，又
关
有不同的地方，充分准确地把握它们之间的联系，会为我们
本
答 数列{bn}是等差数列．
讲 栏 目
∵bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg aan＋n 1＝lg q(常数)．
开
∴{bn}为等差数列．
关
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§2.4（二）
问题3 已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？
答 不是等比数列．
本
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
cn＝an＋bn.
本 讲
要证{cn}不是等比数列，只需证c22≠c1·c3成立即可．
栏 目
事实上，c22＝(a1p＋b1q)2＝a21p2＋b21q2＋2a1b1pq，
开 关
c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝a12p2＋b21q2＋a1b1(p2＋q2)．
由于c1c3－c22＝a1b1(p－q)2≠0，因此c22≠c1·c3， 故{cn}不是等比数列．
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§2.4（二）
跟踪训练1 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且 a1·a2·a3·…·a30＝215，求a2·a5·a8·…·a29的值．
解 a1·a2·a3·…·a30＝(a1a30)·(a2a29)·…·(a15·a16)＝(a1a30)15＝215，
本 讲 ∴a1a30＝2.
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
本
∴aan＋n＋1＋11＝2，且a1＋1＝2.
讲 栏
∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
目 开
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
关
公比为2，首项为2.
∴an＋1＝2n.∴an＝2n－1.
小结
利用等比数列的定义
an＋1 an
本 讲
解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝(a3＋a5)2＝25，
栏 目
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
开 关
(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10) ＝log395＝5log39＝10.
讲 栏
∴a1a3≠a22，
目 开
∴数列{an}不是等比数列．
关
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§2.4（二）
【典型例题】 例1 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
答 数列{bn}是等比数列．
本 讲 栏
∵b ＝ n＋1
c a n1
bn
c an
＝c an＋1－an＝cd(常数)．
目
∴{bn}为等比数列．
开
关
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§2.4（二）
问题 2 若数列{an}为等比数列，公比为 q，且 an>0，bn＝lg an，试
问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．
＝q(q≠0)是判定一个数列是等
比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数列，举一组反
例即可，例如a22≠a1a3.
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§2.4（二）
跟踪训练2 设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋
bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，
本
则依题意可得a1＝5，aan－n 1＝1.2(n≥2且n∈N*)，
讲 栏
从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30，
目 开
故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝lglg16.2＝00..707789≈9.85.
关
故n＝11.
答 从2021年开始该糖厂年制糖量开始超过30万吨．
小结 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题