常微分方程解的结构课件
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第五讲常微分方程PPT课件
5. 求lim x0
1 cos x
.
1
6.
求
lim
xe
x e
xe
.
7.
设
y
x2
sin
1 x
,
x 0,
存在. 0,
x 0,
求y 0
8. 计算积分
x3 dx.
1 x2
并讨l论im y x x0
是否
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综合练习
9. 计算下列积分.
1
arctan x
x dx;
2
ln x 1 x2 dx.
任给有理数a,
函数
f(x)满足 f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2
dy dx
0
的通解.
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3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
的通解为
y Y x y* x
y 4 y 0 的通解.
例: 求齐次方程
4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0
的通解.
例: 求初值问题
y 4 y 29 y 0
y
x0
0
,
y
x0
15
的解.
第25页/共47页
练 (2006年高数二)
微分方程
y 4 y 5 y 0 的通解为___________
练 (2007年高数一)
第16页/共47页
二阶齐次线性方程解的结构
高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
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【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
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【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
微分方程的算子算法课件
解 考虑(D2 2D 5) y e(12i) x x的特解
y*
(D2
1 2D
5)
e(12i ) x
x
15
常系数线性微分方程的算子解法
11．特解的算子解法及例题
e(12i ) x
1
x
(D 1 2i)2 2(D 1 2i) 5
e(12i) x ( x2 i x ) 8 16
e x[( x2 sin 2x x cos 2x) i( x2 cos 2 x x sin 2 x)]
常系数线性微分方程的算子解法
1．n阶常系数线性微分方程
非齐次方程 齐次方程 微分算子
dny dx n
p1
d n1 y dx n1
pn y f ( x)
(1)
dny dx n
p1
d n1 y dx n1
pn y 0(2)DFra bibliotekd dx
,
D2
d2 dx 2
,
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1 pn1D pn
2
常系数线性微分方程的算子解法
3．类比对象的确定
特殊情况 y f (x),其通解y f (x)dx C, y* f (x)dx
类似于原函数的概念，定义算子： 1
P(D) 1 f ( x)表示这样函数：用P(D)作用它的结果是f ( x)，即 P(D)
若函数F ( x)使得P(D)F ( x) f ( x)，则 1 f ( x) F ( x)
方程的算子表示
P(D) y f (x)
P(D) y 0
1
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
常微分方程总结 PPT
2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . y 3 .齐次方程的求解方法: 令 u , x
8
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
23
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx
8
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程课件
