第一轮复习教学案 一元二次方程正好
一元二次方程复习教案
一元二次方程一、教学目标1. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.2. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.二、知识框架【处理方法】先让学生学生回顾《一元二次方程》一章中的主要内容，学生叙述并补充之后出示知识框架图，再次强调本章重要考点，为引出下面的练习做准备.考点一：方程的解例1．(2015甘肃兰州)若一元二次方程ax 2-bx-2015=0有一根为x=-1，则a+b= ．【答案】2015（提示：将x=-1代入到ax 2-bx-2015=0中得到a+b-2015=0，所以a+b=2015）【处理方法】学生先独立思考，尝试解题，然后说明解题方法，并说明考察的对应的考点，锻炼学生的分析考察知识点的能力.教师强调：（1）方程的解一定满足方程；（2）注意整体思想的运用.变式题 已知二次函数y=ax ²-bx-2015与x 轴有一个交点为（-1,0)，则a+b=______.【处理方法】学生思考后回答，说明对应的考点及使用的数学思想.教师强调：转化思想在数学学习中经常用到，我们要用转化思想把未知化为已知，找出问题的实质仍是已知方程的解求代数式的值. 考点二：解方程例2解方程：（1）（x-2）²=（2x+3）²（2）(x-2)(x-3)=12（3）3x ²-8x-3=0（用配方法）【处理方法】学生自己完成解题过程，三个学生板演.做完后小组内互相检查改错，再对板演的题目集体修改并及时说明学生解法的优略，说明此题考查3的知识点是考点二--方程的解法.对用配方法接的方程，要求学生说明每一步的变形依据，为下面的变式题做铺垫.对于（2）的解法，如果有下面的变式题，你会解吗？变式题 若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边，且S △ABC =3，请写出一个．．符合题意的一元二次方程 ． 【处理方法】学生自己先写，小组交流得到的方程及方法，一生展示.教师适时提醒，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧应用的关系根的判别式、根与系数因式分解法公式法配方法直接开方法解法概念一元二次方程这是已知解求方程，与已知方程求解释互逆的过程，用逆向思维很容易得到答案.针对（3），如果这样变，解题的依据一样吗？变式题 把二次函数y=3x ²-8x-3配方为顶点式_________.【处理方法】学生写出答案，展示正确与错误的答案，从变形的依据上说明形如y=(x-3)²-25/9的结果错误的原因.教师提示，一元二次方程的解法在中考中一般不单独命题，但它是解决与函数交点问题的基础，必须熟练掌握.考点三、 一元二次方程根的判别式例3（2014四川内江）若关于x 的一元二次方程(k-1)x 2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞21 B ．k ≥21 C ．k ＞21且k ≠1 D ．k ≥21且k ≠1 【答案】C （根据条件得22－4(k-1)(－2)＞0，且k-1≠0；解得k ＞21且k ≠1.) 【处理方法】学生思考后，独立解题，让在全班交流解题思路.教师强调：题目条件是一元二次方程，所以二次项系数不等于0.如果这样变呢？变式1：若关于x 的方程(k-1)x ²+2x-2=0有两实根，则k 的取值范围是 __________.变式2：若关于x 的方程(k-1)x ²+2x-2=0有两实根，则k 的取值范围是 __________.变式3:若抛物线y=x ²-2x+3与直线y=2x+b 只有一个交点，则b=____.【处理方法】学生先写答案，一生展示并说明变式1、2的区别，提醒学生做题时注意审题，发现条件不同时的方法不同.对于变式3，提醒学生用到的是数形结合和转化的数学思想，把函数图像的交点问题转化为一元二次方程的解的问题.再问学生对于变式3你还可以把题目怎么变，且说明问题的实质是什么，再次强调转化思想. 训练（2015•河南）已知关于x 的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根.【答案】（1）移项整理成一般形式：x 2－5x ＋6－|m|=0，Δ=b 2－4ac =1+4|m|，∵|m|≥0，∴1+4|m|>0，∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1则（1-3）（1-2）=|m|∴m=±2，∴x 2－5x ＋6=2，（x-4)(x-1)=0，∴x=4，x=1，∴m 的值是±2方程的另一个根是4.【解析】 （1）移项整理化成方程的一般形式1.谈本节收获.求出根的判别式即可判断方程根的情况.（2）把x=1代入原方程可得出m 的值再把m 的绝对值代回原方程解出x 的另一个值.【考点】一元二次方程根的判别式和根的意义.【处理方法】移项整理成一般形式时注意对|m|的理解， 强调一般形式中等式右边为0 . 考点四 一元二次方程的应用例4 某公司今年1月的营业额是2500万元，按计划第一季度的总营业额要达到9100万元.设该公司2,3两个月营业额的月平均增长率为x,可列方程为___________.若把第一季度营业额改为3月的营业额为3600万元，又怎样列方程呢？【处理方法】学生列出方程后要总结此类方程的一般结构及解法，让学生了解解方程的技巧.例5 李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼灯，其中每月销售量y （件）与销售单价x（元）满足y=-10x+500.（1）如果每月要获得2000元的利润，单价应定为多少元？（2）他每月能获得2500元的利润吗？为什么？【处理方法】（1）学生列出方程，小结方程整理的方法.（2）说明判断的依据：可以解方程，但方程对应的判别式小于0；也可以利用二次函数求利润的最大值，但比2500元小.提醒学生小结应用里的其他题型.四、小结1.一元二次方程的主要考点.2.解决一元二次方程根的判别式的问题，通常都是先算判别式，然后根据已知条件作出判断.考查一元二次方程根的判别式的问题主要有三种形式：（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况求方程中待定系数的范围；（3）证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况.解决这三类问题，有一个通法，就是先算出判别式，然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理.。
人教版九年级数学上册《一元二次方程(复习课)》教学设计
环节
内 容（或 知 识 点）
时间
纵轴
师 生 活 动
设计意图
创设情景引课
知
识
梳
理
这节课我们系统的复习一元二次方程的概念，解法及一元二次方程根的判别式及根与系数的关系。
知识清单
知识结构
（1）
（2）
（3）
1
4
师：口述提出问题引入新课.
