实变函数答案(魏勇版)
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开集 (0, ) H i其中 Gi、H i 开.于是
i 1
i 1
(0,1] ( ,1] (0, ) （ G） （ H ） i i
是G 型集. 又开集 (0,1) Fi，其中 Fi闭，故
i 1
i 1
i 1
(0,1] (0,1) {1} ( Fi ) {1}又是 F 型集.
N 1 n N n N
m* En 0( N ),
n N
于是m* ( lim En ) 0, 故 lim En可测，且m( lim En ) 0.
n n n
10.证明： (1). f ( x)在E上可测 r Q, E( f r )可测. (2).若对r Q, E( f r )可测，f ( x)是否在E上可测？ (3).若对a R1, E( f a)可测，f ( x)是否在E上可测？ 证明： (1“ ). ”显然成立 . ( [
n 1
.
k
4 * 记E E ( f K ) [ E ( f n K n )]，
n 1
.
E0 E E (E E )，则可测集 E0 E，且
*
m(E E0 ) m[E (E E )] mE m(E E )
* *
mE ( f K ) m[ E ( f n K n ) m( E E )
记c max{ K1, K2 ,, KN ,1 K}, 则对n，x E0， 有 fn ( x) c.
f (a) m * ({a} E) 0, f (b) m * ([a, b] E) m * E， 由连续函数的介值定理 知，对 c ( f (a), f (b)) (0, m*E), [a, b], 使得 * f ( ) m ([a, ] E) c.
设m ( Ei ) m Ei，则由Sn可测，En Sn，
* *
n -1 i 1
i 1
n -1
n 1 i 1
Ei Si CS n，得
n -1
i 1
m ( Ei ) m*[( Ei ) En ] m* ( Ei ) m* En
i 1
8.证明：直线上所有可测 集合作成集合类的基 数等于直线上所有集合 类的基数 . 1 1 证明：设 {E E R }, {E 可测集E R },
则 ，即有 .下证 . 即证* 使得，* ~ .
由于康托集 P0 , P0 c, mP0 0，且对 E P0，有
m *[([a, x] [a, x0 ]) E] m *[[x0 , x] E] x x0 . 同理当x0 x x0时也有 f ( x) f ( x0 ) . 故f ( x)在x0连续，从而 f ( x)在[a, b](单增)连续.又
么？ 解：由于对 a 0,
[0,1 （ ] f a） [0,1 （ ] f 0 ） E 不可测，所以 f ( x)在[0,1]不可测. 但 f ( x) 1 ，x [0,1] ；所以 f ( x) 在[0,1]可测.
14.设mE ， { fn ( x)}是定义在E上的a.e有限的可 测函数列， f ( x)是定义在E上的有限函数，且 fn ( x) f ( x)a.e于E，则对 0, 常数c与可测子 集E0 E，满足. m(E E0 ) , fn ( x) c( x E0 , n 1,2,). 证明：由 Eropob 定理， 0，E E, 使得 一致 m( E E ) , 且f n ( x) f ( x)，x E . 4 ) ( 又对n： k k 0 mE ( f n ) m[ E ( f n k )] （ {E ( f n k )} k 1 m lim E ( f n k ) lim mE ( f n k ). 关于k渐缩）
i 1 n *
n -1
n -1
m Ei m En m Ei .
* * * i 1 i 1
n 1
i 1
n
i 1
5.证明：F为F 型集 CF为G 型集.
证明：F为F 型集 F Fi ( I a, Fi闭)
iI
CF C( Fi ) CFi ( I a, CFi开).
iI iI
CF为G 型集. 6.证明：开集、闭集既是 F 型集又是G 型集.
证明：设 G开，由第一章习题 27 知G Fi ( Fi闭)， 即G是F 型集.又G G，故 G又是 G 型集.
i 1 i 1
由对偶性知闭集既是 F 型集又是G 型集.
7.证明： (1).(0,1]既是F 型集又是G 型集； (2).Q是F 型集不是G 型集； (3).R Q是G 型集不是 F 型集. 证明： (1).由6题知，闭集 ( ,1] Gi，
1.证明：若E有界，则m * E . n 证明：由于E有界，所以区间I ai , bi , 满足I E, 于是 n m * E m * I I (bi ai ) .
i 1 i 1
2.证明：可数集的外测度 为0.
