几种初等函数的本质和定义以及标准方程的推导证明
所有基本初等函数
所有基本初等函数基本初等函数是数学中的重要概念，它包括了常见的数学函数，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在数学中具有广泛的应用，在科学、工程、经济等领域中发挥着重要作用。
下面将逐个介绍这些基本初等函数。
1. 线性函数：线性函数是一种最简单的函数形式，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
线性函数在代数学、经济学等领域中有广泛的应用，可以用来描述两个变量之间的简单关系。
2. 幂函数：幂函数是一种形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。
当a为正数时，幂函数的图像是一个递增的曲线；当a为负数时，幂函数的图像是一个递减的曲线。
幂函数在几何学、物理学等领域中有广泛的应用，可以用来描述面积、体积、速度等随着变量的变化而变化的关系。
3. 指数函数：指数函数是一种形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。
指数函数的图像是一个递增或递减的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
指数函数在金融学、生物学等领域中有广泛的应用，可以用来描述复利增长、生物种群的增长等现象。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它可以表示为f(x) = loga(x)，其中a是常数。
对数函数的图像是一条递增的曲线，具有对数增长的特点。
对数函数在计算机科学、信息论等领域中有广泛的应用，可以用来描述算法复杂度、信息压缩等问题。
5. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标为基础定义的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的图像是周期性的波形，具有周期性和振荡的特点。
三角函数在物理学、信号处理等领域中有广泛的应用，可以用来描述波动、振动等现象。
6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
反三角函数可以用来求解三角方程或描述角度关系。
反三角函数在几何学、三角测量等领域中有广泛的应用，可以用来计算角度、求解三角形等问题。
基本初等函数知识总结
1
0
x
y loga x
y log2 x
y log3 x y log1 x x
3
y log1 x
2
性 质
底数互为倒数的两个指数
一 函数的图象关于y轴对称。
底数互为倒数的两个对数 函数的图象关于x轴对称。
性
质 在 y轴的右边看图象,图象 二 越高底数越大.即底大图高
在 x=1的右边看图象,图象 越高底数越小.即底小图高
幂函数
函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常 数.
对于幂函数，我们只
讨论 1, 2, 3, 1 , 1
2
时的情形
y y x3
y x2
1 -1
O1
-1
yx
1
y x2
y1 x
x
幂函数的性质
函数 性质
定义域 值域
奇偶性
单调性
公共点
y=x y=x2
R
R
R [0,+∞) 奇偶
增
[0,+∞)增
n am
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
a a a r s
r s(a 0,r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加
r
a a r -s (a 0,r, s Q) 同底数幂相除, 底数不变指数相减 as
(a ) a r s
rs (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
§1.6 初等函数
y arctan x
x (, )
值域为 y (
, ) 2 2
y arctan x
【1-6-15】
反余切函数 表达式为 定义域为 图象为
y arc cot x
x (, )
值域为 y (0, )
y arccot x
【1-6-16】
二、初等函数
当 0时为常量函数
当 0时有如下几种情形
当 p 时, 若p为奇数或偶数, q为奇数, 则当 0时x R,当 0时x 0 q
当为其他实数时, 若 0, 则x [0, ); 若 0, 则x (0, )
图形特征 任何幂函数的图形均过点（1，1）
u
【1-6-17】
三、隐函数
隐函数是指函数变量的对应关系隐含在一个方程F ( x, y) 0中的函数, 即F ( x, f ( x)) 0
相对应地, 称函数y f ( x)为显函数
若能从方程F ( x, y) 0中解出y f ( x), 则称此过程为隐函数的显化
当然，不是所有的隐函数都可以显化，有些隐函数是很难甚至无法显 化的，如
cos xy e 1 0
x y
【1-6-18】
【1-6-2】
几个常见幂函数幂函数的图形
y
y x2
1
(1,1)
y x
y x
o
1 y x
1
x
【1-6-3】
（3）指数函数 表达式 定义域 图形特征
y a x (a 0, a 1), y e x
(, )
当0 a 1 时, 指数函数y a x严格单调递减 当a 1 时, 指数函数y a x严格单调递增
六类初等函数总结
对数函数
常用对数：lg（x）=log10x（10 为底数）。 自然对数：ln（x）=logex（e 为底数）
