点的极坐标与直角坐标的互化

(2)∵ρ＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝xy＝－ 33，θ∈R. 由于点( 6，－ 2)在第四象限，所以 θ＝161π＋2kπ，(k ∈Z)． ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为 (2 2，161π＋2kπ)，(k∈Z).
在极坐标系中， A(2，π4)，B(2，54π)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点 C 的极坐标与该三角形 的面积？
2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝ 2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内 的点．
2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
(2)x＝2cos 23π＝－1，y＝2sin 23π＝ 3， ∴点(2，23π)的直角坐标为(－1， 3)，是第二象限内的点． (3)x＝2cos(－3π)＝1，y＝2sin(－π3)＝－ 3， ∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－ 3)，是第四象限内的点． (4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2. ∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限 内的点.
y＝ρsin θ＝4sin(－1π2)＝－4sin1π2＝ 2－ 6.
∴点的极坐标(4，－1π2)化为直角坐标为( 2＋ 6， 2－
6)．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运 用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数 值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(4，23π)； (4)(4，－1π2)．
【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ―→点的直角坐标(x，y)
【自主解答】 (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ6＝ 3， y＝ρsin θ＝2sinπ6＝1. ∴点的极坐标(2，6π)化为直角坐标为( 3，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cosπ2＝0， y＝ρsin θ＝3sinπ2＝3. ∴点的极坐标(3，2π)化为直角坐标为(0,3)．
S△ABC＝12|AC| BC| ＝12|AC|2＝12×8＝4.
法二 设点 C 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0,0≤θ＜2π)， ∵|AB|＝2|OA|＝4，∠C＝2π， |AC|＝|BC|， ∴|AC|＝|BC|＝2 2，
ρ2＋22－2×2ρcosθ－π4＝8， ① 即
ρ2＋22－2×2ρcosθ－54π＝8， ②
2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
1.了解极坐标系与直角坐标系的联系．
课标解读
2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 位置的区别．
3.能进行极坐标和直角坐标的互化.
1．互化的前提条件
图 1－2－4 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的 长度单位 ，如图 1－2－4 所示．
∴直角坐标 P(－1，－ 3)化为极坐标为(2，43π).
本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以 及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点 C 的坐 标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关 键．本题运用了坐标平面内两点间的距离公式：
(1)如果已知点的直角坐标 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 那么|AB|＝ x1－x22＋y1－y22； (2)如果已知点的极坐标 A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，那么|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
1．点 A 的极坐标是(2，76π)，则点 A 的直角坐标为( C )
A．(－1，－ 3)
B．(－ 3，1)
C．(－ 3，－1)D．(来自3，－1)2．(2013·周口质检)点 M 的直角坐标为(0，2π)，则点 M
的极坐标可以为( C )
A．(π2，0)
B．(0，π2)
C．(π2，2π)
D．(π2，－π2)
象限取最小正角．
1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若 ρ＞0，sin θ＝ρy，cos θ＝ρx，所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝ |OM|2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)．
(3)∵x＝ρcos θ＝4cos23π＝－2， y＝ρsin θ＝4sin23π＝2 3. ∴点的极坐标(4，23π)化为直角坐标为(－2,2 3)．
(4)∵cos1π2＝
1＋2cosπ6＝
1＋ 2
3 2＝
6＋ 4
2，
sin1π2＝
1－2cosπ6＝
1－ 2
3 2＝
6－ 4
2，
∴x＝ρcos θ＝4cos(－1π2)＝4cos1π2＝ 6＋ 2，
【解】 法一 利用坐标转化． 对于点 A(2，4π)，直角坐标为( 2， 2)，点 B(2，54π)的 直角坐标为(－ 2，－ 2)．
设点 C 的直角坐标为(x，y)， 由题意得 AC⊥BC，
且|AC|＝|BC|，∴A→C ·B→C ＝0，
即(x－ 2，y－ 2)·(x＋ 2，y＋ 2)＝0， ∴(x－ 2)(x＋ 2)＋(y－ 2)(y＋ 2)＝0， ∴x2＋y2＝4. ①
分别将下列点的直角坐标化为极坐标，(ρ＞0，θ∈R) (1)(－2,2 3)；(2)( 6，－ 2)．
【解】 (1)∵ρ＝ x2＋y2＝ －22＋2 32＝4， tan θ＝xy＝－ 3，θ∈R，由于点(－2,2 3)在第二象限， ∴θ＝23π＋2kπ，(k∈Z)． ∴点(－2,2 3)化为极坐标为(4，23π＋2kπ)，(k∈Z)．
(2)ρ＝ － 32＋－12＝2， tan θ＝－－13＝ 33，θ∈[0,2π)， ∵点(－ 3，－1)在第三象限，∴θ＝76π， ∴直角坐标(－ 3，－1)化为极坐标为(2，76π)．
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式 ρ ＝ x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 tan θ＝xy (x≠0)求 θ 时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ＋2kπ，k∈Z 即可．
又|AC|2＝|BC|2，于是 (x－ 2)2＋(y－ 2)2＝(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2， 即 y＝－x，代入①得 x2＝2， 解得 x＝± 2， ∴xy＝ ＝－2 2 或xy＝ ＝－2，2， ∴点 C 的直角坐标为( 2，－ 2)或(－ 2， 2)． ∴ρ＝ 2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝74π或34π， ∴点 C 的极坐标为(2，34π)或(2，74π)．
①＋②化简得 ρ2＝4，由 ρ＞0 得 ρ＝2，代入①得 cos(θ －π4)＝0，
∴θ－4π＝π2＋kπ，k∈Z， 即 θ＝34π＋kπ，k∈Z， 又 0≤θ＜2π，令 k＝0,1， 得 θ＝34π或74π， ∴点 C 的极坐标为(2，34π)或(2，74π)， S△ABC＝12|AC||BC|＝12|AC|2＝12×8＝4.
3．极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的( B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．将直角坐标P(－1，－ 3)化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
【解】 ∵ρ＝ －12＋－ 32＝2，tan θ＝－－13＝ 3， 由于点 P(－1，－ 3)在第三象限，所以 θ＝43π，
分 别 将 下 列 点 的 直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 (ρ ＞ 0,0≤θ＜2π)．
(1)(－1,1)；(2)(－ 3，－1)．
【思路探究】 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
taρn＝θ―＝―xyx2→＋x≠y20
【自主解答】 (1)∵ρ＝ －12＋12＝ 2， tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， ∵点(－1,1)在第二象限，∴θ＝34π， ∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为( 2，34π)．