* * *
证明：设 E {a1 , a2 , , an , }, 则E {an }, 于是
9.证明：若 m En , 则limEn为可测集，且
*
m( limEn ) 0.
n
n 1
n
证明：由于 m En , 即级数 m En收敛，
* * n 1 n 1
所以
n
0 m* ( lim En ) m* ( En ) m* ( En )
i 1
设Q {r1 , r2 , , rn , } {rn },由于{rn }闭，所以 Q n 1 是F 型集.
(2).Q是F 型集不是G 型集；
(3).R Q是G 型集不是F 型集. Q是F 型集 CQ R Q是G 型集. 若R Q是F 型集，则C( R Q) Q是G 型集, 矛 盾，故R Q不是F 型集.
“” a R , 严格单增有理数列 {rn} ：
1
rn
a
rn a(n ), 有rn a， 且E ( f a ) E ( f rn ).
n 1
由于对r Q, E( f r )可测，所以 E( f a)可测， 故f ( x)在E上可测.
(3).对a R1, E( f a)可测，推不出 f ( x)在E上可测 . 如取不可测集 E0 (0,1]， .令
即E0 [a, ] E E, 使得m E0 c.
*
4.设S1, S2 ,, Sn是一些互不相交的可测 集， n n Ei Si (i 1,2, , n)，证明：m* ( Ei ) m* Ei .
i 1
证明：由于 S1, S2 ,, Sn互不相交可测， Ei Si， 所以由E1 S1，E2 S2 CS1，及定理2.2.1知 m* ( E1 E2 ) m*E1 m*E2.
0 m E m ( {an }) m {an } 0,
n 1
故m E 0.
*
n 1
n 1
3.设E是直线上一有界集， m * E 0，则对 c (0, m * E), E0 E, 使得m * E0 c. 证明：由于 E是直线上一有界集，所 以[a, b] E. 对x [a, b], 令f ( x) m * ([a, x] E)，下证f ( x)在[a, b] 连续. 对x0 [a, b], 0,， ,当x0 x x0 ，有 f ( x) f ( x0 ) m * ([a, x] E) m * ([a, x0 ] E)
则E可测，且mE 0.又在可测集 [a, b] E上f ( x)连续，
12.设{ fn ( x)}为E上的可测函数列，证明 它的收敛
点集和发散点集都是可 测集.
证明：设E0为{ fn ( x)}在E上的收敛点集，则对 x0 E0 ,{ fn ( x0 )}收敛，即 对k 1, N 1, 使得当n N时, 对p 1, 有 1 f n p ( x0 ) f n ( x0 ) . k 1 于是 E0 E ( f n p f n ). 由于 { fn ( x)}为 k 1 N 1 n N p 1 k E上的可测函数列，所以 对n 1, p 1, fn p ( x) fn ( x)
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11.证明：若f ( x)在[a, b]上单增，则 f ( x)在[a, b]上 可测. 证明：由于 f ( x)在[a, b]上单增，所以 f ( x)在[a, b]上 的间断点至多可数 .设E是f ( x)在[a, b]上的间断点集， . 从而f ( x)在[a, b] E上可测; 又f ( x)在E上可测, 故 f ( x)在[a, b]上可测.
4
n 1
2
n 1
4
n 1
2
2
.
且由fn ( x) f ( x)，x E0 (E0 E )知，对
一致
0 1 ，N，当n N , 对x E0，有 fn ( x) f ( x) 1 ，
从而
fn ( x) fn ( x) f ( x) f ( x) 1 K.
k k
即对 0, K n 1 ，当 k K n，有 mE ( f n k ) 特别地，有 mE ( f n K n )
2
n 1
.
2 同理，由 0 mE ( f ) lim mE ( f k )，知 K，有 mE ( f K )
x, x (0,1] E0 f ( x) ， x, x E0
则对a R1, (0,1]( f a)或为或为单元素集 {a}, 即 (0,1]( f a)恒可测.但(0,1]( f 0) E0不可测, 从而f ( x)
在(0,1]上不可测 .
(2). 由(3)知对r Q, E( f r )可测，更推不出 f ( x)在 E上可测.
在E上的可测 , 从而 f n p ( x) f n ( x) 在E上的可测，故
E0可测.于是{ fn ( x)}在E上的发散点集 E E0也可测 .
