电动力学-矢量分析1

rr
单位张量
t e1e1 e2e2 e3e3
• 三个对角分量为1,其它分量为0
rr t
1 0
0 1
0 0
0 0 1
r
张r 量与矢r 量的点乘r
f
e1e1
f e1 e1, f e1e2
f e1 e2 ,L
f T Txx f e1 e1 Txy f e1 e2 Txz f e1 e3
n
梯度的大小就 是沿法线方向 的方向导数
grad sˆ
s
S 方向的方向导数
梯度的直角坐标表示
x
grad iˆ
grad x
y
grad
ˆj
grad y
grad iˆ ˆj kˆ
x y z
z
grad kˆ
grad z
• 上面三式恰好 gradφ矢量在直角 坐标中的三个分
n
grad
x
ABC C AB
张量与矢量的叉乘
r
r
r
r
f e1e1 f e1 e1, f e1e2 f e1 e2 ,L
r rr
r
r
r
f T Txx f e1 e1 Txy f e1 e2 Txz f e1 e3
r
r
r
Tyx f e2 e1 Tyy f e2 e2 Tyz f e2 e3
2
y
2
z
2
1
2
量
▽ 算符 梯度算子 (读“Nabla”)
《电动力学》课程简介
• 老师、教材 • 1、关于光的波动理论的基础课程 • 2、从“做事的人好找,能说明白的难找”
看基础理论的意义 • 3、电动力学与高中物理、大学物理中的
电磁场理论的区别 • 4、课程有难度但不可怕,要及时解决问题
“光电信息科学与工程”教学计划
通识教育基础课程： 思想道德修养与法律基础(40),中国近现代史纲要 (32),思政课社会实践(24),马克思主义原理(40),毛泽 东思想和中国特色社会主义理论体系概论(56),形势 与政策(32),中国语文(32),综合英语(一、二)(56×2), 大学体育(一~四)(32×4) 微积分(一、二)(88×2),线性代数(40),概率论与数理 统计(40),复变函数与积分变换(40),数理方程与特殊 函数(40) 大学物理(一、二)(88×2),物理实验(一、二)32+24 军事理论16,人文社科类选修课程160
r S P0 PP0 P0P
S0 S
称为标量函数φ在点P0处沿 S方向的方向导数
方向导数 lim P P0 lim
S P0 PP0 P0 P
S0 S
r
称为标量函数φ在点P0处沿 S 方向的方向导数
• 方向导数是标量函数在一个点处沿某个方向
对距离的变化率。它的数值与所取方向有关,
但它并不是矢量。
aybz azby
ˆj azbx axbz kˆ
axby aybx
ar
r b
absin
0
r rrr
a , b , a b 构成右手系
注意 A B B A
cr
ar
r b
r b
cr
ar
ar
r b
cr
cr
ar
r b
cxiˆ cy ˆj czkˆ
iˆ
iˆ bx aycy azcz (axcx ) cx ayby azbz (axbx )
ˆj by azcz axcx (aycy ) cy azbz axbx (ayby )
kˆ bz aycy axcx (azcz ) cz ayby axbx (azbz )
A1B3 A2 B3 A3 B3
一般来说 ABBA
张量 rr
• 具有9个分量的物理量, T
T11 T12 T13 T21 T22 T23 T31 T32 T33
并矢是张 量的一种 特殊情形
当这9个分量在坐标系转动下按一定方式变换 时[见第六章(4.19)式],由它们组成的物理量就 称为张量
应力张量
r
r
r
Tzx f e3 e1 Tzy f e3 e2 Tzz f e3 e3
f T T f
2 标量场的方向导数 梯度
• 标量场中值相同 的点构成的面称
为等值面
• 场中任一点沿不
同方向的变化是
不同的,需要考
察标量在场中沿
每一方向的变化
情况 • 引进方向导数概
念
lim P P0 lim
aybz azby
ˆj azbx axbz kˆ
axby aybx
cx aybz azby cy azbx axbz cz axby aybx
bx cyaz czay by czax cxaz bz cxay cyax
r b
cr
ar
ax bycz bzcy ay bzcx bxcz az bxcy bycx
iˆ bx ar cr cx
ar
r b
ˆj by
ar
cr
cy
ar
r b
kˆ
bz
ar
cr
cz
ar
r b
r b
ar
cr
cr
ar
r b
三矢量的矢积
ar
r b
cr
r b
ar
cr
cr
ar
r b
• 物理意义：b、c的线性组合
• 规则：把括号外的矢量与括号内较 远的矢量所得项为正号，另一项为 负号。
Tyx f e2 e1 Tyy f e2 e2 Tyz f e2 e3
Tzx
f
r
e3
e1
Tzy
f
r
e3
e2
Tzrz
f e3 e3
r
e1e1 f e1 e1 f ,e1e2 f e1 e2 f ,L
rr r
r
r
r
T f Txxe1 e1 f Txye1 e2 f Txze1 e3 f
f z
Txx Tyx
Txy Tyy
Txz Tyz
Tzx Tzy Tzz
以矩阵乘法表示并矢
frgr
fx fy
gx
gy
gz
fz frgr grfr
f
g
fx
fy
gx fz gy
gz
并矢AB与矢量C的点乘
• 并矢与矢量的点乘是一个矢量
AB C A B C C AB C A B
• 考察固体中某点P附近dσ面元前方的介质 通过面元对后方介质作用力df
• 由于dσ与df的方向不同,可以先分别考察
法线方向沿x、y、z方向的小面元
r
rrr
df x dfxxi df xy j dfxzk dfy d y Tyxi Tyy j Tyzk
