(整理)复平面上两点间的距离

复平面上两点间的距离
一、 教学目标设计
掌握复平面上两点间距离的表示方法，并理解其几何意义，渗透数形结合、类比、转化等思想方法.
二、 教学重点及难点
复数减法的几何意义，复数模的几何意义，复平面上两点间的距离
三、教学过程设计
(一)复习引入
1、复习和回顾复数加法法则及加法法则的几何意义（平行四边形法则）.
2、复习和回顾复数减法法则及减法法则的几何意义（三角形法则） (二)学习新课
1、概念认知：复平面上两点间的距离：
设两复数),,,(,21R d c b a di c Z bi a Z ∈+=+=分别对应复平面两点
),(),,(21d c Z b a Z ，故212221)()()()(Z Z i d b c a d b c a Z Z -=-+-=-+-=
故复平面上两点21Z Z 之间的距离可以用：21Z Z -来表示.
2、概念巩固：用复平面上两点间的距离概念，解释若干复数代数式或方程表示的意义.
3、例题选讲：
例、已知复数Z 满足1=Z ，求复数2-Z 的模的取值范围.
[说明]本题除了可以建立函数来解决外，还可以用几何的方法来解决，设复数z 所对应的点为Z ，满足1=Z 的点Z 的集合是以原点O 为圆心，1为半径的圆，模2-Z 表示是Z 到点A （2,0）的距离从1=CA 开始，逐渐增大到3=BA ，故331≤-≤Z （图参见课件）. 或用12121≤+≤-Z Z Z Z .来解决.(能力要求)
(三)巩固练习：
P82 练习13.3（2） 4，5 (四)课堂小结：
（1） 复数加减法的几何意义 （2） 复平面上两点间的距离 (五)作业布置：
五星题组第73页和第74页尚未完成的题目
四、教学设计说明
数集从实数集扩充到复数集是一个认识的深化与发展的过程.在这一过程中怎样才能迁移方法、建构新知，是设计和实施复数教学的重要的目标.只有实现了旧知向新知的自然过渡，才能形成网络化的知识体系，达到联系巩固旧知，深化对新知理解之目的.
复平面上两点间的距离这一节内容，是在复数的概念、复数的模及复数的加减法之后学习的，课本定义了复数加减法的运算法则，同时引入复数加减法的几何意义，进而得到复平面上两点间的距离公式。

通过例题选讲，在掌握复数减法运算的同时，进一步加深对加、减运算及对复数模的几何意义的理解。

基于上述对教学内容的分析，教学流程设计如下：
回忆旧知，吸引学生的注意力；揭示复数的模的几何意义，为新课的传授作必要的铺垫。

以学生熟悉的知识为载体，采用类比的方法，引导学生对比、思考、愤悱，调动他们的积极性和主动性，活跃课堂气氛，拓展思维宽度，从而使新课更加顺理成章的展开。

面向全体学生（属基本题型），巩固概念，体会数形结合思想，重视一题多变，较全面地理解复数、复平面内的点、始点为原点的向量三者的关系。

复数可看作是向量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，从而引出复数的模（或绝对值）。

通过知识的分层练习，使学生明确复数的模（或绝对值），即点Z到复平面原点的距离，会求复数的模。

利用计算机动画，体会数形结合思想，加深数与形的相互转化。

培养学生的类比猜想能力，逐步形成“观察——类比——猜想——质疑——验证——应用”获取知识的手段和方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。

例1训练学生对复数几何意义的运用，渗透数形转化思想，培养学生严谨的思维品质，有利于学生对复数几何意义的理解。

在理解复数有关几何意义的基础上，将复数几何意义应用推广到用复数研究解析几何某些曲线等问题，使学生进一步体会复数减法几何意义的重要性，认识到复数与其它数学内容之间的联系。

根据课堂学生的反应，控制上课节奏；来不及讲的话，可将它作为课后思考题；重视一题多解，一题多变，感受数形结合的美妙。

回顾、反思打破了原有回顾知识的格局，主要安排体现三部分，即知识梳理、技巧与警示、重要的数学思想方法，为学生的后续学习奠定基础提高他们的认识水平。

五、教学反思
本节课的教学指导思想是努力挖掘教材的内涵美妙之处，充分发挥其功能，复数的的几何表示来自数形结合思想与坐标方法，这使得复数必然奠基于代数中运算、方程、直角坐标系、集合等知识之上，而且必然与平面几何、平面解析几何之间有着密切的联系．所以学习这部分知识，将是对代数、平面几何、平面向量、平面解析几何中有关内容的一次复习、巩固和应用．复数的加法、减法运算还可以通过向量加法、减法的平行四边形成三角形法则来进行，这不仅又一次看
到了向量这一工具的功能，也把复数、复数的坐标表示及其加（减）运算，与向量、向量的坐标表示及其加（减）运算完美地统一了起来．使学生领悟到数学知识发生与发展过程中的思想方法和数学的和谐美、简洁美，培养精益求精的治学态度和勇于探索的精神。

