三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题
三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题-
三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A． B． C． D．2．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cos α－sin α的值为( )A． B．C． D．3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝( )A．－ B．± C．－ D．±4．若tanα<0，且sinα>cosα，则α在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．若，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．若，且为第二象限角，（）A． B． C． D．7．已知，则等于A ．B ．C ．D ．8．若，且为第二象限角，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知 ，则___________三、解答题 10．已知，且是第四象限的角。
.（1）求；（2）. 11．(1)已知,求的值；(2)已知, ,求的值.12．已知tan α2,=(1)求值: sin cos sin cos αααα+- (2)求值: ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠.（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求22sin cos cos ααα+-的值.14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求 （1）sin cos θθ-的值；（2）tan θ的值.15．已知tan 2α=. （1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值； （2）求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知，计算：（1）；（2）.17．已知： 1sin cos ,0<<,5θθθπ+=且 （Ⅰ）求sin cos tan θθθ-和的值；（Ⅱ）求22sin cos 2sin cos θθθθ-的值. 18．已知求的值.19．已知,(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.20．已知.(1)求的值(2)求的值.21．已知，求的值；若是第三象限角，求的值．22．已知，.(1)求的值.(2)求的值.23．(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.参考答案1．C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．【详解】∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴p到原点的距离为5∴sinα，cosα∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα和sinα的值，可得cosα﹣sinα的值．【详解】角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝＝，sin α＝＝，则cos α－sin α＝－＋＝.故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．C【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα和sinα的值．【详解】由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝。
高考数学专题复习四-4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式-高考真题练习(附答案)
专题四三角函数与解三角形4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式基础篇考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式考向一任意角与弧度制1.(2022豫北名校大联考,6)密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6000份,每一份叫做1密位的角.在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“0-07”,478密位写成“4-78”.如果一个半径为4的扇形,其圆心角用密位制表示为12-50,则该扇形的面积为() A.10π3 B.2πC.5π3D.5π6答案A2.(2021广西桂林十八中3月模拟,6)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,第12分钟末刚好转动一周,若点M则运动到第3分钟末时,动点M所在位置的坐标为()B.−12C.−D.−−答案C3.(2023届四川蓉城名校联盟入学联考,8)折扇是我国传统文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1),图2为其结构简化图,设扇面A,B间的圆弧长为l,AB间的弦长为d,圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角),则l、d和θ所满足的恒等关系为()图1图2A.2sin2=B.sin2=C.cos2=D.2cos2=答案A考向二任意角的三角函数1.(2020课标Ⅱ,2,5分)若α为第四象限角,则()A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0答案D2.(2021陕西榆林一模,3)如图,角α,β的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆O分别交于A,B两点,则O ·O =()A.cos(α-β)B.cos(α+β)C.sin(α-β)D.sin(α+β)答案A3.(2022河南洛阳统考(二),6)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(cos15°+sin15°,cos15°-sin15°),则tanα=()A.2-3B.2+3D.3答案C4.(2022山西吕梁模拟,4)若点M sin2021π3,α的终边上,则cos2α=()A.2B.-2C.12D.−12答案C5.(2023届黑龙江省实验中学月考,13)已知点P(-2,y)是角θ终边上一点,且sinθ则y=.答案-4考向三同角三角函数的基本关系和诱导公式1.(2023届黑龙江牡丹江绥芬河高级中学月考,4)已知tanα=cos2−sin,则sinα=()B.12 D.14答案B2.(2022山西二模,3)若sin10°=a sin100°,则sin20°=()A.2+1 B.−2+1C.22+1D.−22+1答案C3.(2023届西南“三省三校”联考一,7)已知cos−=απ,则cos+() A.-13 B.13答案A4.(2022安徽芜湖3月模拟,6)已知函数f(n)+(n∈N*),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)=()A.2021B.2021+2C.2022+2D.20222答案B5.(2020浙江,13,6分)已知tanθ=2,则cos2θ=,tan−=.答案-35;13综合篇考法同角三角函数基本关系式的应用1.(2022陕西安康高新中学三模,7)已知tanθ=12,则sin3rsincos3rsinvos2=() A.6 B.16 C.12 D.2答案C2.(2022安徽安庆二模,5)已知cosθ-sinθ=2sin2θ,θ∈π,则sin−()A.-12B.−C.12D.−1答案A3.(2023届黑龙江齐齐哈尔八校联合体期中,6)已知角α满足2sin−=tanπ12cosα,则sin2α+2cos2α的值为() A.45 B.65 C.75 D.85答案B4.(2022兰州、张掖重点中学联考,8)已知θ为第二象限角,sinθ,cosθ是关于x的方程2x2+(3-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sinθ-cosθ的值为()22C.3D.−3答案B5.(2022宁夏长庆高级中学月考一,17)已知函数y=sinθ+cosθ+2sinθcosθ.(1)设变量t=sinθ+cosθ,试用t表示y=f(t),并写出t的取值范围;(2)求函数y=f(t)的值域.解析(1)因为t=sinθ+cosθ(θ∈R),sin2θ+cos2θ=1,所以2sinθcosθ=t2-1,故f(t)=t2+t-1,t=sinθ+cosθ=2sin+[-2,2],故t的取值范围为[-2,2].(2)由(1)知y=f(t)=t2+t-1=2−54(t∈[-2,2]),由二次函数的性质可知,y=f(t)的最小值为f−=−54,又f(-2)=1-2,f(2)=1+2,所以y=f(t)的值域为−54,1+2.。
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
三角函数的基本关系及诱导公式
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值①
cos sin ； cos sin 2 2 ② 2sin sin cos cos
1
sin 1 2 ． cos 3 2 2 解：①原式 sin 1 2 1 cos
2 ②∵ cos
1 1 ， 1 tan 2 3
∴原式
cos 2 (2 tan 2 tan 1)
2 1 3
（三）例题分析：
例5．பைடு நூலகம்知
sin , cos 是方程 4 x 2 4mx 2m 1 0
2m 1 2 (sin cos ) 1 2sin cos sin cos 解：∵ ，代入 4 ， 2 16( m 2m 1) 0 3 2m 1 1 3 0 ， 得 m ，又 2 2 ，∴ sin cos 2 4 1 3 3 1 sin cos m sin , cos ，∴ 2 2 2，
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan , cos ) 在第三象限，则角 的终边 在第 象限. 2.若 cos 0, sin 2 0 ，则角 是 . 3.角 的终边过点 则X的值是
的终边所在的象限
P( x,1)
.
