关于能带理论的讨论

关于能带理论的讨论

摘要:介绍了能带理论,说明能带理论是一个近似理论,是把一个复杂的多体问题化成单电子问题。介绍能带计算方法及其广泛应用。

关键词:能带;势函数;固体;单电子

一．概述

对晶体中的电子而言，周期性结构导致电子处于周期性势场之中，从而对电子态起决定性的影响。其结果是电子的能量可用一系列能带或许可带进行表示。每一个能带之中，电子的能量与电子的波矢有确定的色散关系，通常称之为能带结构。许可带之间隔以能量不可能为电子所有的范围，称为禁带。能带理论是固体物理学的核心部分之一，具有极重要的意义。例如正是能带论促进了半导体学科的发展，并对当代高度发展的微电子工业做出了奠基性的贡献。能带理论是用量子力学研究固体中电子的运动规律。显然原本是一个复杂的多体问题，在经过一定的近似处理后，可以转化成一个电子在周期性势场中的运动，晶体中其他所有电荷的影响均可用此单电子的周期场来概括。所以，能带理论有时亦称固体的单电子理论。

固体是一个复杂的多粒子体系, 所有粒子之间的相互作用是一个多体问题, 要求解晶体的多体问题,需要求解23

10个核与电子的薛定谔方程,这是一个无法完成的工作, 能带理论是把计算晶体中电子

本征态的问题做了一些简化和近似处理。把一个复杂的多体问题化成单电子问题,从这个意义上讲, 能带理论是一个近似理论。

第一个近似是零级 Born- Openheimer 近似、或称绝热近似。这个近似的基本思想是忽略了晶体中的电子——声子相互作用, 把一个存在着复杂相互作用的多体问题变成固体核势场中相互作用的电子体系问题。实际上,电子声子相互作用在许多物理现象中起着重要作用,不能忽略。为了得到一个有效的单电子方程,还必须作一个单电子近似。这个模型有两个依据:一个是建立在哈吹——福克理论基础上的, 称为哈吹——福克近似。在这个方法中,系统的态函数近似地取为单电子轨道组成的单个斯莱特行列式,用变分步骤得到的H —F 方程中包含着非局域的交换势,因此又采用一个附加的近似。即用某种方法把非局域交换项求平均, 得到有效的单电子局域势,通常采用斯莱特自由电子气近似。单电子模型的另一个理论依据是处理系统基态的多体相互作用均匀电子气方法,即局域密度泛函近似。

用了上述近似以后, 就可以认为在晶体中运动的每个电子受到晶体中所有其它电子和核产生的一个平均的又具有空间周期性的势V( r)的作用, 这个势叫局域势, 因此所有的能带方法都将问题归结为：选交换关联晶体势, 并在假定势下精确地解薛定谔方程。二．能带理论的假定

能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。如果不采用一些简化近似, 从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。把固体看成是相互作用着的电子和原

子核组成的系综, 体系的Schrodinger 方程为:

2

2

2

2201a 1i 1a i a i a i a 01[--++V (R ...R ...)+V(r...r...R ...R ...)](r...R )=E (r...R )2224i a i j a r

t t e y y m M rij ϕϕπεε≠∑∑∑ （1）

由于采用了某些近似, 因此有希望求解晶体中电子态的本征值问题。

1. 绝热近似

考虑到电子与核的质量相差悬殊。可利用Born ——oppenheimer 近似把( 1) 的本征值分为相互耦合着的电子与核的本征值问题。把耦合项去掉,这种近似叫绝热近似。它把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子—— 声子相互作用。电子运动时,可以认为核是不动的。电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。按照上述假定。动能项

2

2a a a t [-y ]=02M ∑。若适当选择势能零点使1a

V (R ...R ...) =0就可得到电子系统薛定谔方程：2

2

2'1i 1a i a i a i 01[-++V(r...r...R ...R ...)](r ,R )=E (r ,R )224i i j r

t e y m rij ϕϕπεε≠∑∑ （2）

2. 平均场近似

(2)式仍不能精确求解。因为所有电子的运动是关联的。可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用,即假定每个电子所处的势场都相同。使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有

关,而与其它电子的位置无关,引入i i (r )Ω 使之2i 01()=24i i i j r e r rij

πεε≠∑Ω∑∑ （3） 把电子与核之间的相互作用能改写为1,1(...,...)==i a i i a i

V r r R R uia U ∑∑∑ （4） =i a

uia U ∑表示所有核对第i 个电子的作用能, 在上述近似下,每个电子都处在同样的势场中运动,若用ˆi

H 代表第i 个电子的哈密顿。即

2

2i i i i t ˆ=-+(r )+U (r )2m i i i H y Ω

（5）

则电子体系的哈密顿

i

ˆˆ=i i H H ∑ （6） '11ˆ(......)(......)i i H r r E r r ϕϕ= （7）

由分离变量法,令11122(......)()()...()i i i r r r r r ϕϕϕϕ= （8）

'i i

E E =∑（9）代入方程( 7)得 ˆ()=()i i i i i i H r E r ϕϕ （10）

既所有电子都满足同样的薛定谔方程, 只要解()i i i E r ϕ 得 , 可得晶体

电子体系的电子状态和能量。使多电子问题简化为一个单电子问题,所以上述近似也称单电子近似。

3．周期场假定

(5)中势能项V(r)=(r)+U(r)Ω ，U(r)=a a

U ∑ 是原子实对电子的势能, 具有与晶格相同的周期性，(r)Ω 代表一种平均势能, 应是恒量。因此(r)V 只

有晶格周期性。

综上所述,在单电子近似和晶格周期场假定下。就把多电子体系问题

简化为在晶格周期势场()V r 的单电子定态问题：

2

2-t [y +()]()=()2m

V r r E r ϕϕ （11） 上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。

固体能带论是目前研究晶体中的电子状态, 说明晶体性质最重要的基础理论。它的出现是量子力学, 量子统计理论在固体中最直接