求解代数方程
求解得到的代数方程，得到$F(s)$的表达式。
解出常微分方程的解
要点一
反变换求解
通过反拉氏变换将$F(s)$还原为$f(t)$，从而得到常微分方 程的解。
要点二
验证解的正确性
将得到的解代入原常微分方程进行验证，确保解的正确性。
06
总结与展望
总结
拉氏变换法的优势
拉氏变换法在求解常微分方程时 具有明显的优势，它可以将复杂 的微分方程转化为代数方程，大 大简化了求解过程。
通过逐一求解一阶常微分方程，拉氏变换法可以应用于高阶微分方程的求解。
拉氏变换法的缺点
计算量大
在应用拉氏变换法求解常微分方程时，需要进行复 杂的积分和代数运算，计算量较大。
对初值条件敏感
对于某些常微分方程，初值条件的微小变化可能导 致拉氏变换法的失效。
不易理解
拉氏变换法的概念较为抽象，不易被初学者理解。
与其他方法的结合
可以考虑将拉氏变换法与其他数值方法或解析方法结合，以更有效 地求解各种类型的微分方程。
实际应用价值
随着科学技术的不断发展，常微分方程在各个领域的应用越来越广 泛，因此拉氏变换法在实际应用中也将发挥更大的作用。
感谢观 看
THANKS
信号处理中，拉氏变换法可以用于分析信号的滤波、调制 和解调等过程，优化信号处理效果。
04
拉氏变换法的优缺点
拉氏变换法的优点
求解过程简化
拉氏变换法可以将复杂的常微分方程转化为简 单的代数方程，从而简化了求解过程。
适用于多种初值条件
拉氏变换法可以处理多种初值条件，使得该方 法具有更广泛的适用性。
可应用于高阶微分方程
拉氏变换法求解一阶常微分方程
求解得到的代数方程，得到$F(s)$的表达式。
解出常微分方程的解
要点一
反变换求解
通过反拉氏变换将$F(s)$还原为$f(t)$，从而得到常微分方 程的解。
要点二
验证解的正确性
将得到的解代入原常微分方程进行验证，确保解的正确性。
06
总结与展望
总结
拉氏变换法的优势
拉氏变换法在求解常微分方程时 具有明显的优势，它可以将复杂 的微分方程转化为代数方程，大 大简化了求解过程。
通过逐一求解一阶常微分方程，拉氏变换法可以应用于高阶微分方程的求解。
拉氏变换法的缺点
计算量大
在应用拉氏变换法求解常微分方程时，需要进行复 杂的积分和代数运算，计算量较大。
对初值条件敏感
对于某些常微分方程，初值条件的微小变化可能导 致拉氏变换法的失效。
不易理解
拉氏变换法的概念较为抽象，不易被初学者理解。
与其他方法的结合
可以考虑将拉氏变换法与其他数值方法或解析方法结合，以更有效 地求解各种类型的微分方程。
实际应用价值
随着科学技术的不断发展，常微分方程在各个领域的应用越来越广 泛，因此拉氏变换法在实际应用中也将发挥更大的作用。
感谢观 看
THANKS
信号处理中，拉氏变换法可以用于分析信号的滤波、调制 和解调等过程，优化信号处理效果。
04
拉氏变换法的优缺点
拉氏变换法的优点
求解过程简化
拉氏变换法可以将复杂的常微分方程转化为简 单的代数方程，从而简化了求解过程。
适用于多种初值条件
拉氏变换法可以处理多种初值条件，使得该方 法具有更广泛的适用性。
可应用于高阶微分方程
拉氏变换法求解一阶常微分方程
完美版课件常微分方程
例
思2 一阶微分方程
8.2.3 一阶线性微分方程
形如 y′+p（x）y=Q（x） （8-3） 的方程称为一阶线性微分方程，其中p（x）和Q（x）是已知连续函数.
注意:所谓线性是指其中对未知函数y和y′都是一次的.
当Q（x）≡0时，有y′+p（x）y=0（8-4）
注意:在求解非齐次方程时，可以用常数变易法求解， 也可以直接由式（8-7）求解.
8.2 一阶微分方程
例 例8-9】求解方程(dy)/(dx)-ycotx=xsinx.
解 方法一 常数变易法.首先对齐次线性方程 (dy)/(dx)-ycotx=0 分离变量，得(dy)/y=cotxdx 积分，得ln｜y｜=ln｜sinx｜+C1, 因此，齐次方程的通解为y=Csinx（C=±eC1） 将上式中的C变易为C（x），再把y=C（x）sinx代 入原方程，得C′（x）sinx+C（x）cosx-C（x） sinxcotx=xsinx,即C′（x）=x 因此C（x）=(1/2)x2+C 于是原方程的通解为 y=C（x）sinx=（(1/2)x2+C）sinx
8.2 一阶微分方程
微分方程研究的主要问题就是如何求解，但并不是所有的微分方程都能用初等积分的方 法求出.因此，我们不能奢求能够解出所有的微分方程，但是对于某些特殊类型的方程， 是可以用初等积分的方法求解的.
