第22章-二次函数全章导学案
人教版九年级数学上册(RJ)第22章 二次函数 二次函数的图象和性质 导学案 二次函数
第二十二章 二次函数22.1.1 二次函数学习目标：1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.2.会利用二次函数的概念解决问题.3.能根据实际问题列二次函数关系式.重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式. 难点：能根据实际问题列二次函数关系式.一、知识链接 1.什么是函数？2.什么是一次函数？正比例函数？3.一元二次方程的一般形式是什么？二、要点探究探究点1：二次函数的相关概念问题1 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为 .问题2 n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系？问题3 某种产品现在的年产量是20 t ，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系怎样表示？想一想：问题1~3中函数关系式有什么共同点?要点归纳：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数.其中x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示：(1) a ，b ，c 为常数，且a ≠0；(2)等号左边是变量y ，右边是关于自变量x 的整式；(3)等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二(x 是自变量)①y=ax 2+bx+c ； ②y=3－2x² ； ③y=x 2； ④21y x； ⑤y=x²+x³+25 ； ⑥y=(x+3)²－x²；方法总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式y=ax 2+bx+c(a≠0)之外，还有一些特殊形式，如y=ax 2，y=ax 2+bx ，y=ax 2+c 等.例2 若函数221(1)(3)4m m y m x m x 是二次函数，求m 的值.归纳：本题易忽略二次项系数a ≠0这一限制条件，从而得出 m = -1的错误答案，需要引起同学们的重视.针对训练 一个二次函数234(1)2 1.k k y k x x -+=-+- (1)求k 的值；(2)当x=0.5时，y 的值是多少？探究点2：根据实际问题列二次函数关系式问题矩形绿地的长为2.（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为___ _m，y 与x之间的关系式为______________；想一想自变量的取值范围是___________.（2）若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为______m，y 与x之间的关系式为______________.想一想自变量的取值范围是___________.例3 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式.注意：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.例4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产第x档次的产品一天的总利润为y 元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式.三、课堂小结A ．y ＝2x ＋1B ．2y xC ．y ＝3x 2＋1D ．211yx 2.函数 y=(m －n)，n 是常数，且n≠0C ．m ，n 是常数，且m≠n D．m ，n 为任何实数3.把y=(2－3x)(6+x)变成 y = ax ² + bx + c 的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 .4. 已知函数y=3= 时，y 是关于= 时，y 是关于x 的二次函数 .5.若函数232(4)a a y a x a 是二次函数， （1）求a 的值. （2）求函数关系式.（3）当x=－2时，y 的值是多少？6.写出下列各函数关系式：（1）写出圆的面积y(cm 2)与它的周长，求菱形的面积S(cm 2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系式．7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式.(不必写出自变量，它的一边长为2).（1）写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时，求矩形的面积.参考答案自主学习知识链接1.一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.2.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.3.ax2+bx+c=0 (a≠0)课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数的相关概念问题1 y=6x 2 问题2 21122m n n问题3 y=20(1+x)2=20x 2+40x+20想一想 函数都是用自变量的二次整式表示的.②③是二次函数；①不一定是，缺少a ，b ，c 是常数，且a ≠0的条件. ④不是，等式右边是分式；⑤不是，x 的最高次数是3；⑥不是，等式右边化简后，等式变形为y=6x+9，是一次函数.例2 解：由题意得∴m=3.针对训练 解：（1）由题意的解得k=2.(2) 由(1)得，221yx x ，将x=0.5代入函数关系式221yx x ，得20.520.510.25y.探究点2：根据实际问题列二次函数关系式 问题 （1）0.5x y=0.5x2想一想 x ＞0（2）（x-6） y=x(x-6) 想一想 x ＞6例3 解：∵AB 边长为x 米，∴AD 边长为 米.∴y ＝(0＜x ＜30).例 4 解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x －1) 档，利润增加了2(x －1) 元，产量减少了 5(x －1) 件．∴y ＝[6＋2(x －1)][95－5(x －1)]，即y ＝－10x 2＋180x ＋400(其中x 是正整数，且1≤x ≤10).当堂检测1.C2.C3. -3x2 -16 124. 1 3 25.解：（1）由题意，得解得（2）当a=-1时，函数关系式为（3）将x=-2代入函数关系式中，有6.解：(1) (2)7.解： (1)当销售单价为每千克 55 元时，由题意，得月销售量 = 500 − (55 − 50)×10 = 450 (kg)单件销售利润 = 55 − 40 = 15 (元)月销售利润= 450×15 = 6750 (元)(2)当销售单价为每千克 x 元时，由题意，得月销售量 = 500 − (x − 50)×10.单件销售利润 = x − 40.月销售利润 y = [500 − (x − 50)×10](x − 40)，整理，得 y = -10x2 + 1400x − 40000.8.解：（1）y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8).（2）当2) .。
人教版九年级数学上册第22章22.1.1二次函数《二次函数》导学案
第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.知道二次函数的概念,明确二次函数的特征.2.能够表示简单的变量间的二次函数关系.3.重点:二次函数的概念.知识点二次函数的概念阅读教材本课时内容,回答下列问题.1.正方体有6个面,若其棱长为x,则一个面的面积为x2,正方体的表面积y=)x的函数,理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.6x2,y 是(填“是”或“不是”2.在“问题1”中,用参赛队数n表示比赛场次数m的关系式是m=n2-n,m 是(填)n的函数,理由:对于n的每一个值,m都有一个对应值.“是”或“不是”)x的函数,3.在“问题2”中,y与x的关系式是y=20x2+40x+20,y 是(填“是”或“不是”理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.4.以上三个函数关系式的共同点:等式右边是关于自变量的整式,自变量的最高次数为2,二次项系数不为0.【归纳总结】一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【讨论】二次函数y=ax2+bx+c中为什么规定a≠0?b,c可以是0吗?当a=0时,没有二次项了,不是二次函数,b,c可以是0.【预习自测】下列函数中,哪些是二次函数?①y=5x+1;②y=4x2-1;③y=2x3-3x2;④y=-;⑤y=-(x-1)2;⑥y=2x2-x+;⑦y=x(1-x);⑧y=2x2+x(1-2x).②④⑤⑦．互动探究1:在学完二次函数的定义后,老师要求同学们各举一个二次函数的例子.小刚:y=2x2-1是一个二次函数;小红:y=(x+2)2-x2是一个二次函数;小华:y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数)是一个二次函数;小佳:y=+x-1是一个二次函数;小敏:y=ax2-2bx+5是一个二次函数.。
人教版九年级数学教案 第22章《二次函数》全章导学案(共16课时)
人教版九年级数学《二次函数》全章导学案第1课时 二次函数的相关概念知识点1：二次函数的定义【例1】 下列函数是二次函数的有( C )①y ＝x ＋1x；②y ＝3(x －1)2＋2；③y ＝(x ＋3)2－2x 2；④y ＝1x2＋x .A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个,1. 在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是( A ) A. y ＝2x 2 B. y ＝2x －2C. y ＝ax 2D. y ＝ax2知识点2：根据二次函数的定义求字母的取值范围【例2】如果函数y ＝(m ＋1)xm 2－m 是二次函数，求m 的值. 解：∵函数y ＝(m ＋1)xm 2－m 是二次函数， ∴m 2－m ＝2且m ＋1≠0.解得m ＝2. ,2. 若函数y ＝(k －2)xk 2＋k －4是关于x 的二次函数，求k 的值.解：由y ＝(k －2)xk 2＋k －4是关于x 的二次函数，得k 2＋k －4＝2且k －2≠0. 解得k ＝－3.知识点3：自变量的取值范围【例3】 求下列函数自变量的取值范围：(1)y ＝2＋x x ： x ≠0 ；(2)y ＝5－x ： x ≤5 ；(3)y ＝x 2： x 为任意实数 . ,3. 写出下列函数的自变量x 的取值范围：(1)y ＝1x ＋2： x ≠－2 ；(2)y ＝2x －3x 2： x 为任意实数 ；(3)y ＝1x －1： x ＞1 .知识点4：实际问题中的二次函数【例4】 设矩形窗户的周长为6 m ，窗户面积为S (m 2). (1)求S 与窗户一边x 之间的函数关系式； (2)写出自变量x 的取值范围. 解：(1)S ＝x (3－x )＝－x 2＋3x .(2)0＜x ＜3.,4. 一个直角三角形的两条直角边之和为18，其中一条直角边的长为x ，求这个直角三角形的面积S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围.解： S ＝－12x 2＋9x (0＜x ＜18).A 组5. 下列函数属于二次函数的是( B )A. y ＝2xB. y ＝2(x ＋1)(x －3)C. y ＝3x －2D. y ＝x 2＋1x,6. 若关于x 的函数y ＝(2－a )x 2－x 是二次函数，则a 的取值范围是( B ) A. a ≠0 B. a ≠2 C. a ＜2 D. a ＞27. 当m ＝ 1 时，函数y ＝(m ＋1)xm 2＋1是二次函数.,8. 对于二次函数y ＝－x 2－1的二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c ，描述正确的是( C )A. a ＝－1，b ＝－1，c ＝0B. a ＝－1，b ＝0，c ＝1C. a ＝－1，b ＝0，c ＝－1D. a ＝1，b ＝0，c ＝－1 B 组9. 求下列函数的自变量的取值范围： (1)y ＝x 2＋5； 解：x 是任意实数.(2)y ＝x ＋2x －4；解：根据题意，得x －4≠0. 解得x ≠4.(3)y ＝1x 2＋2.解：x 是任意实数.,10. 求下列函数自变量的取值范围：(1)y ＝1x ＋2；解：由题意，得x ＋2≠0. 解得x ≠－2.(2)y ＝2x －1；解：由题意，得2x －1≥0.解得x ≥12.(3)y ＝－x 2－5x ＋6. 解：x 为任意实数.11. 某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，则y 与平均年增长率x 之间的函数关系式是 y ＝20(1＋x )2 . ,12. 下列关系中，是二次函数关系的是( C )A. 当距离s 一定时，汽车行驶的时间t 与速度v 之间的关系B. 在弹性限度时，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系C. 圆的面积S 与圆的半径r 之间的关系D. 正方形的周长C 与边长a 之间的关系 C 组13. 若函数y ＝()()⎩⎨⎧>≤+22222x x x x 则当函数值y ＝8时，自变量的值是( D )A. ±6B. 4C. ±6或4D. 4或－6,14. 如图1－22－13－1，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上的点，F 为CD 边上的点，且AE ＝AF ，AB ＝4，设EC ＝x ，△AEF 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式.图1－22－13－1解：易证得Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL). ∴CE ＝CF ＝x ，BE ＝DF ＝4－x .∴y ＝42－2×12×4×(4－x )－12x 2＝－12x 2＋4x .第2课时 二次函数的图象和性质(1)——y ＝ax 2(a≠0)知识点1：用描点法画出y ＝ax 2的图象【例1】在同一直角坐标系(如图1－22－14－1)中画出y ＝3x 2和y ＝－3x 2的图象.图1－22－14－1略.,1. 在同一直角坐标系(如图1－22－14－2)中，画出函数y ＝－3x 2与y ＝－13x 2的图象.图1－22－14－2略.知识点2：二次函数y＝ax2的图象和性质【例2】已知函数y＝－2x2，不画图象，回答下列问题：(1)开口方向：向下；(2)对称轴：y轴；(3)顶点坐标：(0,0)；(4)当x≥0时，y随x的增大而减小；(5)当x＝0时，y＝0；(6)当x＝0时，函数y的最大值是0.,2. 抛物线y＝12x2的对称轴是y轴(或直线x＝0)，顶点坐标是(0,0)，抛物线上的点都在x轴的上方，当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y 随x的增大而减小；当x＝0时，该函数的最小值是0.知识点3：二次函数y＝ax2性质的运用【例3】点(－2，y1)，(－3，y2)是抛物线y＝－x2上的两点，则下列选项正确的是( A )A. y1＞y2B. y2＞y1C. y1＝y2D. 不确定,3. 若点A(－2，y1)，B(－1，y2)都在二次函数y＝ax2(a＞0)的图象上，则下列结论正确的是( B )A. y1＜y2B. y2＜y1C. y1＝y2D. 不确定A 组4. 在同一直角坐标系中，抛物线y ＝4x 2，y ＝14x 2，y ＝－14x 2的共同特点是( D )A. 关于y 轴对称，抛物线开口向上B. 关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C. 关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D. 关于y 轴对称，抛物线顶点在原点 ,5. 已知函数y ＝5x 2，不画图象，回答下列各题： (1)开口方向 向上 ； (2)对称轴为 y 轴 ； (3)顶点坐标为 (0,0) ；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而 增大 ；(5)当x ＝0 时，函数y 的最 小 值是 0 . B 组6. 若抛物线y ＝(m －1)x 2开口向下，则m 的取值范围为 m ＜1 . ,7. 已知二次函数y ＝ax 2的图象如图1－22－14－3，则a 满足条件( A )图1－22－14－3 A . a ＞0 B . a ＜0 C . a ≥0D . a ≤08. 抛物线y ＝－14x 2，当x 1＜x 2＜0时，y 1与y 2的大小为 y 1<y 2 . ,9. 对于二次函数y ＝(a 2＋3)x 2，下列命题正确的是( C ) A . 函数图象开口方向不确定 B . 当a ＜0时，抛物线开口向下C . 此抛物线的对称轴是y 轴，顶点是坐标原点D . 当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 C 组10. 已知函数y ＝(m －3)xm 2－3m －2为二次函数. (1)若其图象开口向上，求函数的关系式；(2)若当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，求函数的关系式. 解：∵m 2－3m －2＝2， 整理，得m 2－3m －4＝0. 解得m 1＝4，m 2＝－1.(1)由题意，得m －3＞0. 解得m ＞3. ∴m ＝4. ∴函数关系式为y ＝x 2.(2)∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴m －3＜0. 解得m ＜3. ∴m ＝－1.∴函数关系式为y ＝－4x 2.,11. 已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2,8). (1)求a 的值；(2)若抛物线上纵坐标为8的另一个点为B ，试求出△AOB 的面积. 解：(1)将A (－2,8)代入抛物线y ＝ax 2，得(－2)2a ＝8. 解得a ＝2.答图22－14－1(2)由(1)可知，函数的解析式为y ＝2x 2. 当y ＝8时，2x 2＝8. 解得x ＝±2.则B 点坐标为(2,8). 如答图22－14－1，S △AOB ＝12AB·OD ＝12×4×8＝16.第3课时 二次函数的图象和性质(2)——y ＝ax 2＋k(a≠0)知识点1：画二次函数y ＝ax 2＋k(a≠0)的图象【例1】 在同一直角坐标系(如图1－22－15－1)中，描点画出二次函数y ＝12x 2＋1与y ＝12x 2－1的图象，并写出其对称轴及顶点坐标.图1－22－15－1略.,1. 在同一直角坐标系(如图1－22－15－2)中，描点画出二次函数y ＝14x 2与y ＝14x 2＋2的图象，并写出其对称轴及顶点坐标.图1－22－15－2略.知识点2：二次函数y ＝ax 2＋k(a≠0)的图象和性质【例2】 二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向 上 ，顶点坐标为 (0，－3) ，对称轴为 y 轴 . 当x ＞0时，y 随x 的增大而 增大 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 减小 . 因为a ＝3＞0，所以y 有最 小 值，当x ＝ 0 时，y 有最 小 值 －3 . ,2. 抛物线y ＝－12x 2＋4的图象开口 向下 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标为 (0,4) ，当x ＝ 0 时，y 有最 大 值 4 .知识点3：二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的关系【例3】 将抛物线y ＝2x 2向上平移4个单位长度后，所得到的抛物线的解析式是 y ＝2x 2＋4 . ,3. 将二次函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度，则平移后的二次函数的解析式为( A )A. y ＝x 2－1B. y ＝x 2＋1C. y ＝(x －1)2D. y ＝(x ＋1)2A 组4. 抛物线y ＝x 2－4 的顶点坐标是( D ) A. (2,0) B. (－2,0) C. (1，－3) D. (0，－4),5. 