数学教学从算术到代数的转折

数学教学从算术到代数的转折
作者：马毅摘要：七年级的数学教学是一个由小学算术到初中代数的一个转折点。

从算术走向代数，是学生在数学学习中的一大转折点，也是教师在教学中的一大教学转折点。

这个转折意味着从小学数学转折到中学数学，从前的学习都是实实在在的数与数，然后现在是要用字母表示数，从而在前进到方程、函数等数学的重要模块。

文章结合教学实践论述了初一教学中从算术到代数的转折以及它们的衔接应该注意的几个问题。

引言：
数与代数的内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位，有着重要的教育价值，如：有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律；有助于学生形成运用数量关系进行思考的思维方式；有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。

代数，乃是数学学习的关键点。

由算术进入代数范畴，不仅是引入了文字符号来处理运算，同时也代表着数学的学习要从具体情境进入抽象概念。

在所有国家的中小学数学课程中，代数均处于核心的地位。

因此，本文对处于这个过渡阶段的初一年级学生作为对象，采用文献研究结合教学实践的方法展开研究。

主要通过阅读文献，在教学实践的基础上，讨论了初一数学学生学习文字符号及一元一次方程的代数内容出现的问题，继而根据分析结果总结了初一学生从算数思维向代数思维过渡中面对的主要困难以及教师在教学中需要克服的障碍。

正文：
初中一年级数学涉及的数、式和方程内容与小学数学中的算术数、简易方程、算术应用题等知识有关，但比小学内容更为丰富，抽象，复杂。

可见，从算术向代数过渡的阶段是学生数学学习中非常重要的转变阶段，学生需要实现从对数的思考向对符号思考的转变.在教学方法上也不尽相同。

要做好这块知识转折的教学，教师应做好以下几方面的工作。

1 揭示知识内在联系，注意新旧知识的衔接
事物的发展总是有一个由低级到高级的过程。

人们认识事物也有一个特殊到一般的过程。

教学也应该遵循这种事物发展的客观规律，要充分发挥学生已有知识的优势，使之产生正迁移，从而达到掌握新知识的目的。

小学算术教材之中，已渗透了许多七年级代数的基础知识，在教学中，要抓好转折点。

1.1 引入字母，实现由数到式的飞跃
从小学数学的特殊的、具体的数到中学的一般的、抽象的代数式，这是数学思维上的一次飞跃，因此，在教学时，要逐步引导学生过好这一关。

首先要让学生理解引入字母的重要性，让学生认识到字母表示数的优点：简单明了，方便研究问题和解决问题。

可以列举小学学过的例子，如：加法交换律a+b=b+a；乘法交换律ab=ba及一些公式如速度公式v=s/t．正方形周长公式L=4a等等。

再者要加深对字母a的认识，许多学生由于对字母a表示数的意义理解不透，经常错误地认为－a一定是负数。

要解决这个问题必须要让学生弄清楚符号“－”的三种作用．①运算符号，如5－3表示5减3，2－4表示2减4；②性质符号，如－1表示负1，5+(－3)表示5加上负3；③在某个数前面加上“－”号，表示该数的相反数，如－3表示3的相反数，－(－3)表示－3的相反数，－a表示a的相反数．因此 a表示有理数，可以是正数，可以是负数，亦可以是零．即包括符号和数字，这样，学生才能真正理解a，－a所包含的意义。

可引导学生回顾小学中整数和分数的产生过程，然后通过实例，说明客观世界中有种种具有相反意义的量，使学生由直观认为负数的引进是必然的，负数是他们所熟悉的事物中数量关系的反映。

数的范围扩充到了有理数，进而引导学生按“整”“分”和按“正、负、零”进行分类，使学生对有理数有一个完整清晰的概念，接着，在算术数的大小比较基础上，借助数轴进行有理数大小的比较。

有理数的四则运算中，始终让学生与小学算术的四则运算相比较，弄清其联系与区别，掌握新的运算法则，明确具体计算时分两步走；第一是确定符号，第二是进行绝对值运算。

第二步实质上是小学算术运算，使学生在运算时感到不陌生。

小学算术里的简易方程和初一的代数式，一元一次方程也有密切联系，在教学过程中要紧扣衔接点，注意由旧知引入新课，又在新课的教学中处处揭示其与旧知的联系。

1.2 理解字母表示数
七年级代数与小学算术的一个重要转折，是用字母表示数，引进代数式是一个飞跃。

让学生记忆小学里的加法运算律，再用有理数范围内举例试验，然后着重讨论，为了表达一般情况，可用字母a，b，c表示任意有理数，那么加法交换律可表示为a+b=b+a，加法结合律可表示为(a+b)+c=a+(b+c)，这样使学生初步认识到字母表示数具有简明、普遍的优越性。