2 ，且 cos 5
2
4
(
4
)]
)0
（三）例题分析：
例2．化简:
tan (cos sin ) sin tan cot c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。
【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。
试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。
（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。
三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题-
三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校:___________：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P（4，-3），则sin(π2+α)的值为（）A．35B．−35C．45D．−452．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cos α－sin α的值为()A．−15B．−35C．15D．353．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝()A．－B．±C．－D．±4．若tanα<0，且sinα>cosα，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若sinαtanα<0，且cosαtanα<0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角6．若cosa=−45，且a为第二象限角，tana=（）A．−43B．−34C．43D．347．已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则sin2α+sinαcosα+1等于A．115B．25C．85D．758．若sin(π2+α)=−35，且α为第二象限角，则tanα=（）A．−43B．−34C．43D．34二、填空题9．已知sina=35a∈(π2,π)，则tana=___________三、解答题10．已知sinα=−2√55，且α是第四象限的角。
. （1）求tanα；（2）2sin(π+α)+cos(2π+α)cos(α−π2)+sin(π2+α).11．(1)已知tanα=3,求sin (π−α)cos (2π−α)的值；(2)已知sinα·cosα=14,0<α<π4 ,求sinα−cosα的值.12．已知tan α2,=(1)求值: sin cos sin cos αααα+- (2)求值: ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠.（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求22sin cos cos ααα+-的值.14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求 （1）sin cos θθ-的值；（2）tan θ的值.15．已知tan 2α=.（1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值； （2）求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知tanα=3，计算：（1）4sinα−2cosα5cosα+3sinα；（2）sinα⋅cosα.17．已知： 1sin cos ,0<<,5θθθπ+=且 （Ⅰ）求sin cos tan θθθ-和的值；（Ⅱ）求22sincos2sin cosθθθθ-的值.18．已知求的值.19．已知0<α<π2,sinα=45,(1)求tanα的值；(2)求sin(α+π)−2cos(π2+α)−sin−α+cosπ+α的值；(3)求sin(2α+π4)的值.20．已知−π2<x<π2,sinx+cosx=15.(1)求sinx⋅cosx+sin2x1+tanx的值(2)求sinx−cosx的值.21．已知tanα=2，(1)求3sinα+2cosαsinα−cosα的值；(2)若α是第三象限角，求cosα的值．22．已知−π2<x<π2，sinx+cosx=−15.(1)求sinx−cosx的值.(2)求sin(π+x)+sin(3π2−x)tan(π−x)+sin(π2−x)的值.23．(1)已知tanα=2，求sin(π−α)cos(2π−α)的值；(2)已知sinαcosα=14,0<α<π4，求sinα−cosα的值.参考答案1．C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cos α，利用三角函数的诱导公式化简sin(π2+α)求出值．【详解】∵角α的终边经过点P （4，﹣3），∴p 到原点的距离为5∴sin α=−35，cos α=45∴sin(π2+α)=cosα=45 故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cos α和sinα的值，可得cos α﹣sinα的值．【详解】角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，不妨令x ＝－3，则y ＝－4，∴r ＝5，∴cos α＝x r ＝−35，sin α＝y r ＝−45， 则cos α－sin α＝－35＋45＝15. 故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．C【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα和sinα的值．【详解】由|OP|2＝14 ＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±√32。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，是第三象限角，则 .【答案】.【解析】根据同角三角函数的基本关系知，，化简整理得①，又因为②，联立方程①②即可解得：，，又因为是第三象限角，所以，故.【考点】同角三角函数的基本关系.2.已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)利用诱导公式进行化简即可；（2）先用诱导公式得出，再利用同角三角函数基本关系式及角所在象限求出，进而求出.规律总结：涉及三角函数的化简与求值问题，往往要利用三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的三角公式以及二倍角公式，进行恒等变形；一定要注意灵活选用公式.试题解析：（I）原式=；（II）由得，即，因为是第三象限角，所以，所以 .【考点】1.诱导公式；2.三角函数基本关系式.3. cos660o的值为( ).A．B．C．D．【答案】C.【解析】【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.4.（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，诱导公式和特殊值的三角函数值记忆不正确，会导致选择A或B，选择D的错误很少见.【考点】诱导公式和特殊角的三角函数值.5.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.6.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.7.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.8.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．9.已知sinα=，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sinα=，且α为第二象限角，∴，∴．【考点】同角三角函数的基本关系．10.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】诱导公式的化简12. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.13.已知，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：由可得即，所以，又因为，从而可得到，所以，所以；法二：因为将代入即可得到，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.14.已知函数,.(1)求的值;(2)若,,求.【答案】(1)1；(2)【解析】(1)直接将代入函数即可求其值。
三角函数的基本关系及诱导公式
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
求 cot( 11 ) 的值
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： tan sin , cot cos
cos
sin
（3）平方关系：sin2 cos2 1
5
2
解： 因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角 的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角 的终边所在的象限
是
.