r
rrr
d x Txxi Txy j Txzk dfz d z Tzxi Tzy j Tzzk
r
r
r
Tyxe2 e1 f Tyye2 e2 f Tyze2 e3 f
r
r
r
Tzxe3 e1 f Tzye3 e2 f Tzze3 e3 f
张量与矢量的点乘
rr r
T f Tijeie j flel Tij flei jl Tij f jei
nˆ 表示等值
面φ0在P0点的 法线方向
当 P0P 0 时,
P0 P
P0 Pn
cos sˆ,
nˆ
（P0、Pn、P组
成直角三角形）
梯度
cos sˆ, nˆ
s
n
nˆ • nˆ 是P0点标量增长得最快的方向。按 梯度定义, 方向就是梯度的方向,所以 梯度的方向和该点的等值面垂直
grad nˆ
T Tijeie j i, j 1, 2,3
AB A1B1e1e1 A1B2e1e2 A1B3e1e3 A2B1e2e1 A2B2e2e2 A2B3e2e3 A3B1e3e1 A3B2e3e2 A3B3e3e3
并矢eiej可以作为张量的9个基,一般张 量在这9个基上的分量就是Tij
ax a
i
ay a
j az a
k
da dt
a
a&x a
ax a2
da dt
i
a&y a
ay a2
da
dt
j
a&z a
az a2
da dt
k
a&xi a&y j a&zk
并矢
• 矢量A和B并列, 称为并矢AB,有9个分量
A1B1 A2 B1 A3 B1
A1B2 A2 B2 A3 B2
1.矢量代数复习
矢aˆar称量为ara单的xiˆ位大矢小a量以y aˆja表r之aa，zaˆkaˆ ar
aayx
a cos a cos
az a cos
α、β、γ分别为与x、y、z轴的夹角
两个乘法定义 加减法？
ararbrbraabxcbox sayby
azbz
0
ar
r b
iˆ
•
当
S
0
时,说明在这个特定方向是增加的；
• 当 0 时,沿着这个方向是减少的。
S
• 方向导数越大,则等值面沿这个方向会表现怎
样的特性？
梯度定义gradφ(grad是gradient缩写)
• 不同的方向上,方向导数是不同的,但总存在 着一个方向,标量场φ沿着这方向增长得最快
• 定义一个矢量-梯度:它的方向是φ增长的最快 的方向, 大小是φ沿着这个方向的方向导数
ij
l
ijl
ij
r rr
f T fiTije j
rrij r r rr r
t f f t f
单位张量和任一矢量的点乘等于该矢量
以矩阵乘法表示点乘
Txx Txy Txz f x
T f Tyx Tyy Tyz f y
Tzx
Tzy
Tzz f z
r rr
f T fx
fy
专业核心课程
课程组1(光电子器件，专业方向A或B) 热力学与统计物理32、固体物理48 课程组2(光电系统，专业方向C或D) 通信原理48、光纤通信技术48
专业方向课程
专业方向A(激光科学与工程)限选 激光器件与系统40 专业方向B(光电子器件与集成)限选 半导体光电子学40 专业方向C(光通信与光网络技术)限选 光网络技术40 专业方向D(光电系统与信息处理)限选 光电仪器学40 专业任选课128
r r r r
rr r r
df dfx df y dfz d i Txxi Txy j Txzk
r r r r
rr r r
d j Tyxi Tyy j Tyzk d k Tzxi Tzy j Tzzk
直角坐标系张量的表述
• 直rr 角坐标系的单位基矢量为e1,e2,e3
r b
cr
axiˆ ay ˆj azkˆ iˆ bycz bzcy
ˆj bzcx bxcz kˆ bxcy bycx
iˆ ay bxcy bycx az bzcx bxcz ˆj az bycz bzcy ax bxcy bycx
kˆ ax bzcx bxcz ay bycz bzcy
矢量分析
《电动力学》附录一 (数学准备)
矢量代数和矢量场论 简要复习矢量代数 突出矢量场论物理应用意义 总结一些公式和定理 希望懂、用、记(三结合)
目录
• 1．矢量代数复习 • 2．标量场的方向导数 梯度▽(读Nabla\
del)算符 • 3．矢量场的散度 高斯定理 • 4、矢量场的旋度 斯托克斯定理 • 5．关于散度、旋度和梯度的一些定理 • 6． ▽算符运算公式 • 7. 曲线正交坐标系 • 8. 格林定理
信息学科大类基础课程
工程制图40、信息技术导论32、C语言程序 设计56、电路理论88、信号与线性系统56、 电路测试实验32、数字电路与逻辑设计56、 模拟电子技术56、电子线路设计实验(一、 二)32×2、单片机原理及应用56、微机实验 16
学科专业基础课程
应用光学48、应用光学实验16、电动力学 48、物理光学72、物理光学实验24、量子 力学48、光电探测与信号处理48、光电技 术实验16、激光原理与技术64、激光实验 24、光纤光学40、光纤技术实验24
ar
r b
cr
三矢量的混合积
abc cab bca .a c b c b a b a c.
a cb
• 注意，三个矢量按循环次序轮 换，其积不பைடு நூலகம்。顺时针（+）， 逆时针（-）。
几何意义-体积
cr
ar
r b
ar
r b
cr
r b
ar
cr
cr
ar
r b
ar
变矢
ar
ar
t
r ,b
r b
t
dar aˆ da a daˆ
ar aˆa
dt
d
ar
dt r b
ar
dtr db
dar
r b
dt
d
ar
r b
ar
drt
db
dt
dar
r b
dt
dt dt
dar aˆ da a daˆ dt dt dt
ar aˆa
dar dt
aˆ da a daˆ dt dt