抛物线y ＝－x 2－1的图象大致是( B )6. 抛物线y ＝14x 2－9的开口 向上 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 (0，－9) ，它可以看作是由抛物线y ＝14x 2向 下 平移 9 个单位长度得到的. ,7. 将抛物线y ＝x 2向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的解析式是( C ) A. y ＝(x ＋1)2 B. y ＝(x －1)2 C. y ＝x 2＋1 D. y ＝x 2－1 B 组8. 对于抛物线y ＝x 2＋2和y ＝x 2的判断：①开口方向相同；②形状完全相同；③对称轴相同. 其中正确的有( D )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个,9. 将抛物线y ＝x 2＋2向上平移1个单位长度后所得新抛物线的表达式为 y ＝x 2＋3 . C 组10. 已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝12x 2＋4上，则下列说法正确的是 ( D )A. 若y 1＝y 2，则x 1＝x 2B. 若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C. 若0<x 1<x 2，则y 1>y 2D. 若x 1<x 2<0，则y 1>y 2,11. 若抛物线y ＝ax 2＋c 的形状与y ＝2x 2的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，－3)，则该抛物线的函数表达式为 y ＝－2x 2－3 .第4课时 二次函数的图象和性质(3)——y ＝a(x －h)2(a≠0)知识点1：画二次函数y ＝a(x －h)2的图象【例1】 在同一直角坐标系(如图1－22－16－1)中，描点画出二次函数y ＝－14(x ＋2)2与y ＝－14(x －1)2的图象，并写出其对称轴及顶点坐标.图1－22－16－1略.1. 在同一直角坐标系(如图1－22－16－2)中，画出二次函数y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2的图象，并写出其对称轴及顶点坐标.图1－22－16－2略.知识点2：二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质【例2】 抛物线y ＝13(x ＋2)2的开口向 上 ，顶点坐标为 (－2,0) ，对称轴是 直线x ＝－2 ，当x ＜－2时，y 随x 的增大而 减小 ；当x ＝ －2 时，y 有最 小 值，这个值是 0 .2. 抛物线y ＝－2(x ＋3)2的开口 向下 ，对称轴是 直线x ＝－3 ，顶点坐标为 (－3,0) ，当x ＞－3时，y 随x 的增大而 减小 ；当x ＝－3时，y 有最 大 值，这个值是 0 .知识点3：二次函数y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2的关系【例3】 抛物线y ＝－(x －2)2的图象可看作是由抛物线y ＝－x 2沿着 x 轴向 右(填“左”或“右”)平移 2 个单位长度得到的.,3. 将抛物线y ＝x 2向左平移2个单位长度后得到的新的抛物线的表达式为( C )A . y ＝x 2＋2B . y ＝x 2－2C . y ＝(x ＋2)2 D. y ＝(x －2)2A 组4. 二次函数y ＝12(x －4)2的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( A ) A. 向上，直线x ＝4，(4,0)B. 向上，直线x ＝－4，(－4,0)C. 向上，直线x ＝4，(0,4)D. 向下，直线x ＝－4，(0，－4),5. 对于y ＝2(x －3)2的图象，下列叙述错误的是( A )A. 顶点坐标为(－3,0)B. 对称轴为直线x ＝3C. 当x ＞3时，y 随x 的增大而增大D. 当x ＝3时，y 有最小值06. 抛物线y ＝－15(x ＋2)2的开口向 下 ，顶点坐标为 (－2,0) ，对称轴是 直线x ＝－2 ，它有最 高 (填“高”或“低”)点，它可由抛物线y ＝－15x 2向 左 平移 2 个单位长度得到. ,7. 将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，得到的抛物线是( D )A. y ＝x 2＋1B. y ＝x 2－1C. y ＝(x ＋1)2D. y ＝(x －1)2B 组8. 可将抛物线y ＝x 2－4 单位长度，得到y ＝x 2 ( A )A. 向上平移4个B. 向下平移4个C. 向右平移4个D. 向左平移4个,9. 抛物线y ＝2(x －n )2向右平移3个单位长度后得到抛物线y ＝2(x ＋1)2，则n ＝ －4 .10. 已知抛物线y ＝a (x －3)2过点(2，－5)，则a ＝ －5 ，当x ＝ 3 时，该函数有最 大 值.,11. 若抛物线y ＝a (x ＋m )2的对称轴为直线x ＝－3，则m ＝ 3 .C 组12. 已知函数y ＝3(x －2)2的图象上有三点A (2，y 1)，B (5，y 2)，C (－5，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( B )A. y 2＜y 1＜y 3B. y 1＜y 2＜y 3C. y 2＜y 3＜y 1D. y 3＜y 2＜y 1,13. 某抛物线的对称轴为x ＝－2，顶点在x 轴上，并与y 轴交于点(0,3)，求该抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2.把(0,3)代入可得4a＝3，解得a＝3 4.所以该抛物线的解析式为y＝34(x＋2)2.第5课时二次函数的图象和性质(4)——y＝a(x－h)2＋k(a≠0)知识点1：画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象【例1】在如图1－22－17－1所示直角坐标系中画出二次函数y＝(x－2)2－1的图象.图1－22－17－1略.,1. 根据左边所画图象回答：抛物线y＝(x－2)2－1的开口向上，顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y有最小值－1，当x＞2时，y随x的增大而增大.知识点2：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质抛物线开口方向对称轴顶点坐标y＝2(x＋3)2＋5 向上直线x＝－3(－3,5)y＝－3(x－1)2－2 向下直线x＝1(1，－2)y＝4(x－3)2＋7 向上直线x＝3(3,7)y＝－5(x＋2)2－6 向下直线x＝－2(－2，－6)2. 抛物线y＝－2(x＋3)2－1的对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，－1)；当x<－3时，y随x的增大而增大；当x>－3时，y随x的增大而减小；当x＝－3时，y取得最大值－1.知识点3：抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系【例3】将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为( B )A. y＝(x＋1)2＋3B. y＝(x－1)2＋3C. y＝(x＋1)2－3D. y＝(x－1)2－3,3. 抛物线y＝－2(x＋1)2－2可由抛物线y＝－2x2平移得到，则下列平移过程正确的是( D )A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度A组4. 已知函数y＝－2(x＋2)2－3：(1)开口方向向下；(2)对称轴为直线x＝－2；(3)顶点坐标为(－2，－3)；(4)当x＜－2时，y随x的增大而增大；(5)当x＝－2时，函数y的最大值是－3.,5. 已知函数y＝3(x－1)2＋4：(1)开口方向向上；(2)对称轴为直线x＝1；(3)顶点坐标为(1,4)；(4)当x＞1时，y随x的增大而增大；(5)当x＝1时，函数y的最小值是4.6. 把抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，然后向下平移6个单位长度，则平移后抛物线的解析式为( D )A. y＝3(x＋2)2＋6B. y＝3(x－2)2＋6C. y＝3(x＋2)2－6D. y＝3(x－2)2－6,7. 抛物线y＝3x2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是( D )A. y＝3(x＋3)2－2B. y＝3(x＋3)2＋2C. y＝3(x－3)2－2D. y＝3(x－3)2＋2B 组8. 对于函数y ＝2(x －3)2＋2的图象，下列叙述正确的是( C )A. 顶点坐标为(－3,2)B. 对称轴是直线y ＝3C. 当x ≥3时，y 随x 的增大而增大D. 当x ≥3时，y 随x 的增大而减小,9. 对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1,3)；④当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，其中正确的结论有( C )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝3x 2＋2先向左平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度后所得到的抛物线的顶点坐标是( C )A. (－2,6)B. (－2，－8)C. (－2,8)D. (2，－8),11. 将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为( D )A. y ＝2(x －1)2－5B. y ＝2x 2－1C. y ＝2(x ＋2)2－5D. y ＝2(x ＋2)2－1C 组12. 已知点A (－2，a )，B (－1，b )，C (3，c )均在抛物线y ＝－2(x ＋1)2＋3上，则a ，b ，c 的大小关系为( C )A. a ＜c ＜bB. b ＜a ＜cC. c ＜a ＜bD. a ＜b ＜c,13. 把二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.试确定a ，h ，k 的值. 解：原二次函数的表达式为y ＝12(x ＋1－2)2－1－4，即y ＝12(x －1)2－5. ∴a ＝12，h ＝1，k ＝－5.第6课时 二次函数的图象和性质(5)——用配方法把抛物线化为y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)的形式知识点1：将“a ＝1，b 为偶数”型的抛物线化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式【例1】利用配方法把抛物线y ＝x 2＋6x 化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.解：y ＝(x ＋3)2－9，开口向上，顶点坐标为(－3，－9)，对称轴为直线x ＝－3.,1. 利用配方法将抛物线y ＝x 2－8x ＋1化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.解：y ＝(x －4)2－15，开口向上，顶点坐标为(4，－15)，对称轴为直线x ＝4.知识点2：将“a ＝1，b 为奇数”型的抛物线化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式【例2】求抛物线y ＝x 2－x ＋1的顶点坐标.解：抛物线化为y ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，34.2. 求抛物线y ＝x 2＋3x －2的顶点坐标.解：抛物线化为y ＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－174，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，－174.知识点3：将“a≠1”型的抛物线化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式【例3】求二次函数y ＝－2x 2＋8x －5的最大值.解：抛物线化为y ＝－2(x －2)2＋3，最大值是3.,3. 求二次函数y ＝12x 2－4x ＋3的最小值. 解：抛物线化为y ＝12(x －4)2－5，最小值是－5.A 组4. 将二次函数y ＝x 2－4x ＋1化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式为( C )A. y ＝(x －4)2＋1B. y ＝(x －4)2－3C. y ＝(x －2)2－3D. y ＝(x ＋2)2－3,5. 二次函数y ＝－x 2－4x －2经配方后，得( B )A. y ＝－(x －1)2－3B. y ＝－(x ＋2)2＋2C. y ＝－(x －1)2－1D. y ＝－(x ＋2)2－2B 组6. 用配方法把下列抛物线化为顶点式，同时写出其开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)y ＝x 2－8x ＋16；解：y ＝(x －4)2，开口向上，对称轴为直线x ＝4，顶点坐标为(4,0).(2)y ＝x 2＋16x .解：y ＝(x ＋8)2－64，开口向上，对称轴为直线x ＝－8，顶点坐标为(－8，－64). ,7. 用配方法把下列抛物线化为顶点式，同时写出其开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)y ＝－x 2－2x －2；解：y ＝－(x ＋1)2－1，开口向下，对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，－1).(2)y ＝－12x 2＋3x . 解：y ＝－12(x －3)2＋92，开口向下，对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫3， 92.8. 函数y ＝x 2－4x ＋3图象的顶点坐标是( A )A. (2，－1)B. (－2,1)C. (－2，－1)D. (2， 1),9. 已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，当x ＝ －2 时，函数y 有最 小 值 －7 ，当x ＜－2 时，函数y 随x 的增大而减小，当x ＝ －2±7 时，y ＝0.C 组10. 要得到二次函数y ＝－x 2＋2x －2的图象，需将y ＝－x 2的图象( D )A. 向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度B. 向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度,11. 已知抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋6.(1)通过配方，确定开口方向、对称轴和顶点坐标，并在图1－22－18－1中画出函数的图象；(2)若抛物线上两点A (x 1， y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＞x 2＞1，试比较y 1与y 2的大小.图1－22－18－1解：(1)y ＝－2(x －1)2＋8，开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1,8)，画图略.(2)y 1<y 2.第7课时 二次函数的图象和性质(6)——用公式法求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的顶点坐标和对称轴知识点1：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标公式【例1】 求抛物线y ＝x 2－x 的开口方向、顶点坐标和对称轴.解：开口向上，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－14，对称轴为直线x ＝12. ,1. 求抛物线y ＝－2x 2－6x ＋7的开口方向、顶点坐标和对称轴.解：开口向下，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，232，对称轴为直线x ＝－32.知识点2：利用公式描述二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图象和性质【例2】 抛物线y ＝－x 2＋6x －132的开口方向 向下 ，对称轴为 直线x ＝3 ，顶点坐标为 ⎝⎛⎭⎫3，52 ，当x ＝ 3 时，y 有最 大 值，其值为 52. ,2. 对于抛物线y ＝－4x ＋x 2－7，有下列说法：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x ＝2；③顶点坐标为(2，－3)；④点⎝⎛⎭⎫－12，－9在抛物线上. 其中正确的有( C ) A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个知识点3：运用公式求字母系数的值【例3】已知抛物线y ＝x 2＋2mx ＋m ，其中m 为常数. 若抛物线的对称轴为直线x ＝2，求m 的值及抛物线的解析式.解：∵该抛物线对称轴为直线x ＝2，∴－2m 2＝2. 解得m ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x －2.,3. 已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14的顶点的横坐标是2，求m 的值. 解：∵抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14的顶点的横坐标是2， ∴－m －12×1＝2. 解得m ＝－3.A 组4. 抛物线y ＝13x 2－4x ＋2的顶点的横坐标是( D ) A. －12 B. 12 C. －6 D. 6,5. 若抛物线y ＝x 2－2x ＋c 与y 轴交于点(0，－3)，则下列说法不正确的是( C )A. 抛物线开口方向向上B. 抛物线的对称轴是直线x ＝1C. 当x ＝1时，y 的最大值为－4D. 抛物线与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)6. 用配方法求二次函数y ＝－12x 2＋3x －2的对称轴、顶点坐标和最值. 解：y ＝－12(x －3)2＋52，对称轴为直线x ＝3，顶点坐标是⎝⎛⎭⎫3，52，当x ＝3时，y 有最大值52. ,7. 用配方法求二次函数y ＝12x 2－x －32的对称轴、顶点坐标和最值. 解：y ＝12(x －1)2－2，抛物线的对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－2)，当x ＝1时，y 有最小值－2.B 组8. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋3的图象经过点(3,0).(1)求b 的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.解：(1)b ＝－4.(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴顶点坐标是(2，－1)，对称轴为直线x ＝2.,9. 已知抛物线y ＝x 2＋mx ＋2m －m 2的对称轴为直线x ＝1. 求(1)m 的值；(2)求出此抛物线的顶点坐标.解：(1)y ＝x 2＋mx ＋2m －m 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋2m －54m 2. ∵－m 2＝1， ∴m ＝－2.(2)由(1)可得，y ＝(x －1)2－9.∴顶点坐标为(1，－9).C 组10. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x ，y 的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( D )A. y 轴B. 直线x ＝52C. 直线x ＝2D. 直线x ＝32,11. 