1, x E 13.设不可测集E [0,1]，令f ( x) , 1, x [0,1] E 问f ( x)是否在[0,1]可测， f ( x) 是否在[0,1]可测，为什
mE 0.令 {E E P 0}, 则 . 11 1 1 由于P ~ R ，即 f ： P R 0 0 x y f ( x) * 1 1 于是 {E E P 0} ~ {E f ( E) R } {E E R } ,
* *
从而 * . 故 .
i 1
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(0,1] ( ,1] (0, ) （ G） （ H ） i i
是G 型集. 又开集 (0,1) Fi，其中 Fi闭，故
i 1
i 1
i 1
(0,1] (0,1) {1} ( Fi ) {1}又是 F 型集.
N 1 n N n N
m* En 0( N ),
n N
于是m* ( lim En ) 0, 故 lim En可测，且m( lim En ) 0.
n n n
10.证明： (1). f ( x)在E上可测 r Q, E( f r )可测. (2).若对r Q, E( f r )可测，f ( x)是否在E上可测？ (3).若对a R1, E( f a)可测，f ( x)是否在E上可测？ 证明： (1“ ). ”显然成立 . ( [
n 1
.
k
4 * 记E E ( f K ) [ E ( f n K n )]，
n 1
.
E0 E E (E E )，则可测集 E0 E，且
*
m(E E0 ) m[E (E E )] mE m(E E )
* *
mE ( f K ) m[ E ( f n K n ) m( E E )
记c max{ K1, K2 ,, KN ,1 K}, 则对n，x E0， 有 fn ( x) c.
f (a) m * ({a} E) 0, f (b) m * ([a, b] E) m * E， 由连续函数的介值定理 知，对 c ( f (a), f (b)) (0, m*E), [a, b], 使得 * f ( ) m ([a, ] E) c.
设m ( Ei ) m Ei，则由Sn可测，En Sn，
* *
n -1 i 1
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Ei Si CS n，得
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m ( Ei ) m*[( Ei ) En ] m* ( Ei ) m* En
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8.证明：直线上所有可测 集合作成集合类的基 数等于直线上所有集合 类的基数 . 1 1 证明：设 {E E R }, {E 可测集E R },
则 ，即有 .下证 . 即证* 使得，* ~ .
由于康托集 P0 , P0 c, mP0 0，且对 E P0，有
m *[([a, x] [a, x0 ]) E] m *[[x0 , x] E] x x0 . 同理当x0 x x0时也有 f ( x) f ( x0 ) . 故f ( x)在x0连续，从而 f ( x)在[a, b](单增)连续.又
么？ 解：由于对 a 0,
[0,1 （ ] f a） [0,1 （ ] f 0 ） E 不可测，所以 f ( x)在[0,1]不可测. 但 f ( x) 1 ，x [0,1] ；所以 f ( x) 在[0,1]可测.
14.设mE ， { fn ( x)}是定义在E上的a.e有限的可 测函数列， f ( x)是定义在E上的有限函数，且 fn ( x) f ( x)a.e于E，则对 0, 常数c与可测子 集E0 E，满足. m(E E0 ) , fn ( x) c( x E0 , n 1,2,). 证明：由 Eropob 定理， 0，E E, 使得 一致 m( E E ) , 且f n ( x) f ( x)，x E . 4 ) ( 又对n： k k 0 mE ( f n ) m[ E ( f n k )] （ {E ( f n k )} k 1 m lim E ( f n k ) lim mE ( f n k ). 关于k渐缩）
i 1 n *
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m Ei m En m Ei .
* * * i 1 i 1
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5.证明：F为F 型集 CF为G 型集.
证明：F为F 型集 F Fi ( I a, Fi闭)
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CF C( Fi ) CFi ( I a, CFi开).
iI iI
CF为G 型集. 6.证明：开集、闭集既是 F 型集又是G 型集.
证明：设 G开，由第一章习题 27 知G Fi ( Fi闭)， 即G是F 型集.又G G，故 G又是 G 型集.
i 1 i 1
由对偶性知闭集既是 F 型集又是G 型集.
7.证明： (1).(0,1]既是F 型集又是G 型集； (2).Q是F 型集不是G 型集； (3).R Q是G 型集不是 F 型集. 证明： (1).由6题知，闭集 ( ,1] Gi，
1.证明：若E有界，则m * E . n 证明：由于E有界，所以区间I ai , bi , 满足I E, 于是 n m * E m * I I (bi ai ) .
i 1 i 1
2.证明：可数集的外测度 为0.