底真同对数正，底真异对数负
当 0<a<1，0<b<1 时 y=logab>0;
当 0<a<1，b>1 时 y=logab<0
负数和 0 没有对数
当 a>1，b>1 时 y=logab>0
当 a>1，0<b<1 时 y=logab<0
函数 是反正弦 arcsin x，反余弦 arccos x，反正切 arctan x， 反余切 arccot x，反正割 arcsec x，反余割 arccsc x 这些函数的统称，各自表示 其正弦、余弦、正切、余切 ，
正割，余割为 x 的角 是指值不发生改变（即是常
数）的函数
详见三角函 数模块
详见反三角 函数模块
[-1,1]
[0,π]
减 非奇非偶
反正切函数
y=arc tan x
R
[-π/2,π/2] 增 奇函数
反余切函数 R
y=arc cot x
(0,π)
减 奇函数
转换公式
指数函数
函数
a>1
0<a<1
图像
定义域 值域 性质 运算 法则
表达 方式
性质
R （0，+∞） 过点（0，1） 在 R 上是增函数
R （0，+∞） 过点（0，1） 在 R 上是减函数
y=cot x
（k∈Z）
余
正割函数 y=sec x
x=kπ（k∈Z）
（kπ+π/2,0） （k∈Z）
初等函数的定义是什么
初等函数的定义是什么初等函数的定义是什么初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。
下面是店铺给大家整理的初等函数的定义简介，希望能帮到大家!初等函数的定义初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算(加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方)及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。
它是最常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数)，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。
还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh的名称是双曲正弦或超正弦，cosh是双曲余弦或超余弦，tanh是双曲正切，coth是双曲余切，sech是双曲正割，csch是双曲余割。
初等函数在其定义域内连续。
一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式。
例如，三角函数y=sinx 可以用无穷级数表为y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。
为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。
函数在复数域的推广复变三角函数例如将y=sinx和y=cosx中变量x换为复变量z，则得到复变三角函数w=sinz和w=cosz，它们是整函数。
tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亚纯函数。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。
下面将对基本初等函数的知识点进行总结。
一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。
它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。
多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。
二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。
指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。
三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。
对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。
四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。
三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。
五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。
反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。
基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
几个基本初等函数的公理化定义
几个基本初等函数的公理化定义
背景信息：
初等函数，指定义域内的函数，包括方程、不等式及其解、二次函数、三角函数，它们的特点就是其解以比较简单的数学语言表达出来，能够直观描绘函数的性质及其形式。
一、二次函数
二次函数是通过一元二次方程定义的。
记二次函数为y=ax²+bx+c,其中a≠0，它的定义域为所有实数x，值域为根据二次方程的表达式计算出的y值的集合。
特殊情况时，当a=1时，形式为y=x²+bx+c，此时可按单项式求和公式求出x的值，而
