第2讲 CFD数学模型及物理意义

恒压罐 高压气体
Laval
喷管
入口参数：给定
边界条件
• 出口边界的确定：非常重要
例 3.2 (连续性方程)
(a) 速度矢量图 • • • • • L = 0.05 m H = 0.01 m U = 0.01 m/s = 1.2 kg/m3 (air) = 2 x 10-5 kg/m.s
(b) U 速度云图
(c) V 速度云图
例 3.5 (动量方程)
案例1 (as above) • • • • • L = 0.05 m H = 0.01 m U = 0.01 m/s = 1.2 kg/m3 (air) = 2 x 10–5 kg/m.s Re = 6
图 3.5.1 层流速度矢量图 = 2 x 10 –5 kg/m.s
– 恰当的控制方程 Governing equations – 定解条件 physical boundary conditions
• 定解条件
– – – – 物理条件 physical conditions 几何条件 geometry conditions 初始条件 initial conditions 边界条件 boundary conditions
边界条件
• 流固耦合边界（fluid-solid coupling boundary) – 粘性流体应满足非滑移条件 • No-slip condition • 流体在固体边界上的速度应该等于固体表面的速度 • 流体在固体边界上的温度应该等于固体表面的温度。 • 入口、出口边界 出口参 – Inflow and out flow boundaries 数？？？ – 入口边界：给定 – 出口边界：待求
• CFD未来发展的方向是什么？
引言
• 数值计算的出发点：数学模型 • 数学模型（Mathematical model) – 控制方程（Governing equations) • 基于基本原理与定律 • 偏微分方程组 – 定解条件（Boundary conditions） • 坐标系不同，控制方程的形式不尽相同 – 适当选取坐标系可以简化分析 • 必要的简化与化简
u u 1 p S' T 如果 u T 动量: S u u z z y x
如果 T 能量: ST q 热源 k
通用方程的意义 • 对流-扩散方程（Convection-diffusion~) • 适当选择 、 、U、 、S – ＝T，＝ c，U=0， ＝导热微分方程 – ＝1，＝ ，S ＝0连续性方程 • 为什么需要通用方程? – 各类问题的共同特征 – 深化理论研究（numerical） – 编制通用程序（universal program for all problems)
控制方程的数学特征
对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守恒方程 或非守恒方程，通常没有本质的差别，但在离散的数值 计算中，守恒型与非守恒型将可能导致很大的差别，尤
其是求解含激波等弱解问题时。故方程的守恒性是计算
流体力学中，必须特别注意的问题。
椭圆型偏微分方程
u 2 u 0 2 2 x y
U 速度向量（场），velocity vector (field) 广义扩散系数，universal diffusivity S 广义源项，（universal) source term
Diffusion term
基本方程的通用形式
u v w Γ x y Γ y z Γ z S t x y z x u v w 如果 1 质量: x y z 0
• 基于局部
– 在一个有限的体积内 – 将体积划分为无限小，趋近于0 – 偏微分（控制）方程
x 0
基本控制方程
• 质量守恒
u v 0 x y
• 动量守恒定律 2u 2u u u 1 P x-mom: u v 2 2
x y
x
• The 2nd kind of boundary conditions • 给定边界上待求变量的梯度值
边界条件
• 分类（续）
– 第三类边界：
• The 3rd kind of boundary conditions • 待求变量与梯度值之间的函数关系
– 混和边界： – 说明：稳态问题必须在边界上给出待求变量的值才 能得到唯一解。
Re = 6
图 3.7.1 温度云图 k = 0.026 W/m.c (导热率)
Re = 6
案例 2

k = 0.00026 W/mc (导热率)
图 3.7.2温度云图k = 0.00026 W/m.c (导热率)
例 3.8 (层流和湍流)
• 观察层流和湍流的速度矢量图
Re = 6
图 3.8.1 层流速度矢量图 Re = 5 x 105
• 边界条件的物理意义是什么？
• 如何求解数学方程？
• 为什么需要把流体域分割为许多不重叠的子区域即计算网格？
• 如何应用计算方法？
CFD –问题（ II ）
• 监控曲线的物理意义是什么？ • 计算步骤如何终止？ • 求解误差是什么？ • 怎么评价计算结果是否正确，是否具有物理意义？ • 当处理更加复杂的流动问题时，是否有其它的技术方法、实践 经验或通用准则可以用来克服收敛困难？ • 是否有其它CFD的实例？如何更好的分析求解？
图 3.8.2 湍流速度矢量图
例 3.9 (层流和湍流热传递比较)
• 观察层流和湍流中的温度分布
Re = 1000
图 3.9.1 层流中的温度云图 Re = 5 x 104
图 3.9.2 湍流中的温度云图
例 3.10 (背台阶的湍流结果)