* * *
证明：设 E {a1 , a2 , , an , }, 则E {an }, 于是
9.证明：若 m En , 则limEn为可测集，且
*
m( limEn ) 0.
n
n 1
n
证明：由于 m En , 即级数 m En收敛，
* * n 1 n 1
所以
n
0 m* ( lim En ) m* ( En ) m* ( En )
i 1
设Q {r1 , r2 , , rn , } {rn },由于{rn }闭，所以 Q n 1 是F 型集.
(2).Q是F 型集不是G 型集；
(3).R Q是G 型集不是F 型集. Q是F 型集 CQ R Q是G 型集. 若R Q是F 型集，则C( R Q) Q是G 型集, 矛 盾，故R Q不是F 型集.
“” a R , 严格单增有理数列 {rn} ：
1
rn
a
rn a(n ), 有rn a， 且E ( f a ) E ( f rn ).
n 1
由于对r Q, E( f r )可测，所以 E( f a)可测， 故f ( x)在E上可测.
(3).对a R1, E( f a)可测，推不出 f ( x)在E上可测 . 如取不可测集 E0 (0,1]， .令
即E0 [a, ] E E, 使得m E0 c.
*
4.设S1, S2 ,, Sn是一些互不相交的可测 集， n n Ei Si (i 1,2, , n)，证明：m* ( Ei ) m* Ei .
i 1
证明：由于 S1, S2 ,, Sn互不相交可测， Ei Si， 所以由E1 S1，E2 S2 CS1，及定理2.2.1知 m* ( E1 E2 ) m*E1 m*E2.
0 m E m ( {an }) m {an } 0,
n 1
故m E 0.
*
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3.设E是直线上一有界集， m * E 0，则对 c (0, m * E), E0 E, 使得m * E0 c. 证明：由于 E是直线上一有界集，所 以[a, b] E. 对x [a, b], 令f ( x) m * ([a, x] E)，下证f ( x)在[a, b] 连续. 对x0 [a, b], 0,， ,当x0 x x0 ，有 f ( x) f ( x0 ) m * ([a, x] E) m * ([a, x0 ] E)
则E可测，且mE 0.又在可测集 [a, b] E上f ( x)连续，
12.设{ fn ( x)}为E上的可测函数列，证明 它的收敛
点集和发散点集都是可 测集.
证明：设E0为{ fn ( x)}在E上的收敛点集，则对 x0 E0 ,{ fn ( x0 )}收敛，即 对k 1, N 1, 使得当n N时, 对p 1, 有 1 f n p ( x0 ) f n ( x0 ) . k 1 于是 E0 E ( f n p f n ). 由于 { fn ( x)}为 k 1 N 1 n N p 1 k E上的可测函数列，所以 对n 1, p 1, fn p ( x) fn ( x)
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11.证明：若f ( x)在[a, b]上单增，则 f ( x)在[a, b]上 可测. 证明：由于 f ( x)在[a, b]上单增，所以 f ( x)在[a, b]上 的间断点至多可数 .设E是f ( x)在[a, b]上的间断点集， . 从而f ( x)在[a, b] E上可测; 又f ( x)在E上可测, 故 f ( x)在[a, b]上可测.
4
n 1
2
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n 1
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且由fn ( x) f ( x)，x E0 (E0 E )知，对
一致
0 1 ，N，当n N , 对x E0，有 fn ( x) f ( x) 1 ，
从而
fn ( x) fn ( x) f ( x) f ( x) 1 K.
k k
即对 0, K n 1 ，当 k K n，有 mE ( f n k ) 特别地，有 mE ( f n K n )
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2 同理，由 0 mE ( f ) lim mE ( f k )，知 K，有 mE ( f K )
x, x (0,1] E0 f ( x) ， x, x E0
则对a R1, (0,1]( f a)或为或为单元素集 {a}, 即 (0,1]( f a)恒可测.但(0,1]( f 0) E0不可测, 从而f ( x)
在(0,1]上不可测 .
(2). 由(3)知对r Q, E( f r )可测，更推不出 f ( x)在 E上可测.
在E上的可测 , 从而 f n p ( x) f n ( x) 在E上的可测，故
E0可测.于是{ fn ( x)}在E上的发散点集 E E0也可测 .
1, x E 13.设不可测集E [0,1]，令f ( x) , 1, x [0,1] E 问f ( x)是否在[0,1]可测， f ( x) 是否在[0,1]可测，为什
mE 0.令 {E E P 0}, 则 . 11 1 1 由于P ~ R ，即 f ： P R 0 0 x y f ( x) * 1 1 于是 {E E P 0} ~ {E f ( E) R } {E E R } ,
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从而 * . 故 .