当a≠1时，则必须按照二次公式求出x的值。
二、三角函数
三角函数也称指弦函数，是由一元三次方程定义的。
它是比较典型的初等函数，主要包含正弦函数、余弦函数及正切函数。
其定义域为实数x，其值域属于[-1, 1]。
三角函数有一个重要的性质就是它的周期性，例如正弦函数的周期性则为2π，即
x+2π=x，即若令x表示以弧度表示的角度，那么两个角度的正弦值相等。
三、指数函数
指数函数的函数表达式为y=ax，其中a为正实数。
这类函数的特点是给定任一x能够求出它的函数值y，而且y随着x的增加而呈指数增长趋势。
它的定义域是
所有实数x，值域也是实数集。
此外，指数函数可以被用来拟合幂律分布。
综上，初等函数是指定义域内具有特定表达式的函数。
其中，包括二次函数、三角函数和指数函数，它们均具有特定的定义域及值域，而且可以直观地反映函数性质和形式。
它们的共同特征是简单，易于解析，容易求解，是进行函数分析的重要工具之一。
高等数学初等函数ppt课件
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -
2
3
2 x 0
2
-1
2
3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
基本初等函数
基本初等函数一、指数函数；定义：形如y=a x(a>0,且a≠1)的函数叫指数函数。
【自变量为x，函数定义域是R，值域为（0,+∞）】函数图象与性质：1.函数图象2.函数性质（1）过定点（0，1）。
（2）当a>1时，函数在R上是增函数，当a<1时，函数在R上为减函数（单调性）。
（3）函数图象无限趋近于x轴，但始终与x轴无交点，即y≠0。
二、对数函数；定义：如果a x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数,函数y=log a x(a>0且a≠1)叫做对数函数。
函数图象与性质：1.函数图象2.函数性质（1）负数和0没有对数，即N>0（当a>0且a≠1时，a x>0，即N=a x>0,所以log a N只有在N>0时才有意义，总的来说就是当N<0时，对数不存在，例如：log2-4=x。
a<0同理可得，例如log(-2)8=x）。
（2）log a1=0。
（3)log a a x =x(a>0且a ≠1)。
（4）对数的运算性质：如果a>0且a ≠1，M>0,N>0,那么：Ⅰ.log a (MN)=log a M+log a N,即积的对数等于对数的和。
推广：log a （N 1N 2...N k ）=log a N 1+log a N 2+...+log a N k (k ∈N *) Ⅱ.log a NM =log a M-log a N,即商的对数等于对数的差。
Ⅲ.log a M n =nlog a M(n ∈R),即指数幂的对数等于底数的对数的指数倍。
（5）定义域｛x|x>0｝ （6）值域｛y|y ∈R ｝ （7）过定点（1，0）（8）函数y=log a x 与函数y=log a1x 的图象关于x 轴对称（9）当a>1时，函数在（0，+∞）上单调递增，当0<a<1时，函数在（0，+∞）上单调递减。
4基本初等函数
一．基本初等函数六种基本初等函数见下表二. 反函数、复合函数和初等函数反函数、复合函数和初等函数的定义见下表三.主要解题方法例 1. 函数21x y -=是由21,x u u y -==复合成的，其定义域为[]的是不能复合成一个函数的一部分；，它是由222,arcsin 11,1x u u y x u +==-=- 例2.分析下列复合函数的结构：(1) y =2cot x； (2) y =1sin 2+x e.例3.设)].([)],([2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求==将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例4 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin 22+=x y ， （2） )e ln(tan sin 22xxy +=.解 (1) 最外层是二次方，即2u y =，次外层是正弦，即 v u sin = ，从外向里第三层是幂函数 ，即21-=wv ，最里层是多项式，即 12+=x w ,所以，分解得 2u y = ，v u sin = ，21-=wv ，12+=x w .(2) 最外层是对数，即,ln u y =次外层是正切，即v u tan =, 从外向里第三层是指数函数，即w v e = ，最里层是简单函数，即 2x w =+2x sin , 所以，分解得 u y ln =，v u tan =，w v e =，2x w =+2x sin .小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数.。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。
本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。
二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。
性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。
图像：见附录图1。
三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。
