《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型

故
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注 定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即 解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章 对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为 对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵； （2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解 二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，
从而 由
An = PnP-1 .
2 1
| A E |
( 1)( 3) ,
1 2
得 A 的特征值 1 = 1， 2 = 3 . 于是
1 0
03
, n
1 0
0 3n
.
当 1 = 1 时， 解方程 (A – E )x = 0，即
1 1
11
x1 x2
0,
1
得
p1 1 ;
当 2 = 3 时， 解方程 (A – 3E )x = 0，即
即
1 2 1 x2 0,
1 1 2 x3
得1个特征向量
1 p3 1 .
1
则 p1 , p2 , p3 为 A 的三个线性无关的特征 向量且这三个向量两两正交. 现把它们单位化.
1
令
e1
p1 p1
1
1 ,
2 0
1
e2
p2 p2
11Βιβλιοθήκη ,6 2e3
p3 p3
1
1 1 .
1 1 1
1
( 1)2 ( 2),
所以 A 的三个特征值为:
1 2 , 2 3 1.
当 1 2 时, 解方程组 (A 1I )x 0,
即
2 1 1 x1 1 2 1 x2 0,
1 1 2 x3
解得
1
p1
1
,
1
当 2 3 1 时, 解方程组
(A 2 I )x 0,
要条件是 BTB 为正定矩阵.
证明
Bx = 0 只有零解
当 x 0 时, Bx 0,
x 0 , xT(BTB)x = ||Bx||2 > 0,
BTB 为正定矩阵.
证毕
第5、6、7章 小 结
概念：内积、正交、特征值、特征向量、正交矩阵 相似矩阵、对角化、二次型、正定矩阵
方法评注 在求正交矩阵 P 把对称矩阵 A 对角化时， 若 A 有重特征值，在求该重特征值对应的 特征向量时，可直接求出正交的特征向量， 这样可避免正交化过程，从而简化计算。
例5 设
A
2 1
21 ,
求 An .
解 因 A 对称，故 A 可对角化，即有可逆矩阵P及对角
阵 ，使 P-1AP = . 于是
解
xT Ax (x1
4 x2 )0
0 3
x1 x2
(x1
x2
)
4x1 3x2
4x12
3x22 .
4x12 3x22.
例 2 对属于 R4 的 x ，取
Q(x) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2
4x1x3 6x1x4 8x2x3 4x2x4,
写出 xT Ax 的二次型。
例2: 如果可能，对角化矩阵 解： A 的特征多项式为
6 2 1
A
2
6
1
,
1 1 5
6 2 1 3 2 1 | A I | 2 6 1 3 6 1
1 1 5 3 1 5
( 8)( 6)( 3),
所以 A 的三个特征值为:
1 3 , 2 6 , 3 8.
注：的Q，被如称果为对半所正有定x的,Q，(x如) 果0对. 所有xr,Q( x) 0; Q被称为半负
定理5 （二次型与特征值）
设A是 n n 对称矩阵，那么A对应的二次型是：
a. 正定的，当且仅当A的所有特征值是正数。 b. 负定的，当且仅当A的所有特征值是负数。 c. 不定的，当且仅当A既有正特征值又有负特征值。
定义1. Rn 上的一个二次型是一个定义在 Rn 上的函数，它 在向量x处的值可由表达式 Q(x) xT Ax 计算，此处 A是一个 n n 对称矩阵，且矩阵A称为关于二次型 的矩阵。
注1：二次型 也可以写成：
f(x1 , x2 , ···, xn) = a11x12 + a12x1x2 + ···+ a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + ···+ a2nx2xn + ···+ an1 xnx1 + an2xnx2 + ···+ annxn2
f (x1,x2,x3 ) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;
变为没有交叉项的二次型。
解 二次型f 的矩阵 A 为
0 1 1
A 1 0 1 ,
1 1 0
A 的特征多项式为
1 1 | A E | 1 1
1 1
2
1 1
2
1
2
1
(2 )(1 )2 ,
所以 A 的特征值为
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有S个不同的特征值
1 , 2 , ···, s ，它们的重数分别为 n1 , n2 , ···, ns ,
n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - i E)x=0的基础解系, 设为
pi1 , pi2 , , pini ( i = 1, 2, ···, s).
ns
则 P 为正交矩阵，且 P-1AP = .
要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线上的元素 ( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
例4
设
0 1 1 A 1 0 1 ,
1 1 0
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
1 1 1 1 0
| A E | 1 1 1 1
并把它们正交化、单位化，仍记为
pi1 , pi 2 , , pini ，以这些向量为列构造矩阵
P ( p11,p12, , p1n1 ,p21,p22, , p2n2 , , ps1,ps2, ,psns ),
Λ diag(λ1, ,λ1, λ2, ,λ2 , , λs , ,λs ),
n1
n2
3
1
P (e1 ,e2 ,e3 )
3
1
3
则 P 为正交矩阵, 且有
1 6
1 6
2 6
1
2
1 2
,
0
3 0 0
P 1 AP
Λ
0
6
0
.
