北师大版选修四 柯西不等式 课件
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2017-2018学年高中数学选修4-5课件北师大版2.1柯西不等式(共28张PPT)
������2 ������ 证明由柯西不等式可得cos2 ������ + sin2 ������ 2 ������2 ������ = cos2 ������ + sin2 ������ (cos2θ+sin2θ)
第二章 几个重要的不等式
§1 柯西不等式
学
习 目 标
思
维 脉 络
1.认识简单形式的柯西不等 式的几种形式,理解它们的几 何意义. 2.会证明一般形式的柯西不 等式,并能利用柯西不等式来 解决有关问题.
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 向量形式 表 达 式 等号成立的条件 ad=bc α 与 β 共线
向量(b1,b2,… ,bn)共线时,等号成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式):
2 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有( ������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + ������3 )≥ (a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a 2,a3)与向量( b1,b2,b3)共线时等号成立.
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 |α||β|≥ |α· β|
名师点拨 1.定理1的几点说 明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(adbc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以简单形式的 柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. 2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系, 不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学 和物理中有重要作用.
第二章 几个重要的不等式
§1 柯西不等式
学
习 目 标
思
维 脉 络
1.认识简单形式的柯西不等 式的几种形式,理解它们的几 何意义. 2.会证明一般形式的柯西不 等式,并能利用柯西不等式来 解决有关问题.
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 向量形式 表 达 式 等号成立的条件 ad=bc α 与 β 共线
向量(b1,b2,… ,bn)共线时,等号成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式):
2 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有( ������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + ������3 )≥ (a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a 2,a3)与向量( b1,b2,b3)共线时等号成立.
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 |α||β|≥ |α· β|
名师点拨 1.定理1的几点说 明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(adbc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以简单形式的 柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. 2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系, 不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学 和物理中有重要作用.
高二数学北师大版选修4-5课件2.1 柯西不等式
2.一般形式的柯西不等式 (1)定理 2: 2 2 2 2 设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(������1 + ������2 +…+������������ )(������1 +
2 2 ������2 +…+������������ )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当向量(a1,a2,…,an)与向量(b1,b2,…,bn)共线时,等号 成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式): 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有(������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + 2 ������3 )≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时等号成立.
第二章
几个重要的不等式
§1
柯西不等式
课程目标 1.认识简单形式的柯西不等式的 几种形式,理解它们的几何意义. 2.会证明一般形式的柯西不等式, 并能利用柯西不等式来解决有关 问题.
学习脉络
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 表达式 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2 向量形式 |α||β|≥|α· β| α 与 β 共线 等号成立的条件
点拨(1)三维形式的柯西不等式是二维形式的柯西不等式的推广,是二维
形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式过渡的桥梁,是从平面向量的几何背 景到空间向量的几何背景的拓展. (2)根据从特殊到一般的认识过程,由二维和三维形式的柯西不等式,类比猜想 出一般形式的柯西不等式.
高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4
取到．
第23页
题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
第24页
【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
第11页
思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
第12页
题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
第6页
3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
第9页
≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.
高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥__(_a_1b_1_＋__a_2b_2_＋__…_＋__a_n_b_n)_2___________， 当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共__线__时，等号成
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
《柯西不等式》课件
感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
高中数学第2章几个重要的不等式211简单形式的柯西不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4
[再练一题 ] 1．设 a，b，c 为正数，求证： ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
【证明】 由柯西不等式
???? ????
ab????2＋????
b c
????2＋????
c a
????2????[(Biblioteka b)2＋(c)2＋(
a)2]
≥????
a b·
b＋
b c·
c＋
c a
·
a
????2.
于是 ???ab2＋bc2＋ca2???(a ＋b＋c)≥(a ＋b＋c)2，
【自主解答】
x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x≤2
1＋ xy 2
1＋ yz 2
1 zx
＝12????1·
x＋zy＋z＋1·
x＋xy＋z＋1·
y ?? x＋y＋z??