性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。
当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。
图像：见附录图2。
四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。
性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。
当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。
图像：见附录图3。
五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。
性质：对数函数是指数函数的逆函数。
当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。
图像：见附录图4。
六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。
性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。
基本初等函数证明
基本初等函数证明首先，我们来讨论基本初等函数的定义。
基本初等函数是指由常数函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次的四则运算和函数复合得到的函数。
对于这些函数，我们可以通过一些基本的性质和定理来进行证明。
一、常数函数：常数函数是指对于任意实数x，函数值都是一个常数。
常数函数的性质很简单，我们可以通过以下例子来进行证明：例1：证明常数函数的导数为0。
已知常数函数为f(x) = a，其中a为常数。
对于任意实数x1和x2，它们的差为Δx = x2 - x1，则有f(x2) - f(x1) = a - a = 0。
由导数的定义可知，导数f'(x) = lim（Δx->0）（f(x2) - f(x1)）/（x2 - x1） = 0。
二、指数函数：指数函数是以常数e（自然对数的底）为底的幂函数。
它具有以下性质：性质1：指数函数f(x) = e^x的导数为它本身。
证明：根据指数函数的定义，知道f(x+h) = e^(x+h) = e^x * e^h，所以f'(x) = lim（h->0）（f(x+h) - f(x)）/h = lim（h->0）(e^x *e^h - e^x) / h = e^x * lim（h->0）(e^h - 1) / h。
由于lim（h->0）(e^h - 1) / h = 1，所以f'(x) = e^x。
性质2：指数函数的导数等于它的斜率。
证明：由指数函数的导数f'(x) = e^x可得，函数f(x)在任意一点的斜率等于e^x，也就是说切线的斜率等于函数值。
三、对数函数：对数函数是指以指数为底的幂函数的反函数。
以下是对数函数的性质：性质1：对数函数f(x) = log_a(x)（a>0且a≠1）的导数为1 /（x * ln(a)）。
证明：由对数函数的定义可知，对于任意实数x1和x2，x1 =a^y1，x2 = a^y2。
基本初等函数证明
基本初等函数证明初等函数是数学中的一种基本函数类型，代表了常见的数学运算和变化规律。
本文将从证明的角度给出几个基本初等函数的证明过程，包括指数函数、对数函数和三角函数。
一、指数函数指数函数是以常数e（约等于2.71828）为底的幂函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a是正实数。
下面给出指数函数的两个重要性质的证明。
1. a^(x+y) = a^x * a^y:证明：设f(x) = a^x。
根据指数函数的定义，我们有f(x+y) = a^(x+y)。
另一方面，f(x) * f(y) = a^x * a^y。
我们需要证明f(x+y) = f(x) * f(y)。
由指数函数的定义可知，f(x+y) = a^(x+y) = a^x * a^y。
所以，a^(x+y) = a^x *a^y。
2. (a^x)^y = a^(xy):证明：设f(x) = a^x。
根据指数函数的定义，我们有(f(x))^y = (a^x)^y = a^(xy)。
我们需要证明(f(x))^y = a^(xy)。
由指数函数的定义可知，(f(x))^y = (a^x)^y = a^(xy)。
所以，(a^x)^y = a^(xy)。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，数学表示为y = log_a(x)，其中a是正实数。
下面给出对数函数的两个重要性质的证明。
1. log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y):证明：设f(x) = log_a(x)。
根据对数函数的定义，我们有f(xy) = log_a(xy)。
我们需要证明f(xy) = f(x) + f(y)。
由对数函数的定义可知，f(x) = log_a(x) = log_a(x) + 0。
所以，log_a(xy) =log_a(x) + log_a(y)。
2. log_a(x^y) = y * log_a(x):证明：设f(x) = log_a(x)。
根据对数函数的定义，我们有f(x^y) = log_a(x^y)。
五类基本初等函数
五类基本初等函数一元函数一元函数是数学里一种最基本的函数形式，它只含有一个变元。