生：认真倾听后，带着问题进入新课的学习和探究.
师： 布置任务：让学生在组内交流自主学习情况，并组织学生展示收获，提出困惑。 检查学生存在问题，并给予指导.
生：在组内交流学习，并展示收获提出困惑.同时积极参与对其他小组收获给予补充，困惑给予解答。
师:进一步明确本节课复习的知识结构，展示结构图
激发学生的学习兴趣和探究的欲望.
培养学生的自主学习能力,主动学习的意识,、合作交流的意识及互帮学习的热情，勇于质疑的精神。
教学
环节
内容（或知识点）
时间
纵轴
师 生 活 动
难点：一元二次方程的解法及其简单的应用
设计意图
典
型
例
题
检
测
训
练
小结归纳
布置作业
例1
例2
例3
例4
一、针对训练
二、矫正训练
通过今天的学习，你学会了哪些知识？还有哪些困惑？
练习册21页1—7题
6
20
10
3
师：组织学生先独立完成后
组内再合作探究，并让各小组提出存在的问题。
生：组内合作探究，展示结果，或对某些问题质疑，对其他小组的展示给予补充或提出质疑。
组织学生组独立完成， 1—5题找代表说答案，并简要说明理由。师给予必要的补充。6题找各小组不同层次学生展示过程。师生共同评价，最后对不同题型解法进行总结。7题小组内交流结果，师生评价。
《一元二次方程》数学教案8篇
《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么什么样的教案才是好的呢？这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案，希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。
元二次方程教案篇一一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。
本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。
2、教学目标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。
难点：发现问题中的等量关系。
二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。
教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。
还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。
同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。
2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。
因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。
三．教学流程分析：本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
中考数学一轮教材复习-第二章 方程(组)与不等式(组) 一元二次方程的解法
∴x(x-4)=0,
∴x1=x2=1.
∴x1= 3,x2=- 3.
∴x1=0,x2=4.
③ 整式 方程,叫做一元二次方程
二次项系数( ≠ 0)
一般形式:
2
Байду номын сангаас
+
的
一次项系数
+
= 0(,,为常数, ≠ 0)
常数项
相等
二次项
解:使方程左右两边④
一次项
的未知数的值就是这个一元二次方程的解(或根)
（第二章 方程（组）与不等式（组））
一元二次方程的解法
≥
− ± 2 −4
[2024北京海淀区二模]若x=1是方程x
1-1
数m的值为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
考点
（第二章 方程（组）与不等式（组））
一元二次方程的解法(10年4考)
2 [2023贵州15题4分]若一元二次方程kx2-3x+1=0有两个相等的实数
根,则k的值是
9
4
.
2+4x+(m-1)=0有实数
[2024毕节三模]若关于x的一元二次方程x
-5
.
.
(3)若该方程有实数根,则m的取值范围是 m≥-5且m≠-1
.
易错
(3)解题时易忽略二次项系数不为0的条件
（第二章 方程（组）与不等式（组））
1
已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+4x-1=0.
(4)若该方程的一个根是1,则m=
-4 ,方程的另一个根是
(5)当m=0时,求该方程的根.