3.角 的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos
2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
三角函数的定义及诱导公式同角三角函数部分综合练习题
1.有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R,sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是 A ．1p ，4p B.2p ，4p C.1p ，3p D.2p ，4p 2.若3cos25θ=，4sin 25θ=-，则角θ的终边一定落在直线（ ）上。
A ．7240x y += B ．7240x y -= C ．2470x y += D ．2470x y -=3.00240tan 600sin +的值等于（ A. 23-B. 23C. 321+-D. 321+4.下列说法正确的是 ) A.第二象限的角比第一象限的角大B.若sin α＝12，则α＝π6C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 5.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 (A.sin θ2 B.cos θ2 C.tan θ2 D.cos2θ6.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向 转一周，点P 所旋转过的弧 AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l ) 的图像大致为 ( )7.已知A ＝sin(k π＋α)sin α＋cos(k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是A.{1，－1,2，－2}B.{－1,1}C.{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2} 8.若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则sin cos A A +=（ ）A.315 B. 315- C. 35 D. 35-9.已知)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值是（ A ．97-B ．31-C ．31D ．9710．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( A ．－3 B ．3或13 C ．－13 D ．－3或－1311．若角α与角β的终边相同，则一定有（ A. 0180=+βα B. 00=+βαC.Z k k ∈⋅=,036-0βα D. Z k k ∈⋅=+,0360βα12.若),(-036,0360Z m k m k ∈⋅=+⋅=θβθα,则角α与β的终边的位置关系（ ）A. 重合B. 关于原点对称C. 关于x 轴对称D. 关于y 轴对称 13.角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是 A.21 B.－21 C.－23 D.23 14.已知点)43cos ,43(sinππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则θ的值为 A ．4πB ．43πC ．45πD ．47π15．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( )A.195 B ．－195 C.113 D ．－11316.在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°17.若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，则cos 2θ的值为________．．18．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域为________．已知x xx x x tan 2sin 1sin 1sin 1sin 1-=-+-+-,则x 的取值范围是19．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α<0，则k 的值为________．20．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________.21.若336cos =⎪⎭⎫⎝⎛-θπ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65cos = 22.已知02<<-x π,51cos sin =+x x (1)求x x cos sin -的值; (2)求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.23.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin))]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.24.已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
高中数学 习题课(一) 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系与诱导公式 新人教B版必修第三册-新人
习题课（一） 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1．若角α的终边所在直线经过点P (－2,3)，则有( ) A ．sin α＝21313B.cos α＝－21313C ．sin α＝31313D.tan α＝－32解析：选 D 由三角函数的定义可知，|OP |＝(－2)2＋32＝13.∴sin α＝±313＝±31313，cos α＝±213＝±21313，tan α＝－32.2．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－53，则sin(－5π＋α)＝( )A.23 B ．－23C.53D.－53解析：选D 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－53，所以sin α＝53，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－53，故选D. 3．已知1＋sin x cos x ＝－13，则cos xsin x －1的值为( )A.13 B ．－13C ．3D.－3解析：选A 令cos x sin x －1＝t ，则1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝－13·1t ＝－13t ，∴sin 2x －1cos 2x ＝－13t ，∴13t ＝1，∴t ＝13. 4．已知P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则2sin 2βsin 2β－cos 2β＝ ( )A ．±12B ．－211C.36D.±2解析：选B 因为r ＝3＋y 2，故由正弦函数的定义可得y3＋y2＝1313，解得y ＝12或y ＝－12(舍去)．所以tan β＝12－3＝－36，所以2sin 2βsin 2β－cos 2β＝2tan 2βtan 2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－362⎝ ⎛⎭⎪⎫－362－1＝－211， 故选B.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos α＝306，则|a －b |＝( ) A.15 B.55C.255D.1解析：选B 如图，依题意得：tan α＝a 1＝a ，且tan α＝b2，因此|a －b |＝|tan α|.由cos α＝306得sin 2α＝1－56＝16，因此|tan α|＝55，所以|a －b |＝55，故选B. 6．已知角α的终边上有一点P (1,3)，则sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2cos (－π＋α)的值为( )A ．－25B ．－45C ．－47D.－4解析：选A 依题意得tan α＝y x＝3，则sin (π－α)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2cos (－π＋α)＝sin α－cos α－sin α－2cos α＝tan α－1－tan α－2＝3－1－3－2＝－25，故选A.二、填空题7．计算：cos (－765°)sin 495°－sin 570°＝________.解析：原式＝cos 765°sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos (720°＋45°)sin 135°－sin 210°＝cos 45°sin (90°＋45°)－sin (180°＋30°)＝cos 45°cos 45°＋sin 30°＝2222＋12＝2－ 2.答案：2－ 2 8．若tan α＝－3，π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________. 解析：由tan α＝－3得cos 2α＝11＋tan 2α＝14，又π2＜α＜π，所以cos α＝－12，因此sin α＝tan α·cos α＝32， 所以sin α－cos α＝32＋12. 