即只有一个自变量，根据这个自变量计算出一个固定的值，例如：y=1/x，函数的定义域和值域为实数集合。
一元函数可以用来表示单纯的变换，即每一个函数值只具有一个变量的特性。
二元函数二元函数是一类常用的函数，它描述的是一个函数的定义域的双变量的关系，即每一个函数值拥有两个变量的特性。
例如，函数f（x，y）=x2+y2表示点（x，y）在直角坐标系上的变化。
二元函数也常常用来描述现实世界中物体之间的变化关系，例如，热量、动量、电势差以及力等。
三元函数三元函数是指有三个变元的函数，它和二元函数类似，但是拥有三个变量，例如，三元函数f(x,y,z)=x2+y2+z2是表示空间中某个点的到原点的距离的函数。
三元函数可以被用来描述三维物体之间的相互变化关系，常常被多学科用来描述不同物理量之间的变化，比如大气压、温度、斜率等等。
高次函数高次函数是指变元个数大于三个，并且大于三元函数的函数。
它可以是有一定定义域或ROI范围的多元函数，根据这些自变量的多维空间变量计算出固定的值，例如：函数f（x1，x2，x3，x4）= x1 + x2 + x3 + x4。
复合函数复合函数通常是将多种基本函数组合使用，以达到不同的目的。
例如，有的函数是将平方、高次函数等基本函数组合而成的。
我们常常可以看到这样的函数形式：f(x)= a*xb + y，这就是一个复合函数。
这类函数可以用来描述较复杂的现实形势，例如，它可以用来描述物理现象、生物特征及经济形势等多种情况。
综上所述，初等函数是数学中非常基础但又十分重要的概念，它们通常有一元函数、二元函数、三元函数、高次函数以及复合函数等。
它们可以用来描述各种不同的情况，被广泛应用于各个领域。
因此，弄清楚这些基本函数的正确使用方法非常有必要，不仅可以拓展人们的数学视野，而且能给我们的学习与研究带来更大的便利。
基本初等函数
基本初等函数1. 引言初等函数是数学中的重要概念，它指代了一类基本的数学函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
这些函数在数学和工程等领域中有广泛的应用，对于解决问题、建模和分析等都起着重要的作用。
本文将介绍一些常见的基本初等函数，并分别对其定义、性质和图像进行讨论。
2. 常数函数常数函数是最简单的一类函数，其定义域内的所有元素都映射到一个常数上。
常数函数的表达式可以写作：f(x) = c其中，c为常数。
常数函数的图像为一条与x轴平行的直线，斜率为0。
常数函数在解决一些简单的数学问题时有一定的应用，但在具体的实践中使用较少。
3. 幂函数幂函数是一类形如 x^a 的函数，其中x是自变量，a是常数。
幂函数可以表示为：f(x) = x^a幂函数的性质与指数函数密切相关，其图像的特点取决于幂指数a的取值情况。
当a为正数时，幂函数呈现增长的趋势；当a为负数时，幂函数则表现出减小的趋势。
幂函数在科学和工程中的应用广泛，例如在电路分析、物理学和经济学等领域中均有涉及。
4. 指数函数指数函数是一类具有形如 a^x 的函数，其中a是正实数且不等于1，x是自变量。
指数函数可以表示为：f(x) = a^x指数函数具有与幂函数类似的性质，其图像也受到底数a的取值影响。
指数函数的图像在x轴的左侧逐渐接近于0，右侧则逐渐增长。
指数函数在金融、生物学、物理学等领域中有广泛的应用，例如在复利计算、物质衰变和人口增长等方面。
5. 对数函数对数函数是指形如 loga(x) 的函数，其中a是正实数且不等于1，x为正实数。
对数函数可以表示为：f(x) = log<sub>a</sub>(x)对数函数的图像与指数函数互为反函数，而且具有很多重要的性质。
对数函数在计算、数据处理和信息传输等领域有广泛的应用，例如在对数变换、数据搜索和数据压缩中都能见到对数函数的身影。
6. 三角函数三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们分别以sin(x)、cos(x)和tan(x)的形式表示。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们在数学和科学领域应用广泛，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍基本初等函数的定义、性质和应用，以帮助读者全面理解和掌握这些知识点。
一、常数函数常数函数是指函数的函数值始终保持不变的函数。
它的定义域是全体实数，通常表示为f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平的直线，平行于x轴。
无论自变量取何值，函数值始终为常数。
常数函数在数学中的应用较少，但在物理、经济学等学科中有时会用到。
二、幂函数幂函数是指自变量的指数和函数值之间的关系为幂关系的函数。
幂函数的表达式可以写作f(x) = x^a，其中a为实数。
幂函数的图像形状与指数a的正负、大小有关。
当a为正数时，函数图像是递增的曲线；当a为负数时，函数图像是递减的曲线；当a为0时，函数图像是一条常数函数的直线。
三、指数函数指数函数是自变量为指数的函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
指数函数在经济学、生物学、物理学等领域有广泛的应用。
四、对数函数对数函数是指自变量和函数值之间的关系为指数关系的函数。
对数函数的一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
对数函数在科学计算、数据处理等领域被广泛运用。