然后，再举出学生所熟悉的简单几何图形的面积、行程问题等实例，说明用字母表示数具有含义的普遍性和应用的广泛性。

有了式，就开始过渡到方程。

初一代数初步知识中，引进了代数式的概念，进而研究有理式的运算，这种由数到式，就是从特殊的数到一般的抽象的含字母的代数式的过渡，是数学上的一个大的转折点，实现了由具体到一般，由具体到抽象的飞跃，意义十分重大.这次过渡，代数式的概念是关键，使学生明确“式”也具有数的一些性质，以及字母表示数的意义.不过，在小学里学生已接触过用字母表示数的形式，如简易方程中的未知数x，一些定律和公式也用字母表示，初步体会到字母比数更具有一般性，所以教学中应揭示数与式的联系和区别，数可以看成是式的特殊情况，数的运算可以看成是式的运算的特殊情形，此外还应加深对字母的认识，a可以表示正数、负数，还可以表示0，学生易于接受，同时还要引导学生从式的观点来看待数的问题，便更有居高临下之感. 由算术数到列方程解应用题,小学里的应用题大部分是用算术法去求解，是把未知量放在特殊的位置，用已知量求出未知量.进入初中后，用列方程来解应用题，把未知量用字母来表示，且和已知量放在平等的位置上，设法找出等量关系，列出方程，求出未知量.刚开始，学生由于习惯用算术法来求解，不重视列方程解应用题的学习，这时教师要有意识地选择一些用列方程解比算术法简便的应用题作为范例，用两种方法对比讲解，使学生逐步体会到列方程解应用题的优越性，对学生的作业，有些应用题也要求用两种方法去解，从而激发学生的学习积极性，同时还要重视灵活运用知识，培养分析问题和解决问题的能力.
1.3 认识式与方程
“式与方程”、“正比例、反比例”都是“数与代数”领域的教学内容。

“式与方程”主要学习代数初步知识，包括用字母表示数、简易方程和列方程解决简单的实际问题。

“正比例、反比例”是小学最后阶段学习的内容，主要学习比、比例、按比例分配、比例尺、正比例、反比例。

这两部分内容是学生学习数学的重要转折点，即从算术的学习转向代数的学习，从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨。

它们是后续学习数学的重要基础。

1.3.1 重视教学内容的思想价值
在“式与方程”、“正比例、反比例”的研究中，充满着已知与未知、特殊与一般、具体与抽象的对立与统一，充满着运动、变化的思想。

以学生所要学习的“正比例”为例，其图像的呈现形式，从表面上看是静止的，但从列表、描点到连线这一过程看，却是运动的、变化的。

再进一步考察，画成的图像从表面上看是完整的，其实是局部的、不完整的。

因为它还可以延伸，即不断地运动、发展、变化。

在以往的教学中，重视的往往是教学内容本身，就内容教内容，忽视这些
内容所包含的重要的数学思想与教育价值，从而使教学如同蜻蜓点水，缺乏深度与后继生长力。

我们应充分认识到“式与方程”、“正比例、反比例”这两部分内容所蕴含的数学思想方法及教育价值，不露痕迹地渗透于教学过程中，促进学生对所学知识的理解与掌握，提高认识能力，形成良好的数学素养。

如“用字母表示数”，是数学中对学生进行辩证思维教育的开端。

列含有字母的式子，可以使学生体会“用字母表示数”能够简洁地表示实际问题中的数量关系，方便地表达一般规律，是对数量关系的概括性表述；而在“求含有字母的式子的值”的学习中，通过将每一个变量取定一个数值代入式子，经运算而获得一个确定的值的过程，使学生体会“对应”的思想，领悟“变化”与“确定”之间的辩证关系。

通过对“求含有字母的式子的值”操作过程的描述，即以具体的数值代替字母，可以使学生初步感受“换元”的思想。

总之，在用字母表示数的教学中，可以有意识地渗透符号化、对应、换元等思想方法，既加深学生对“用字母表示数”的理解，又促进他们接触、了解代数的研究方法，初步体会相应的数学思想方法的精神实质。

再如，认识比例的教学，把图形的扩大、缩小与比例知识的学习联系起来，渗透数形结合的思想，既使“比例”的引入显得比较直观、自然，学生容易理解，也促进学生感受数量关系与空间形式的联系。

1.3.2 强调对模式与关系的体会、理解。

方程的学习，以往注重的是有关概念和技能，如什么叫方程，什么叫方程的解，什么叫解方程，方程的解与解方程有什么不同，怎样解方程等。

再如列方程解应用题，历来被看作是教学的重点和难点，在教学中，教师往往满足于头头是道地给学生分析等量关系，机械地列出方程，解答问题。

这样的教学，学生没有经历数学建模的过程，无法体会方程是现实世界的数学模型，应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。

方程是刻画现实世界数量关系的数学模型，应从“数学建模”的角度开展方程的教学。

结合具体的总是情境教学方程的含义，如“用式子表示天平两边物体的质量关系”，让学生通过观察、分析，写出式子，再比较式子的异同，在讨论和交流中，由具体到抽象感受、理解方程的含义。

解方程的教学，让学生依据等式的性质对数学模型进行变换，探求方程的解。

教学列方程解决简单的实际问题，要求学生在问题情境中，探索、研究、寻求已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系，即把日常语言抽象成数学语言（数量关系式），进而转换成符号语言（方程式）。

在经历多次这样的活动后，学生将逐步感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模的思想和基本过程，提高解决问题的能力和信心。