当m=0时,原方程是x2+4x-1=0,配方得,(x+2)2=5,
一元二次方程复习课教案
一元二次方程复习课教案教学目标：1.知识与技能：（1）梳理全章知识，理解并掌握一元二次方程的概念及一般形式，熟练掌握方程的解法；（2）理解一元二次方程根的判别式并能运用，会用一元二次方程解决简单的实际问题。
2.过程与方法：（1）经历运用知识、技能解决问题的过程，在解题过程中培养学生的独立思考能力和创新精神；（2）经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展学生发现问题、提出问题的能力。
3.情感态度与价值观：（1）鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流、合作，体会数学知识的应用价值，提高学生学习兴趣；（2）在合作交流的过程中,渗透数学解题中的方程思想、转化思想、建模思想。
教学重点：一元二次方程的解法及应用及掌握知识过程中的分析问题、解决问题的能力的培养。
教学难点：从实际问题中找等量关系，列出一元二次方程。
课前准备：学生完成课前预习作业，梳理全章知识结构；教师准备教案及课件。
教学过程：第一环节：复习引入，直击问题活动内容：学生分组交流本章知识系统图，教师巡视指导，待学生充分交流后，教师展示PPT上做好的“知识系统图”，及时评价与鼓励，从而进入本课学习。
问题1：一元二次方程的最根本特征是什么？你认为识别它的关键点又是什么？此问题的提出让学生的思维从浅层的“感知”走进深层的“凝思”，思维度增高了。
问题2：前面我们系统学习了一元二次方程的几种解法？分别是哪几种？学生根据前置的讨论易于回答，在此基础上，教师进一步提出下面问题。
问题3：这几种方法中，你认为哪一种是最基础的方法？你能说出这几种解法之间的逻辑关系吗？提出此问题的目的是让学生不仅知道表层上的“是什么？”还要让学生知道深层面上的“为什么？”，从而着力发展学生的思维能力。
问题4：你最喜欢运用上述四种方法中的哪一种去解方程？教师提出这样的问题表面看来“似乎简单”，其实质通过这个问题可引发学生两个思考：其一，适合于自己的最熟练的学得最好的；其二，适合于方程本身结构特点的。
第一轮复习教学案一元二次方程.doc
验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验
答——作答下结论
【典型例题】
例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
例2.某电脑公司2007年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2009年经营总收入要达到2160万元，且计划从2007年到2009年，每年经营总收入的年增长率相同，问2008年预计经营总收入为多少万元？
5.如图，等腰Rt△ 中， ，动点 从点 出发，沿 向点 移动.通过点 引平行于 、 的直线与 、 分别交于点R、Q，问：AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？
【中考聚焦】
1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图3-9-4所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为 cm,那么 满足的方程是（）
第一轮复习教学案一元二次方程
总第课时
教学过程
个人主页
【知识梳理】
1．只含有，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：。其中 叫做， 叫做； 叫做， 叫做， 叫做。
2.一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：对于形如 （a≠0,a ≥0）的方程，都可以用直接开平方法解。解法的根据是。要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。
7．观察下表，填表后再解答问题：
（1）试完成下列表格：
序号
1
2
3
…图形Leabharlann …的个数8
中考第一轮一元二次方程复习教案
课题----- 中考第一轮复习《一元二次方程》一、【教学目标】（一）知识与技能了解一元二次方程及其相关概念，掌握一元二次方程的一般形式，在经历具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力，会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数）.（二）过程与方法1、经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会一元二次方程是刻画现实生活中数量关系的一个有效数学模型.2、通过解一元二次方程和列一元二次方程解应用题的过程中体会转化等数学思想方法的运用.（三）情感态度价值观培养学生交流意识和探索精神，培养学生数学感知，让学生体会知识的内在联系价值二、【教学重难点】1、重点：一元二次方程的解法以及应用2、难点：用一元二次方程的知识解实际问题三、教学过程：（一）整体感知（知识结构）：（二）考点知识精讲1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）2．一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．③公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0) ④因式分解法：因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．4．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．5．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．6．一元二次方程的判别式：运用一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式：a ac b b x 242-±-= )04(2≥-ac b 时，要先计算ac b 42-的值。
《一元二次方程(复习课1)》教学设计
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
公式法步骤
①先化为一般形式；
②再确定a、b、c,求b2-4ac；
③当b2-4ac≥0时,代入公式:
分解因式法步骤
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解
练习三：
选用适当方法解下列一元二次方程
1.(2x+1)2=64(法）
学生点评。
步骤归纳：
老师边播放，学生边回答。
学生口答练习三答案，老师通过幻灯片，展示练习三各题选择的解法。
让学生明确课堂学习目标。
通过学生解答，完成知识回顾与复习。
达到归纳步骤过程的目的。
根据解不同结构的一元二次方程，灵活选用解法。
活动四：
思考题
解方程:1.(x+1)(x+2)=6
2.已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10
《一元二次方程（复习课1）》教学设计
教
学
目
标
知识技能
1、理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数，一次项系数及常数项。
2、会用开平方解形如 或 的方程。
3、掌握用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一般一元二次方程。
4、体验类比、转化、降次及化归的数学思方法。
活动三：解一元二次方程的方法有几种?