已知(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)在二次函数y ＝－x 2＋4x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( D )A. y 1＜y 2＜y 3B. y 3＜y 2＜y 1C. y 3＜y 1＜y 2D. y 1＜y 3＜y 2第8课时二次函数与一元二次方程(1)——抛物线与坐标轴的交点知识点1：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴，y轴的交点【例1】填空：(1)抛物线y＝x2－x－2，当y＝0时，x＝2或－1，因此它与x轴的交点坐标为(2,0)和(－1,0)；(2)抛物线y＝2x2－5x＋3，当x＝0时，y＝3，因此它与y轴的交点坐标是(0,3). ,1. 填空：(1)抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标是(3,0)和(－1,0)，与y轴的交点坐标是(0，－3)；(2)抛物线y＝2x2＋6x与x轴的交点坐标是(0,0)和(－3,0)，与y轴的交点坐标是(0,0).知识点2：二次函数与一元二次方程的解【例2】二次函数y＝ax2＋bx＋c如图1－22－20－1，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝4.图1－22－20－1,2. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图1－22－20－2，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为x1＝－1，x2＝3.图1－22－20－2知识点3：用Δ＝b 2－4ac 判断二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点个数 【例3】 (1)抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴的交点个数是 2 ； (2)抛物线y ＝x 2＋2x ＋1与x 轴的交点个数是 1 ；(3)抛物线y ＝x 2＋x ＋4与x 轴的交点个数是 0 . ,3. 已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，求k 的取值范围. 解：∵二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点， ∴Δ＝(－7)2－4k×(－7)≥0且k≠0.解得k ≥－74且k≠0.知识点4：根据抛物线与x 轴交点个数求字母系数的取值(范围)【例4】已知二次函数y ＝x 2－2x ＋k 的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围. 解：∵二次函数y ＝x 2－2x ＋k 的图象与x 轴有交点， ∴Δ＝(－2)2－4k ≥0. 解得k ≤1. ,4. 若函数y ＝x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的值. 解：根据题意，得Δ＝(－4)2－4×2a ＝0. 解得a ＝2.A 组5. 二次函数y ＝x 2－2x －8与x 轴正半轴的交点坐标是 (4,0) . ,6. 抛物线y ＝2x 2＋3x －2与y 轴的交点坐标是 (0，－2) .7. 抛物线y ＝x 2－4x ＋1与y 轴的交点个数是( B )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个,8. 抛物线y ＝x 2－2x ＋1与坐标轴的交点个数为( A )A. 2个B. 1个C. 无交点D. 3个 B 组9. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图1－22－20－3，由图象可知方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是( A )图1－22－20－3A . x 1＝－1，x 2＝5B . x 1＝－2，x 2＝4C . x 1＝－1，x 2＝2D . x 1＝－5，x 2＝5,10. 二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为( C )A . (－1,0)B . (4,0)C . (5,0)D . (－6,0)11. 已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( A )A . m ≤5B . m ≥2C . m ＜5D . m ＞2,12. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋1的图象与x 轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是( D ) A . (1,0) B . (2,0)C . (－1,0)或(－2,0)D . (－1,0)或(1,0) C 组13. 抛物线y ＝a (x ＋1)2＋2的图象与x 轴交于A ，B 两点，已知A (－3,0)，求a 的值和点B 的坐标.解：∵抛物线y ＝a (x ＋1)2＋2的图象与x 轴交于A ，B 两点，A (－3,0)，∴0＝a (－3＋1)2＋2，得a ＝－12.∴y ＝－12(x ＋1)2＋2.当y ＝0时，0＝－12(x ＋1)2＋2.解得x 1＝1，x 2＝－3.∴点B 的坐标为(1,0). ,14. 抛物线y ＝12x 2－32x －9与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，求A ，B ，C 三点的坐标及△ABC 的面积.解：令12x 2－32x －9＝0.解得x 1＝－3，x 2＝6. ∴A (－3,0)，B (6,0). 当x ＝0时，y ＝－9， ∴C (0，－9).∴S △ABC ＝12×9×9＝812.第9课时二次函数与一元二次方程(2)——利用图象解决问题知识点1：利用抛物线与x轴的交点解决不等式问题【例1】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－22－21－1，根据图象填空：(1)抛物线的对称轴是直线x＝－1；(2)当x＝－3或1时，y＝0；(3)当x＜－3或x＞1时，y＞0；(4)当－3＜x＜1时，y＜0.图1－22－21－1,1. 如图1－22－21－2，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，点A(－1,0)为其与x轴的一个交点，则(1)抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3,0)；(2)当x＝－1或3时，y＝0；(3)当－1＜x＜3时，ax2＋bx＋c＞0；(4)当x＜－1或x＞3时，ax2＋bx＋c＜0.图1－22－21－2知识点2：利用抛物线与直线的交点解决不等式问题【例2】如图1－22－21－3，直线y1＝x＋m和抛物线y2＝x2＋bx＋c都经过点A(1,0)和B(3,2)，则(1)当x＝1或3时，y1＝y2；(2)当1＜x＜3时，y1＞y2；(3)当x＜1或x＞3时，y1＜y2.图1－22－21－3,2. 如图1－22－21－4，直线y1＝mx＋n和抛物线y2＝ax2＋bx＋c都经过点C(0,3)和B(3,0)，则(1)当x＝0或3时，y1＝y2；(2)当x＜0或x＞3时，y1＞y2；(3)当0＜x＜3时，y1＜y2.图1－22－21－4知识点3：二次函数的图象与字母系数之间的关系【例3】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－22－21－5，那么下列说法正确的是( B )图1－22－21－5A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＜0，b＞0，c＞0C. a＜0，b＞0，c＜0D. a＜0，b＜0，c＞0,3. 如图1－22－21－6，小明从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中看出这样四条结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④b2－4ac＞0；其中正确的是( A )图1－22－21－6A. ①②④B. ②④C. ①②③D. ①②③④A组4. 如图1－22－21－7，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点为(－2,0)，对称轴为直线x＝1，则y＜0时，x的取值范围是( B )图1－22－21－7A. x＞4或x＜－2B. －2＜x＜4C. －2＜x＜3D. 0＜x＜3,5. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图1－22－21－8，则当y＞0时，x的取值范围是( D )图1－22－21－8A. x＞－1B. x≥－1C. －1≤x≤3D. －1＜x＜3B组6. 在平面直角坐标系中，二次函数y1＝－x2＋4x和一次函数y2＝2x的图象如图1－22－21－9，那么不等式－x2＋4x＞2x的解集是( C )图1－22－21－9A. x＜0B. 0＜x＜4C. 0＜x＜2D. 2＜x＜4,7. 如图1－22－21－10，已知二次函数y1＝23x2－43x的图象与正比例函数y2＝23x的图象交于点A(3,2)，与x轴交于点B(2,0).若y1＜y2，则x的取值范围是( D )图1－22－21－10A. 0＜x＜2B. x＜0或x＞3C. 2＜x＜3D. 0＜x＜3C组8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c部分图象如图1－22－21－11，则下列结论正确的是( C )图1－22－21－11A. a＞0B. 当x＞2时，y随x的增大而增大C. 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－1＜x＜5D. a－b＋c＞0,9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－22－21－12，A(－1,3)是抛物线的顶点，则以下结论正确的是( D )图1－22－21－12A. a＜0，b＞0，c＞0B. 2a＋b＝0C. 当x＜0时，y随x的增大而减小D. ax2＋bx＋c－3≤0第10课时 用待定系数法求二次函数的解析式(1)——一般式知识点1：已知对称轴是y 轴，求二次函数的解析式【例1】已知二次函数y ＝ax 2经过点(1，－4)，求这个函数的解析式. 解：由已知，得－4＝a·12. ∴a ＝－4.∴函数的解析式为y ＝－4x 2.,1. 已知抛物线的对称轴是y 轴，点(1，－3)和点(4,0)在抛物线上，求抛物线的解析式. 解：∵抛物线的对称轴为y 轴，可设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋c ，代入(1，－3)，(4,0)可得⎩⎨⎧+=+=-.160,3c a c a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.516,51c a∴抛物线的解析式为y ＝15x 2－165.知识点2：已知a ，b ，c 中任一常数，求二次函数的解析式【例2】已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(0,2)和(1，－1)，求抛物线的解析式. 解：抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋2.,2. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点(2,0)，(－1，6)，求二次函数的解析式. 解：二次函数的解析式为y ＝2x 2－4x.知识点3：已知三点，求二次函数的解析式【例3】 已知一个二次函数的图象经过点A(1,0)，B(0，6)，C(4,6)，求这个二次函数的表达式.解：二次函数的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6. ,3. 在平面直角坐标系中，已知一个二次函数的图象经过(1,1)，(0，－4)，(2,4)三点，求抛物线的解析式.解：抛物线的解析式为y ＝－x 2＋6x －4.A 组4. 已知二次函数y ＝ax 2的图象经过A (2，－4)，求这个二次函数的解析式. 解：二次函数的解析式为y ＝－x 2.,5. 已知抛物线y ＝ax 2经过点(1,5)，当y ＝15时，求x 的值. 解：∵抛物线过点(1,5)，代入y ＝ax 2，得a ＝5. ∴y ＝5x 2.∴当y ＝15时，x ＝±3.B 组6. 已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，32，求该抛物线的函数表达式. 解：抛物线的解析式为y ＝－12x 2－x ＋32.,7. 二次函数y ＝2(1)求这个二次函数的解析式； (2)求m 的值.解：(1)y ＝x 2－2x －3.(2)把x ＝1代入y ＝x 2－2x －3， 可得y ＝1－2－3＝－4.所以m ＝－4.C 组8. 2(1)求该二次函数的解析式；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴. 解：(1)二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x －1.(2)顶点坐标为(－2,3)，对称轴为直线x ＝－2. ,9. 如图1－22－22－1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)，B (3,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)点P 为抛物线上一点，若S △P AB ＝10，求出此时点P 的坐标.图1－22－22－1解：(1)y ＝x 2－2x －3. 配方，得y ＝(x －1)2－4， ∴顶点坐标为(1，－4).(2)∵A(－1,0)，B(3,0)，∴AB ＝4. 设P(x ，y)，则S △PAB ＝12AB·||y ＝2||y ＝10. ∴||y ＝5. ∴y ＝±5.①当y ＝5时，x 2－2x －3＝5，解得x 1＝－2，x 2＝4，此时点P 的坐标为(－2,5)或(4,5)；②当y ＝－5时，x 2－2x －3＝－5，方程无解. 综上所述，点P 的坐标为(－2,5)或(4,5).第11课时 用待定系数法求二次函数的解析式(2)——顶点式与交点式知识点1：已知顶点和另外一点，求二次函数的解析式【例1】 抛物线的顶点坐标为(3,3)，且点(2，－2)在抛物线上，求抛物线的解析式. 解：根据已知，可设抛物线的解析式为y ＝a(x －3)2＋3. 将点(2，－2)代入，得 －2＝a(2－3)2＋3. ∴a ＝－5.∴抛物线的解析式为y ＝－5(x －3)2＋3. ,1. 已知二次函数的图象经过原点且顶点坐标为(2，－4)，求该函数的解析式. 解：该函数的解析式为y ＝(x －2)2－4.知识点2：已知顶点和其他条件，求二次函数的解析式【例2】某二次函数图象的对称轴为直线x ＝3，最小值为－2，且过(0,1)，求此函数的解析式.解：设函数的解析式为y ＝a(x －h)2＋k. ∵对称轴为直线x ＝3， ∴h ＝3.∵最小值为－2， ∴k ＝－2.代入(0,1)，解得a ＝13.∴函数的解析式为y ＝13(x －3)2－2.,2. 已知抛物线经过点(1,9)，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大；当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，且函数的最小值为1. 求抛物线的解析式.解：抛物线的解析式为y ＝2(x －3)2＋1.知识点3：已知与x 轴的交点，求二次函数的解析式【例3】 已知抛物线经过点A(－4,0)，B(－2,6)，C(1,0)，求这条抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋4)(x －1). 代入B(－2,6)，解得a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4.,3. 已知二次函数的图象如图1－22－23－1，求这个二次函数的解析式.图1－22－23－1 解：二次函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.A 组4. 若二次函数图象的顶点坐标是(2，－1)，且图象过点(0,3)，求该二次函数的解析式. 解：设二次函数的解析式为y ＝a (x －2)2－1. 把点(0,3)代入解析式得到a ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝(x －2)2－1，即y ＝x 2－4x ＋3.,5. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图1－22－23－2，求这个二次函数的表达式.图1－22－23－2解：由图可知，函数图象的顶点为(1，－1)，且过点(2,0). 设函数的表达式为y ＝a(x －1)2－1，代入(2,0)，得a ＝1. ∴二次函数的表达式为y ＝(x －1)2－1＝x 2－2x.B 组6. 已知二次函数的图象过点P(2,0)，对称轴是直线x ＝4，顶点在直线y ＝x －1上. (1)求顶点坐标；(2)求二次函数的解析式.解：(1)∵对称轴为直线x ＝4，顶点在直线y ＝x －1上， ∴y ＝3.∴顶点坐标为(4,3).(2)设二次函数的解析式为y ＝a(x －4)2＋3. 把点P(2,0)代入，得a(2－4)2＋3＝0，解得a ＝－34.∴二次函数的解析式为y ＝－34(x －4)2＋3. ,7.解：二次函数的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.C 组8. 已知：如图1－22－23－3，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (1,0)，B (5,0)，C (0,5)三点. (1)求抛物线的函数关系式；(2)若过点C 的直线与抛物线相交于点E (4，m )，请连接CB ，BE 并求出△CBE 的面积S 的值.图1－22－23－3解：(1)∵A(1,0)，B(5,0)，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x －1)(x －5). 把C(0,5)代入，得5＝a(0－1)(0－5).解得a ＝1.∴y ＝(x －1)(x －5)＝x 2－6x ＋5， 即抛物线的函数关系式是y ＝x 2－6x ＋5. (2)设直线的解析式为y ＝kx ＋b.把x ＝4代入y ＝x 2－6x ＋5，得y ＝－3. ∴E(4，－3).把C(0,5)，E(4，－3)代入 y ＝kx ＋b ，得y ＝－2x ＋5.设直线y ＝－2x ＋5交x 轴于点D ， 当y ＝0时，0＝－2x ＋5，∴x ＝52.∴OD ＝52， BD ＝5－52＝52.∴S △CBE ＝S △CBD ＋S △EBD ＝12×52×5＋12×52×||－3＝10. ,9. 如图1－22－23－4，已知抛物线的顶点为A(1,4)，抛物线与y 轴交于点B(0,3)，与x 轴交于C ，D 两点. 点P 是抛物线对称轴上的一个动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当PB ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标.图1－22－23－4解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2＋4，代入(0,3)，得 3＝a(0－1)2＋4，∴a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于直线x ＝1的对称点B′(2,3)，连接B′C ，此时与直线x ＝1的交点P 使得PB ＋PC 的值最小.令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. ∴C(－1,0).设直线B′C 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入C(－1,0)，B′(2,3)，解得k ＝1，b ＝1. ∴直线B′C 的解析式为y ＝x ＋1. 当x ＝1时，y ＝2. ∴点P 坐标为(1,2).第12课时实际问题与二次函数(1)——图形面积知识点1：围栏问题【例1】用长为32 m的篱笆围成一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x m，面积为y m2.(1)求y关于x的函数关系式；(2)能否围成面积最大的养鸡场？如果能，请求出其边长及最大面积；如果不能，请说明理由.解：(1)y＝－x2＋16x(0＜x＜16).(2)能围成面积最大的养鸡场.∵y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，∴当x＝8时，y取得最大值，此时y＝64，即当x＝8时，围成的养鸡场的面积最大，最大面积是64 m2. ,1. 为了美化生活环境，小明的爸爸要在院墙外的一块空地上修建一个矩形花圃. 如图1－22－24－1，矩形花圃的一边利用长10 m的院墙，另外三条边用篱笆围成，篱笆的总长为32 m. 设AB的长为x m，矩形花圃的面积为y m2.(1)用含有x的代数式表示BC的长，BC＝32－2x；(2)求y与x的函数关系式，写出自变量的取值范围；(3)当x为何值时，y有最大值？图1－22－24－1解：(2)y与x的函数关系式是y＝－2x2＋32x(11≤x＜16).(3)∵y＝－2x2＋32x＝－2(x－8)2＋128,11≤x＜16，∴当x＝11时，y取得最大值，此时y＝110.知识点2：动点面积问题【例2】如图1－22－24－2，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度，沿BA向点A移动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度，沿CB向点B移动，连接QP，QD，PD. 若两个点同时运动的时间为x s(0＜x≤2)，解答下列问题：(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；(2)当x为何值时，S有最小值？并求出最小值.图1－22－24－2。
