第三章三角恒等变形-4(学生版)

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高中数学第三章三角恒等变形本章整合课件北师大必修4

tan(�� + ��) = 1-tan��tan��
cos(��-��) = cos��cos�� + sin��sin��
差角公式
sin(��-��) = sin��cos��-cos��sin�� tan��-tan��
2
=2+2cos 2x=2+2(2cos2x-1)
=2+4cos2x-2=4cos2x,
因为
x∈
π 2
,π
, 所以cos x<0,所以|a+b|=-2cos
x.
专题1 专题2 专题3
(2)由(1),得 f(x)=cos 2x-2λ(-2cos x)=cos 2x+4λcos
x=2cos2x+4λcos x-1=2(cos x+λ)2-1-2λ2.
第三章三角恒等变形
本章整合
同角三角函数的基本关系:si n2 ��
+
cos 2 ��
=
1,tan��
=
sin�� cos��
cos(�� + ��) = cos��cos��-sin��sin��
和角公式
sin(�� + ��) = sin��cos�� + cos��sin�� tan�� + tan��
2si n2 �� +sin2 �� 1+tan ��

北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积

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师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例题．例题求sin75°·cos15°的值．请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之．
2． cos37.5°·cos22.5°
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10
而sin20°·sin40°·sin80°
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(四)课堂小结
本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式
五、作业
P．231中3；P．236中1、2．
六、教后反思：
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12
第二课时三角函数的和差化积
一、教与学过程设计 (一)复习积化和差公式 1．请学生复述积化和差公式，教师板书
2．部分作业选讲 ① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α．利用积化和差公式，可得
间是有紧密关系的．
师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它
们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这
些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内
在联，寻求新的关系式．
(二)引入新课
请学生说出正、余弦的和差完角整版公课件式pp(t 板书)

第三章三角恒等变换

第三章三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 cos 452=，cos30= ，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-= 大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30- 呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()1cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=-=()12c o s 15c o s 4530c o s 45c o s 30s i n 4530222=-=+=+⨯点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=- ，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （五）作业：§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、si n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、co s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1tan151tan15+-．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==；（2）、()co s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==；（3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)(1cos sin 30cos cos30sin 3022x x x x x x x ⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：=我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业：§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=-⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-．例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值．解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-tan 2α=-（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. （五）作业：3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。

2020-2021学年数学高中必修4北师大版课件：第三章三角恒等变形章末高效整合

数学必修4
第三章三角恒等变形
知能整合提升
热点考点例析
课堂练习达标
阶段质量评估
热点考点例析
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专题一三角函数式的求值三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题． (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论．
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(2)sin12－x＋ta2nsxin2x＝2sin
xcos x＋2sin2x
1－csoins
x x
＝2sincxoscxo－s xs＋insxin x cos x
＝sin
cos 2x·cos
x＋sin x－sin
xx＝－2245×17＝－12745.
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5．和(差)角公式推导辅助角，研究三角函数性质运用和(差)角的正、余弦公式，可以将形如 y＝asin x＋bcos x 的函数转化为形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))的函数，进而研究函数的周期、最值、单调性及相关图像变换等．
数学必修4
第三章三角恒等变形

高一数学北师大版必修4课件第三章三角恒等变形整合

(1)∵ a ⊥b,∴ a ·b=0,∴ sin θ- 3cos θ=-1, 则 sin θ�� 3
=- .∵ - <θ< ,∴ - <θ- < .∴ θ- =- .∴ θ= .
1 2
�� 2
�� 2
5�� 6
�� 3
�� 6
�� 3
1-��α��β
��α ��α
��(α-β) = ��α��β + ��α��β 差角公式
本章整合
同角三角函数的基本关系:�� 2 α + �� 2 α = 1,��α = ��(α + β) = ��α��β-��α��β 和角公式 ��(α + β) = ��α��β + ��α��β ��α+��β �� (α + β) =

