向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用

平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线 思路：通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线.

证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+

∴()OB OA μOC OA -=-

∴AB μAC =

∴A 、B 、C 三点共线.

思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性； 2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质；

3. 特别地，12λμ==时，1()2OB OA OC =+，点B 为AC 的中点，揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式，应用广泛.

应用举例

例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线.

思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,

且1λμ+=.

证明：由已知BD BA BC =+，又点N 在BD 上，且13

BN BD =，得 1111()3333

BN BD BA BC BA BC ==+=+ 又点M 是AB 的中点，

12BM BA ∴=，即2BA BM =

D A B

C M N

2133BN BM BC ∴=+ 而21133

+= ∴M 、N 、C 三点共线.

点评：证明过程比证明MN mMC =简洁.

例2如图，平行四边形OACB 中，13BD BC =

，OD 与AB 相交于E ，求证：. 14

BE BA =. 思路分析：可以借助向量知识，只须证明：14BE BA =，而BA BO BC =+，又O 、D 、E 三点共线，存在唯一实数对λ、μ，且1λμ+=，使

BE λBO μBD =+，从而得到BE 与BA 的关系. 证明：由已知条件，BA BO BC =+，又B 、E 、A 三点共线，可设BE k BA =，则 BE k BO k BC =+①

又O 、E 、D 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，使BE λBO μBD =+，且1λμ+=. 又13

BD BC = 13BE λBO μBC ∴=+②

根据①、②得 131k λk μλμ=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得141434k λμ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 14

BE BA ∴= 14BE BA ∴= 点评：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁. D O A C E B