观察层流和湍流中的速度矢量
图 3.10.1 速度矢量
图 3.10.2 湍流动能云图
第二讲 CFD数学模型及物理意义
屠基元 教授 清华大学 墨尔本皇家理工大学
CFD综述
计算流体力学 非稳态 无粘流 粘性流
稳态
传热 热传导 热对流 热辐射
可压缩流动
层流
湍流
可压缩流动 内流
不可压缩流动 外流
CFD - 问题 （ I ）
• CFD问题中的物理流动过程有哪些？ • 流动的物理现象是如何在数学方程式中描述的？ • 流体流动和热传递的控制方程式是什么？ • 为什么边界条件非常重要？如何应用边界条件？
2
第一类边界条件：Dirichlet 问题 第二类边界条件：Neumann问题
u f ( x, y )
u f ( x, y ) n
第三类边界条件：Robin问题
u (k hu) f ( x, y) n
抛物型偏微分方程
u 2u a 2 t x
第一类边界条件 第二类边界条件
Convection term
Source term
( ) ( U ) ( grad ) S t
Unsteady term

通用变量，generalized dependent variable 广义密度，universal density
x
y
y-mom:
• 能量守恒
2v 2v v v 1 P u v 2 2 x y y y x
2T 2T T T u v K 2 2 x y y x
通用方程
• 由来及意义 • The Equation
初始条件
初始状态特征：非稳态过程开始时 设定：给定系统待求变量在初始时刻的分布
t 0 0 ( P),
P

• 对系统的影响：
– 不同时间阶段内的表现不尽相同：
• 初始阶段：较为明显 • 随着时间的推移：影响逐渐减弱 • 时间无限长时：完全消失，进入新的状态
– 边界条件与时间无关：稳态 – 边界条件与时间有关：非稳态
控制方程的数学特征
• 守恒特性（Conservation & non-conservation) – 守恒型方程 Conservation form • 对流项是以散度的形式给出的 – 非守恒型方程 • 对流项不是以散度的形式给出的 – 对不可压流动, ( ) ( U ) (grad ) S t 具有守恒特性 但是，对于同一方程，采用变换后，就成为非守恒 型方程 ( ) U ( ) (grad ) S t
Re = 600 案例 2

= 2 x 10–7 kg/m.s
图 3.5.2层流速度矢量图 = 2 x 10 –7 kg/m.s
图 3.5.3层流速度矢量图 = 2 x 10 –7 kg/m.s 流道加长至 L = 0.1 m
例 3.7 (能量方程)
案例 1
• • • • • • • • L = 0.05 m H = 0.01 m U = 0.01 m/s = 1.2 kg/m3(air) = 2 x 10–5 kg/ms k = 0.026 W/mc (导热率) Tw = 50 c Tin = 20 c
边界条件
• 提法：
– 最重要、最复杂的定解条件 – 规定了系统的状态特征 – 反映了系统与环境之间的联系与相互作用
• 分类：
– 第一类边界：Dirichlet condition
• The 1st kind of boundary conditions • 给定边界上待求变量的分布
– 第二类边界：Newmann condition
u g (t )
u g (t ) n
第三类边界条件
u (k hu) g (t ) n
双曲型偏微分方程
u u a 0 t x
解域中存在特征线，提纯初值问题可以，提 边值问题要结合特征线走向。
定解条件
• 数学模型 Mathematical model/description
Βιβλιοθήκη Baidu 我们需要什么信息？
• 空间变化(x,y,z)&时间(t) ：
– 速度(笛卡尔坐标内为u,v,w) – 压力 (P) – 密度 – 温度 (T) – 物质的浓度 (C) – 湍流性质[湍动能 (k), 耗散率 (ε) 或频率 (ω)]
我们如何得到这些信息？
• 基于以下守恒的控制方程
– 质量守恒 – 动量守恒 – 能量守恒
初始条件
• 稳态问题与非稳态问题
– – – – – 与时间无关边界条件作用下非稳态问题的特例 稳态问题的状态将唯一地由边界条件确定 稳态问题的状态与初始条件无关 二者统一起来 在计算传热学中的意义
• 统一于一个程序 • 通过求解非稳态问题求解稳态问题
– 容易收敛，抑制发散 – 保证得到物理上真实的解 – 常用的方法