21必修四第三章三角恒等变换第二节倍角公式公式- 学生版

1第1 页共 11 页教学辅导教案1．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值．3．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R.设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．[二倍角][问题1] 求下列各式的值：(1)sinπ12cos π12； (2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[问题2] (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，求α.[问题3] 已知向量a ＝(sin A ，cos A )，b ＝(3，－1)，a ·b ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．[半角及恒等变换][问题1] 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[问题2] 化简：1＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[问题3] 证明： (1)sin θ(1＋cos 2θ)＝sin 2θcos θ； (2)tan α＋tan βtan α－tan β＝sin α＋βsinα－β.[二倍角] 1．化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ； (2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛⎭⎫3π2<θ<2π； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．3．求证：2sin x cos x (sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .[方法技巧]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2. [二倍角的配凑问题][典例1] 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x的值．[多维探究]1．解决上面典问要注意角“2x ”与“π4＋x ”的变换方法，即sin 2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ；常见的此类变换，还有：(1)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ； (2)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ； (3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x . 2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是3α2的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．[变式]1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝________. 2．计算：cos 2π7·cos 4π7·cos 6π7＝________. 3．计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________.4．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.[三角恒等变换的实际应用][典例２]如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ ，CR 正好落在正方形的边BC ，CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．[变式]有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？[二倍角]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215° 2．化简1＋sin 100°－1－sin 100°＝( )A ．－2cos 50°B ．2cos 50°C ．－2sin 50°D ．2sin 50°3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 4．函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的最小正周期为________． 5．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．[半角及恒等变换]1．已知cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，那么sin θ2等于( ) A.105 B ．－105 C.155 D ．－1552．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )A ．－cos 1B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 13．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于________． 4．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2＝________. 5．求1＋cos 20°22sin 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°的值．[二倍角]1．若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝35，则cos 2x 的值为( )A ．－725 B.1425C ．－1625 D.19252．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.433．设－3π<α<－5π2，化简 1－cos α－π2的结果是( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2。

三角恒等变换 -学生版

三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan α. [常用结论]1．公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．公式C 2α的变形：(1)sin 2α＝12(1－cos 2α)； (2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3．公式逆用： (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3∓α. 4．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )，特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π6.题型一：三角函数式的化简1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C.12 D ．12．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12 B.12C.32 D ．－323．已知θ∈ ⎛⎪⎫0，π，且sin θ－cos θ＝－14，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋θ＝( )A.23B.43C.34 D.324．已知0＜θ＜π，则(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________.题型二：三角函数式的求值►考法1 给值求值【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79 C ．－79 D ．－89(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A.26＋16 B.3－28C.3＋28 D.23－16(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.►考法2 给角求值【例2】 (1)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________.(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.►考法3 给值求角【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是() A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4 D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．(1)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝()A.53 B ．－6 C.3 D ．－3(2)1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝________. (3)(2019·长春模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________．题型三：三角恒等变换的综合应用【例4】 (2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．(2019·温州模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．课后练习：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．（） (4)函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值为7. ( )2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.123．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A.210 B ．－210 C.7210 D ．－72104．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________. 6．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.157．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－7258．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255 D ．19．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan α－5π4＝15，则tan α＝________.10．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．。

北师版数学高一-必修4课件第三章三角恒等变形

章末复习提升
19
例 3 求证：tan2x＋tan12x＝213－＋ccooss44xx. 证明方法一左边＝csoins22xx＋csoins22xx＝sisnin4x2＋xcocso2sx4x ＝sin2x＋cos142sxin22－2x2sin2xcos2x＝1－14s12insi2n22x2x
＝ 3－ 3tan 25°tan 35°＋ 3tan 25°tan 35°＝ 3.
章末复习提升
16
跟踪演练 2 已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝61，α∈π2，π，求1＋sinco4sα2α的值. 解 ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，sinπ2＋2α＝13，即 cos 2α＝31.又 α∈π2，π，2α∈(π，2π)，
21＋cos22x sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2
＝ 4sin2xcos2x ＝
2sin2xcos2x
＝2s2isnin4x2＋xcocso2sx4x＝tan2x＋tan12x＝左边.
原式得证.
章末复习提升
22
跟踪演练 3
sin x＋cos x－1sin x－cos
求证：
sin 2x
章末复习提升
17
∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－
1－132＝－2
3
2 .
∴1＋sinco4sα2α＝21si＋n 1＋2αc·2ocoss22αα＝2×1－＋213＋2213×13 ＝－4152.
章末复习提升
18
题型三三角恒等式的证明三角恒等式的证明主要是利用 sin2α＋cos2α＝1，csoins αα＝tan α，二倍角公式等结论证明等式成立.一般思路是从左向右或两头凑，注意函数名的统一，一般是切化弦.