新人教版九年级上册：第22章-二次函数复习 导学案
新人教版九年级数学上册：二次函数复习导学案学习目标（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
重点：基础知识的构建难点：基础知识的灵活应用.时间分配基练操作分钟、质疑分钟、合作分、新知梳理提升分、当堂检测分、课堂小结分、学案（学习过程）学习一、课前自我构建：完成以下复习内容：1、二次函数的定义：_____________________________________2、二次函数的图象与性质：二次函数的图象是一条__________。
以下从它们的顶点，对称轴、开口方向，增减性及最值方面记住各自的性质：1.二次函数y=ax2的性质：顶点坐标为__________2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质：顶点坐标为__________3.二次函数y=ax2+bx+c的性质：顶点坐标为__________3.对于二次函数y=ax2+bx+c的符号问题：a的符号看_____________；c的符号看________________；b的符号看________________，b2-4ac的符号看_________________________；a+b+c看_____________________；a-b+c看_____________________________。
4、抛物线的平移规律是________________________。
5、抛物线的解析式的确定：(1)当已知抛物线上三个点的坐标时，三对对应值时，可以设二次函数的________式，列__________________可求解；(2)当已知抛物线的顶点坐标与另一点时，可以设二次函数的___________式求解。
九年级数学上册第二十二章二次函数章末复习导学案新版新人教版
第二十二章二次函数章末复习一、复习导入1.导入课题:这节课我们对本章所学知识作一回顾和小结.（板书课题）2.复习目标:（1）进一步加深对二次函数的概念、图象以及它的性质的理解. （2）能感受函数思想、建模思想和转化思想.3.复习重、难点:重点:二次函数的图象和性质.难点:应用二次函数解决实际问题.二、分层复习1.复习指导:（1）复习内容:教材第27页到第56页的内容.（2）复习时间:8分钟.（3）复习方法:翻阅课本、整理知识要点.（4）复习参考提纲:①整理知识要点:a.形如y=a x2+b x+c（a≠0）的函数,叫二次函数,其图象是一条抛物线.b.抛物线y=a x2+b x+c的对称轴是直线bxa=-2,顶点坐标是，b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭2424.若a>0,则当bxa=-2时,函数y有最小值ac ba-244,当bxa>-2时,y随x的增大而增大,当bxa<-2时,y随x的增大而减小,若a<0,则函数y的最值和增减性又如何呢？若a<0,则当x=ba-2时,函数y有最大值ac ba-244.当bxa>-2时,y随x的增大而减小,当bxa<-2时,y随x的增大而增大.c.抛物线的平移:把抛物线y=a x2沿x轴向左平移h个单位所得的抛物线是y=a(x+h)2,再把它沿y轴向上平移k个单位,所得的抛物线是y=a(x+h)2+k,若改变平移方向或距离呢？d.抛物线y=a x2+b x+c与x轴的位置关系有 3 种,是由b2-4ac的符号决定的,具体情况是:当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个不同的交点；当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有1个交点,当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.e.用待定系数法求二次函数解析式.设二次函数的解析式；根据已知条件,得到关于系数的方程组；解方程组,求出系数的值,从而得出函数解析式.f.自变量取值范围有条件限制时,如何求二次函数的最值？确定二次函数在取值范围内的增减性,比较函数在最高（低）点和端点的取值.②试画本章知识结构框图:2.自主复习:学生结合复习指导进行复习.3.互助复习: （1）师助生:①明了学情:观察学生复习提纲完成情况. ②差异指导:根据学情进行个别或分类指导. （2）生助生:小组交流、研讨. 4．强化:二次函数的图象及性质.1.复习指导:（1）复习内容:典型剖析、考点跟踪. （2）复习时间:10分钟. （3）复习方法:小组合作、研讨. （4）复习参考提纲:①二次函数y=-x 2-2x +8的图象开口向 下 ,对称轴是 直线x =-1 ,顶点坐标为(-1,9),与x 轴的交点坐标是（-4,0）,（2,0）,与y 轴的交点坐标是（0,8）.②二次函数y= 2x 2-4x +5化成y=a(x -h)2+k 的形式为（）y x =-+2213,最小值是3． ③如图,二次函数的图象经过（-2,-1）,（1,1）两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是（D ）A.y 的最大值小于0B.当x =0时,y 的值大于1C.当x =-1时,y 的值大于1D.当x =-3时,y 的值小于0第③题图 第④题图④二次函数y=a x 2+b x +c （a≠0）的图象如图所示,若|a x 2+b x +c|=k （k≠0）有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是（D ）A ．k ＜-3B ．k ＞-3C ．k ＜3D ．k ＞3⑤已知抛物线y=a x 2+b x +c 的顶点为(-1,4),与x 轴相交的两点间的距离为6,求此抛物线的解析式.设抛物线解析式为()y a x =++214, ∵抛物线与x 轴相交的两点间的距离为6, ∴与x 轴正半轴交点坐标为（2,0）. ∴()a =++20214,解得a =-49. ∴此抛物线的解析式为()y x x x =-++=--+2244832149999. ⑥某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲．如果旅客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 设每个房间每天的定价增加x 元．求:Ⅰ.房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式； Ⅱ.该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式； Ⅲ.每个房间每天的定价增加多少元时,宾馆的利润最大？ 解:Ⅰ. xy =-6010Ⅱ. ()（）xz x x =+-≤<20060060010Ⅲ.宾馆的利润()x x w x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2006020601010 x x =-++2421080010()x =--+212101521010. 当x =210时,w 有最大值.即当每个房间每天的定价增加210元时,宾馆的利润最大. 2.自主复习:学生结合复习指导自主复习. 3.互助复习: （1）师助生:①明了学情:关注学生提纲的完成情况.②差异指导:根据学情进行指导. （2）生助生:小组内相互交流、研讨. 4．强化:利用二次函数模型求最值. 三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）:在这节课的学习中,对全章知识你有何新的收获？在哪些方面还存在问题？2.教师对学生的评价:（1）表现性评价:点评学生学习的积极性、主动性,小组交流协作状况、学习方法、效果等.（2）纸笔评价:评价检测题.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时是对本章知识点的全面总结,教学时,教师注重引导学生回忆知识点并构建知识结构框图,同时辅以典型例题,复习和巩固所学知识点,最后教师详细讲解解题思路和分析过程.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)已知二次函数y=-x 2+4x +5,则当x = 2 时,其最大值为 9 . 2.(10分)已知二次函数y=a x 2+b x +c （a≠0）的顶点坐标（-1,-3.2）及部分图象（如图）,由图象可知关于x 的方程a x 2+b x +c=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2= -3.3 .3.(10分)设A （-2,y 1）,B （1,y 2）,C （2,(x +1)2）是抛物线y=-(x +1)2+a 上的三点,则y 1,y 2,(x +1)2的大小关系为（A ）A ．y 1＞y 2＞(x +1)2B ．y 1＞(x +1)2＞y 2C ．(x +1)2＞y 2＞y 1D ．(x +1)2＞y 1＞y 2 4.(40分)已知抛物线y x x =--215322. （1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标； （3）画出函数图象（草图）；（4）根据图象说出:x 为何值时,y 随x 的增大而增大？x 为何值时,y 随x 的增大而减小？解:（1）开口向上,对称轴为直线x =3,顶点坐标为（3,-7）.（2）与x 轴的交点为（，）+3140,（，）-3140. 与y 轴的交点为，⎛⎫- ⎪⎝⎭502. （3）如图.（4）当x >3时,y 随x 的增大而增大. 当x <3时,y 随x 的增大而减小. 二、综合应用（10分）5.（10分）如图,已知抛物线y=a x 2+b x +c 过点C(3,8),与x 轴交于A(-1,0),B 两点,与y 轴交于点D(0,5)．（1）求该二次函数的关系式；（2）求该抛物线的顶点M 的坐标,并求四边形ABMD 的面积． 解:（1）∵抛物线过点（3,8）,（-1,0）,（0,5）,则，，a b c a b c c =++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩89305 .解得，，a b c .=-⎧⎪=⎨⎪=⎩145 ∴该二次函数关系式为y=-x 2+4x +5（2）顶点M 的坐标为（2,9）,对称轴为直线x =2,则B 点坐标为(5,0), 过M 作MN ⊥AB 于N,则四边形梯形AODMNBABMD DONM S SS S=++()=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=111155929322230. 三、拓展延伸（20分）6.（20分）某商场将进货价为30元的书包以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:这种书包的售价每上涨1元,其销售量就减少10个.（1）请写出每月售出书包的利润y （元）与每个书包涨价x （元）间的函数关系式； （2）设某月的利润为10000元,10000元的利润是否为该月最大利润？如果是,请说明理由；如果不是,请求出最大利润,并指出此时书包的售价应定为多少元？（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润？ 解:（1）设每个书包涨价x 元,销量为（600-10x ）个.∴y=(40+x)(600-10x)-30（600-10x）=-10x2+500x+6000(0≤x≤60).（2）10000元不是最大利润,y=-10x2+500x+6000=-10(x-25)2+12250.当x=25时有最大利润,即售价为65元时,有最大利润12250元.（3）商家可获得利润,即y＝-10x2+500x+6000＞0,解得-10<x<60,∴30＜40+x＜100 .即当售价在30~100元之间内商家就可获得利润.。
初中数学九年级上册《第22章二次函数》复习名师导学案
《第22章 二次函数》复习学案 NO ：24班级_______姓名_________小组_______评价_______一、复习目标1、理解二次函数的概念、三种形式的解析式，掌握二次函数的图象与性质；2、历经二次函数的图象与性质的探索过程，领会数形结合的思想并能运用解决实际问题；3、极度热情投入，高效参与学习。
二、自主复习（知识点清理）1、形如_________________(_______)的函数叫做二次函数；其中a 、b 、c 分别叫做__________，____________，_________。
2、二次函数解析式的三种形式：（1）一般式y=ax 2+bx+c(a≠0)，（2）顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，(3) 两根式y=a(x-x 1)(x-x 2) (a≠0)。
3、二次函数的图象与性质：二次函数的图象都是一条曲线，叫做_________。
（1）y=ax 2(a≠0)：①顶点坐标是________，②对称轴是________，③当a ＞0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大，④当a ＜0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大。
（2）y=ax 2+k (a≠0)：①顶点坐标是________，②对称轴是________，③当a ＞0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大，④当a ＜0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大。
（3）y=a(x-h)2+k(a≠0)：①顶点坐标是________，②对称轴是________，③当a ＞0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大，④当a ＜0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大。
人教版九年级数学上册第22章：二次函数 全章导学案设计
导学案26.1.1二次函数（第一课时）一．预习检测案一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．二．合作探究案：问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。
问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?提示：多边形有n条边，则有几个顶点？从一个顶点出发，可以连几条对角线？问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。
问题5：什么是二次函数？形如。
问题6：函数y＝ax²＋bx＋c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？例1: 关于x的函数mmxmy-+=2)1(是二次函数, 求m的值.注意:二次函数的二次项系数必须是的数。
三．达标测评案：1．下列函数中,哪些是二次函数?(1)y＝3x－1; (2)y＝3x2＋2; (3)y＝3x3＋2x2; (4)y＝2x2－2x＋1; (5)y＝x2－x(1＋x); (6)y ＝x－2＋x.2.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( )A.a＝1B.a＝±1C.a≠1D.a≠－13.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经过的路程为A.28米B.48米C.68米D.88米4.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.5．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
第22章 二次函数全章导学案
课题22.1 二次函数（1）导学目标知识点：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。
课时：1课时导学方法：实验、整理、分析、归纳法导学过程：一、课前导学1、填表一次函数正比例函数反比例函数表达式图形形状2、探究（1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为是什么？①（2）．多边形的对角线数 d 与边数n 有什么关系？②n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作条对角线。
因此，n边形的对角线总数d = 。
（3）．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 件，再经过一年后的产量是 件，即两年后的产量为 。
③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？一般地，形如 的函数，叫做二次函数其中，是自变量，a 为 ， b 为 ，c 为 ， 做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)(2)(3)(4))1(x x y -=(5))1)(1()1(2-+--=x x x y (6) 23712y x x =+-－2、函数2y ax bx c =++，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？三、展示点评 四、课堂检测学习知识最好的途径就是自我发现1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x.2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数(1)、长方形的长是宽的2倍，写出长方形的周长C 与宽a 之间的函数关系 ， 是 的 函数。
九年级数学上册第22章《二次函数》单元复习导学案
第22章二次函数一、知识梳理1. 二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。