①直接开平方法②配方法
③公式法④因式分解法
例:解下列方程
1.用直接开平方法:(x+2)2=9
2.用配方法解方程4x2-8x-5=0
3.用公式法解方程3x2=4x+7
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
(完整版)《一元二次方程复习》教学设计----优质课
在用公式法解方程时，写出方程的一般形式；
归纳并板书：因式分解法，（）（）=0
开平方法，（x+m）2=a(a≥0)
配方法，二次项系数为1时
公式法，
整体思想
1、用学生所写的方程引出本节课题，能更好的吸引学生参与课堂活动，激发学生学习兴趣。
6（5-t）÷2=4,解得x=11/3;
变式2：
如图所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=5㎝，BC=6㎝，点P从点A开始沿AB边向点B以1㎝/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2㎝/s的速度移动；
两点同时移动；当点Q到达点C时，两点同时停止移动；
请你设计一个列一元二次方程来解决的问题。
一元二次方程复习
教学目标
通过本节课的复习，使学生跟熟悉一元二次方程及解的概念，熟练掌握一元二次方程的解法，会运用一元二次方程解决实际问题。培养学生的推理能力，运算能力，分析解决问题的能力。让学生参与数学探究，开拓思路，激发兴趣。
教学重点
解一元二次方程及应用
教学难点
一元二次知识
2、通过归纳、质疑，使学生加深对概念的理解和掌握。
3、通过判断与归纳，能帮助学生更科学地选择解法，使解方程达到更快捷更准确的目的。
二、例题讲解拓展知识
例1：若0是关于x的方程：(m-2)x2+3x+m2-6m+8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程的解的情况。
分析：1、学生也许会很快将x=0代入方程得到关于m的方程；问题：（1）为什么把x=0代入？（2）方程的解的概念是怎样的？代入方程使方程左右两边的值相等的未知数的值。
三、课堂小结：1、选择适当的方法解一元二次方程；
人教版九年级数学上册《一元二次方程》复习教案
2.3 《一元二次方程》复习教案教学目标：1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法解一元二次方程；2.了解一元二次方程根的判别式，并会用其判断根的情况；3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题；4.会列一元二次方程解实际问题.教学重点与难点：重点：熟练用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程. 难点：会用根的判别式，根与系数的关系解决有关根的问题. 教法与学法指导：本节课主要采用题组复习，在教学过程中我先由“构建知识框架——巩固知识点——典题尝练互查反馈——例题及精析——应用提高——反思提高”的方式完成本节课的教学，学生通过自主学习，小组合作，展开互动性学习，让学生体会到学习数学的成就感．、在整个专题复习过程中，要充分学生的自主性，让学生积极主动参与复习的全过程，特别是让学生参与知识梳理、板演批发挥改、错误剖析、规范整理、总结归纳等环节，只有这样才能使学生有效地掌握所学习的知识和方法.课前准备:教师准备：导学案、多媒体课件．学生准备：尝试完成导学案、阅读课本九（上）第二章．教学过程：一、激趣导入，预习展示【师】知识在于积累，能力在于训练，这节课我们一起来重点回顾一元二次方程的概念、解法和应用，查缺补漏，以求厚积薄发.希望人人达标过关！大家有没有信心？【生】有（学生充满信心！）【设计意图】本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，从学生昂扬的斗志和铿锵的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的．【师】(鼓励性的语气)很好！课前要求同学们做了自主复习，大家在知识和能力方面都有哪些方面的收获，请大家独自回忆后小组合作交流，形成小组的研讨成果.【生】积极的小组内交流收获，共同构建知识结构网络.一元二次方程是初中数学学习的重要内容,是通过数学建模(方程模型)解决实际问题的重要手段．考查涉及一元二次方程的定义、解法以及运用一元二次方程解决实际问题,并根据课标的补充规划,对一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系进行了适当补充；考查一元二次方程与函数、几何综合运用也是本章的热点考题．考试类型小到填空与选择,中到简答,大到综合与压轴．新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.【设计意图】通过课前导学案学生先独自回忆了本专题知识，课上再和小组交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系，教师选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.【师】请各组同学们展示：什么是一元二次方程？一元二次方程都有哪些解法？常用来解决哪些问题？一元二次方程根的判别式与方程根的关系？根与系数的关系公式有哪些？请你先想一想然后代表小组说一说.【生】各数学小组学生主动起立，结合上面的知识框架图依次．．回顾知识点．（生生互动、师生互动，纠错完善，让学生适当举例说明，加强对知识的理解）【设计意图】以问题串的方式再次总结本专题的内容，在学生充分思考、交流的基础上，引导学生扎实掌握本专题基本知识，真正做课本知识面面俱到．为后面的题组训练打好基础，以帮助学生更好的掌握本章知识．建议：回顾一元二次方程的解法时，老师应引导学生结合具体例子阐述各解法特征，使学生感悟一元二次方程解法的灵活性．二、典题尝练，互查反馈A组：（必做题）1．（2012，贵州安顺）已知1是关于x 的一元二次方程()2110m x x -++=的一个根，则m 的值是（ ）A 、1B 、﹣1C 、0D 、无法确定2．一元二次方程22xx =的根是（ ） A 、2x = B 、0x = C 、10x =, 22x = D 、10x =．22x =-3．（2012，荆门）用配方法解关于x 的一元二次方程2230x x --=，配方后的方程可以是（ ）A 、()214x -= B 、()214x += C 、()2116x -= D 、()2116x +=4．（2012，常德）若一元二次方程220x x m ++=有实数解，则m 的取值范围是（ ）A 、-1m ≤ B 、1m ≤ C 、4m ≤D 、12m ≤ 5． (2012，烟台)下列一元二次方程两实数根和为4-的是（ ）A 、2240x x +-=B 、2440x x -+=C 、24100x x ++=D 、2450x x +-=6．（2012，娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（）A、2x256(1)289-=-=B、2289(1)256xC、289(12)256-= D、x-=x256(12)289（学生先独立完成再小组交流，做错的题小组内帮助分析原因并纠错.