五、三角函数三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。
常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
三角函数的图像是周期性曲线。
它们的性质和图像形态与角度或弧度的取值范围有关。
三角函数在物理学、几何学、信号处理等领域具有重要应用价值。
几种初等函数本质和定义以及标准方程推导证明
几种初等函数的本质和定义以及标准方程的推导证明一、几种初等函数的本质平面上一动点M 到一定点的距离为MF ，到一定直线的距离为MN ，MNMF=e 。
当0＜e ＜1时，M 的轨迹为椭圆 当e ＞1时，M 的轨迹为双曲线 当e=1时，M 的轨迹为抛物线双曲线的一般定义：平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=- 当2a ﹥2c 时，轨迹不存在， 当2a=2c 时，轨迹是两条射线， 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线。
椭圆的一般定义：平面内到两定点1F ，2F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆。
即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆， 当2a=2c 时，轨迹是一条线段21F F ， 当2a ﹤2c 时，轨迹不存在。
二、抛物线准线抛物线是动点到定点和定直线的距离相等的图形。
如图，M 为一动点，F 为一定点，N 为M 到定直线L 上的垂线MN 的垂足N 。
直线L 叫做抛物线的准线，定点F 叫做抛物线的焦点。
如图在抛物线的定点建立直角坐标系。
当M 位于顶点时FN=FM+MN ，因为FM=MN 所以当令FN=P 时MN FM =2P 。
由以上得F （0,2P）,准线L 的方程为 y=－2p 。
由抛物线的定义可得点M 的方程2p y x 2p 22+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y ，化简后得抛物线的标准方程：py x 22=。
抛物的标准方程有如下几种形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≥=>±=→⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≥=>±=→0;2:0;2:0;20;2:0;2:0;2222222y py x y py x p py x x px y x px y p px y 开口向下开口向上上下型开口向左开口向右左右型抛物线的标准方程三、椭圆动点M （x ，y ），定点F （c ，0）或者（-c ，0），定直线x=ca 2，离心率e=a c 。
几种初等函数的本质和定义以及标准方程的推导证明.docx
几种初等函数的本质和定义以及标准方程的推导证明一、几种初等函数的木质MF 平面上一动点M到一定点的距离为MF,到一定直线的距离为MN, ——=e oMN当0<e<l时，M的轨迹为椭圆当6>1时，，M的轨迹为双1111线当e=l时，M的轨迹为抛物线双曲线的一般定义：平面内到两定点A，F?的距离的差的绝对值为常数（小于|F,F2|）的动点的轨迹叫双曲线。
即阿用-网佗|| = 2a当2a>2c时，轨迹不存在，当2a=2c时，轨迹是两条射线，当2a<2c时,轨迹是双曲线。
椭圆的一般定义：平血内到两定点片，F?的距离的和为常数（大于|片厲|）的动点的轨迹叫椭圆。
W\MF}\ + \MF2\ = 2a当2a>2c时，轨迹是椭圆,当2a=2c时，轨迹是一条线段|片厲|，当2a<2c时,轨迹不存在。
二、抛物线抛物线是动点到定点和定直线的距离相等的图形。
如图，M 为一动点，F 为一定点，N 为M 到定玄线L 上的垂线MN 的垂足N 。
育线L 叫做抛物线的准线，定点F 叫做抛物 线的焦点。
如图在抛物线的定点建立直角坐标系。
当M 位于顶点时FN 二FM+MN,因FM P P为FM=MN 所以当令FN=P 时—— =—o 由以上得F ( 0,—),准线L 的方程为MN 22线的标准方程：X 2 =2py. 抛物的标准方稈有如下儿种形式:三、椭圆由抛物线的定义可得点M 的方稈化简后得抛物左右型-＞)“ 抛物线的标准方程＜±2/?x; p>0开口向右：于 开口向=2 px; x > 0= -2px;x<0±2叫＞0开口向S 2 开口向下：F =2py; y > 0= -2py;y<0动点M (x ,离心率e 二式两边平方化简后得到：(a 2 -c 2)x 2 +a~y- =a 2(a 2 -c 2)°设/一异，此时2 2原方程可化为：于+君"＞〃〉0)或者当焦点位于Y 轴上时：二 + 二=如〃〉0)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几种初等函数的本质和定义以及标准方程的推导证明
一、几种初等函数的本质
平面上一动点M 到一定点的距离为MF ，到一定直线的距离为MN ，
MN
MF
=e 。
当0＜e ＜1时，M 的轨迹为椭圆 当e ＞1时，M 的轨迹为双曲线 当e=1时，M 的轨迹为抛物线
双曲线的一般定义：
平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=- 当2a ﹥2c 时，轨迹不存在， 当2a=2c 时，轨迹是两条射线， 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线。