8.2.1 可分离变量的微分方程 在一阶方程中，如果可以将含有未知函数y的式子及dy与含有自变量x的式子及dx分开至 方程两边，然后就可以分别对y和x积分求解. 形如 (dy)/(dx)=f（x）g（y）［g（y）≠0］ （8-1） 的方程称为可分离变量的微分方程. 对式（8-1），可以将关于y和x的式子分开，得(dy)/g（y）=f（x）dx 然后两边积分得∫(dy)/g（y）=∫f（x）dx+C
常微分方程PPT
解 设降落伞下落速度为v(t) 时伞所受空气阻力为
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
常微分方程全册ppt课件
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系 统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未 知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合， 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程
4-1第四章 常微分方程ppt课件
第一节 常微分方程
一、引例 [曲线方程]
一平面曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的二倍，试 建立该曲线满足的方程式．
解 设所求曲线为yfx由导数的几何意义知，曲线上任一点 px,y处的切线斜率为 y 根据题意有 y2x即
dy 2x dx
w精w选w.2c0e2c1.e版du课.c件n
4
第一节 常微分方程
二、概念和公式的引出
凡含有未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程．微分方程 有时也简称为方程． 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程． 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 任何满足微分方程的函数都称作微分方程的解． 如果微分方程中含有任意常数，且独立变化的任意常数的个数与 微分方程的阶数相同，这样的解称作微分方程的通解．不含任意 常数的解称作微分方程的特解．
dPtkPt k0常数
dt
等式右端的负号是由于 Pt随时间 t 的增加而减少．
研究
w精w选w.2c0e2c1.e版du课.c件n
6
第一节 常微分方程
案例2 [自由落体运动] 一质量为m的质点,在重力作用下自由下落, 求其运动方程. 解 建立坐标系如图，坐标原点取在水平地面, y轴铅直向上,设在时刻
约翰.伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748）， 雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在 1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问 题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、 微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物 理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰 向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有 任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不 计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极 小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、 莱布尼茨和牛顿都得到了解答。
《常系数微分方程》PPT课件
证明（反证法） 假若这些函数线性相关，则有
m
m
( A0(r)
A1(r )t
...
A t )e (r ) kr 1 rt kr 1
=
Pr (t)ert =0,
r 1
r 1
(4.27)
其中A(j r )是常数,不全为0. 不失一般性,假定多项式Pm (t)至少有一个系数不等于0,
因此Pm (t) 0.(4.27)两边除以e1t , 然后对t微分k1次,我们得到 m
=
Pr (t )ert =0,
r 1
r 1
其中A(j r )是常数,不全为0.
(4.27)
15
dnx
d n1x
dx
L[x] dt n a1 d n1t ... an1 dt an x 0 (4.19)
F () n a1 n1 ... an1 an 0 (4.21)
x ye1t
dx dt
an x
0
(4.19)
F () n a1 n1 ... an1 an 0 (4.21)
x ye1t
于是(4.19)化为
y=f(x) 只要找到y，
L1[ y] 其中b1 ,
dny dt n
b1
d n1 y d n1t
...
bn 1
dy dt
bn y
0,
(4.23)
b2 ,..., bn仍为常数,而相应的特征方程为
. 特征根是有重根的情形
设1是特征方程(4.21)的k1重特征根,则方程(4.19)如下k1个解:
e1t , te1t ,..., t k1 e 1 1t
(4.25)
证明 分两种情况：
(1)1 0. 此时证明过程很简单. (2)1 0. 作变量变换x ye1t , 注意到
常微分方程PPT课件
8.1 常微分方程的基本概念
例
【例8-2】列车在平直线路上以20 m/s的速度行驶,当其制动时获得的加速度为 -0.4 m/s2 时，问开始制动后多长时间列车才能停住?在这段时间内列车行驶了多少路程? 解 设把列车刹车时的时刻记为t=0.设制动后t时刻列车行驶了s.显然直接求s=s（t）是困 难的,但由导数的物理意义可知d2s/dt2=-0.4 两端积分,得ds/dt=∫（-0.4）dt=-0.4t+C1 两端再积分,得s=-0.2t2+C1t+C2 其中C1,C2都是任意常数.现在需要确定C1,C2的值,根据题意知,未知函数s=s（t）满足 s0=0,v（0）=s′0=20 代入上面的两式,得C1=20,C2=0,因此s(t)=-0.2t2+20t 由于列车刹住时的速度为零,即s′(t)=-0.4t+20=0 求得t=50 s,于是列车所走的路程为s（50）=-0.2×502+20×50=500（m）
8.1 常微分方程的基本概念
上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数（或微分）所满足的方程，求解未知函数的问 题，这就是微分方程问题.