老师巡视必要时给与指导．）【设计意图】A题组主要是帮助学生复习回忆一元二次方程的解，一元二次方程的解法、应用，以及根的判别式和根与系数的关系公式.这些都是基础知识和基本技能的再现，所以，处理的方式都是让学生自行完成，并学生总结归纳知识点和方法，其中第1题考查学生对定义的掌握情况，第2、3题考查一元二次方程的解法，第4题是根的判别式求解字母的取值范围，第5题是根与系数的关系公式训练，第6题是一元二次方程在实际中的应用，这是经典增长率问题．处理时，第3、4题让学生板书，其余题目口述考查的知识点以及解题思路和方法．B组：（选做题）3．（2012，安徽）解方程：2221x x x-=+．（各小组代表，黑板板演.小组间批阅、错误剖析.教师鼓励评价各组表现情况.）【设计意图】设置本环节的目的就是检查学生对基础知识的掌握情况，要求独立限时完成.这样的设计，不是简单的让学生重复概念及其做法，而是通过题组检查的形式以题代知识点．【实际效果】本环节设计A、B组形式，使不同层次的同学都得到发展，增强学生的学习积极性.实际上学生对于一元二次方程的定义掌握的很好，能注意二次项系数不为零的条件限制，但对于含字母的根的判别式逆用题目学生解决不熟练.解方程方法选择不够灵活.通过这几道题，让学生关注了本专题的常考题型，了解自己复习的不足和努力方向，对于下面的学习也作了部分铺垫．三、范例导航、方法总结【师】（微笑着）通过上面题组的研究，同学们能不能总结一下本节的考题类型呀？下面请同学们以小组为单位进行总结归纳.【生】小组合作探究后交流整理.并展示小组的成果．【设计意图】设计本环节目的是让学生自行研讨考题类型，以备学生有的放矢的进行复习和练习，以寻求应对策略，增强学习的针对性.【师】同学们表现都很棒！下面我们通过几个例题深入复习一元二次方程.(2009，日照）若n（n≠0）是关于x的方程220x mx n++=的根，则m n+的值为（）A、1B、2C、1-D、2-【点拨与解】【师】谁来介绍一下这题所考查的知识及做题思路.生1：本题考查了利用一元二次方程的解求代数式值的知识.生2：因为n是方程220++=，即n mn n++=的根，所以220x mx n()20++=，可得0n n mn=或20+=-，因此选择D.m nn m++=，所以2【反思回味】若已知方程的根，求其他字母的对应值，关键是将这个方程的根带入原方程，进而求得字母的值.【跟踪练习】1.（2011，滨州）若x=2是关于x的方程2250--+=的x x a一个根，则a的值为 .2.（2012，贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A、1B、﹣1C、0D、无法确定【参考答案】1.2.B二次方程根的意义.由简单知识展开复习，激发了全体学生投入复习的热情，从而保证后续复习的开展.【师】很好！本节的重点是选择恰当方法正确解出一元二次方程，请大家完成例2.请在下式的横线处填入一个整式：26__0-+=，使它分别x x最适合用直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法来解答.【点拨与解】【师】经过一元二次方程解法的探究，大家已经明确了一个一元二次方程的简便解法应根据所给方程的特点所决定的．你能快速的完成上题吗？请小组间竞赛完成（一组填值，一组解答）．【生】（思考并尝试解决，2分钟后各小组同学分组交流.）各小组的每一名组员都要分担一项任务．【师】点评得分，鼓励学生学习的积极性.请大家总结用公式法和配方法的关键点.（学生独立思考，大约半分钟后有学生举手作答．）生1：用公式法．．．的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式.生2：用配方法．．．的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方.【师】同学们总结的很好！【设计意图】一元二次方程的解法是本章的重点，通过设置开方型题目，让学生进一步熟悉根据方程特征采用适当的解法，让学生进一步体会各解法之间的联系及熟练地根据方程的特征选择适当解法．【跟踪练习】解方程：1．（2012，浙江温州）225-=．x x2．（2012，湖南永州）()2390x--=．3．（2012，菏泽）(1)(1)2(3)8+-++=．x x x【反思回味】1．形如()2-=的方程可以用直接开平方法求解．x k h2．千万记住：①方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解法求解；②当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；③当我们不能利用上边的方法求解的时候就可以用公式法求解，公式法是万能的．公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先．．考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再．考虑．．公式法（适当也可考虑配方法）【实际效果】各小组的同学积极参与，数学成绩优秀的同学负责直接开平方法，因式分解法，数学成绩一般的同学负责配方法，公式法.经过这一轮的训练学生更加熟悉了一元二次方程的解法，能深刻把握各种解法的步骤和注意事项【师】在一元二次方程的四种解法中，公式法及配方法是万能方法，直接开平方法和分解因式法是特殊方法，我们要选择恰当的方法解一元二次方程.有时我们不解方程也能判定方程根的情况，请大家思考下面的例题.已知关于x的方程()2-+++=，当m为何值时，m x mx m1230．（在横线上试补充有关根的情况，然后完成计算．）生1：有两个相等的实数根；生2：有两个不相等的实数根；生3：有实数根；生4：无实数根；生5：只有一个实数根；生6：有两个实数根.【师】将题目分到各组完成、展示.学生：先独立思考解答，然后交流并派代表板演，做好展示准备.【设计意图】设计开放性题目,学生在参与题目的设计中，复习根的判别式与一元二次方程的关系，同时将方程的根全面扩充至一元一次方程，正因如此也锻炼了学生分类的数学思想，从而增强了学生思维的严谨性.【跟踪练习】1．（2012，湖南岳阳）若关于x 的一元二次方程22(1)10kx k x k +++-=有两个实数根，则k 的取值范围是 ．2．（2012，四川广安改编）已知关于x 的方程．．2(1)210a xx --+=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A 、2a ＞ B 、2a ＜ C 、21a a ≠＜且D 、2a -＜3．（2012，东营）方程()2111+=04k x k x ---有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、1k ≥B 、1k ≤C 、1k >D 、1k <【参考答案】1、13k ≥，且k ≠0. 2、B. 3、D. 【反思回味】利用根的判别式解决问题，方程要先化为一般形式再求判别式，同时注意在这里二次项系数．．．．．k 不能为零．．．．