第34讲 三次样条曲线与参数样条曲线

1 0 2
1⎥⎥ 0⎥ 3⎥⎦
⎢ ⎢
a1
⎢⎢a2 ⎣a3
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
y1 y0' y1'
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
即
⎡a0 ⎤ ⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎡ y0 ⎤
⎢ ⎢
a1
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
⎢ ⎢ ⎣
a2 a3
⎥ ⎥ ⎦
⎢−3
⎢ ⎣
2
0 3 −2
1 −2 1
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
y1
⎥ ⎥
分段表示出的曲线一定是一阶连续。如果要二阶连 续，这些切矢量必须满足m关系式：
λimi-1 + 2mi + μimi+1 = Ci
y
yi-1 yi
a
xi-1 xi
bx
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三三次次样样条条函函数数的的理理论论基基础础
一个问题
z 给定一批型值点，如何构造处二阶连续
的曲线？y
yi-1 yi
a
xi-1 xi
CAD/CAM技术基础
第三讲：三次样条曲线和参数样条曲线
2009年3月
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上课内容
一、背景知识（放样,设计,插值问题等若干问题） 二、三次样条曲线
（1）三次样条函数及其力学背景 （2）用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线 （3）用型值点处的二阶导数表示的三次样条曲线 （4）三次样条在曲线拟合中的局限性、解决办法等
subplot(122);plot(u,F0c,'-r','LineWidth',2);title('埃 尔米特基函数的导数'); hold all; plot(u,F1c,'--r','LineWidth',2); plot(u,G0c,'-b','LineWidth',2); plot(u,G1c,'--b','LineWidth',参数样条的一种特殊情况）
四、参数样条曲线（累加弦长）
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一、背景知识
1.放样与设计
放样
设计
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工工程程中中构构造造曲曲线线的的要要求求
放样对曲线的要求
z 点点通过 ——插值 z 光顺 z 计算简单
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工工程程中中构构造造曲曲线线的的要要求求 几种典型的插值法
λ1m0 + 2m1 + μ1m2 = C1
λimi-1 + 2mi + μimi+1 = Ci
……
λn-1mn−2 +2mn-1 +μn-1mn = Cn-1
如何求解：（n-1）个线性方程，内节点的m1、
m2、
…、mn-1未知
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三三次次样样条条函函数数的的理理三论论基切基础础矢方程的边界条件
由样条函数构成的曲线称为样条曲线。
当要求在每个数据点处三阶或更高阶的导数也连续时，就要用高次样条，
例如，五次样条有四阶导数连续。
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二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）
1. 问题的提出：
分段来考虑 Step1:[0,1]区间上带一阶导数的插值问题。 Step2:从[0,1]区间上推广到[xi-1,xi]区间. Step3:为了保证分段的三次参数曲线拼接时满
足三次样条曲线的定义（在[x0,xn]上两次连 续可导），那么各连接点处（型值点）的一 阶导数mi必须满足一定的关系式－m关系式
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二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线） 2. Step1:[0,1]区间上带一阶导数的插值问题
条件:两个端点处的值与一阶导数值 求：三次插值函数 中的四个系数a0,a1,a2,a3
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一、背景知识
逼近： 在某些情况下，测量所得或设计员给出的数据点本身就很粗糙，要求
构造一条曲线严格通过给定的一组数据点就没有什么意义。更合理的提 法应是，构造一条曲线使之在某种意义下最为接近给定的数据点，称之 为对这些数据点进行逼近(approximatton)，所构造的曲线称为逼近曲 线。这些数据点若原来位于某曲线上，则称该曲线为被逼曲线(原始曲 线)。构造逼近曲线所采用的数学方法称为曲线逼近法。类似地，可将 曲线逼近推广到曲面。 拟合：
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三三次次样样条条函函数数的的理理论论基基础础
基函数的作用
z 基函数不同就会导致曲线类型不同
Ferguson曲线 Hermite基函数
Bézier曲线 Bernstein基函数
B样条曲线 B样条基函数
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二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）