1． 新的课改理念倡导学生的“合作探究”意识与教师的“开放式”教学意识，在这两种基本理念下，在教师引导下由学生自己去添加条件或改变条件演变成新的题情，环环相扣，步步为营。

2． 通过PPT 的演示，同学们对问题有一个较为直观的视觉感受，从而扫清了在这一知识形成过程中的思维障碍，整个思维和知识形成过程构成了一个完美的统一体。

这种教学氛围的营造，使学生在旧知识温故中，发现了打开新知识宝库大门的钥匙。

3． 想达到的目的：通过师生共同探索复数的代数形式、坐标表示、向量表示及其应用，既能体现数形结合这一重要思想。

4． 不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数、向量、解析几何完美地统一了起来.
5． 学生感悟：研究透一道题远比做十道题强；只要平时深入研究，试卷上的题我也会出；要学会基本图形和常见结论；我们要会一题多解、一题多变、一题多思、多题归一。

教学遗憾之处：
1．电脑操作过快，不能给学生以最完美的演示。

2．注重调动学生思维参与度，但落实到学生笔头上不够。

3．学生水平有差异，部分学生没跟上节奏。

4、例题教学中：已知复数z 的模为2，求i z -的最大值。

应再适当进行一题多解的训练：
解法一（代数法）设，、)(R y x yi x z ∈+=
.25)1(.42222y y x i z y x -=-+=-+＝则
.32,2max =--=∴≤i z y y 时，当 解法二（三角法）设),sin (cos 2θθi z += 则 .sin 45)1sin 2cos 422θθθ-=-=-＋（i z
.31sin max =--=∴i z 时，当θ 解法三（几何法）。

所对应的点之间的距离与表示上的点，
是圆点i z i z y x z z -=+∴=4,222
如图1－2－3 所示，可知当i z 2-=时，
.3max =-i z
解法四（运用模的性质）
312=+=-+≤-i z i z
而当i z 2-=时，.3.3max =-∴=-i z i z 5、例题的设置是否能精练化：比如设置如下例题： 设,21,z C z ∈-= 1） 求z 的取值范围； 2） 求1z i +-的最大值； 3）
4） 若复数z 又满足,(),z a a R =∈且这样的z 有且只有两个，求a 的取值范围；
5） 若复数1z 满足115,z i z i -=+求1z z -的最小值。

选题精当，紧扣教学目标，巧妙利用变式将不同题型进行了有机整合，一道题涵盖了求最大值、最小值、取值范围、求参数等题型；同时四问的设计由简到繁、层次感强
解：1）
通常的方法是 设z=a+bi,
221(2) (13),b a a =--≤≤
z ==
1439a ≤-≤
13z ≤≤
引导学生思考从几何意义角度，有没有新想法？
从学生的已有解题经验入手，介绍代数解法，然后启发学生从新学知识入手思考优法，既有通法，又有优法，使学生在对比中体会方法的优劣，从而促进方法的掌握，渗透数形结合的思想
2）1z i +-表示圆上点到K(-1,1)之间的距离，在P 处有最大值。

所以最大
1。

3）两圆交点，左圆是以O 为圆心，a 为半径，原圆是以（2，0）为圆心，1为半径的，两圆相交有
1111,
a a +<+<+
6） 复数
1z 满足115,z i z i -=+则在点（0，1），（0，-5）的垂直平分线
上，Z 在原圆上，最短距离是1
上述例子中，利用复数模的几何意义，将复数的有关问题转化成几何问题，数形结合，找出了便捷的解题方法；
对条件和结论中含有复数模的形式的转化在解题过程中起到了关键作用，其根本都是充分利用了12z z -表示对应点之间距离这一结论。

使学生明确了解答‘复数模的几何意义’这类题目的有效方法是合理转化，充分利用‘12z z -表示对应点之间距离’这一关键点将复数问题转化为几何问题来解决
因教学时间、进度、内容及自己的精力和学生水平等制约，在教法选择中要从教学内容实际出发，从学生学情出发，内容适宜学生探究的，就让学生“探究”，内容适宜教师讲授的，就让学生“接受”，只有多种教学方法取长补短、平衡互补、相辅相成，才能取得相得益彰的教学效果，才能促进学生的最优发展。

让我们精心设计我们的课堂，使每个学生都能自己创造问题、解决问题，使每个学生都能经历“体验、探索”的过程。