定义8.1 含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微 分方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称 为偏微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方 程. 不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别 微分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常 系数、齐次与非齐次等.
8.1 常微分方程的基本概念
例如 可以验证例8-1中,函数y=x2+C和y=x2+1都是方程dy/dx=2x的解,其中 y=x2+C是微分方程dy/dx=2x的通解,y=x2+1是微分方程dy/dx=2x的特解;例8-2 中的通解为s（t）=-0.2t2+C1t+C2,特解为s(t)=-0.2t2+20t. 在通解中说任意常数是独立的,其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个 数减少.例如,函数y=C1sin x+C2sinx形式上有两个任意常数,但这两个常数并 不是独立的,事实上它可以写成y=（C1+C2）sinx=Csinx（其中C=C1+C2）,因此 本质上它只含有一个任意常数. 显然,微分方程的通解给出了解的一般形式,若用未知函数及其各阶导数在某 个特定点的值将通解中的任意常数确定下来,就得到微分方程的特解.
《常系数线性微分方程的解法》课件
则方程（4.19）有两个复值解
e( i ) t e t (cos t i sin t) e( i ) t e t (cos t i sin t)
对应两个实值解 e t cos t, e t sin t
14
例1 求方程
d4x dt 4
x
0
的通解。
解 第一步：求特征根
F () 4 1 0
1,2 1, 3,4 i
类似地
1 k1
2 k2
m km
e1t , te1t , t 2e1t ,, t k11e1t
e2t , te2t , t 2e2t ,, t k2 1e2t
emt , temt , t 2emt ,, t km 1emt
基 本 解 组
(4.26)
k1 k2 km n, ki 1
21
证明 假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数A(jr)使得
L[ ye1t ]
e1t ( y(n) b1 y(n1) b2 y(n2) bn1 y bn y) 0
L1[ y] y(n) b1 y(n1) b2 y(n2) bn1 y bn y 0
…….(4.23)
L[ ye1t ] e1t L1[ y]
特征方程 G() n b1 n1 bn1 bn 0(4.24)
都是实值函数，而 x z(t) (t) i (t) 是方程的复数解，
则 z(t) 的实部 (t)，虚部 (t) 和共轭复数函数 z(t)
也是方程4.2的解。
9
定理9
若方程
dnx
d n1x
dx
dtn a1(t) dtn1 an1(t) dt an (t)x u(t) iv(t)
24
e( i ) t e t (cos t i sin t) e( i ) t e t (cos t i sin t)
对应两个实值解 e t cos t, e t sin t
14
例1 求方程
d4x dt 4
x
0
的通解。
解 第一步：求特征根
F () 4 1 0
1,2 1, 3,4 i
类似地
1 k1
2 k2
m km
e1t , te1t , t 2e1t ,, t k11e1t
e2t , te2t , t 2e2t ,, t k2 1e2t
emt , temt , t 2emt ,, t km 1emt
基 本 解 组
(4.26)
k1 k2 km n, ki 1
21
证明 假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数A(jr)使得
L[ ye1t ]
e1t ( y(n) b1 y(n1) b2 y(n2) bn1 y bn y) 0
L1[ y] y(n) b1 y(n1) b2 y(n2) bn1 y bn y 0
…….(4.23)
L[ ye1t ] e1t L1[ y]
特征方程 G() n b1 n1 bn1 bn 0(4.24)
都是实值函数，而 x z(t) (t) i (t) 是方程的复数解，
则 z(t) 的实部 (t)，虚部 (t) 和共轭复数函数 z(t)
也是方程4.2的解。
9
定理9
若方程
dnx
d n1x
dx
dtn a1(t) dtn1 an1(t) dt an (t)x u(t) iv(t)
24
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对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x ,
2 是单根，设 y x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y x(1 x 1)e2x
B 1
2 原方程通解为
y C1e x
C2e2x
x(1 x 1)e2x 2
.