；要注意运用分类的数学思想考虑全面；注意读题的重要性．．．．．．. 【师】一元二次方程的根与系数有关系也是中考一重要考点，请大家完成例4巩固这一知识点.（1）设1x 、2x 是方程0242=+-x x 的两根，则①1211x x +＝ ；② 2212x x +＝ ；③12(2)(2)x x ++＝ .（2）（2012，枣庄）已知关于x 的方程260x x m +-=的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ．（3）（2012，莱芜）已知m 、n是方程210x++=的两根，则代数式的值为（ ） A 、9 B 、3± C 、3D 、5【点拨与解】【生】（1）题由三位同学自发板书，（2）题小组竞赛，几个学生分别回答不同的解题方法，渗透一题多解的思想.（3）题小组活动、探讨，交流激烈，气氛活跃.（留给学生足够的时间探索）【师】此题考查一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值.想一想如何把223m n mn ++转化含m n +和m n ⋅的代数式？【生】∵m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，∴m ＋n=-mn=1..故选C.【师】 这位同学回答得非常棒!(此时老师和同学不约而同的响起掌声……）【设计意图】这三个题是根与系数关系的三个典型的应用．（1）题是利用根与系数的关系求有关根的代数式，三个小题代表了三个类型，遇到分母就通分，遇到括号就展开，遇到平方就用完全平方式；（2）题可以将根代入再求解，也可以利用根与系数的关系，体现了一题多解的思路；（3）题是利用根与系数的关系，求代数式的值，此类题要注意转化思想的训练。
一元二次方程复习课教案
一元二次方程》复习教案1、通过画知识框图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；2、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点；3、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法；4、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用。
【教学重点】理解并掌握一元二次方程的概念及解法，会运用方程模型解决实际问题。
【教学难点】对于背景较复杂、等量关系不太明显的实际问题的解决。
【教学方法】框图及典型题的归纳与整理直接影响课堂效果，对于背景较复杂、等量关系不太明显的实际问题用一元二次方程的模型加以解决。
【教学过程】过程学生活动教师活动设计意图一整理1.根据框图，梳理本章知识点；2.说说各知识点对应的典型题；3.小组交流：我的易错点（如何避免）教师及时补充、引导让学生自主建构本章知识点，形成知识网络二自主问题探究【问题1】当m是何值时，关于x的方程22234)1()2(xxmxm=--++（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x=-2是它的一个根，求m的值。
【问题2】(1)仔细观察下列各方程的特征，说说它们各自适宜采用什么解法？)12(53)4(;24)5()3(;23)2(;8)1)(1(222=++=+==+xxxxxxx（2）请在下式的横线处填入一个整式：x2－6x+_____=0，使它分别最适合用直接开方法、因式分解法、配方法、公式法来解答。
前十分钟，巡视学生解答情况，个别答疑，后五分钟，组织学生交流问题1至2，帮助学生提示解题规律，总结解题方法。
问题1复习一元二次方程的概念及解的概念问题2(1)让学生进一步熟悉根据方程特征采用适当的解法，（2）让学生进一步体会各种解法之间的联系，及熟练地根据方程特征选择适当解法；(2)让学生进一步学习利用换元法达到降次目的解方程的方法，二典型问题复习（3）解方程: 04)1(5)1(222=+---xx【问题3】（课本P.44第13题）一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（m）和经过的水平距离d（m）可用公式h=d-0.004d2来估计。
一元二次方程的教案(必备3篇)
一元二次方程的教案（必备3篇）1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能（1）理解一元二次方程的意义。
（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。
过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析：教学重点难点重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。
难点：准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案（1）预学检测3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？五、教学过程（一）创设情境、导入新（1）自学本P2—P3并完成书本（2）请学生分别回答书本内容再（二）主体探究、合作交流（1）观察下列方程：（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的左边分别是未知数的几次几项式？（2）一元二次方程的概念与一般形式？如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数a≠0），其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.学生练习：书本P4练习（四）总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的？2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
2021年一元二次方程复习教案
2021年一元二次方程复习教案2021年一元二次方程复习教案11、复习一元二次方程，一元二次方程的解的概念;2、复习4种方法解简单的一元二次方程;3、会建立一元二次方程的模型解决简单的实际问题。
[学习过程]一、回顾知识点1、一元二次方程具有三个显著特点，它们是①_________________;②_________________;③_________________。
2、一元二次方程的一般形式是_______________________________。
3、一元二次方程的解法有____________、____________、____________、____________。
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为△=b2-4ac。
①当△0时，方程有__________;②当△=0时，方程有__________;③当△0时，方程有__________。