2. (1) 二次函数基本形式：的性质：(2)的性质：(3)的性质：(4) 的性质：3.二次函数图象的平移(1) 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；的符号的符号的符号的符号(2)保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：(3)平移规律:在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．4.二次函数的性质(1) 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．(2) 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．5.二次函数解析式的表示方法(1)一般式：(，，为常数，)；(2)顶点式：(，，为常数，)；(3)两根式：(，，是抛物线与轴两交点的横坐标).6.二次函数与一元二次方程：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点.二、题型、技巧归纳类型一：二次函数的平移【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3归纳：二次函数平移的两种方法1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h左加右减,k上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.类型二：二次函数的图象及性质【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;②b2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.其中正确结论的个数是()A.5个B.4个C.3个D.2个归纳：类型三：二次函数与方程、不等式【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是.(填入正确结论的序号)归纳：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0.2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0.类型四：二次函数的应用【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?直接写出结果.归纳：解决二次函数应用题的两步骤1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.2.应用:利用二次函数的性质解决问题.三、随堂检测1.下列二次函数的图象,不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是()A.y=3x2+2B.y=3(x-1)2C.y=3(x-1)2+2D.y=2x22.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为()A.b=2,c=-6B.b=2,c=0C.b=-6,c=8D.b=-6,c=23.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是( )A.a>0B.c>0C.b 2-4ac>0D.a+b+c>04.已知两点A(-5,y 1),B(3,y 2)均在抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)上,点C(x 0,y 0)是该抛物线的顶点,若y 1>y 2≥y 0,则x 0的取值范围是( )A.x 0>-5B.x 0>-1C.-5<x 0<-1D.-2<x 0<3 5.二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0; ②b>a>c;③若-1<m<n<1,则m+n<b a－; ④3|a|+|c|<2|b|.其中正确的结论是________ (写出你认为正确的所有结论序号).6.(仙桃中考)2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系22810y x x 999=-++，则羽毛球飞出的水平距离为 m.7.(鞍山中考)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.(1)试求y 与x 之间的函数关系式.(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?参考答案1.【解析】选D.函数y=3x 2的图象平移后,二次项系数仍然是3,不可能变为2,所以D 选项中二次函数的图象不能通过函数y=3x 2的图象平移得到.2. 【解析】选B.平移后的顶点为(1,-4),根据平移前后是相反的过程可知(1,-4)向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到y=x 2+bx+c 的顶点为(-1,-1),所以原抛物线的解析式y=(x+1)2-1,化成一般形式为y=x 2+2x,故b=2,c=0.3. 【解析】选D.4. 【解析】选B.∵y 1>y 2≥y 0,∴抛物线开口向上,且对称轴不可能 在A 点的左侧;若对称轴在B 点或其右侧,此时满足题意,则有 x 0≥3;若对称轴在A,B 两点之间,当y 1=y 2时,有x 0=-1,当y 1>y 2时, 应有x 0>532-+,即3>x 0>-1,综上可得x 0的取值范围是x 0>-1. 5. 【解析】对称轴x= b 2a－＞1，所以b>－2a ，即2a+b>0，故①正 确；抛物线开口向下，a ＜0，与y 轴交于负半轴，c ＜0，对称 轴x=b 2a－＞0，∴b ＞0.根据图象无法确定a 与c 的大小，故②不 正确；因为－1＜m ＜n ＜1，∴m n 2+ ＜1，而对称轴x= b 2a －＞1，所以m n 2+ ＜b 2a －，即m+n ＜ b a－，故③正确；因为x=1时，a+b+c ＞0，而2a+b>0，∴2a+b+a+b+c>0，所以3|a|－2|b| +|c|=－3a －2b －c=-(3a+2b+c)<0，即3|a|+|c|＜2|b|，故 ④正确. 答案：①③④6. 【解析】令y=0，得：22810x x 0999++=－， 解得：x 1=5，x 2=-1(不合题意，舍去)，所以羽毛球飞出的水平距离为5 m.答案：57. 【解析】(1)由题意,可设y=kx+b(k≠0),把(5,30000),(6,20000)代入得30 0005k b,k 10 000,20 0006k b b 80 000,=+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得，所以y 与x 之间的关系式为:y =-10000x+80000. (2)设每月的利润为W,则W=(x -4)(-10000x+80000) =-10000(x -4)(x -8)=-10000(x 2-12x+32) =-10000=-10000(x -6)2+40000.所以当x=6时,W 取得最大值,最大值为40000元.答:当销售价格定为每件6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元.。
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》全章导学案
第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．难点：理解二次函数的有关概念．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．A．y＝(x－3)2－1B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)D．y＝(x－1)2－x22．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是( A )A．二次函数B．一次函数C．正比例函数D．反比例函数3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．重点：描点法作出函数的图象．难点：根据图象认识和理解其性质．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝12x2和y＝2x2的图象；点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：______．(5)在同一坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象，找出图象的异同． 点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．教材P 41习题22.1第3，4题．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 填空：(1)函数y ＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．(2)函数y ＝x 2，y ＝12x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式． 解：(1)抛物线，(0，0)，y 轴，向上；(2)根据抛物线y ＝ax 2中，a 的值来判断，在x 轴上方开口小的抛物线为y ＝x 2，开口大的为y ＝12x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2. 点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y ＝ax 2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．探究2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2.∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数． (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m>－2，∴只能取m ＝2. ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y 随x 的增大而增大．(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m ＋2<0，即m<－2，∴只能取m ＝－3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴m ＝－3时，函数有最大值为0.∴x>0时，y 随x 的增大而减小．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？2．已知函数y＝ax2经过点(－1，3)．(1)求a的值；(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况．3．二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．重点：会作函数的图象．难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是( C)A．(4，4) B．(1，－4)C．(2，2) D．(0，4)2．抛物线y ＝x 2－16与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为__64__． 点拨精讲：与x 轴的交点的横坐标即当y 等于0时x 的值，即可求出两个交点的坐标．3．画出二次函数y ＝x 2－1，y ＝x 2，y ＝x 2＋1的图象，观察图象有哪些异同？点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)探究1 抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2±c 有什么关系？解：(1)抛物线y ＝ax 2±c 的形状与y ＝ax 2的形状完全相同，只是位置不同；(2)抛物线y ＝ax 2向上平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2＋c ；抛物线y ＝ax 2向下平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2－c.探究2 已知抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－2x 2＋4，试求a ，c 的值．解：根据题意，得⎩⎨⎧a ＝－2，c －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝6. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)1．函数y ＝ax 2－a 与y ＝ax －a(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )A ．y ＝x 2－4B ．y ＝－34x 2＋3 C ．y ＝32(2－x)2 D ．y ＝32(x 2－2) 3．二次函数y ＝－x 2＋4图象的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y 随x 的增大而增大．4．抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－3x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y ＝－3x 2＋5，它是由抛物线y ＝－3x 2向__上__平移__5__个单位得到的．5．将抛物线y ＝－3x 2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y ＝3x 2＋4．6．已知函数y ＝ax 2＋c 的图象与函数y ＝5x 2＋1的图象关于x 轴对称，则a ＝__－5__，c＝__－1__．点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空．画函数y＝－12x2、y＝－12(x＋1)2和y＝－12(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y＝－12x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．教材P35练习题；2．抛物线y＝－12(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y＝－12x 2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)探究1在直角坐标系中画出函数y ＝12(x ＋3)2的图象． (1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？(3)怎样平移函数y ＝12x 2的图象得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象？ 解：(1)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y 随x 的增大而减小；当x>－3时，y 随x 的的增大而增大；当x ＝－3时，y 有最小值；(3)将函数y ＝12x 2的图象沿x 轴向左平移3个单位得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象． 点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点． 探究2 已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝－2x 2平移后的顶点与点A 重合．(1)求平移后的抛物线l 的解析式；(2)若点B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)在抛物线l 上，且－12<x 1<x 2，试比较y 1，y 2的大小．解：(1)∵y ＝x ＋1，∴令y ＝0，则x ＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l 的顶点坐标为(－1，0)，又抛物线l 是由抛物线y ＝－2x 2平移得到的，∴抛物线l 的解析式为y ＝－2(x ＋1)2.(2)由(1)可知，抛物线l 的对称轴为x ＝－1，∵a ＝－2<0，∴当x>－1时，y 随x 的增大而减小，又－12<x 1<x 2，∴y 1>y 2. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．不画图象，回答下列问题：(1)函数y ＝3(x －1)2的图象可以看成是由函数y ＝3x 2的图象作怎样的平移得到的？(2)说出函数y ＝3(x －1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．(3)函数有哪些性质？(4)若将函数y ＝3(x －1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？点拨精讲：性质从增减性、最值来说．2．与抛物线y ＝－2(x ＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y ＝2(x ＋5)2．3．对于函数y ＝－3(x ＋1)2，当x>－1时，函数y 随x 的增大而减小，当x ＝－1时，函数取得最大值，最大值y ＝0．4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位长度得到y ＝x 2－2x ＋1的图象，则b ＝－6，c ＝9．点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质(3)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象．2．能正确说出y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象．难点：能正确说出y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 35～36“例3、例4”，掌握y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2之间的关系，理解并掌握y ＝a(x －h)2＋k 的相关性质，完成填空．总结归纳：一般地，抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2的形状相同，位置不同，把抛物线y ＝ax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k ，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h 个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x ＝h ；顶点坐标是(h ，k)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟1．教材P 37练习题2．函数y ＝2(x ＋3)2－5的图象是由函数y ＝2x 2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的；3．抛物线y ＝－2(x －3)2－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直线x ＝3，当x>3时，函数值y 随自变量x 的值的增大而减小．一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1，便于解答．探究2 已知y ＝a(x －h)2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a ，h ，k 的值；(2)在同一坐标系中，画出y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝－12x 2的图象；(3)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？解：(1)∵抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y ＝－12(x －1)2＋2，∴a ＝－12，h ＝1，k ＝2； (2)函数y ＝－12(x －1)2＋2与y ＝－12x 2的图象如图； (3)观察y ＝－12(x －1)2＋2的图象可知，当x<1时，y 随x 的增大而增大；x>1时，y 随x 的增大而减小；(4)由y ＝－12(x －1)2＋2的图象可知，对于一切x 的值，y ≤2. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．将抛物线y ＝－2x 2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y ＝－2(x －3)2＋2．点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．2．若直线y ＝2x ＋m 经过第一、三、四象限，则抛物线y ＝(x －m)2＋1的顶点必在第二象限．点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．3．把y ＝2x 2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y ＝2(x －1)2－3．4．已知A(1，y 1)，B(－2，y 2)，C(－2，y 3)在函数y ＝a(x ＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 2<y 3<y 1．