3. Step2:从[0,1]区间上推广到[xi-1,xi]区间.
y(u) = [F0 (u)
F1 (u )
G0 (u)
⎡ y0 ⎤
] G1(u)
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
y1 y0' y1'
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
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function hermit() %画出Hermit基函数 close all; u=linspace(0,1,20);
F0=2*u.^3-3*u.^2+1; F1=-2*u.^3+3*u.^2; G0=u.*(u-1).^2; G1=u.^2.*(u-1);
⎥ ⎥ ⎦
= [F0 (u)
F1 (u )
G0 (u)
⎡ y0 ⎤
G1
(u
)
]
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
y1 y0' y1'
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
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二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）
埃尔米特基函数F0,F1,G0,G1对曲线的影 响为： • F0,F1专门控制端点的函数值对曲线形状 的影响，而同端点的导数值无关； • G0,G1则专门控制端点的一阶导数值对曲 线形状的影响，而同瑞点的函数值无关。 • F0,G0控制左端点的影响， • F1与G1则控制右端点的影响。
由于在各小段上M(x)是线性函数，因此可知，在各小段上函数y(x) 是x的三次多项式。在整个梁上，y(x)就是分段三次函数，但它具有直 到二阶的连续导数(因为从整个梁来说弯矩M(x)是连续的折线函数)1。7/61 这一力学背景导致了数学上三次样条函数概念的建立。
二、三次样条曲线（三次样条函数及其力学背景） 2. 三次样条函数的定义
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二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线） 5. 结论：m-关系式
注意端点条件
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一 个 结 论 三三次次样样条条函函数数的的理理论论基基础础
z 对于如图所示的型值点列，如果每个点处的且方向m已 知,那么按照表达式：
y(x) = yi-1F0(u)+ yiF1(u)+[himi-1G0(u)+ himiG1(u)]
选择一个函数φ(x)使得 φ(xi)=yi i=0,1…n作为f(x)的近似，这样函数逼近为插值问题 满足上述关系式的函数φ(x)为f(x)的插值函数 f(x)被插函数 x0,x1…xn为插值基点
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一、背景知识
函数φ(x)选择不同，就产生了不同类型的插值 代数多项式－－代数多项式插值
φ(x)为 三角多项式－－三角多项式插值
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二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）
例题：曲线段方程y(u)=y0F0(u)+ y1F1(u) + y’0G0(u) + y’1G1(u)，式中F0(u)、 F1(u) 、 G0(u)、G1(u)称为埃尔米特基函数或三次混合函数。试描述一下上述 四个混合函数对曲线形状的影响。
样条函数的由来
飞机、船体、汽车外形的放样（设计）
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三三次次样样条条函函数数及及其其模力力线学学背背绘景景制的一般过程
打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上
描线：用“压子”使“样条”通过型值点
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三三次次样样条条函函数数及及其其力力学学背背景景
模线的形状特征
分段：两个“压子”之间可以认为是一段。数学本质 是每两个“压子”之间曲线的表达式不同 光滑：不象每两点之间之间连线那样有明显的棱 角。数学本质是整条曲线具有连续的导函数
有理函数 －－有理函数插值：
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一、背景知识
对于寻求一个n次的代数多项式插值，必须给出n+1互异的插值基点 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn Pn(xi)=yi i=0,1…n
由于x0,x1…xn互异， 因此a0,a1,…an唯一确定
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一、背景知识
但是： (1)必须求解n+1个线性方程组 计算复杂 (2)次数越高，系数a0,a1,…an越多，物理概念难于理 解，会产生不希望有的波动 。
① 已知m0和mn
F0c=6*u.^2-6*u; %F0的一阶导数 F1c=-6*u.^2+6*u; %F1的一阶导数 G0c=3*u.^2-4*u+1; %G0的一阶导数 G1c=3*u.^2-2*u; %G1的一阶导数
subplot(121);plot(u,F0,'-r','LineWidth',2);title('埃 尔米特基函数'); hold all; plot(u,F1,'--r','LineWidth',2); plot(u,G0,'-b','LineWidth',2); plot(u,G1,'--b','LineWidth',2);