5. 一元二次方程的两根为，则两根与方程系数之间有如下关系：二巩固练习二、填空题：1、在下列方程①2x+1=0;②y2+x=1;③x2+1=0;④ +x2=1中，是一元一次方程的是_____。
2、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m=______。
3、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常项为0，则m=________。
4、关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是__________。
5、写出两个一元二次方程，使每个方程都有一根为0，并且二次项系数都为1：________;______________。
6、三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________。
7、解方程5(x- )2=2(x- )最适当的方法是_____________。
二、填空题：(每题3分，共24分)8.一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为 ;9. 方程的解为10.已知关于x一元二次方程有一个根为1，则11.当代数式的值等于7时，代数式的值是 ;12.关于实数根(注：填“有”或“没有”)。
《一元二次方程》总复习教案
《一元二次方程》总复习教案《《一元二次方程》总复习教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！(一)基础知识归纳1.一元二次方程的有关概念(1)一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程。
注：一元二次方程须同时满足三个条件：①整式方程②化简后只含有一个未知数③未知数的最高次数是2。
(2)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c是常数)其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a、b分别是二次项，一次项的系数。
(3)使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
2.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是否有实数根，关键由b2-4ac 的值的符号来确定，我们把b2-4ac叫一元二次方程根的判别式，记作“△”，即△=b2-4ac。
一元二次方程根的情况与判别式的关系：①当△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
②当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③当△=b2-4ac<0时，方程没有实数根。
反之亦然3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法的理论依据是平方根的定义，这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程，即形如(x+a)2=b(b≥0)的方程。
(2)配方法：通过配方，把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：①如果一元二次方程的二次项系数不是1，就定在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1;②把含未知数的项移到左边，常数项移到右边。
③在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式;④用直接开平方法解这个一元二次方程。
部编人教版九年级数学上册 第21章一元二次方程复习课 教案
一元二次方程单元复习教案复习目标1．知识与技能．（1）了解一元二次方程的有关概念．（2）能运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程．（3）会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．（4）知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有问题．（5）能运用一元二次方程解决简单的实际问题．（6）了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．2．过程与方法．（1）经历运用知识、技能解决问题的过程．（2）发展学生的独立思考能力和创新精神．3．情感、态度与价值观．（1）初步了解数学与人类生活的密切联系．（2）培养学生对数学的好奇心与求知欲．（3）养成质疑和独立思考的学习习惯．重难点、关键1．重点：运用知识、技能解决问题．2．难点：解题分析能力的提高．3．关键：引导学生参与解题的讨论与交流．复习过程一、复习联想，温故知新基础训练．1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．例如：一元二次方程7x-3=2x2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况：（1）x（5x+21）=20 （2）x2+9=6x （3）x2-3x=-54．设一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=_______，x1·x2=______．例如：方程x2+3x-11=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=________；x1·x2=_______．5．设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=•_______，•x1·x2=________．二、范例学习，加深理解例：解下列方程．（1）2（x+3）2=x（x+3）（2）x2-2 x+2=0（3）x2-8x=0 （4）x2+12x+32=0点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．三、合作交流，探索新知1．已知关于x的方程x2-mx-3=0的两实根为x1，x2，若x1+x2=2，求x1，x2的值．2．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．3．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A•处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/小时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75海里/•小时的速度准备在B处迎头拦截，问经过多少时间能赶上？4．某工厂一月份生产零件2万个，一季度共生产零件7．