点拨精讲：本节所学的知识是：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象画法及其性质的总结；平移的规律．所用的思想方法：从特殊到一般．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质(1)1．会画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．重点：会画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空． 总结归纳：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的顶点坐标是(h ，k)，对称轴是x ＝h ，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h 时，y 随x 的增大而增大，当x<h 时，y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x<h 时，y 随x 的增大而增大，当x>h 时，y 随x 的增大而减小；用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ；则二次函数的图象的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴是x ＝－b 2a ；当x ＝－b 2a时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大(最小)值，当a<0时，函数y 有最大值，当a>0时，函数y 有最小值．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．求二次函数y ＝x 2＋2x －1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 将下列二次函数写成顶点式y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．(1)y ＝14x 2－3x ＋21；(2)y ＝－3x 2－18x －22. 解：(1)y ＝14x 2－3x ＋21 ＝14(x 2－12x)＋21 ＝14(x 2－12x ＋36－36)＋21 ＝14(x －6)2＋12 ∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x ＝6.(2)y ＝－3x 2－18x －22＝－3(x 2＋6x)－22＝－3(x 2＋6x ＋9－9)－22＝－3(x ＋3)2＋5∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x ＝－3.点拨精讲：第(2)小题注意h 值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．探究2 用总长为60 m 的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，l 是多少时，场地的面积S 最大？(1)S与l有何函数关系？(2)举一例说明S随l的变化而变化？(3)怎样求S的最大值呢？解：S＝l(30－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225画出此函数的图象，如图．∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．y＝－2x2＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝2时，函数y有最大值，其值为y＝1．2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－b2a，0)；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标是2a，0)；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则y＝ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)．点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种．注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，x1，x2为两交点的横坐标．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2)能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空．总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y ＝a(x －h)2＋k ，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)，可设函数的关系式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．二次函数y ＝4x 2－mx ＋2，当x<－2时，y 随x 的增大而减小；当x>－2时，y 随x 的增大而增大，则当x ＝1时，y 的值为22．点拨精讲：可根据顶点公式用含m 的代数式表示对称轴，从而求出m 的值．2．抛物线y ＝－x 2＋6x ＋2的顶点坐标是(3，11)．3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D )A ．a<0B ．b>0C ．c>0D ．ac>0第3题图 第4题图 第5题图4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴是直线x ＝1，且经过点P(3，0)，则a －b ＋c 的值为( A )A ．0B ．－1C ．1D ．2点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x 轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a －b ＋c 的值．5．如图是二次函数y ＝ax 2＋3x ＋a 2－1的图象，a 的值是－1．点拨精讲：可根据图象经过原点求出a 的值，再考虑开口方向．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．解：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴函数的解析式为y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1.探究2 已知一抛物线与x 轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．解：设解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)，则有a(2－3)(2＋1)＝9，∴a ＝－3，∴此函数的解析式为y ＝－3x 2＋6x ＋9，其顶点坐标为(1，12)．点拨精讲：因为已知点为抛物线与x 轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x 轴交点的坐标．2．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，且关于直线x ＝12对称，那么它的图象还必定经过原点．3．如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；2.顶点式y ＝a(x －h)2＋k ；3.交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．2 二次函数与一元二次方程(1)1．理解二次函数与一元二次方程的关系．2．会判断抛物线与x 轴的交点个数．3．掌握方程与函数间的转化．重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x 轴的交点个数．难点：掌握方程与函数间的转化．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x 轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．总结归纳：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x ＝x 0时，函数的值是0，因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：当b 2－4ac>0时，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2－4ac<0时，抛物线与x 轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．观察图中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程x 2＋x －2＝0的根是：x 1＝－2，x 2＝1；方程x 2－6x ＋9＝0的根是：x 1＝x 2＝3；方程x 2－x ＋1＝0的根是：无实根．2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y ＝－x 2＋2x ＋3中，y 为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x 值是方程－x 2＋2x ＋3＝m(m ＝4，3，0)的根．错误! 错误!,第3题图) 3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c －3＝0的根是x 1＝x 2＝1．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)探究 已知二次函数y ＝2x 2－(4k ＋1)x ＋2k 2－1的图象与x 轴交于两点．求k 的取值范围．解：根据题意知b 2－4ac>0，即[－(4k ＋1)]2－4×2×(2k 2－1)>0，解得k>－98. 点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟)1．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x ＝1．。
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 全章复习 教案
第22章二次函数全章复习教案【学习目标】 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④， 其中；⑤.（以上式子a≠0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)当时开口向上当时开口向下()2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.)20()y ax bx c a =++≠,,a b c (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： （a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题2yax bx c =++利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式例题1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即，也就是，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则，解得．∴ 抛物线的解析式为，即． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)． 把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得，∴ 抛物线的解析式为， 即．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，2(3)2y a x =--2692y ax ax a =-+-2692y ax ax a =-+-12||6x x -==29a =22(3)29y x =--22493y x x =-2(3)2y a x =--29a =22(3)29y x =--22493y x x =-把(3，-2)代入得，解得．∴ 抛物线的解析式为，即．举一反三【变式】已知抛物线（m 是常数）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得，∴，∴抛物线的顶点坐标为．（2）∵抛物线与轴交于整数点，∴的根是整数．∴．∵，∴是完全平方数．∵， ∴，∴取1，4，9，．当时，；当时，；当时，． ∴的值为2或或．∴抛物线的解析式为或或．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号例题2. 如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（ ）3(36)2a ⨯⨯-=-29a =2(6)9y x x =-22493y x x =-2442y mx mx m =-+-155m <<x 0≠m 2242=--=-=mm a b x m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m )2,2(-x 02442=-+-m mx mx 2x ==±0m >2x =2m155m <<22105m <<2m2x ==±21m =2=m 24m =21=m 29m =29m =m 21296822+-=x x y x x y 2212-=22810999y x x =--A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y 轴的交点可分别判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y ＜0，可判断②；由OA=OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac 2﹣bc +c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C ；【解析】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y ＞0，∴9a +3b +c ＞，故②错误；由图象可知OA ＜1，∵OA=OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac ﹣b +1=0，两边同时乘c 可得ac 2﹣bc +c=0，即方程有一个根为x=﹣c ，由②可知﹣c=OA ，而当x=OA 是方程的根，∴x=﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C ．类型三、数形结合例题3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数的图象上，且MO ＝MA ，二次函数的图象经过点A 、M．334y x =+32y x =2y x bx c =++(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．【答案与解析】(1)一次函数，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)，又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M的纵坐标为，又M 在上，当时，x ＝1，∴ 点M 的坐标为．如图所示，．(2)将点A(0，3)，代入中，得 ∴即这个二次函数的解析式为：．(3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，，．334y x =+334y x =+3232y x =32y =31,2⎛⎫⎪⎝⎭AM ==31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2y x bx c =++3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+25(,3)2C n n n -+3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则|AB|＝3-m ，，．因为四边形ABCD 是菱形，所以．所以 解得（舍去）将n ＝2代入，得，所以点C 的坐标为（2，2）．类型四、函数与方程例题4.某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≧60）元，销售量为y 套．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案与解析】解：（1）销售单价为x 元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x ≥60）；（2）根据题意可得，x （﹣4x+480）=14000，解得x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元； （3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得：w=（x ﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x ﹣19200 =﹣4（x ﹣80）2+6400．当x=80时，w 的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．213||4D C DC y y n n =-=-5||4AD n =||||||AB DC AD ==2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩113,0;m n =⎧⎨=⎩221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+2C y =【答案】由题意得 把②代入①得. ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴方程必有两个相等的实数根， ∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1) (2). (3). (4)方法1：方程的解， 即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出， 当时，直线与抛物线有两个交点，∴． 方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点， ∴ ∴ ∴ ，即， ∴. ∵ 方程有两个不相等的实数根，∴，∴.类型五、分类讨论例题5．若函数，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．B ．4C ．或4D ．4或【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论.【答案】D ；【解析】由题意知，当时，，∴ ．(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．类型六、与二次函数有关的动点问题例题6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2-（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M （p ，q ）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．22(2)2(2)x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩228x +=x =2>x =x =【思路点拨】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【答案与解析】（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2-（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，≤m＜0．。