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
q 0 时， Q( x) a0 xn a1xn1 L an1 x an 其中 a0, a1,L ,an 为待定系数. q 0 , p 0 时， 可设
Q( x) a0 xn1 a1xn L an1x2 an x q 0 , p 0 时， 方程通解可由 y Pn( x) 直接积分得到.
例2 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y 4eix ,
i 是单根, 故 y* Axeix ,
代入上式 2Ai 4, A 2i, y* 2ixeix 2x sin x (2x cos x)i,
常微分方程解的结构
定义：设 y1( x), y2( x) 为定义在 (a,b)内的两个函数， 如果存在非零常数 k,使得 y( x) ky( x),则称y1( x), y2( x) 线性相关，否则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
定理9.1 设 y1( x), y2( x)是方程 y py qy 0 的两个 线性无关的解，则
f ( x) ex[Pl cosx Pn sinx] 利用欧拉公式
e x [ Pl
e ix
eix 2
Pn
e ix
eix 2i
]
( Pl Pn )e( i ) x ( Pl Pn )e( i ) x
2 2i
2 2i
P( x)பைடு நூலகம்(i )x P ( x)e(i )x ,
设 y py qy P( x)e(i )x , y1 xkQme(i )x ,
常见类型 Pn( x), Pn( x)ex ,
e x ( A1 cos x A2 sin x)
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
1. y py qy Pn( x)
设非齐方程特解为 y* 为多项式 Q( x)， 代入方程
Q( x) pQ( x) qQ( x) Pn( x)
Q( x) pQ( x) qQ( x) Pn( x)
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
(2) 有两个相等的实根 ( p2 4q 0)
特征根为
p r1 r2 2 ,
一特解为 y1 e r1x ,
另一特解
y
xe
r 2
x
;
所以齐次方程的通解为
y (C1 C2 x)e r1x ;
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
特别地 y py qy Aex
2
A
p
q
e
x
,
不是特征方程的根
y*
A xe x
2 p
是特征方程的单根 ,
A x2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
设 y py qy P ( x)e(i )x , y2 xkQme(i )x ,
y xkex[Qmeix Qmeix ]
xkex[Rm(1)( x)cosx Rm(2)( x)sinx],
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
k
0 1
i不是根 i是单根,
y( x) Y ( x) y*( x),
定理 如果 y1( x) 与 y2( x) 分别为方程 y py qy f1( x), 和 y py qy f2( x)
的特解，Y 是方程
y py qy 0, 的通解，则
y( x) Y ( x) y1*( x) y2*( x) 是方程 y py qy f1( x) f2( x) 的通解.
(2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQn( x), y* xQn( x)e x;
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) x2Qn( x), y* x2Qn( x)e x .
综上讨论 设 y* xke xQn( x) ,
(3) 有一对共轭复根 ( p2 4q 0)
特征根为 r1 j , r2 j ,
y1 ex cos x, y2 ex sin x,
方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
y py qy 0 r2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 如果 y*( x) 是方程 y py qy f ( x) 的一个特解， Y ( x) 是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解 为
2. y py qy Pn( x)ex
设非齐方程特解为 y* Q( x)e x 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) ( 2 p q)Q( x) Pn( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
可设 Q( x) Qn( x), y* Qn( x)e x;
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x)
是方程的通解，其中 C1, C2 为任意常数.
二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
r 2 pr q 0
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q ,
2
(1) 有两个不相等的实根 ( p2 4q 0)
特征根为 r1 r2