量子光学基础第三章

场强度，
E(zt) xˆq(t)N sin kz
xˆ 为偏振方向，
N
(2 2
V
)
1 2
，V归一化体积，ε介电常数。利用Maxwell
方程，
H
D ,
H y
Ex
t
z
t ，
得到，
H (zt)
yˆq(t
)
N
coskz
，
k
电磁场能量，利用 sin 2 kz 1，2
q2 p2
k
c
，1
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(r
t)]
i
T jl
(r
r
)
T表示垂直于电磁场传播方向，量子化后电磁场变成光子场，状态用光子
数表示。在一般量子电动力学中，认为光子没有确定位置，但自由光子
有确定动量和偏振方向，因此用波矢和偏振方向表示状态，为简单，后
面用j代替kτ，光子产生与湮灭算符为
电磁场能量 电场强度
Hˆ
j
j
[aˆ
j
aˆ
j
，1 ]
2
aˆ
j
，, aˆ j
Eˆ i
j 2
[aˆ
j
uj
(r
)e
i
j
t
aˆ
j
uj
(r
)e
i
jt
]
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第一节 电磁场的量子化
2，仿谐振子量子化方法
仿谐振子量子化方法又称驻波场的量子化方法，考虑单模场，
振动频率为ω，设想波在一维谐振腔中来回反射形成驻波，相应电
aˆ j n j n j n j 1
aˆ
j
nj
nj 1 nj 1
A
1 k
2k
(ak uk
(r )e ik t
c.c)
u k
(r)
V
1 2
eˆ
e ikr
eˆ表示偏振方向，τ=1，2为两个偏振态，k
2
nˆ
为波矢。
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第一节 电磁场的量子化
正则动量
A
2
1 k
k
2
(iak uk
(r )e ik t
c.c)
其中k为不同频率的波数，正则量子化方法就是将正则坐标和动量变
量子光学基础
第三章，电磁场的量子化
-
———
1
第三章 电磁场的量子化
第一章我们讲量子力学的基本知识，主要介绍原子系统的量子 化，引入二能级原子模型和Bloch方程，上一章介绍激光的半经典 理论，其中电磁场经典处理，原子系统量子化，半经典理论可以 讨论激光器的增益饱和、频率牵引、模式竞争、Lamb凹陷等问 题，这理论也可以用来讨论非线性光学中Raman散射与四波混频等 现象。但也有许多量子光学问题，半经典理论给不出正确的结果， 包括自发辐射、激光谱线宽度、共振荧光和压缩态等。对它们处理 必须用全量子理论，全量子理论不仅原子系统量子化，电磁场也要 量子化。
本章介绍电磁场的量子化及量子化电磁场的性质。分以下几节： 1，电磁场的量子化； 2，相干态与电磁场的相干性质； 3，电磁场的表示； 4，量子噪声.
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2
第一节 电磁场的量子化
对电磁场量子化有两套方法，正则量子化和仿谐振子量子化方法，
下面分别介绍：
1，电磁场的正则量子化
正则量子化就是对系统引入相应正则坐标和正则动量，而其它物理
量写成坐标和动量的函数，然后将坐标,动量量子化，并完成其它物理量
的量子化，特别引入量子化的哈密顿量。在电磁场中正则坐标就是电磁
矢势，而电场强度与磁场强度都用电磁矢势
A
来表示，对其量子化，
就完成电磁场的量子化。
自由电磁场中Maxwell方程：
———
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第一节 电磁场的量子化
有
H 1 dV (E2 H 2 ) 2V
1 2
(q2
2 2 V
1V 2
q2
2 2 V
2 k2
V 2
)
1 2
( 2q2
p2)
这与谐振子哈密顿量相似，其中m=1，量子化将其中q，p变成算符，得
Hˆ 1 ( 2qˆ 2 pˆ 2 )
2
取 qˆ (aˆ aˆ), pˆ 1 (aˆ aˆ )
在实际问题讨论中，我们求的是能量的变化，无限大零点能不会对结果
带来影响。在量子电动力学中常利用重整化方法将零点能去掉，这样电
磁场哈密顿算符为
Hˆ
j
aˆ
j
aˆ
j
j
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第一节 电磁场的量子化
类似于第一章对谐振子讨论，给出光子产生与湮灭算符对光子数态作
用的结果
2
i2
利用 [aˆ, aˆ ] 1，得
Hˆ 1 (2 aˆaˆ aˆaˆ ) (aˆaˆ 1)
2 2
2
2
在多模时， Hˆ
j
j
(aˆ
j
aˆ
jHale Waihona Puke Baidu
1) 2
。
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第一节 电磁场的量子化
3，光子数态
电磁场经量子化后变为光子场，电磁场状态将用不同状态光子数表
成算符，
Aˆ k
2k
(aˆk
uk
(r )e ik t
aˆk uk
(r)eikt )
ˆ i k
k
2
(aˆk
uk
(r )e ik t
aˆk uk
(r)eikt )
量子化后哈密顿算符
Hˆ
k
k [aˆk aˆk
1] 2
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第一节 电磁场的量子化
量子化后
D 0,
E
B
B
0,
H
t D
t
B H , D E
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第一章 电磁场的量子化
引入电磁矢势
A
，电场强度，
E
A
A，
t
磁感应强度
，B
A
在库仑规范下 ，
A 0
矢势满足方程
2A
2A
t 2
在真空中， 0 0 1/ c 2 ，方程写为
aˆ
k
,
aˆ k
分别是电磁场中光子的产生和湮灭算符，量子化后，
电磁场变成光子场， Nˆ k aˆk aˆk 为光子数算符，光子为波色子，
aˆ
k
,
aˆ k
满足波色对易关系
[aˆ k
,
aˆ
k
]
aˆ k
aˆk ，
aˆ
k
aˆ k
kk
正则坐标与正则动量满足横对易关系
[
Aˆ j
(rt
),ˆl
取 A 为正则坐标，系统拉氏函数密度，
L 1 (E 2 H 2 )
2
2A
1
2A
，
c 2 t 2
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第一节 电磁场的量子化
在分析力学中正则动量为
AL
A
E
D
系统的哈密顿量
H
(
A
L)dV
1 2
(E
2
H 2 )dV
电磁场包括各种不同频率波，因此取
2
示，光子数算符，
Nˆ j
aˆ
j
aˆ
j
，它的本征态
征方程
Nˆ j n j
aˆ
j
aˆ
n
j
nj nj
n，j 称光子数态，本
基态为真空态，表为 0 ，表示一个光子也没有，定义
aˆ j 0 0
基态能量 Hˆ
0
1 2
j
j
0,真空态能量不为零，由于频率求和没有
上限，总能量可以趋向无限，这是量子化电磁场的一个概念性的困难，