(完整版)三角恒等变换知识点归纳

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式⇒2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=26、．22tan tan 21tan ααα=-27、（后两个不用判断符号，更加好用）⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的⇒形式。

，其B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =A29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，αα2tan 2cos ==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；α2αα4α2α2α2α4α②；问：；2304560304515o ooooo=-=-==12sin π=12cosπ；③；④；ββαα-+=)()4(24αππαπ--=+⑤；等等)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

3.2简单的三角恒等变换课件人教新课标

[类题尝试] 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有 f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－π3 ＝12
12cos
2x＋
3 2 sin
2x
－
1 2
cos
2x ＝
6 A. 6
B．－
6 6
30 C. 6
D．－
30 6
解析：由题意知α2∈0，π2，所以 cos α2＞0，
α2＝
1＋cos 2
α＝
30 6.
答案：C
3．已知 cos α＝35，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A.
5 5
B．－
5 5
4
25
C.5
D. 5
解析：由题知α2∈34π，π，所以 sin α2>0，
2 θ 2
＝
1 θθ
cos 2sin 2
＝sin2 θ＝右边．
所以原式成立．
法二左边＝（（1＋1＋sinsiθn－θ＋cocsoθs）θ）2＋（（1＋1＋sisninθθ－＋cocsosθθ））2
＝2（（11＋＋ssiinn
θ）2＋2cos2 θ θ）2－cos2 θ
＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2 θ
1．半角公式
[知识提炼·梳理]
温馨提示对于半角公式，要求会推导，不要求记忆．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)cos φ＝
a a2＋b2，
sin φ＝ a2b＋b2，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象

2022届高考数学一轮复习课件-第三章第4讲简单的三角恒等变换广东版

题组二走进教材
2.(必修 4P142 第 4 题改编)(2018 年全国Ⅲ)函数 f(x)＝1＋tatnanx2x 的最小正周期为( )
π
π
A.4
B.2
C.π
D.2π
sin x
sin x
解析：f(x)＝1＋tatnanx2x＝1＋cocssoinsxxx2＝cos2ccxoo＋ss2xsxin2x＝sin xcos x
解析：(1)原式＝212×4cscoionssπ4π44x－－－xx4·ccooss22x＋π4－1x ＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x＝2sicnoπ2s2－2x2x ＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
答案：12cos 2x
2.
化
简
：
1＋sin
α＋cos
αsin
题组三真题展现 4.(2020 年北京)若函数 f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x 的最大值为 2，则常数φ的一个取值为________. 解析：因为 f(x)＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x
＝ cos2φ＋sin φ＋12sin(x＋θ)，
所以 cos2φ＋sin φ＋12＝2，解得 sin φ＝1，则 φ＝π2＋2kπ， k∈Z 时均满足题意，故可取 φ＝π2.
答案：12
考点 2 三角函数式的求值师生互动
[例 1](1)(2017 年湖北新联考四模)1－sin3t1a0n°10°＝(
)
1
1
3
A.4
B.2
C. 2
D.1
解析：原式＝1－si3n·c1soi0ns°1100°°＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°

