分数指数幂

12.7 分数指数幂（1）

教学目标

1、理解分数指数幂的意义；能将方根与指数幂互化，体会转化思想.

2、能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算.

教学重点及难点

重点：理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化.

难点：能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算.

教学过程设计

一、 情景引入

1．回顾

加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？

2．思考： 把32表示为2的m 次幂的形式

解：假设m 223=成立，那么333)2()2(m =

左边=21，右边=m 32

要使 左边=右边 成立，则13=m ，即31=m

所以 31322=

[说明] 因为2的任何整数指数幂都是有理数，而32是一个无理数，可知m 不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把32表示为m 2的形式.

3．讨论 通过31322=

的转化，学生讨论方根与幂的形式如何互化？

二、学习新课

1．概念辨析

（1）分数指数幂

)

0(1)0(>=≥=

-a a a a a a n m n m n m n m （其中m 、n 为整数，1>n ）. 上面规定中的n m

a 和n m a -叫做分数指数幂，a 是底数.

[说明] 指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.

方根与幂的形式互化过程，以如下表格说明注意事项：

（2）有理数指数幂

整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.

（3）有理数指数幂的运算性质：

设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么

（ⅰ）q p q p a a a +=⋅，q p q p a a a -=÷

（ⅱ）pq q p a a =)(

（ⅲ）p p p b a ab =)(，p p p b a b a =)( 2．例题分析

例1 把下列方根化为幂的形式：

（1）35； （2）3251；

（3）435； （4）49

解：（1）3

1355= （2）3

232551-=

（3）43

4355=

（4）)3339(992142424414＝＝＝或=

例2 计算： （1）4181； （2）31

)81(； 解：（1）333)3(81141441441

====

⨯ （2）2

1)21(])21[()81(31331331===⨯

3．问题拓展

例3 计算：

（1）31)278(⨯； （2）212182⨯

解：（1）6632)32()278(31331331333

1

＝＝）＝（⨯⨯⨯⨯=⨯ （2）

44416828221221221212121

＝＝）

＝（＝）＝（⨯⨯⨯

[说明] 在教学中，要注意以下几点： （1）例1为开方运算向乘方运算转化.在方根转化为幂指数的形式中，根指数在幂指数中作分母，这是学生容易出错的地方，应引起注意.

（2）例2利用有理数指数幂的运算法则进行计算，与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解.

（3）例3是为了熟练有理数指数幂的运算性质，两小题分别是积的乘法公式互逆运用的举例，其中（1）题解法也可以化成（2）题进行这样计算：632)3()2(2783133133131

=⨯=⨯=⨯.

三、巩固练习

1、课本P 练习12.7（1）

2、把下列方根化为幂的形式：

（1）46 （2）537 （3）

4331 （4）325- 3、计算：

（1）

62131)23(-⨯ （2）384323)52(⨯ （3）2146)53(⨯ （4）31

31

93⨯

四、课堂小结

带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：

1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；

2、能在简单运算中熟练地综合运用有理数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方）进行计算，法则不变.

五、作业布置

练习册P12-13，习题12.7（1）

教学设计说明

分数指数幂的产生是运用转化思想获得成功的范例.本节开头所述，减法可转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算，因此试图将开方运算转化为乘方运算.在保持整数幂运算性质的前提下，探讨指数的范围，从而产生了分数指数幂.

在教学中例题的选择上由浅入深，由概念的理解到运算性质的熟练运用，计算题的设计也是由易到难，并与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解，能够轻松掌握此部分知识点.