322黄金分割导学案

3.2.2黄金分割
学习目标：
1、结合图形理解黄金分割、黄金分割点及黄金比的意义
2、会运用黄金分割的有关知识解决计算及论证问题
设问导读
阅读课本第68---69页内容，完成下列问题：
A B
C
1、什么叫作黄金分割？什么是黄金分割点？什么叫黄金分割比？
结论：点C是线段线段AB上一点，点C把线段AB分成两条
线段AC和BC，若满足AC
AB=
BC
AC(
较长线段
整条线段
=
较短线段
较长线段
），那么称
线段AB被点C黄金分割。

其中点C叫做线段AB 的，AC与AB的比叫做.
【注意】一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；
2、如何计算黄金分割比？
在线段AB中，点C为黄金分割点，试求AC
AB的值？
A B
C
【结论】点C为AB的黄金分割点，AC＞BC.则AC
AB=
5–1
2≈0.618.
运用：
（1）已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AC是线段______与线段______的比例中项，如果AB=10cm，那么AC≈_______cm，BC≈_________cm．
（2）如果线段AB=25+2，点C是AB的黄金分割点，求AC、BC的长。

3、实际应用
1）（2012•通辽）美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为（）
A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm
分析：先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：
96+y
160+y=0.618，
解得：y≈8cm．
故选D．
2）据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时, 人体感到最舒适.因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? 解：人的正常体温36.2℃～37.2℃
“人体舒适指数”：36.2℃×0.618≈22.4℃，
37.2℃×0.618≈23℃
“人体舒适指数”为22℃~23℃；
【即时训练】植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.5°，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，运用你所学的知识分析这是为什么?
这是因为：137.5°︰（360°－137.5°）≈0.618；
知识拓展：
（1）若矩形的两条邻边长度的比值为5–1
2（约为0.618），这种
矩形称为黄金矩形.
(2)把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形。

如图，在△ABC中AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D.
则有：BC
AB=
AD
AC=
5–1
2
D
C A
B
思考：
若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形
吗？
4、课题小结：
1）点C 把线段AB 分成两部分，如果AC AB =BC AC
，那么线段AB 被点C 黄金分割. 2）判断一点是否是一条线段的黄金分割点，可以以较长全段=较短较长
来判断，也可以较长全段=5–12或较短较长=5–12。

5.自我检测
1)若点P 在线段AB 上，且AP ∶AB=BP ∶AP, 则点 是线段
的黄金分割点。

若AB=2cm ，则AP= cm,BP= cm, 若
AB=8cm ，则AP= cm, BP= cm.
2)把长度为10cm 的线段黄金分割后，其中较长的线段长度为 cm, 较短线段的长度为 cm.
3)已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列各式成立的是（）
A、AB2=AP·PB
B、AP2=PB·AB
C、BP2=AP·AB
D、AP∶PB=AB∶PB
4)已知线段AB=8cm，点C、D是线段AB的两个黄金分割点，求线段CD的长。

巩固训练
1、点C是线段AB延长线上的一点，且满足点B是线段AC的黄金分割点，若AC=10cm，则AB的长是cm。

2、乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器版面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A 的黄金分割点，试确定支撑点C到端点B的距离以及支撑点D 到端点A的距离。

拓展探究：若点C是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则AC 的长约是cm。