答案：1＋32三、解答题9．已知角α的终边经过点P (x ，－2)，且cos α＝x3，求sin α和tan α.解：因为r ＝|OP |＝x 2＋(－2)2，所以由cos α＝x 3得x x 2＋(－2)2＝x3，解得x ＝0或x＝± 5.当x ＝0时，sin α＝－1，tan α不存在； 当x ＝5时，sin α＝－23，tan α＝－255；当x ＝－5时，sin α＝－23，tan α＝255.10．(1)已知sin x ＋cos x ＝717，且0＜x ＜π，求sin xsin x －cos x 的值；(2)已知tan(π－x )＝－2，求2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x 的值． 解：(1)由sin x ＋cos x ＝717，① 得2sin x cos x ＝－240289，②由②得sin x cos x ＜0，又0＜x ＜π，故π2＜x ＜π，因此sin x －cos x ＞0.又(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝529289，∴sin x －cos x ＝2317.③由①③得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝1517，cos x ＝－817.∴sin xsin x －cos x ＝15172317＝1523. (2)∵tan(π－x )＝－tan x ＝－2，∴tan x ＝2. ∴2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x ＝2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x －tan x ＋1tan 2x ＋1＝75. 11．已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z)．解：因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.。
高考数学真题 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
专题四 三角函数与解三角形4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中,AB⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB⏜ B.CD ⏜ C.EF ⏜ D.GH ⏜ 答案 C 本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式.若点P 在AB⏜或CD ⏜(不包含端点A,D)上,则角α在第一象限,此时tan α-sin α=tan α(1-cos α)>0,与tan α<sin α矛盾,故排除A,B.若点P 在GH ⏜(不包含端点G)上,则角α在第三象限,此时tan α>0,cos α<0,与tan α<cos α矛盾,故排除D,故选C.2.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则( )A.sin α>0B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>0答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B 错;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C 正确;α取π3时,cos 2α=2cos 2α-1=2×(12)2-1=-12<0,D 错.故选C.评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.3.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45答案 D 由三角函数的定义知cos α=√(-4)2+32=-45.故选D.4.(2011课标,理5,文7,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( )A.-45B.-35C.35D.45答案 B 解法一:由三角函数定义知,tan θ=2,则cos 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=-35.解法二:由三角函数定义知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,则sin 2θ=4cos 2θ.从而有cos 2θ=15.故cos 2θ=2cos 2θ-1=-35.5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512答案 D ∵sin α=-513,α为第四象限角, ∴cos α=√1-sin 2α=1213,∴tan α=sinαcosα=-512.故选D. 6.(2014课标Ⅰ理,8,5分)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2D.2α+β=π2答案 C 由tan α=1+sinβcosβ得sinαcosα=1+sinβcosβ,即sin αcos β=cos α+sin βcos α,所以sin(α-β)=cos α,又cos α=sin (π2-α),所以sin(α-β)=sin (π2-α),又因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,因此α-β=π2-α,所以2α-β=π2,故选C.7.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b 答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a. 又∵c=tan 35°=sin35°cos35°>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.8.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( )A.43B.34C.-34D.-43答案 C (sin α+2cos α)2=52,展开得3cos 2α+4sin αcos α=32,再由二倍角公式得32cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α=sin2αcos2α=-322=-34,选C.评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系. 9.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213 B.-513 C.513 D.1213答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0. ∴cos α=-√1-sin 2α=-1213.故选A. 评析 本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题. 10.(2013广东文,4,5分)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25 B.-15 C.15 D.25答案 C ∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α,∴cos α=15.故选C. 11.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825 C.1 D.1625答案 A 当tan α=34时,原式=cos 2α+4sin αcos α=cos 2α+4sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+4tanαtan 2α+1=1+4×34916+1=6425,故选A.思路分析 利用二倍角公式将所求式子展开,再将其看成分母为1的式子,并用sin 2α+cos 2α代替1,然后分子、分母同除以cos 2α,得到关于tan α的式子,由此即可代值求解.12.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 答案 -8解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ=√,又sin θ=-2√55,∴√=-2√55,解得y=-8.评析 本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得√=-2√55是本题求解的关键.13.(2016四川文,11,5分)sin 750°= . 答案12解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 解后反思 利用诱导公式把大角化为小角. 评析 本题考查了三角函数的诱导公式.14.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)-π4]=12-11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,又易知cos θ<0,∴cos θ=-310√10,∴sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105.。
高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)
