新人教A版数学选修1-1《3.1.3导数的几何意义》导学案

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.3 导数的几何意义学案

新人教A 版选修1-1

【学习目标】

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;

2.理解曲线的切线的概念;

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.

【重点难点】 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.

【学习内容】

一、创设情景

我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？

二、学习新知

(一)曲线的切线及切线的斜率

如图,当(,())(1

,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？

我们发现:

问题: (1)割线n PP 的斜率n k 与切线

PT 的斜率k 有什么关系？ (2)切线PT 的斜率k 为多少？

说明: (1)设切线的倾斜角为α,

那么当0→?x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.

(2)曲线在某点处的切线:

1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个

交点,可以有多个,甚至可以无穷多. (二)导数的几何意义

函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0000()()()lim x f x x f x f x k x

?→+?-'==? 说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P 点的坐标;

②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x

?→+?-'==?得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.

(三)导函数

由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数.

记作:()f x '或y ',即0()()()lim x f x x f x f x y x

?→+?-''==?. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

(四)函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数0()f x ',就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.

(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数)(x f 的导函数.

(3)函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值,这也是求

函数在点0x 处的导数的方法之一.

三、典例分析

例1 (1)求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.

(2)求函数23x y =在点(1,3)处的导数.

解:

例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2

() 4.9 6.510h x x x =-++,根据图像,

请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况.

解:

例3 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化

的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)

解：

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:验证一下，这些值是否正确。

t

0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率'()f t

0.4 0 -0.7 -1.4

四、课堂练习 1.求曲线3

)(x x f y ==在点(1,1)处的切线.

2.求曲线y x =在点(4,2)处的切线.

五、【课堂小结与反思】

六．【课后作业与练习】

1．曲线2x y =在0=x 处的（ ）

A 切线斜率为1

B 切线方程为x y 2=

C 没有切线

D 切线方程为0=y

2．已知曲线22x y =上的一点A （2，8），则点A 处的切线斜率为（ ） A 4 B 16 C 8 D 2

3．函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0/x f 的几何意义是（ ）

A 在点0x x =处的函数值

B 在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切值

C 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率

D 点))(,(00x f x 与点（0，0）连线的斜率

4．已知曲线3x y =上过点（2，8）的切线方程为01612=--ax x ，则实数a 的值为（

）

A －1

B 1

C －2

D 2

5．若3)(0/-=x f ，则h h x f h x f h )

3()(lim 000--+→＝（ ）

A －3

B －6

C －9

D －12

6．设)(x f 为可导函数，且满足条件12)1()1(lim 0-=--→x

x f f x ，则曲线)(x f y =在点（1，1）处的切线的斜率为（ ）

A 2

B －1

C 2

1 D －

2 7． 已知曲线12-=x y 上的两点A （2，3），)3,2(y x B ?+?+，当1=?x 时，割线AB 的斜率是__________，当1.0=?x 时，割线AB 的斜率是__________，曲线在点A 处的切线方程是________________________。

8．在曲线2x y =上过哪一点的切线，

（1）平行于直线54-=x y ；

（2）垂直于直线0562=+-y x ；

（3）与x 轴成

135的倾斜角；

（4）求过点R （1，－3）与曲线相切的直线。