三角恒等变形图文

交流电路
在交流电路中，三角函数用于描述电压、电流等物理量的周期性
变化。
三角函数在工程学中应用
建筑设计
01
三角函数用于计算建筑物的角度、高度和距离等参数，以确保
设计的准确性和稳定性。
航空航天
02
在航空航天领域，三角函数用于描述飞行器的轨迹、速度和姿
态等运动特性。
测绘学
03
在测绘学中，三角函数用于进行地图投影、坐标转换和距离测
三角恒等变形图文
目录
• 三角恒等式基本概念 • 三角恒等变形方法 • 图形化理解三角恒等变形 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 三角恒等式基本概念
定义与性质
三角恒等式是指在三角函数中，无论角度如何变化，等式两边始终保持相等的数学表达式。
三角恒等式具有普遍性、必然性和稳定性，是三角函数的重要基础。
03 图形化理解三角恒等变形
单位圆与三角函数关系
1 2
单位圆定义
平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的圆。
三角函数与单位圆关系
正弦、余弦、正切等三角函数值可通过单位圆上点的坐标来表示。
3
诱导公式推导
利用单位圆对称性，可推导出三角函数的诱导公式。
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变三角函数前的系数，可实现图像在y轴方向上的拉伸或压缩。
三角恒等式的变形包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变形在三角函数的计算、化简和证明中具有重要作用。
常见三角恒等式
基本三角恒等式
sin^2(x) + cos^2(x) = 1， tan(x) = sin(x)/cos(x)等。

高中数学必修四第三章三角恒等变换

必修四第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。

例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。

例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。

例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（）Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为。

高考培优课程秋季数学讲义：三角函数恒等变换【学生版】

高三数学三角函数恒等变换学生姓名授课日期教师姓名授课时长本篇学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及运用这些公式进行简单的恒等变换。

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。

1、本章网络结构tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−−←相除2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如 ()()()()2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+，α3是23α的半角，α2是α4的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型： ①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：()()2ααβαβ=++-，()()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-1等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

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[解](1)∵
∴ .
∴ .
故有:
∴ .
(2)∵ ,
∴ .
∴ .
故有:
∴ .
[规律技巧]如果在需要化简或求值的式子中同时出现了 , 和的结构,那么我们一般都要考虑将展开变形求解.
[变式训练](1)求的值.
(2)在中,若 ,求角的大小.
题型2:两角和与差正切公式的应用
例2如的终边分别与单位圆交于两点.已知的横坐标分别为 .
(A) (B) (C) (D)
4. ( )
(A) (B) (C) (D)
【典例剖析】
题型1:运用两角和与差的正切公式解题
例1(1)已知 ,且 ,求
的值.
(2)求的值.
[思路分析]对于(1),由已知 ,可得 ,从而将展开变形有 ,进一步变形即可求得答案；对于(2),注意到和之和为 ,且将所求式子展开后可以得到与的结构,故可考虑将展开变形求解.
第三章三角恒等变形
§2两角和与差的三角函数
§2.3两角和与差的正切函数
【预习导航】
1. __________________.
2. __________________.
【基础自测】
1.若 , ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.若 ,且 ,则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 , ,则 ( )
[思路分析]由于在三角形内有内角和定理 ,因此用它来进行化简应当是必然的.
[解]∵ ,∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
[规律技巧]本题证明主要是利用内角和定理达到了消元的目的.再者,就是对正切和角公式变为整式形式是常用方法.
[变式训练]求证:在任意的三角形中,总有 .
【课时作业】
一、选择题
1.若钝角满足 ,且有 ,则 ( )
.
(2)由于
,
又因均为锐角,故 ,
所以,有 .
[规律技巧]对于求角的大小的问题,我们一般需先求出这个角的某一三角函数值,然后根据角的范围及其三角函数值得出具体的度数(弧度数).本题中还有一点需要注意的是:对角度的分拆 .
[变式训练]已知 ,且与是方程的两个实数根,求的值.
【知能迁移】
例3求证:在任意的斜三角形中,总有 .
(1)求的值；(2)求的值.
[思路分析]对于(1),由两点的横坐标可得锐角的余弦值,进而可求得其正切值,然后用公式求解即可.对于(2),需要注意到角度之间的关系: ,然后再用公式计算其正切值即可.
[解](1)由已知及三角函数的定义可得:
, .
又由于均为锐角,故可得:
, .
于是,可得 , .从而,可得:
8.若 , ,且与是方程的两个不同的实数根,则 ______.
三、解答题
9.求证: .
10.已知 ,且 ,求
的值.
(A) (B) (C) (D)
2. 化简后的结果为( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 , ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
4.若 , ,则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
5. ______.
6.若 ,且 ,则 ______.
7.若为钝角, ,且 ,则 ______.

第三章 三角恒等变形-4(学生版)

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