三角函数公式1． 同角三角函数根本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α 〔二〕 sin(π2 －α)＝cos α sin(π2+α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)〔1－tanαtanβ〕tanα－tanβ＝tan(α－β)〔1＋tanαtanβ) （4）万能公式〔用tanα表示其他三角函数值〕sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a)特殊地：sinx±cosx＝ 2 sin(x±π4)7．熟悉形式的变形〔如何变形〕1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα假设A、B是锐角，A+B＝π4，那么〔1＋tanA〕(1+tanB)=28．在三角形中的结论假设：A＋B＋C=π, A+B+C2=π2那么有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tanC2＋tanC2tanA2＝1三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos 〔x +π〕，那么x 的取值集合是〔 〕 A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．〔2k +1〕π≤x ≤2〔k +1〕π〔以上k ∈Z 〕2．sin 〔－6π19〕的值是〔 〕 A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．以下三角函数：①sin 〔n π+3π4〕；②cos 〔2n π+6π〕；③sin 〔2n π+3π〕；④cos ［〔2n +1〕π－6π］；⑤sin ［〔2n +1〕π－3π］〔n ∈Z 〕．其中函数值与sin 3π的值相同的是〔 〕 A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．假设cos 〔π+α〕=－510，且α∈〔－2π，0〕，那么tan 〔2π3+α〕的值为〔 〕 A ．－36B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，以下关系恒成立的是〔 〕 A ．cos 〔A +B 〕=cos C B ．sin 〔A +B 〕=sin C C ．tan 〔A +B 〕=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f 〔x 〕=cos 3πx〔x ∈Z 〕的值域为〔 〕 A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．假设α是第三象限角，那么)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________． 三、解答题9．求值：sin 〔－660°〕cos420°－tan330°cot 〔－690°〕．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．cos α=31，cos 〔α+β〕=1，求证：cos 〔2α+β〕=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：〔1〕sin 〔2π3－α〕=－cos α； 〔2〕cos 〔2π3+α〕=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--， 左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos 〔α+β〕=1，∴α+β=2k π．∴cos 〔2α+β〕=cos 〔α+α+β〕=cos 〔α+2k π〕=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：〔1〕sin 〔2π3－α〕=sin ［π+〔2π－α〕］=－sin 〔2π－α〕=－cos α． 〔2〕cos 〔2π3+α〕=cos ［π+〔2π+α〕］=－cos 〔2π+α〕=sin α．三角函数的诱导公式2一、选择题： 1．sin(4π+α)=23，那么sin(43π-α)值为〔 〕 A.21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为〔 〕 A.23 B. 21 C. 23± D. —233．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得〔 〕A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2) 4．α和β的终边关于x 轴对称，那么以下各式中正确的选项是〔 〕 A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(π2-α) =-cosβ 5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于〔 〕， A. 51〔4+5〕 B. 51〔4-5〕 C. 51〔4±5〕 D. 51〔5-4〕二、填空题： 6．cos(π-x)=23，x ∈〔-π，π〕，那么x 的值为 ． 7．tanα=m ，那么=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin 〔-π+α〕，那么α的取值范围是 ． 三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．：sin 〔x+6π〕=41，求sin 〔)67x +π+cos 2〔65π-x 〕的值．11． 求以下三角函数值： 〔1〕sin 3π7；〔2〕cos 4π17；〔3〕tan 〔－6π23〕；12． 求以下三角函数值：〔1〕sin3π4·cos 6π25·tan 4π5； 〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］.13．设f 〔θ〕=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f 〔3π〕的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．±65π7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：〔1〕sin 3π7=sin 〔2π+3π〕=sin 3π=23.〔2〕cos4π17=cos 〔4π+4π〕=cos 4π=22.〔3〕tan 〔－6π23〕=cos 〔－4π+6π〕=cos 6π=23.〔4〕sin 〔－765°〕=sin ［360°×〔－2〕－45°］=sin 〔－45°〕=－sin45°=－22. 注：利用公式〔1〕、公式〔2〕可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：〔1〕sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin 〔π+3π〕·cos 〔4π+6π〕·tan 〔π+4π〕 =〔－sin3π〕·cos 6π·tan 4π=〔－23〕·23·1=－43.〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］=sin 〔π－3π2〕=sin 3π=23.13．解：f 〔θ〕=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cos θ－1， ∴f 〔3π〕=cos 3π－1=21－1=－21.。
三角函数--2023高考真题分类汇编完整版
三角函数--高考真题汇编第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=；β=.【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【解析】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02αβ<<<，则00tan tan αβ<，取1020122π,2π,,k k k k ααββ=+=+∈Z ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k αααβββ=+==+=，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k αβαβαβ-=+-+=-+-，因为()1200π2π2π,02k k αβ-≥-<-<，则()()12003π2π02k k αβαβ-=-+->>，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k αβ====，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.第二节三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =，BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，15sin 2sincos 2224ααα==⨯.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知()1sin 3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【解析】()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，所以1sin cos 2αβ=，所以()112sin sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=，()()()2221cos 22cos 212sin 1239αβαβαβ⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪⎝⎭.