0 0 8
注：例2中的特征向量是正交的。下列定理解释了原因。 定理1 如果A是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个
特征向量是正交的。
证明： 设 p1 和 p2 是对应不同特征值1，,2 的特征向量，
当 1 3
即 3
2
1
时, 解方程组 (A 1I )x 0,
2 1 x1
3
1
x2
0,
1 2 x3
解得
1
p1
1
,
1
当 2 6 时, 解方程组
(A 2 I )x 0,
即
0 2 1 x1
2
0
1
x2
0,
1 1 1 x3
解得
1
p2
1
,
2
当 3 8 时, 解方程组 (A 3 I )x 0,
由已知有 1p1 = Ap1 , 2p2 = Ap2 , 1 2 .
因 A 对称, 故 1p1T = (1p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA ,
于是 1 p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,
即
(1 - 2 )p1Tp2 = 0 .
但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 与 p2 正交.
定理4 （主轴定理）
变二换次x型y设TAD是Py一y. 个，它n将 二n 次对型称x矩T阵A，x那变么换存为在不一含个交正叉交项变的量
二次型的分类
定义 一个二次型 Q 是
a.
正定的，如果对所有
x 0 ，有
Q( x )
0.
b. c.
负定的，如果对所有 不定的，如果对所有
Qx(x)0既，有有正Q值( x又)有负0.值。
即 解得
2 2 1 x1
2
2
1
x2
0,
1 1 3 x3
1
p3
1
.
0
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
e1
1 p1
p1
1 3
1 1
,
1
e2
1 p2
p2
1 6
1 2
,
1
e3
1 p3
p3
1 2
1 0
.
1
再令
e3
1 p3
p3
1
1 1,
6 2
再令
1 1 1
3
2 6
P
(e1,e2
,e3
)
1
3 1
3
1 2 0
1
6 2
6
,
则 P 为正交矩阵, 且有
P 1 A P
Λ
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
注：此题与课本上第396页的例3解法有所不同。例3要对线性 无关但不正交的特征向量，通过格拉姆-施密特正交化。
3 1
1
1
1
2
6 3
令
P
(e1, e2 , e3
)
1 2
0
1
6 2
6
1
3 1
3
,
1 1
0
2
2
则
P 1
PT
1
6 1
3
1
6 1
3
2
6 1
3
.
且
P1 AP
Λ
1 0
0 1
0 0 ,
0 0 2
令 x = Py, 则 f 的标准形为
f xT Ax yT (PT AP) y yT Λy y12 y22 2 y32 .
1 1
11
x1 x2
0,
得
1
p2
1
.
令
1 1 P ( p1, p2 ) 1 1 ,
再求出
P 1
1 2
11
11 .
于是
An
PP1
1 2
11
11 10
0 3n
11
11
1 2
11
3n 3n
1 1
3n 3n
.
谱定理
矩阵 A 的特征值的集合有时称为 A 的谱，且下面关于 A的
特征值描述称为谱定理。
a11 a12
(x1,x2,
,
xn
)
a21 an1
a22 an2
nn
aij xi x j ,
i1 j1
a1n x1 a2n x2 ann xn
其中 aij = aji 。
注2：实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的关系。
例1
令
x
x1 x2
,
A
04
03
计算矩阵 A的 xT Ax.
例5 设 f(x1 , x2 , ···, xn) = xTAx 为正定二次型, 证明: |E + A| > 1.
证明 因为f为正定二次型, 所以 A 的特征值全大于零，即
1 > 0, 2 > 0, ···, n > 0 .
而 E + A 的特征值为 1+ 1, 2 + 1, ···, n + 1,
解 Q(x) xT Ax
1 1 2 3 x1
(x1
x2
x3
x4
)
1 2 3
3 4 2
4 1 0
2 x2
0 4
x3 x4
对于二次型，我们讨论的主要问题是寻求可逆的线性变换
x = Cy，把二次型化为只含有平方项，而没有交叉乘积项出现。
二次型的变量代换 例 3 求一个变量代换将二次型
定理3 （对称矩阵的谱定理） 一个对称的 n n 矩阵具有下面特性：
a. A 有 n个实特征值，包含重复的特征值。
b. 对每一个特征值，对应特征子空间的维数等于 作为特征方程的重数。
c. 特征空间相互正交，这种正交性是在特征向量对应 不同特征值的意义下成立的。
d. A 可正交对角化 。
§7.2 二次型
1 2 1 , 3 2. 当 1 2 1 时, 解方程组
(A E)x 0,
即
1 1 1 x1
1 1 1 x2 0,
1 1 1 x3
得2个线性无关的特征向量
1
1
p1 1 , p2 1 ,
0
2
当
3 2 时, 解方程组
( A 2E)x 0,
2 1 1 x1
正交对角化
• 定义：.一个矩阵A 称为可正交对角化，如果存在 一个正交矩阵P ( 满足 P1 PT ) 和一个对角矩阵 D 使得: A PDPT PDP1 成立。
注：下面定理2表明每个对称矩阵都可以正交对角化。
定理2 一个 n n 矩阵A可正交对角化的充分必要条件是A是 对称矩阵。
归纳：对称矩阵正交对角化的步骤