≤12?????12＋12＋12?????x＋zy＋z＋x＋xy＋z＋x＋yy＋z????????12＝
【解析】 柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故 (1)不对，(2) 中，a，b，c，d 可分别写成 ( a)2，( b)2，( c)2，( d)2，所以是正确的，(3)正确．
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
教材整理 2 一般形式的柯西不等式 阅读教材 P29～P30“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定理 2 设 a1，a2，…，an 与 b1，b2，…，bn 是两组实数，则有(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋ b22＋…＋ b2n)≥(a 1b1＋a 2b2＋…＋ a nbn)2， 当向量 (a 1，a 2，…， an)与向量 (b1，b2，…， bn) 共线时，等号成立．
即ab2＋bc2＋ca2≥a ＋b＋c.
【北师大版】选修4-5数学：2.1《柯西不等式》ppt课件
-12-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
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重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
-13-
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点评
当式子中有根号、平方等形式时,经常应用柯西不等式求解.
-17-
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2.1柯西不等式 课件(北师大版选修4-5)
课
当
前
堂
自
【证明】 由柯西不等式
双
主
基
导
达
学
(2x＋y)2≤[( 3x)2＋( 2y)2][( 23)2＋( 12)2]
标
课 堂
＝(3x2＋2y2)(43＋12)≤6×161＝11.
互
动 探
于是 2x＋y≤ 11.
究
课 时 作 业
菜单
BS ·数学 选修4-5
设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
【思路探究】 如何构造二组数是解决问题的关键．
课
当
前 自
【自主解答】 由柯西不等式
堂 双
主
基
导 学
[( ab)2＋( bc)2＋( ca)2][( b)2＋( c)2＋( a)2]
达 标
课
≥(
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a)2.
堂
互 动 探 究
于是(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
菜单
利用柯西不等式求最值
BS ·数学 选修4-5
课 前 自
已知 x2＋2y2＋3z2＝1187，求 3x＋2y＋z 的最小值．
当 堂 双
主
基
导
达
学
【思路探究】 利用 x2＋2y2＋3z2 为定值，构造柯西不等 标
式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．
课
堂
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
BS ·数学 选修4-5
【解】 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得 25(x2
课 ＋y2)≥4，
柯西不等式课件
2，当且仅当 b ＝0( i ＝1，2，3，…， n )或存在一个数 k ，
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2
当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即 ＝ ＝…＝ 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2
当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即 ＝ ＝…＝ 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
高中数学北师大版选修4-5第二章几个重要的不等式课件 (共5份打包)4
2．(2014·福建卷)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－ 2|的最小值为a.
(1)求a的值； (2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2 ＋r2≥3.
(1)解：因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 当且仅当－1≤x≤2时等号成立，所以函数f(x)的最小值 等于3，即a＝3. (2)证明：由(1)，知p＋q＋r＝3. 因为p，q，r是正实数， 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p·1＋q·1＋r·1)2＝(p＋q＋ r)2＝9. 所以p2＋q2＋r2≥3.
解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥ (a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36.故a2＋4b2＋9c2≥12.从而a2＋4b2 ＋9c2的最小值为12. 答案：12
3．(福建卷)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－ b|＋c 的最小值为 4.
[高考冲浪] 1．设 f(n)＝1＋1n1＋n＋1 1…1＋n＋1 n，用数学归纳法证 明 f(n)≥3.在假设 n＝k 时成立后，f(k＋1)与 f(k)的关系是 f(k＋ 1)＝f(k)·________.
解析：当 n＝k 时， f(k)＝1＋1k1＋k＋1 1…1＋k＋1 k；
当 n＝k＋1 时， f(k＋1)＝1＋k＋1 11＋k＋1 2…1＋2k＋1 2. 所以 f(k)应乘1＋2k＋1 11＋2k＋1 2·k＋k 1.