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=（）A.38- B.18-+ C.34- D.14-+【解析】21cos 12sin 24αα+=-=，所以2231sin 284α⎫-==⎪⎪⎝⎭，则1sin24α-=或1sin 24α=.因为α为锐角，所以sin02α>，15sin24α-=舍去，得51sin 24α-=.故选D.第三节三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图所示，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π=6AB ，则()πf =_______.【解析】sin y x =的图象与直线12y =两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36ω⋅=，解得4ω=，所以()()sin 4f x x ϕ=+.再将2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 4f x x ϕ=+得ϕ的一个值为2π3-，即()2πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()2π3πsin 4π32f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数()()sin f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12【解析】2222362T T ωωππππ=-=⇒=π=⇒=，所以()()sin 2.f x x ϕ=+又222,32k k ϕππ⋅+=+π∈Z ，则52,6k k ϕπ=-+π∈Z .所以5555sin 22sin 121263f k π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--+π=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos n S a n =∈N ，若{},S a b =，则ab =（）A.1- B.12-C.0D.12【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为23π，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可.依题意，{}{}cos ,n S a a b ==，即S 中只有2个元素，则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a =时，且2123a a π-=，所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x =π对称，且1223A A π=，则1233a ππ=π-=，2433a ππ=π+=，32a =π.所以11122ab ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.②当13cos cos a a =时，3143a a π-=，所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x =π对称，且1343A A π=，则133a 2ππ=π-=，3533a 2ππ=π+=，2a =π.所以()11122ab =⨯-=-.综上所述，12ab =-.故选B.解法二（代数法）()()11113n a a n d a n 2π=+-=+-，21cos cos 3a a 2π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，31cos cos 3a a 4π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于{}{}*cos ,n S a n a b =∈=N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a 2π⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，即113cos 22a a =-，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.若11cos 2a =，则1sin a =，3111113cos cos cos 132244a a a a 4π⎛⎫=+=-+=--=- ⎪⎝⎭，若11cos 2a =-，则1sin a =，3111113cos cos cos 13244a a a a 4π⎛⎫=+=-=+= ⎪⎝⎭，故131cos cos 2a a ab ==-.②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a 4π⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，得113cos 2a a =，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.当11cos 2a =时，1sin a =，21111313cos cos cos 132244a a a a 2π⎛⎫=+=--=--=- ⎪⎝⎭，当11cos 2a =-时，1sin a =213cos 144a =+=，故121cos cos 2a a ab ==-.③若23cos cos a a =，与①类似有121cos cos 2a a ab ==-.综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数()sin cos cos sin ,0,2f x x x ωϕωϕωϕπ=+><.（1）若()0f =，求ϕ的值；（2）若()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且213f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在,23ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()3(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.（2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,32k k ϕ-+=-+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．第四节解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，BC =D 为BC 上一点，AD 平分BAC ∠，则AD =.【解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a ===由余弦定理可得22222cos606b b +-⨯⨯⨯︒=，解得1b =（负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S =+△△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得1212bAD b +===+.2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=.（1）求bc .（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=，求ABC △面积.3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=+=.故BC =.又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠.故sin sin14AC BAC ABC BC ⋅∠∠====.（2）由（1）可知tan ABC ∠=在Rt BAD △中，tan 2AD AB ABC =⋅∠=⨯=故1122255ABD S AB AD =⨯⨯=⨯⨯=△，又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒=△，所以2510ADC ABC ABD S S S =-=-=△△△.5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C +=，()2sin sin A C B -=.（1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【解析】（1）解法一因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，2sin()sin()A C A C -=+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C⇒-=+sin cos 3cos sin A C A C ⇒=tan 3tan 3sin A C A ⇒==⇒=解法二因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，所以4A B 3π+=，所以4B A 3π=-，故2sin()sin()4AC A 3π-=-，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ππ3π3π-=-，得sin 3cos A A =.