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新人教版八年级数学上册全册导学案第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．难点：理解二次函数的有关概念．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．A．y＝(x－3)2－1B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)D．y＝(x－1)2－x22．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．探究2某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是(A)A．二次函数B．一次函数C．正比例函数D．反比例函数3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．重点：描点法作出函数的图象．难点：根据图象认识和理解其性质．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝12x2和y＝2x2的图象；点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：______．(5)在同一坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12x2和y＝－2x2的图象，找出图象的异同．点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．教材P 41习题22.1第3，4题．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 填空：(1)函数y ＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．(2)函数y ＝x 2，y ＝12x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式． 解：(1)抛物线，(0，0)，y 轴，向上；(2)根据抛物线y ＝ax 2中，a 的值来判断，在x 轴上方开口小的抛物线为y ＝x 2，开口大的为y ＝12x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2. 点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y ＝ax 2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．探究2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2.∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数． (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m>－2，∴只能取m ＝2. ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y 随x 的增大而增大．(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m ＋2<0，即m<－2，∴只能取m ＝－3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴m ＝－3时，函数有最大值为0.∴x>0时，y 随x 的增大而减小．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．二次函数y ＝ax 2与y ＝－ax 2的图象之间有何关系？2．已知函数y ＝ax 2经过点(－1，3)．(1)求a 的值；(2)当x<0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况．3．二次函数y ＝－2x 2，当x 1>x 2>0，则y 1与y 2的关系是__y 1＜y 2__．4．二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝－ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )点拨精讲：1.二次函数y ＝ax 2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2．抛物线y ＝ax 2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质(1)1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．重点：会作函数的图象．难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是(C)A．(4，4)B．(1，－4)C．(2，2) D．(0，4)2．抛物线y＝x2－16与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的面积为__64__．点拨精讲：与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值，即可求出两个交点的坐标．3．画出二次函数y＝x2－1，y＝x2，y＝x2＋1的图象，观察图象有哪些异同？点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)探究1抛物线y＝ax2与y＝ax2±c有什么关系？解：(1)抛物线y＝ax2±c的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同；(2)抛物线y ＝ax 2向上平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2＋c ；抛物线y ＝ax 2向下平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2－c.探究2 已知抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－2x 2＋4，试求a ，c 的值．解：根据题意，得⎩⎨⎧a ＝－2，c －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝6. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)1．函数y ＝ax 2－a 与y ＝ax －a(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )A ．y ＝x 2－4B ．y ＝－34x 2＋3 C ．y ＝32(2－x)2 D ．y ＝32(x 2－2) 3．二次函数y ＝－x 2＋4图象的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y 随x 的增大而增大．4．抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－3x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y ＝－3x 2＋5，它是由抛物线y ＝－3x 2向__上__平移__5__个单位得到的．5．将抛物线y ＝－3x 2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y ＝3x 2＋4．6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__．点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空．画函数y＝－12x2、y＝－12(x＋1)2和y＝－12(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y＝－12x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y ＝a(x ＋h)2(h>0)；抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位，即为抛物线y ＝a(x －h)2(h>0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．教材P 35练习题；2．抛物线y ＝－12(x －1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x ＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y ＝－12x 2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)探究1在直角坐标系中画出函数y ＝12(x ＋3)2的图象． (1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？(3)怎样平移函数y ＝12x 2的图象得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象？ 解：(1)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y 随x 的增大而减小；当x>－3时，y 随x 的的增大而增大；当x ＝－3时，y 有最小值；(3)将函数y ＝12x 2的图象沿x 轴向左平移3个单位得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象． 点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点． 探究2 已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝－2x 2平移后的顶点与点A 重合．(1)求平移后的抛物线l 的解析式；(2)若点B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)在抛物线l 上，且－12<x 1<x 2，试比较y 1，y 2的大小．解：(1)∵y ＝x ＋1，∴令y ＝0，则x ＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l 的顶点坐标为(－1，0)，又抛物线l 是由抛物线y ＝－2x 2平移得到的，∴抛物线l 的解析式为y ＝－2(x ＋1)2.(2)由(1)可知，抛物线l 的对称轴为x ＝－1，∵a ＝－2<0，∴当x>－1时，y 随x 的增大而减小，又－12<x 1<x 2，∴y 1>y 2. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．不画图象，回答下列问题：(1)函数y＝3(x－1)2的图象可以看成是由函数y＝3x2的图象作怎样的平移得到的？(2)说出函数y＝3(x－1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．(3)函数有哪些性质？(4)若将函数y＝3(x－1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？点拨精讲：性质从增减性、最值来说．2．与抛物线y＝－2(x＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y＝2(x＋5)2．3．对于函数y＝－3(x＋1)2，当x>－1时，函数y随x的增大而减小，当x＝－1时，函数取得最大值，最大值y＝0．4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度得到y＝x2－2x＋1的图象，则b＝－6，c＝9．点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(3)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．难点：能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P35～36“例3、例4”，掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2＋k的相关性质，完成填空．总结归纳：一般地，抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2的形状相同，位置不同，把抛物线y ＝ax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k ，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h 个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x ＝h ；顶点坐标是(h ，k)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟 1．教材P 37练习题2．函数y ＝2(x ＋3)2－5的图象是由函数y ＝2x 2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的；3．抛物线y ＝－2(x －3)2－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直线x ＝3，当x>3时，函数值y 随自变量x 的值的增大而减小．一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 填写下表：解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y ＝－2x 2 向下 y 轴 (0，0) y ＝12x 2＋1 向上 y 轴 (0，1) y ＝－5(x ＋2)2 向下 x ＝－2 (－2，0) y ＝3(x ＋1)2－4向上x ＝－1(－1，－4)点拨精讲：解这类型题要将不同形式的解析式统一为y ＝a(x －h)＋k 的形式，便于解答． 探究2 已知y ＝a(x －h)2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a ，h ，k 的值；(2)在同一坐标系中，画出y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝－12x 2的图象；(3)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？解：(1)∵抛物线y＝－12x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y＝－12(x－1)2＋2，∴a＝－12，h＝1，k＝2；(2)函数y＝－12(x－1)2＋2与y＝－12x2的图象如图；(3)观察y＝－12(x－1)2＋2的图象可知，当x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随x的增大而减小；(4)由y＝－12(x－1)2＋2的图象可知，对于一切x的值，y≤2.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．将抛物线y＝－2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y＝－2(x－3)2＋2．点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．2．若直线y＝2x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第二象限．点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．3．把y＝2x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y＝2(x－1)2－3．4．已知A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2<y3<y1．点拨精讲：本节所学的知识是：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象画法及其性质的总结；平移的规律．所用的思想方法：从特殊到一般．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质(1)1．会画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法． 3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．重点：会画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空． 总结归纳：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的顶点坐标是(h ，k)，对称轴是x ＝h ，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h 时，y 随x 的增大而增大，当x<h 时，y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x<h 时，y 随x 的增大而增大，当x>h 时，y 随x 的增大而减小；用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c化成y ＝a(x －h)2＋k的形式，则h ＝－b2a ，k ＝4ac －b 24a；则二次函数的图象的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴是x ＝－b 2a ；当x ＝－b2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大(最小)值，当a<0时，函数y 有最大值，当a>0时，函数y 有最小值．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．求二次函数y ＝x 2＋2x －1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象． 点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 将下列二次函数写成顶点式y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．(1)y＝14x2－3x＋21；(2)y＝－3x2－18x－22.解：(1)y＝14x2－3x＋21＝14(x2－12x)＋21＝14(x2－12x＋36－36)＋21＝14(x－6)2＋12∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x＝6.(2)y＝－3x2－18x－22＝－3(x2＋6x)－22＝－3(x2＋6x＋9－9)－22＝－3(x＋3)2＋5∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x＝－3.点拨精讲：第(2)小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．探究2用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？(1)S与l有何函数关系？(2)举一例说明S随l的变化而变化？(3)怎样求S的最大值呢？解：S＝l(30－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225画出此函数的图象，如图．∴l ＝15时，场地的面积S 最大(S 的最大值为225)．点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．y ＝－2x 2＋8x －7的开口方向是向下，对称轴是x ＝2，顶点坐标是(2，1)；当x ＝2时，函数y 有最大值，其值为y ＝1．2．已知二次函数y ＝ax 2＋2x ＋c(a ≠0)有最大值，且ac ＝4，则二次函数的顶点在第四象限．