河北大学高数题库证明题

证明题：（每小题10分）

第八章 多元函数微分法及其应用

1. 设2222(x,y)(0,0)

1

(,)()sin

,(,)0lim f x y x y f x y x y →=+=+求证. 2. 证明极限2

222

2)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在

3. 设x y x f sin ),(=，证明),(y x f 是2R 上的连续函数

4.设)(),(x f y x F =，)(x f 在0x 处连续，证明:对任意),(),(,000y x y x F R y 在∈ 处连续.

5. 证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222

222

2y x y x y x y x y x f 是全平面上的连续函数.

6. 设)1

1(y

x e

z +-=，求证：z y

z y x z x 222

=∂∂+∂∂ 7. 证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z

u

y u x u 其中222z y x r ++=.

8. 设2

2

2

z y x r ++=，求证：r z

r y r x r 2

222222=∂∂+∂∂+∂∂.

9.设⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f ，求证：存在)0,0(),0,0(y x f f . 10. 设⎪⎩⎪⎨⎧

=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f ,求证：(0,0)(0,0)(0,0)x y f f 与在点处不连续.

11. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f ,求证：处可微在)0,0(),(y x f . 12.如果函数),(y x f z =，在点),(y x 可微，则函数在点),(y x 的偏导数z

y

z x ∂∂∂∂,必存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为

y z

y

x z x dz ∆∂∂+∆∂∂=

13.设 v u y v u x y

x

z -=+==,,arctan 而，验证 22v u v u v z u z +-=∂∂+∂∂.

14.设为可导函数，证明而)(,),(u F x

y

u u xF xy z =+= xy z y

z y x z x +=∂∂+∂∂. 15.设 为可导函数，验证其中)(,)

(2

2u f y x f y

z -=

211y

z

y z y x z x =∂∂+∂∂ 16.设),(y x z z =由方程y e z z x 232+=-确定，证明：.23

=∂∂+∂∂y

z x z 17.设),(),,(,),(y x z z z x y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，证明

.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x

z z y y x 18.设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由方程0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满足.c y

z

b x z a

=∂∂+∂∂ 19.设)(),(x z z x y y ==是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数，其中F f 和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，试证：

).0()(≠'+'+'-'+=z y z y x y F f x F F

f x F F f x F f x f dz dz

20.试证曲面)0(>=++a a z y x 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于.a

21.证明：锥面322++=y x z 的所有切平面都通过锥面之顶点.

22.设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则有

0),(00=y x f x ， .0),(00=y x f y

第九章 重积分

23.设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ使得

⎰⎰⋅=D

f d y x f .),(),(σηξσ

24. 设),(y x f 在D 上连续，其中D 是由直线)(a b b x a y x y >===及、所围成的闭区域，

证明 .),(),(⎰⎰⎰⎰=x a

b a

b

y

b a

dx y x f dy dy y x f dx

25.证明：⎰⎰⎰-=b a

x a

b

a

dx x b x f dy y f dx ))(()(，其中)(x f 为连续函数.

26.设)(t f 连续，常数0>a ，区域2

,2:a

y a x D ≤≤

, 证明：dt t a t f dxdy y x D

a

a

)()()(-=-⎰⎰⎰-.

27. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，证明 ⎰⎰-≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡b

a b a dx x f a b dx x f )()()(22

.

28. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，试证⎰⎰⎰⎰Ω

--=.)()1()(1

1

2dz z f z dv z f π其中

.1222≤++Ωz y x ：

29.设)(x f 在]1,1[-上连续，证明：⎰⎰⎰⎰Ω

--=1

12.)1)(()(dx x x f dxdydz x f π 其中

.1222≤++Ωz y x ：

30.证明：⎰⎰⎰---=a

a

x a m y

x a m dx x f e x a dx x f e dy 0

)(0

)(.)()()(

第十章 曲线积分与曲面积分

31.设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明： ⎰=+L

dy x xydx .022

32. 设函数),,(z y x u 和),,(z y x v 在闭区域Ω上具有一阶及二阶连续偏导数，证明 dxdydz z v

z u y v y u x v x u dS n v u

vdxdydz u )(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

∑

∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂-∂∂=∆， 其中∑是闭区域Ω的整个边界曲面，

n

v

∂∂为函数),,(z y x v 沿∑的外法线方向的方向导数，符号22

2222z

y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆.

33. 设),,(z y x u 、),,(z y x v 是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，

n

v

n u ∂∂∂∂、依次表示),,(z y x u 、),,(z y x v 沿∑的外法线方向的方向导数. 证明 ⎰⎰⎰⎰⎰Ω

∑

∂∂-∂∂=∆-∆.)()(dS n

u

v n v u

dxdydz u v v u 其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面.