河北大学高数题库证明题

证明题：（每小题10分）第八章 多元函数微分法及其应用1. 设2222(x,y)(0,0)1(,)()sin,(,)0lim f x y x y f x y x y →=+=+求证. 2. 证明极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在3. 设x y x f sin ),(=，证明),(y x f 是2R 上的连续函数4.设)(),(x f y x F =，)(x f 在0x 处连续，证明:对任意),(),(,000y x y x F R y 在∈ 处连续.5. 证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x y x y x f 是全平面上的连续函数.6. 设)11(yx ez +-=，求证：z yz y x z x 222=∂∂+∂∂ 7. 证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u 其中222z y x r ++=.8. 设222z y x r ++=，求证：r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂.9.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f ，求证：存在)0,0(),0,0(y x f f . 10. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f ,求证：(0,0)(0,0)(0,0)x y f f 与在点处不连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f ,求证：处可微在)0,0(),(y x f . 12.如果函数),(y x f z =，在点),(y x 可微，则函数在点),(y x 的偏导数zyz x ∂∂∂∂,必存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为y zyx z x dz ∆∂∂+∆∂∂=13.设 v u y v u x yxz -=+==,,arctan 而，验证 22v u v u v z u z +-=∂∂+∂∂.14.设为可导函数，证明而)(,),(u F xyu u xF xy z =+= xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂. 15.设 为可导函数，验证其中)(,)(22u f y x f yz -=211yzy z y x z x =∂∂+∂∂ 16.设),(y x z z =由方程y e z z x 232+=-确定，证明：.23=∂∂+∂∂yz x z 17.设),(),,(,),(y x z z z x y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，证明.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x 18.设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由方程0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满足.c yzb x z a=∂∂+∂∂ 19.设)(),(x z z x y y ==是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数，其中F f 和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，试证：).0()(≠'+'+'-'+=z y z y x y F f x F Ff x F F f x F f x f dz dz20.试证曲面)0(>=++a a z y x 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于.a21.证明：锥面322++=y x z 的所有切平面都通过锥面之顶点.22.设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则有0),(00=y x f x ， .0),(00=y x f y第九章 重积分23.设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ使得⎰⎰⋅=Df d y x f .),(),(σηξσ24. 设),(y x f 在D 上连续，其中D 是由直线)(a b b x a y x y >===及、所围成的闭区域，证明 .),(),(⎰⎰⎰⎰=x ab abyb adx y x f dy dy y x f dx25.证明：⎰⎰⎰-=b ax abadx x b x f dy y f dx ))(()(，其中)(x f 为连续函数.26.设)(t f 连续，常数0>a ，区域2,2:ay a x D ≤≤, 证明：dt t a t f dxdy y x Daa)()()(-=-⎰⎰⎰-.27. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，证明 ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba b a dx x f a b dx x f )()()(22.28. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，试证⎰⎰⎰⎰Ω--=.)()1()(112dz z f z dv z f π其中.1222≤++Ωz y x ：29.设)(x f 在]1,1[-上连续，证明：⎰⎰⎰⎰Ω--=112.)1)(()(dx x x f dxdydz x f π 其中.1222≤++Ωz y x ：30.证明：⎰⎰⎰---=aax a m yx a m dx x f e x a dx x f e dy 0)(0)(.)()()(第十章 曲线积分与曲面积分31.设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明： ⎰=+Ldy x xydx .02232. 设函数),,(z y x u 和),,(z y x v 在闭区域Ω上具有一阶及二阶连续偏导数，证明 dxdydz z vz u y v y u x v x u dS n v uvdxdydz u )(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∑∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂-∂∂=∆， 其中∑是闭区域Ω的整个边界曲面，nv∂∂为函数),,(z y x v 沿∑的外法线方向的方向导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆.33. 设),,(z y x u 、),,(z y x v 是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，nvn u ∂∂∂∂、依次表示),,(z y x u 、),,(z y x v 沿∑的外法线方向的方向导数. 证明 ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂-∂∂=∆-∆.)()(dS nuv n v udxdydz u v v u 其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面.34. 证明：22yx ydyxdx ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内的是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数.35.已知平面区域{}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0),(，L 为D 的正向边界.试证： （1）⎰⎰-=---LLx y x y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin ；（2）⎰≥--Lx y dx ye dy xe 2sin sin 2π.36.设函数)(x f 在),(+∞-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为).,(d c 记,]1)([)](1[1222dy xy f y yxdx xy f y y I L ⎰-++= （1）证明曲线积分I 与路径L 无关； （2）当cd ab =时，求I 的值.第十一章 无穷级数37.设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，（1）如果 )0(lim +∞<≤=∞→l l v u nnn ，且级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛；（2）如果 0lim >=∞→l v u n n n 或 +∞=∞→nnn v u lim ，且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散.38. 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n u 必定收敛.39.设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛，证明级数∑∞=+12)(n n n v u 也收敛.40.证明：.0)!(lim 2=∞→n n nn41.试证：∑=∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n k k k n k n 1.011311lim 242. 试证：.8)2(842lim 4312719131=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅∞→n nn43.按定义证明：∑∞==+++1.11)1(1n n n n n44.设级数∑∞=1n n a 收敛，且,1lim =∞→n n b 证明级数∑∞=1n n n b a 绝对收敛.45.已知0>n a 且),,3,2,1(1 =≤+n a a n n 若级数∑∞=-1)1(n n na 发散，证明级数∑∞=+1)1(1n nn a 收敛.46.设⎰=40,tan πxdx a nn 证明对任意的常数0>α，级数∑∞=1n nn a α收敛. 第十二章 微分方程47. （1）验证函数)()!3(!9!6!31)(3963+∞<<-∞++++++=x n x x x x x y n满足微分方程x e y y y =+'+''；（2）利用（1）的结果求幂级数∑∞=03)!3(n nn x 的和函数.48.已知函数)(x f 在),0[+∞上可导，1)0(=f ，且满足等式 ,0)(11)()(0⎰=+-+'x dt t f x x f x f求),(x f '并证明)0(1)(≥≤≤-x x f e x .49.设)(x p 为连续函数，证明方程0)(=+'y x p y 的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于同一点.50.设0>a ，函数)(x f 在),0[+∞上连续有界，证明微分方程)(x f ay y =+'的解在),0[+∞上有界.。