3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，与y 轴交点的坐标是(0，c)，当b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－b2a ，0)；当b 2－4ac ＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标是(－b±b 2－4ac2a ，0)；当b 2－4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点，若抛物线与x 轴的两个交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x －x 1)(x －x 2)．点拨精讲：与y 轴的交点坐标即当x ＝0时求y 的值；与x 轴交点即当y ＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x 轴的交点情况也分三种．注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，x 1，x 2为两交点的横坐标．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质(2)能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空．总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y＝a(x－h)2＋k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设函数的关系式为y＝a(x－x1)(x－x2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．二次函数y＝4x2－mx＋2，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x 的增大而增大，则当x＝1时，y的值为22．点拨精讲：可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值．2．抛物线y＝－x2＋6x＋2的顶点坐标是(3，11)．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是(D)A．a<0B．b>0C．c>0D．ac>0第3题图第4题图第5题图4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为(A)A．0 B．－1 C．1 D．2点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a－b＋c的值．5．如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是－1．点拨精讲：可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．解：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴函数的解析式为y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1.探究2 已知一抛物线与x 轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．解：设解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)，则有 a(2－3)(2＋1)＝9， ∴a ＝－3，∴此函数的解析式为y ＝－3x 2＋6x ＋9，其顶点坐标为(1，12)．点拨精讲：因为已知点为抛物线与x 轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x 轴交点的坐标．2．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，且关于直线x ＝12对称，那么它的图象还必定经过原点．3．如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y＝ax2＋bx＋c；2.顶点式y＝a(x－h)2＋k；3.交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．2二次函数与一元二次方程(1)1．理解二次函数与一元二次方程的关系．2．会判断抛物线与x轴的交点个数．3．掌握方程与函数间的转化．重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数．难点：掌握方程与函数间的转化．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数。
人教版九年级数学上册导学案：第22章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3.2二次函数2)(h x a y -=的图像和性质学习目标：1.掌握二次函数2)(h x a y -=的图象和性质（重点）； 2.掌握抛物线2)(h x a y -=的平移方法（难点）. 一、自主学习 1.填表函数开口方向 对称轴顶点坐标 y 的最值增减性在对称轴左侧 在对称轴右侧y=ax 2a ＞0a ＜0 y=ax 2+ka ＞0a ＜02.我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象 平移 所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？3.探究：在同一坐标系中画出函数212y x =，()21+12y x =，()2112y x =－的图象。
解：先列表:x… －2 －1 0 1 2 …212y x =… …()21+12y x =… …()2112y x =－ … …描点并连线:二、导学交流观察上面的图象，思考： (1)、开口 方向顶点 对称轴有最高（低）点最值对称轴左侧的增减性212y x =()21+12y x =()2112y x =－(2)抛物线212y x =，()21+12y x =与()2112y x =－的形状_____________，位置 . (3)可以发现: 把抛物线212y x =向______平移______个单位就得到抛物线()21+12y x =；把抛物线212y x =向_______平移______个单位，就得到抛物线()2112y x =－． (4)归纳：一般地，抛物线2y ax =和抛物线2)(h x a y ±=形状 ，位置 .把抛物线2y ax =向 平移h 个单位，可以得到抛物线2)(h x a y +=；把抛物线2y ax =向 平移h 个单位，可以得到抛物线2)(h x a y -=. 三、随堂检测 1.填表图象（草图）开口 方向顶点对称轴最值对称轴 右侧的增减性y ＝12x 2y ＝－5 (x ＋3)2y ＝3 (x －3)22．把抛物线23y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为 将抛物线()2112y x =-向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为 .3．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22y x =-都相同的二次函数解析式___________________________． 4．对于抛物线21(2)2y x =+，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y = ．5．若抛物线()21y m x =+过点()14，－，则m ＝____________． 6.把抛物线2)4(-=x a y 向左平移6个单位后得到抛物线2)(3h x y --=的图象，则a= ，h=四、拓展延伸1.将函数y=3（x －4）2的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式是 ；将函数y=3（x －4）2的图象沿y 轴对折后得到的函数解析式是 ；2．抛物线()2y m x n =+向左平移2个单位后，得到的函数关系式是()244y x =－－，则m ＝__________，n ＝___________． 3.若抛物线y=21（x+4）2的顶点A ，且与y 轴交于点B ，抛物线y= - 3（x-2）2的顶点是M ，则S ΔMAB= .4．将抛物线2y ax =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2－，且新抛物线经过点（1，3），求a 的值并画出两条抛物线． 5.二次函数y=a(x-h)2的图象如图,已知a=21,OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。
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课题22.1 二次函数（1）导学目标知识点：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。
课时：1课时导学方法：实验、整理、分析、归纳法导学过程：一、课前导学1、填表一次函数正比例函数表达式图形形状2、探究（1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为是什么？①（2）．多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？②n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作条对角线。
因此，n边形的对角线总数d = 。
（3）．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为。
③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？一般地，形如的函数，叫做二次函数其中，是自变量，a为，b为，c为，做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)(2) (3) (4))1(xxy-=(5))1)(1()1(2-+--=xxxy(6) 23712y x x=+-－2、函数2y ax bx c=++，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？三、展示点评学习知识最好的途径就是自我发现四、课堂检测1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x.2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数(1)、长方形的长是宽的2倍，写出长方形的周长C 与宽a 之间的函数关系 ， 是 的 函数。
(2)、写出圆的面积y 与它的周长x 之间的函数关系 ， 是 的 函数。
(3)、菱形的两条对角线的和为26，求菱形面积S 与一对角线长x 之间的函数关系 ， 是 的 函数。
(4)、某商品的价格是2元，准备进行两次降价。
如果每次降价的百分率都是x ，经过两次降价后的价格y 随x 的变化而变化，y 与x 之间的函数关系式为： 是 的 函数。
3. m 为何值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？注意：二次函数的二次项系数不能为零拓展延伸（课外练习）：1、观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是____次．一般地，如果2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠），那么y 叫做x 的___________．2、函数()223ym x mx =-+-（m 为常数）． (1)、当m __________时，该函数为二次函数；(2)、当m __________时，该函数为一次函数．3、n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．4、下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x5、在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米6、下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2（4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x7、已知关于x 的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法)课后反思：小组评价： 教师评价：课题 22.1 二次函数（2）导学目标知识点：会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点 及函数的性质 课 时：1课时导学方法：观察、归纳、分析 导学过程： 一、课前自学我们知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ， 探究：描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？x... －3 －2 －1 0 1 2 3 (2)x y =……思考：观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？ 1．二次函数2y x =是一条曲线，把这条曲线叫做____________．2．二次函数2y x =中，a ＝______，抛物线2y x =的图象开口_______．3．自变量x 的取值范围是____________． 4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物2x y =与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线2x y =的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．6．抛物线2x y =有____________点（填“最高”或“最低”） ． 二、课堂导学例1：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=注意：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 理一理1．抛物线y ＝ax 2的性质图象（草图） 开口 方向顶点 对称轴 有最高或最低点 最值a >当x ＝____时，y 有最_______值，是______． 0a <当x ＝____时，y 有最_______值，是______．2．抛物线2y x =与2y x =－关于________对称，因此，抛物线2y ax =与2y ax =－关于_______ 对称，开口大小_______________． 3．当0a>时，a 越大，抛物线的开口越___________；当0a <时，a 越大，抛物线的开口越_________；因此，a 越大，抛物线的开口越________，反之，a 越小，抛物线的开口越________．例2：已知42(2)kk y k x +-=+是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴． 解 ：例3：已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 ：回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 三、展示点评四、拓展延伸（课外练习）： 1．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k xk k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大而增大．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y =3．已知抛物线102-+=k k kxy 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4.一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；的面积．（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出MON课后反思：小组评价：教师评价：课题 22.1 二次函数（3）导学目标知识点：会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 课 时：1课时导学方法：观察、归纳、分析 导学过程： 一、课前自学同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ．探究：在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 2y x =，21y x =－，2+1y x =解：先列表x… －2 －1 0 1 2 … 2y x =21y x =－ … … 2+1y x =……描点并连线观察图象，思考： (1)、开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 最值2y x =21y x =－ 2+1y x =(2)、抛物线，2y x =，21y x =－与2+1y x =的形状_____________．(3)、可以发现，把抛物线2y x =向______平移______个单位，就得到抛物线2+1y x =； 把抛物线2y x =向_______平移______个单位，就得到抛物线21y x =－．归纳．2y ax =2+y ax k =开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点最值0a >时，当x ＝__时，y 有最大值为 ； 0a <时，当x ＝___时，y 有最 值为 ．0a >时，当x ＝__时，y 有最 值为 ； 0a <时，当x ＝___时，y 有最 值为 ．增减性当0a >时 当0a<时因此，把抛物线2y ax =向上平移k （0k >）个单位，就得到抛物线 ；把抛物线2y a x =向下平移k （0k >）个单位，就得到抛物线二、课堂导学 例1：(1)、如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？ (2)、不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．例2： 已知函数213y x =-， 2133y x =-+， 2123y x =--． (1)、分别画出它们的图象；(2)、说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)、试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．三、讨论交流（展示点评） 四、拓展延伸（课外练习）：1．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 2．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．3．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．4．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．5．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．6．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )7、填表函数开口方向 顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性253y x =-+271y x =-8、已知二次函数28(1)7y x k x k =--+-，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．9、一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．课后反思：小组评价：教师评价：课题 22.1 二次函数（4）导学目标知识点：会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较了解这类函数的性质． 课 时：1课时导学方法：实验、整理、分析、归纳法 导学过程： 一、课前自学我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？探究：在同一坐标系中画出函数图象212y x =，()21+12y x =，()2112y x =－的图象。