《高观点下的中学数学》学习指南(修正版)_3

样的对应关系称为从集合
到集合
的函数。 A
B
定义 3（高中或大学）从集合 A 到集合 B 的映射 f : A B ，称为从集 合 A 到集合 B 的函数，简称为函数 f 。 （ ） 从集合 A 到集合 B 的函数 f 是满足以下条件的从A 到 B 定义4 大学 的一个关系： 1） D( f )
实际的情况又是如何呢？据调查，大多在中学数学教学岗位工作的
师范院校毕业生，他们的体会是：在自己的教学过程中，大学所学习的 高等数学知识几乎没有发挥过作用；还有的甚至说：在中学任教多年， 将在大学学过的高等数学知识几乎都“还给”了大学老师；只有少数人 体会到，在中学教学中，虽然高等数学知识直接涉及到的并不多，但其 原理、思想、观点和方法却时常发挥着作用，那些从事中学数学教学研 究和初等数学研究的（这只是极少的一部分人）中学教师认为，在他们 的教学和科研方面，高等数学所发挥的作用是十分明显的。这无疑是高 等师范院校数学教育的“悲哀”。
不到与中学数学的直接联系，学生难以获得应用高等数学的观点指导
中学数学的真实体验。
第三、高师院校的教学也存在着一些不足。张奠宙教授曾指出：我 们在高师院校执教多年，深感居高未必能自然地临下。在大学课程中， 只管讲学科知识本身，联系中学实际的任务往往视为累赘，忽略不讲， 举个例子，讲实变函数论，大谈勒贝格测度、勒贝格积分，却不屑于谈 谈测度与面积、体积之间的内在联系。对于中学教师来说，也许后者是 至关重要的。对此，我们也有同感。
A；
2）如果( x, y ) f , ( x, z ) f ，那么 y
z。
例3 古代几何三大问题（尺规作图问题）： 1） 三等分任意角； 2） 化圆为方；
3） 立方倍积；
在原来初中教材中还曾有过的一个尺规作图问题：圆内 接正七边形是尺规作图不能的。 我们的问题是：这里的尺和规有什么限制？为什么有那 样的限制？这样的尺和规有什么功能？
材中的数学知识范围内，有些问题如果不在高等数学的知识背景下来解
释，仍将含糊不清，甚至疑问重重。下面通过几个例子来说明 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、几个例子
在中学数学中有许多用中学数学不能准确解释的问题，它 们都需要利用高等数学的思想、观点和方法来解释。
例1 关于多项式的因式分解。
因式分解的概念大家都应该很熟悉，即，把一个多项式表示为 若干个因式乘积的形式为因式分解。但是有一些问题利用概念却不 能准确解释，如， （1）是否每个多项式都能进行因式分解？
例4 几个具体的数学问题： F ( x , y ) ( y 1) 2 ( x y 3) 2 (2 x y 6) 2
1）求实数
的值，使得 x， y
达到最小值。 2）已知
连 BG 并延长交 AC 于 E ，连 CG 并延长交 AB 于 F,求证：EF//BC. 3 ) 已知 试证： ， ， 为实数，且
我们知道，中学数学教材的叙述，较多地采用了描述性的方法，理 论上的要求不可能十分严谨，内容的深度与广度都有一定的局限性。根
据中学数学的教学目的和中学生的年龄特征，这样的处理方法应该说是
合理的；但是作为一名中学数学教师，仅仅具备中学教材所涉及的知识 （在新课程标谁下的必修课内容），那是远远不够的。即便是在现行教
形成上述状况的原因是多种多样的。
第一、由于受“应试教育”的影响，对数学教育的价值“实际需要， 文化修养，智力筛选”的前二者已经无暇顾及，只是将数学当作“筛子”
用了。由于对数学教育价值的不正确理解，因而许多学生都将“取得好的
数学成绩，博得家长和老师欢喜”作为学习数学的重要目的。我们常可见 到的现象是，学生身陷数学的套题、技巧之中，奔命于作业、考试之间， 教师更是疲于应付，只能将教学研究、科学研究放在次要位置，也就更谈 不上与所学习过的高等数学知识建立联系。
第二、在我国高等师范院校中，无论是文、史、地，还是理、化、 生等各专业，所开设的专业课程，都是中学相应课程内容的加深、拓 广，螺旋式上升，而数学系的课程设置则是个例外，除了微积分，大
学数学课程所开设的高等数学，与中学数学的研究对象、研究方法都
有较大的不同，中学数学到大学数学，其知识是直线式上升，而非严 格意义上的螺旋式上升。在高师院校数学系的大部分教材中，几乎看
《高观点下的中学数学》
——李三平
在高等师范院校数学系，开设了门类众多的高等数学课程，例 如，数学分析、高等代数、几何（空间解析几何、高等几何）、近 世代数、复变函数、实变函数、概率统计、拓扑学、常微分方程、 偏微分方程、计算方法等等 。
这一方面是使将要走上中学数学教学岗位的毕业生具有一定的数
学基础（承担中学数学教学、研究任务及继续学习现代数学知识，并 提高自身数学修养），另一方面是使毕业生能利用在高师院校学到的 高等数学知识，指导其中学数学的教学和研究工作，也即使他能“高 等数学之高”去临“中学数学之下”。

中， ABC
D 是 BC 边上的中点， G 是 AD 上的任意一点
x
2 2
y
2
z
x y z 1
1 x y z 。 3
二、阅读建议
要学习好这门课（当然不仅仅是学好这一门课），我觉得阅读也是 特别重要的，那么，阅读什么样的文章呢？这里，我们提出一些建议。 我们说，阅读时还要有些选择，建议大家阅读以下作者的文章及刊物 的文章。
（2）因式分解需进行到什么程度？
（3）因式分解的结果是否唯一？ （4）多项式的因式分解与整数的素因数分解有何联系？
例2 以下哪个表示的是函数的符号：
y f ( x ), f ( x ), y , f .
函数概念的发展经历了一个漫长的过程。在现行教材中，
分别在初中、高中、大学都介绍了函数，细心的老师可以发现 定义是有一些不同（主要是初中与高中或大学有差别）。
定义1（初中） 在某一变化过程中，有两个变量
，如果
对于x和 在某一范围内的每一个确定的值，按照某种对应关系， y x
都
y 有唯一确定的值和它对应，那么就把
变量。 x
称为
的函数，
称为因 y
y
是两个集合，如果按照某种对 A和 B 中都有唯一的元素和它对应，这 B 的任何一个元素在 A
定义2（高中或大学） 设 应关系，使