又22sin cos 1A A +=，()0,A ∈π，得310sin 10A =.（2）若||5AB =.如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ，||CH h =，由（1）可得10cos 10A =，||||cos ||102AG AB A AB =⋅==，||||2BG CG ===，所以||AC =，||||2||6||5AC BG CH AB ===.6.（2023新高考II 卷17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC △的面，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c .【解析】（1）依题意，122ADC ABC S S ==△△，133sin 242ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠==△，解得2DC =，2BD =.如图所示，过点A 作AE BC ⊥于点E .因为60ADC ∠= ，所以12DE =,32AE =,则15222BE =+=，所以3tan 5AE B BE ==.（2）设AB = c ，AC = b ，由极化恒等式得2214AB AC AD BC ⋅- =，即2114⋅--b c =b c ，化简得()22244⋅-+=-b c =b c ，即cos cos 2BAC bc BAC ⋅⋅∠=∠=-b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC =∠=△，即sin bc BAC ∠=.②①得tan BAC ∠=0πBAC <∠<得2π3BAC ∠=，代入①得4bc =，与228b c +=联立可得2b c ==.7.（2023北京卷7）在ABC △中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.6π B.3π C.32π D.65π【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选B.。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.已知△ABC中，cos(－A)＋cos(π＋A)＝－．(1)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tanA的值．【答案】（1）△ABC是钝角三角形（2）－【解析】解：(1)由已知得，－sinA－cosA＝－．∴sinA＋cosA＝．①①式平方得，1＋2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝－<0，又∵0<A<π，∴sinA>0，cosA<0．∴A为钝角，故△ABC是钝角三角形．(2)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋＝．又∵sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，∴sinA－cosA＝，又由已知得sinA＋cosA＝，故sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝＝－．3.已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角）．若，则的值为．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以【考点】同角三角函数关系，向量数量积4.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( ) A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形5.已知α、β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.(1) 求sin(α－β)的值；(2) 求cosβ的值．【答案】（1）－（2）【解析】(1) ∵α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－.(2) 由(1)可得，cos(α－β)＝.∵α为锐角，sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.6.已知cos＝，且－π＜α＜－，则cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos[－]＝sin.又－π＜α＜－，所以－π＜＋α＜－.所以sin＝－，所以cos＝－.7.已知tanθ＝2，则＝__________．【答案】－2【解析】＝＝－2.8.已知角α的终边经过点P(x，－2)，且cosα＝，求sinα和tanα.【答案】【解析】因为r＝|OP|＝，所以由cosα＝，得＝，解得x＝0或x＝±.当x＝0时，sinα＝－1，tanα不存在；当x＝时，sinα＝－，tanα＝－；当x＝－时，sinα＝－，tanα＝.9.已知sin 2α＝，则cos2＝( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵sin 2α＝，∴cos2＝＝10.已知sinα=,则cos(π-2α)=()A．-B．-C．D．【答案】B【解析】∵sinα=,∴cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=-.故选B.11.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于________．【答案】【解析】∵sin α＋2cos α＝，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝.12.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.13.在中，若，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知, 知为钝角，,,解得,故选A.【考点】同角基本关系式14.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算15.在△ABC中，a=15，b=10，A=60o，则cosB= 。
2月2日《三角函数》题型归纳与训练参考答案
π 2
sin
2
x
π 4
y
sin
2x
2π 3
sin
2
x
π 3 ．
注意
的系数，在右平移需将
2
提到括号外面，这时
x
π 4
平移至
x
π 3
，根据“左加右减”原则，“
x
π 4
”
x π
π
π
到“ 3 ”需加上 12 ，即再向左平移 12 ．故选 D.
【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为2－
3,（2）f(x)在
π，5π 6 12
上单调递增；在
5π，2π 12 3
上单调递
2
减
【解析】
π－x (1)f(x)＝sin 2 sin x－
3cos2x
＝cos xsin x－
3(1＋cos 2x)＝1sin 2x－
3cos 2x－
3＝sin
2x－π 3
A． 6 5
【答案】A
B．1
C． 3 5
D． 1 5
【解析】
f
(x)
1 5
sin
x
3
sin
x
6
2
1 5
sin
x
3
sin
x
3
6 5
sin
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三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A． B． C． D．2．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cos α－sin α的值为( )A． B．C． D．3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝( )A．－ B．± C．－ D．±4．若tanα<0，且sinα>cosα，则α在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．若，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．若，且为第二象限角，（）A． B． C． D．7．已知，则等于A ．B ．C ．D ．8．若，且为第二象限角，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知 ，则___________三、解答题10．已知，且是第四象限的角。