椭圆的一般定义：
平面内到两定点1F ，2F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆。
即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆， 当2a=2c 时，轨迹是一条线段21F F ， 当2a ﹤2c 时，轨迹不存在。
二、抛物线
准线
抛物线是动点到定点和定直线的距离相等的图形。
如图，M 为一动点，F 为一定点，N 为M 到定直线L 上的垂线MN 的垂足N 。
直线L 叫做抛物线的准线，定点F 叫做抛物线的焦点。
如图在抛物线的定点建立直角坐标系。
当M 位于顶点时FN=FM+MN ，因为FM=MN 所以当令FN=P 时
MN FM =2P 。
由以上得F （0,2
P
）,准线L 的方程为 y=－2p 。
由抛物线的定义可得点M 的方程2p y x 2p 2
2
+=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y ，化简后得抛物
线的标准方程：py x 22
=。
抛物的标准方程有如下几种形式：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≥=>±=→⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≥=>±=→0;2:0;2:0;20
;2:0;2:0;222
22
2
2
y py x y py x p py x x px y x px y p px y 开口向下开口向上上下型开口向左开口向右左右型抛物线的标准方程
三、椭圆
动点M （x ，y ），定点F （c ，0）或者（-c ，0），定直线x=c a 2，离心率e=a
c。
动点M （x ，y ）⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==⊂a c d MF M P 。
由集合内的公式得
()x c
a y c x -+-2
2
2=
a
c
,将上式两边平方化简后得到：(
)
(
)2
22
2222
2c
a a y a x c a -=+-。
设222
b c a
=-，此时
原方程可化为：)0(122
22>>=+b a b y a x 或者当焦点位于Y 轴上时：
)0(12
2
22>>=+b a b x a y 。
此方程即为椭圆的标准方程，动点M 的轨迹为长半轴a 短半轴为b 的椭圆。
四、双曲线
根据双曲线的一般定义:
设c F F 221=，)0,(1c F -、)0,(2c F 。
设M 是一动点。
a MF MF 221±=- 由图知： ()221y c x MF ++=
()222
y c x MF +-=
∴
()22y c x ++-()22y c x +-=a 2±
移项得：22)(y c x ++22)(2y c x a +-+±=
平方得：222)()(y c x a cx a +-=-± （*） 再平方得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-
即)()(22222222a c a y a x a c -=--，令)0(222>>-=b c a c b
则2
2
2
2
2
2
b a y a x b =-，即122
22=-b
y a x
反之：设M 是12222=-b y a x 上的点，则)1(22
22-=a
x b y ， a a cx a cx x a
c a
x b b c cx x y c x MF +=++=
+-++=
++=2
22
222
222
2
2
2122)(
222)(y c x MF +-==
a a
cx
-，x a c a ≤<, ∴当
a
x ≥时，
a a
cx MF +=
1 ，
a a
cx MF -=
2，有
a a a
cx
a a cx MF MF 221=+-+=
-； 当a x -≤时，a
a
cx
MF --=1，
a a
cx
MF +-
=2，有
a a a cx
a a cx MF MF 221-=-+--=-
综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是122
22=-b y a x ①，其中
)0(222>>+=a c b a c ，焦点)0,(F )0,(21c c F 、-.
焦点是F 1(0，－c)、F 2(0，c)时，a 、b 的意义同上，那么只要将方程①的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上双曲线的标准方程
是122
22=-b
x a y ，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、- 将方程推导过程中的方程（*）做变形可得()
c
a x a c y c x 2
2
2
-=+-，
即
()a
c c
a x y c x =
-
+-22
2，且1>a c。
其几何意义是双曲线上的点满足到定点)0,(F 2c 的距离与到定直线
c
a x 2
=的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个点),(y x P 满足
()a
c c
a x y c x =
-
+-22
2，且1>a c
，即点P 到定
点)0,(F 2c 的距离与到定直线c
a x 2
=的距离之比是一个大于1的常数，
则点P 的轨迹是双曲线。