函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。

正比例、反比例中隐含的数学函数思想，对学生后续学习数学、物理、化学等学科有重要的
促进作用。

学习正比例、反比例，数学思维方式发生重要转折，即思维从静止走向运动，从离散走向连续，从运算走向关系。

以入教学“正比例、反比例”，教师的着力点往往是引导学生判断两种相关联的量是否成比例，是成正比例还是反比例，以及怎样应用比例知识解答应用题。

在《标准》中，通过绘图、估计值、找实例交流等不同于以往的教学活动，帮助学生体会两个变量之间相互依存的关系，丰富关于变量的经历，为以后学习函数概念打下基础。

1.3.3 注重在具体情境中去体验、理解有关知识。

“式与方程”、“正比例、反比例”的具体教学目标十分强调“在具体情境中”进行教学。

这是因为，小学阶段，学生的数学思维从以具体形象思维为主要形式向抽象逻辑思维为主要形式过渡，其抽象逻辑思维在很大程度上仍与感性经验直接相关联。

“式与方程”、“正比例、反比例”的内容在表达形式上比较抽象，作为代数、函数学习的启蒙阶段，通过创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，把学习的过程置于一个学生能够体验的环境，从而在直观的感受中，理解字母表达式所反映的等量关系，并会用代数的方式解决一些实际问题，掌握正比例、反比例知识。

数学学习不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。

如果说数字符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，那么代数式则是对各种数字符号的抽象概括。

在认识用字母表示数时，教材一般从学生熟悉的生活中选择一些典型数量关系，先让学生用算式表示问题的结果，再通过改变具体数量，抽象出用字母表示数，写出相应的含有字母的式子。

具体情境能激活学生已经积淀的算术层面对数量关系的理解，支撑学生在代数层面对数量关系的理解。

既使新知识“含有字母的式子”的学习过程有场景作依托，又使学生在读解式子时便于产生联想并理解和表述，使学生在学习抽象的代数知识中感到言之有物，还能认识到代数的学习可以使我们对数量关系的表达更清晰、简洁。

这一数学活动的过程，帮助学生从“算术”走向“代数”，促进学生体验数学的概括性和抽象性，发展符号感。

再如，“会用方程表示简单情境中的等量关系”这一目标的重点也是“在具体情境中，用方程建立等量关系”。

1.3.4 加强与中学数学的衔接。

以前小学阶段的解方程，其基本依据是加与减、乘与除之间的逆运算关系。

中学学习解方程用的是代数的方法。

在小学里学习解方程也是利用等式的性质，这样中学学习不再是另起炉灶。

小学里解方程的教学，与中学数学教学的衔接，不仅仅表现为解方程方法的一致，更有价值的是：思考问题的方法趋向一致。

根据四则运算的互逆关系解方程，属于算术领域的思考方法；用等式性质解方程，
属于代数领域的解方程。

两者有联系，但后者是前者的发展与提高。

这样，在解方程的教学中，学生将逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题，使思维水平得到提高。

2 探讨改进教学方法，注意教学方法上的衔接
苏联教育家巴班斯基指出：“要想找到一种十全十美的教学方法几乎是办不到的，一种教育目的的实现，是多种教学方法穿插使用力争全优的结果。

”教师要根据教材与学生的特点和具体的教学条件不断探索，改进原来的教学方法去完成既传授知识，又开发智力、培养能力的任务。

七年级教师要注意研究小学的教学方法，小学生的记忆特点是以机械记忆为主，对于一些概念、定义、法则往往是习惯于多读硬背。

思维特点是以直观形象思维为主，学生是在看到、听到的同时进行思维。

所以，小学教师一般采用与之相适应的直观形象的教学方法，讲课比较详细，对于一个概念、一种运算反复讲解、反复练习。

学生进到中学，在记忆和思维方式上当然不能再停留在机械记忆、直观形象思维上，它既不适应中学数学教学内容的需要，也不适应中学生的心理特征。

因此，教师就要采取相适应的教学方法，既要借助学生已有的机械记忆和形象思维的能力，又要逐步引导学生由“机械记忆”到“理解记忆”，由“形象思维”到“抽象思维”的过渡，每讲一个概念，也注意到如何对学生进行智力训练，教会学生观察、分析、思考的方法。

教学的实质就是引导学习，学生是学习的主体。

在课堂上，教师满堂灌、包办代替，结果只能堵塞和限制学生的智能发展。

因此，教师需要求学生做好课前预习，带着问题进课堂，在课堂上采取用自学、议论、师生共同讨论的方式，就能逐步培养学生独立学习的能力和分析问题的能力。

以上是我对于初一数学教学中算术到代数转折的一些浅见。

参考文献
[1] 赵静茹.浅谈中小学数学教学的衔接[J].甘肃教育，2006(1).
[2] 陈宁. 理性看待数学课程中一个争议较大的问题[J].《中学数学教学参考》，2005(8)。

[3] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2001.
[4] 教育部师范教育司.新课程师资培训精要[M].北京：北京大学出版社，2002.
[5] 张奠宙.中学代数研究[M].北京：高等教育出版社，2006.
[6] 朱建正.代数在小学的发展[DB].豆丁网.2008。