基于matlab的数字图像处理论文

迭代与分形

姓名：吴涛班级：2007级电科一班学号：20074053053

摘要：几何学研究的对象是客观世界中物体的形状。传统欧氏几何学的研究对象，都是规则并且光滑的，比如：直线、曲线、曲面等。但客观世界中物体的形状，并不完全具有规则光滑等性质，因此只能近似当作欧氏几何的对象，比如：将凹凸不平的地球表面近似为椭球面。虽然多数情况下通过这样的近似处理后，能够得到符合实际情况的结果，但是对于极不规则的形态，比如：云朵、烟雾、树木等，传统的几何学就无能为力了。

如何描述这些复杂的自然形态？如何分析其内在的机理？这些就是分形几何学所面对和解决的问题。

关键字：迭代；分形；树形

Abstract:the study of geometry object is the objective world in the shape of an object. Traditional Euclidean geometry object of study, is all the rules and smooth, for instance: linear, curve and surface etc. But the objective world in the shape of an object, not completely with regular smooth nature, therefore can only approximate such as Euclidean geometry object, such as: the uneven surface of the earth for approximate ellipsoid. Although most cases through such an approximate treatment after, can get the result accords with the actual situation, but for great irregularity of form, such as: the clouds, smoke, such as trees, traditional geometry as a repeater.

How to describe these complex natural forms? How to analyze its inherent mechanism? These are the fractal geometry facing and solve the problem.

Key words: iterations, Fractal; tree

一、问题分析

在我们的世界上，存在着许多极不规则的复杂现象，比如：弯弯曲曲的海岸线、变化的云朵、宇宙中星系的分布、金融市场上价格的起伏图等，为了获得解释这些极端复杂现象的数学模型，我们需要认识其中蕴涵的特性，构造出相应的数学规则。

曼德尔布罗特（Mandelbrot）在研究英国的海岸线形状等问题时，总结出自然界中很多现象从标度变换角度表现出对称性，他将这类集合称作自相似集，他发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。Mandelbrot将这类几何形体称为分形(fractal)，意思就是不规则的、分数的、支离破碎的，并对它们进行了系统的研究，创立了分形几何这一新的数学分支。Mandelbrot认为海岸、山峦、云彩和其他很多自然现象都具有分形的特性，因此可以说：分形是大自然的几何学。

分形几何体一般来说都具有无限精细的自相似的层次结构，即局部与整体的相似性，图形的每一个局部都可以被看作是整体图形的一个缩小的复本。早在19世纪就已经出现了一些具有自相似特性的分形图形，比如：瑞典数学家科赫（von Koch）设计的类似雪花和岛屿边缘的一类曲线，即Koch曲线；英国植物学家布朗通过观察悬浮在水中的花粉的运动轨迹，提出来的布朗运动轨迹。

分形几何把自然形态看作是具有无限嵌套的层次结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是，简单的迭代过程，就是描述复杂的自然形态的有效方法。

（Koch 曲线）

（布朗运动轨迹）

二、背景知识介绍

1、分形几何的形成。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（Mandelbrot ）于1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（Weierestrass ）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托尔（Cantor ，德国数学家）构造了有许多奇异性质的康托尔三分集。1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano ）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（Koch ）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（Sierpinski ）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

2、分形几何体的维数。

通常的几何体具有整数维，比如：一维的线段、二维的正方形、三维的立方体，维数就是几何体在“尺度”上的特征。对于分形中的几何对象，通常意义下的维数已经没有意义，比如Koch 曲线（长度是无穷大，面积是零），用一维的“线段”去量，得数无穷大，“尺子”太小；用二维的“正方形”去量，得数为零，“尺子”又太大，因此需要定义分形自己的维数(分数维)。分形的维数目前有多种定义，我们这里介绍相似维数。

设分形F 是自相似的，即F 由m 个子集构成，每个子集放大c 倍后同F 一样，则定义F 的维数为：ln ln d m c =÷,即d c m =。

对于通常的几何对象，采用这种方式计算出来的维数，与传统的维数是一致的，比如对正方形，将它边长m 等份，则相似形个数m 2，每边长放大m 倍后与原长相同，即c=m ，显然d=2。 人类肺的构造，从气管尖端成倍地反复分叉，是一种典型的分