解析：不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2. ∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a ＝ab(a＋b)．
同理 b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)． ∴a3＋b13＋abc＋b3＋c13＋abc＋c3＋a13＋abc ≤aba＋1b＋abc＋bcb＋1c＋abc＋cac＋a1＋abc ＝a＋1b＋ca1b＋b1c＋c1a＝a1bc. 答案：≤
《2.1柯西不等式 2 一般形式的柯西不等式》课件 -优质公开课-北师大选修4-5精品
1，2，3)时，等号成立.
课前探究学习
课堂讲练互动
3．你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？
提示 柯西不等式的一般形式为：若 a1，a2，„，an，b1， 2 2 2 2 b2， „， bn 都为实数，则有 (a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ ＋ 2 b2 n)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn) ， 证明如下： 若 a1＝a2＝„＝an＝0，则不等式显然成立，故设 a1，a2，„， 2 2 an 至少有一个不为零，则 a2 ＋ a ＋ „ ＋ a 1 2 n>0. 2 2 2 考虑二次三项式 (a 2 1 ＋ a 2 ＋ „ ＋ a n )x ＋ 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 1＋b2＋„＋bn) ＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋„＋(anx＋bn)2≥0. 对于一切实数 x 成立，设二次三项式的判别式为 Δ， Δ 2 2 2 2 则 ＝(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2－(a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ 4 2 ＋bn )≤0.
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2．在空间向量中，|α||β|≥|α·β|，你能据此推导出三维的柯 西不等式的代数式吗？ 提示 设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，
则α·β＝a1b1＋a2b2＋a3b3代入向量式得
2 2 2 2 2 2 (a2 1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3) . 当且仅当α与β共线时，即存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝
＝[( a＋b)2＋( b＋c)2＋( c＋a)2]·
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答 案 :15
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§1 柯西不等式 12
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HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
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2 .一 般 形式的柯西不等式
(1)定理 2:
设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2��� )≥(a 1b 1+a2b 2+…+anbn)2,当向量(a1,a 2,…,an)与向量(b 1,b2,…,b n)共 线时,等号成立.
题.
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1 .简 单 形式的柯西不等式 (1)定理 1(二维形式的柯西不等式的代数形式): 对任意实数 a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当向量(a,b)与向量(c,d) 共线时,等号成立. (2)简单形式的柯西不等式的向量形式: 设 α=(a,b),β=(c,d)是平面上任意两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当向量(a,b) 与向量(c,d)共线时,等号成立.
【做一做 2-2】 已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是
()
A.14
B.13
C.12
D.15
解 析 :根据柯西不等式,有
x当2+且y2仅+z当2=113(=12+1 1=2+11,即2)·(xx=2+y=yz2+=z12时)≥等13(号1×成x+立1.×y+1×z)2=13(x+y+z)2=13.
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【做一做 1-1】 已知不等式(x+y)
1 + ������
������ ������
≥9 对任意的正实数 x,y 恒成
-6-
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【做一做 2-1】 设 a=(1,0,-2),b=(x,y,z),若 x2+y2+z2=16,则 a·b 的最大
值为
.
解 析 :由题知,a·b=x-2z,由 柯西不等式知 [12+02+(-2)2](x2+y2+z2)≥(x+0-2z)2,
当且仅当向量 a 与 b 共线时“=”成立,
∴5×16≥(x-2z)2,∴-4 5≤x-2z≤4 5,
即-4 5≤a·b≤4 5.故 a·b 的最大值为 4 5.
答案:4 5
+
������ ������
能取到最小值(
������+1)2,故
只需(1+ ������)2≥9,即 a≥4 即可.
答 案 :B
【做一做 1-2】 已知 x+2y=1,则 x2+y2 的最小值为
.
解 析 :∵1=x+2y,
∴1=(x+2y)2≤(1+22)(x2+y2).
当且仅当 x=15,y=25时,取等号,∴(x2+y2)min=15.