. （1）求； （2）. 11．(1)已知,求的值；(2)已知, ,求的值.12．已知tan α2,=(1)求值: sin cos sin cos αααα+- (2)求值: ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠.（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求22sin cos cos ααα+-的值.14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求 （1）sin cos θθ-的值；（2）tan θ的值.15．已知tan 2α=.（1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值； （2）求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知，计算：（1）； （2）.17．已知： 1sin cos ,0<<,5θθθπ+=且 （Ⅰ）求sin cos tan θθθ-和的值；（Ⅱ）求22sin cos 2sin cos θθθθ-的值. 18．已知求的值.19．已知,(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.20．已知.(1)求的值(2)求的值.21．已知，求的值；若是第三象限角，求的值．22．已知，.(1)求的值.(2)求的值.23．(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.参考答案1．C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．【详解】∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴p到原点的距离为5∴sinα，cosα∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα和sinα的值，可得cosα﹣sinα的值．【详解】角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝＝，sin α＝＝，则cos α－sin α＝－＋＝.故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．C【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα和sinα的值．【详解】由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝。
得y＝时，sinα＝，tanα＝，此时，sinα·tanα＝。
当y＝时，sinα＝，tanα＝，此时，sinα·tanα＝.故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．B【解析】【分析】由正切小于0可知终边落在第二四象限，结合正弦大于余弦知终边只能落在第二象限.【详解】因为tanα<0，所以α在第二或第四象限，又sinα>cosα，所以α在第二象限.故选B.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数，由三角函数值的正负确定终边的位置，属于基础题. 5．C【解析】分析：由任意角三角函数的符号与象限的对应直接得出即可．详解：由sinatana<0可得角是二、三象限，由＜0得角是四、三象限角，可得角a是第三象限角．故选：C．点睛：本题考查三角函数值的符号，属于基本概念考查题．6．B【解析】【分析】由，且为第二象限角，利用平方关系求出，再由商的关系可得结果.【详解】因为，且为第二象限角，所以，，故选B.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.7．D【解析】【分析】先由条件得到，然后将添加分母后化为用表示的形式，代入后可得所求值．【详解】，，．故选D．【点睛】关于的齐次式在求值时，往往化为关于的式子后再求值，解题时注意“1”的利用．8．A【解析】【分析】由已知利用诱导公式，求得，进一步求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解。
【详解】由题意，得，又由为第二象限角，所以，所以。
故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
9．【解析】【分析】由的值及为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值.【详解】，且为第二象限角，，则，故答案为.【点睛】本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.10．（1）；（2）【解析】分析：（1）根据α为第四象限角，利用sinα，可得cosα的值，得到tanα?的值．（2）先用诱导公式对原式化简得：，为一个齐次式，然后分子分母同时除以cosα即可.详解：（1）由，且是第四象限的角，所以，则（2）原式点睛：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，齐次式，对公式灵活运用是关键，属于基础题．11．(1) (2)【解析】试题分析：由，将化简为，然后代入求解即可得到答案；令，再由题目知，则，则，代入求得结果解析：(1)原式=上式（2），令12．(1)3；(2)12. 【解析】试题分析：(1)分子、分母同时除以余弦值,将其化为正切值进行求解; (2)利用诱导公式进行化简求值． 试题解析：(1)原式=sin cos cos sin cos cos αααααα+-=tan 13tan 1αα+=-.(2)原式=()()()()cos sin cos cos sin sin αααααα----=cos sin αα=1tan α=12. 13．(1) 37-；(2) 2329. 【解析】试题分析：（1）利用角的终边上点坐标可得tan α，进而由诱导公式化简代入求值即可；（2）利用22sin cos 1αα+=，可求22222sin cos cos tan 12sin cos cos 22sin cos tan αααααααααα--+-=+=++，代入求值即可.试题解析：（1）依题意有3tan7α=-，原式sin sin3tansin cos7ααααα-⋅===--.（2）原式2222sin cos cos tan13523 222sin cos tan2929ααααααα--=+=+=-=+.14．（1）75；（2）43-.【解析】试题分析：（1）将条件平方得1225sin cosθθ<＝－，结合0θπ<<，得sin θ>0，cos θ<0，进而sin θ－cos θ>0，求出(sinθ－cosθ)2开方即可；（2）由①②得sin θ＋cos θ和sin θ－cos θ，求解sin θ和cos θ，即可得tanα.试题解析：（1）∵sin θ＋cos θ＝，①∴(sin θ＋cos θ)2＝，解得sin θcos θ＝－.∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ>0.又∵(sinθ－cosθ)2=1－2sin θcos θ＝∴sinθ-cosθ= ②.（2）由①②得sin θ＋cos θ＝sin θ－cos θ＝.解得sin θ＝，cos θ＝－∴tan θ＝＝－.15．（1）8；（2）1 2 -.【解析】试题分析：（1）由sintancosααα=，只需分式分子分母同时除以cosα即可得关于tanα的代数式求解即可；（2）根据诱导公式化简，进而弦化切求值即可. 试题解析：（1） （2）.16．（1）（2） 【解析】试题分析：（1）由同角三角函数关系得,再代入化简得结果（2）利用分母，将式子弦化切，再代入化简得结果试题解析：解：（Ⅰ）∵tanα=3， ∴===．（Ⅱ）∵tanα=3， ∴sinα?cosα====． 17．(1) 7sin -cos =5θθ， 4tan 3θ=-；(2) 1633. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由1sin cos 5θθ+=两边平方可得242sin cos =-025θθ<，可知sin 0,cos 0θθ><，所以sin cos 0θθ->，从而由()2sin -cos =1-2sin cos θθθθ得到7sin -cos =5θθ，解方程组可得43sin ,cos 55θθ==-，可求得4tan 3θ=-。
（Ⅱ）由（Ⅰ），将43sin ,cos 55θθ==-代入所给式子可求得值。
试题解析： （Ⅰ）1sin cos 5θθ+=①()21sin cos =1+2sin cos =25θθθθ∴+ 242sin cos =-025θθ< 0<<θπsin 0,cos 0θθ∴><sin cos 0θθ∴->()249sin -cos =1-2sin cos =25θθθθ∴ 7sin -cos =5θθ∴②由①②得： 43sin ,cos 55θθ==- sin 4tan cos 3θθθ∴==- （Ⅱ）方法一：由（1）知43sin ,cos 55θθ==- 22224sin 165==.cos 2sin cos 33343--2-555θθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴-⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法二：由（1）4tan 3θ=-224tan 163=.412tan 33123θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭原式18．-2.【解析】分析：利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简求值即可.详解：()()sin cos cos cos 2cos 222cos sin cos sin 1tan sin sin 2πθπθθθθπθθθθθθπθ⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭====----⎛⎫--- ⎪⎝⎭. 点睛：本题考查利用诱导公式化简求值以及同角三角函数基本关系式，属基础题.19．(1);(2)4;(3) .【解析】 【分析】（1）根据同角函数关系得到正弦值，结合余弦值得到正切值；（2）根据诱导公式化简，上下同除余弦值即可；（3）结合两角和的正弦公式和二倍角公式可得到结果. 【详解】（1）∵， ,∴∴（2）.（3）=，根据二倍角公式得到;。