������ ������ ������
3
答 案 :B
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1 .对 柯 西不等式的理解 剖 析 :柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,二 维 形 式的柯西不等式可以理解为由四个有顺序的数来对应的一种不等关 系 ,或 构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造的,但怎样构造要 仔 细 体会.(a2+b2)(c2+d2)≥(a c+bd )2,(a2+b2)(d2+c2)≥(a d+bc)2,谁与谁组合、 联 系 ,要有一定的认识. “二 维 ”是根据向量的个数来说的,在平面上一个向量有两个量:横、纵 坐 标 ,因此“二维”就要有四个量,还可以认为是四个数组合成的一种不等关 系. 2 .一 般 形式的柯西不等式的应用 剖 析 :我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题,但往 往 不 能直接应用,需要对数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯 西 不 等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西 不 等 式的关键,也是难点.我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比 柯 西 不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题.
(2)推论(三维形式的柯西不等式):
设
a1,a2,a3,b1,b2,b3
是两组实数,则有(������
2 1
+
������22
+
������32)·(������12
+
������22
+
������32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时,等号成立.
立,则正实数 a 的最小值为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
解 析 :由柯西不等式可求出(x+y)
1 + ������
������ ������
≥
������·1������ +
������·
������ ������
2
=(1+
������)2,当 x=1,y=
������时,(x+y)·1������
第二章 几个重要的不等式
-1-
§1 柯西不等式
-2-
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1.认识柯西不等式的几种简单形式,理解它们的几何意义. 2.会证明一般形式的柯西不等式,并能利用柯西不等式来解决有关问
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2 .一 般 形式的柯西不等式
(1)定理 2:
设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2��� )≥(a 1b 1+a2b 2+…+anbn)2,当向量(a1,a 2,…,an)与向量(b 1,b2,…,b n)共 线时,等号成立.
题.
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1 .简 单 形式的柯西不等式 (1)定理 1(二维形式的柯西不等式的代数形式): 对任意实数 a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当向量(a,b)与向量(c,d) 共线时,等号成立. (2)简单形式的柯西不等式的向量形式: 设 α=(a,b),β=(c,d)是平面上任意两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当向量(a,b) 与向量(c,d)共线时,等号成立.
【做一做 2-2】 已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是
()
A.14
B.13
C.12
D.15
解 析 :根据柯西不等式,有
x当2+且y2仅+z当2=113(=12+1 1=2+11,即2)·(xx=2+y=yz2+=z12时)≥等13(号1×成x+立1.×y+1×z)2=13(x+y+z)2=13.
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【做一做 1-1】 已知不等式(x+y)
1 + ������
������ ������
≥9 对任意的正实数 x,y 恒成
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【做一做 2-1】 设 a=(1,0,-2),b=(x,y,z),若 x2+y2+z2=16,则 a·b 的最大
值为
.
解 析 :由题知,a·b=x-2z,由 柯西不等式知 [12+02+(-2)2](x2+y2+z2)≥(x+0-2z)2,
当且仅当向量 a 与 b 共线时“=”成立,
∴5×16≥(x-2z)2,∴-4 5≤x-2z≤4 5,
即-4 5≤a·b≤4 5.故 a·b 的最大值为 4 5.
答案:4 5
+
������ ������
能取到最小值(
������+1)2,故
只需(1+ ������)2≥9,即 a≥4 即可.
答 案 :B
【做一做 1-2】 已知 x+2y=1,则 x2+y2 的最小值为
.
解 析 :∵1=x+2y,
∴1=(x+2y)2≤(1+22)(x2+y2).
当且仅当 x=15,y=25时,取等号,∴(x2+y2)min=15.
������ ������ ������
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(2)推论(三维形式的柯西不等式):
设
a1,a2,a3,b1,b2,b3
是两组实数,则有(������
2 1
+
������22
+
������32)·(������12
+
������22
+
������32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时,等号成立.
立,则正实数 a 的最小值为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
解 析 :由柯西不等式可求出(x+y)
1 + ������
������ ������
≥
������·1������ +
������·
������ ������
2
=(1+
������)2,当 x=1,y=
������时,(x+y)·1������
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