98万个，•若每月的增长率相同，求每月产量的平均增长率．5．已知x=1是一元二次方程（a-2）x2+（a2-3）x-a+1=0的一个根，求a的值．四、归纳总结，提高认识1．综述本节课的主要内容．2．谈谈本节课的收获与体会．五、布置作业，专题突破1．课本P38复习题第1．（1）、（3）、（5）、（6），2．（1），3．5．6．9．（4），10．（1）题．2．选用课时作业设计．3．预习作业：本章复习提纲．六、课后反思（略）课时作业设计1．一元二次方程3x2+x=0的根是________．2．一元二次方程（1+3x）（x-3）=2x2+1化为一般形式为：________，•二次项系数为：________，一次项系数为：________，常数项为：________．3．方程2x2=4x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．以上都不对4．某商品连续两次降价，每次都降20%后的价格为m元，则原价是（）A．D．0.8m2元5．解下列方程．（1）3x2-x=4 （2）（x+3）（x-4）=6（3）（x+3）2=（1-2x）2 （4）3x2+5x-2=0（5）x2+2 x-4=06．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是_________．7．用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽．又问：能否折成面积是32cm2的矩形呢？为什么？8．某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8%．该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余．若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数．。
2025届高考数学一轮复习教案：一元二次函数、方程、不等式-二次函数与一元二次方程、不等式
第三节二次函数与一元二次方程、不等式课程标准1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.考情分析考点考法:本节是高考的必考内容之一,常与函数、导数、解析几何等内容相结合命题,重点考查不等式的求解等问题.核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a ,b ,c 均为常数,a ≠0).2.二次函数的零点一般地,对于二次函数y =ax 2+bx +c ,我们把使ax 2+bx +c =0的实数x叫做二次函数的零点.【微点拨】二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标.3.三个二次的对应关系(其中a >0)判别式Δ=b 2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y =ax 2+bx +c 的图象方程ax 2+bx +c =0的根有两个不相等的实数根x 1,x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1=x 2=-b2a没有实数根ax 2+bx +c >0的解集{x |x <x 1,或x >x 2}|2⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭b x x a __R __ax 2+bx +c <0的解集{x |x 1<x <x 2}⌀⌀【微点拨】1.解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论.2.若关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为(m ,n ),则x =m 与x =n 为一元二次方程ax 2+bx +c =0(a >0)的两个根.4.简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(-∞,-a )∪(a ,+∞),|x |<a (a >0)的解集为(-a ,a ).【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A .若不等式ax 2+bx +c >0的解集是(-∞,x 1)∪(x 2,+∞),则方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1和x 2B .若不等式ax 2+bx +c <0的解集为(x 1,x 2),则必有a >0C .不等式x 2≤a 的解集为[-,]D .若方程ax 2+bx +c =0(a <0)没有实数根,则不等式ax 2+bx +c >0(a <0)的解集为R 【解析】选AB .C .对于不等式x 2≤a ,当a >0时,其解集为[-,];当a =0时,其解集为{0},当a <0时,其解集为∅.D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为∅.2.(必修第一册P52例3变条件)不等式-x2-5x+6≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}【解析】选A.不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.3.(必修第一册P55习题2.3T3变条件)已知集合A=U2−2−3≤0,B== 2−4,则A∩B=()A.2,3B.2,3C.2,3D.2,3【解析】选C.因为x2-2x-3≤0,所以+1−3≤0,即-1≤x≤3,所以A=U−1≤≤3,B=U≥2,所以A∩B=2,3.4.(忽略a=0的情形致误)不等式ax2-ax+a+1>0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围为()A.0,+∞B.0,+∞C.−∞,−0,+∞D.−∞,−+∞)【解析】选B.①当a=0时,1>0成立,②当a≠0时,只需>0=2−4+1<0,解得a>0,综上可得a≥0,即实数a的取值范围为0,+∞.【巧记结论·速算】1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足>0<0;2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,则一定满足<0≤0;3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足<0<0;4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为⌀,则一定满足>0≤0.【即时练】1.“-3<m<1”是“不等式−1x2+−1x-1<0对任意的x∈R恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当m=1时,−1x2+−1x-1<0对任意的x∈R恒成立,当m≠1时,则<1<0,解得-3<m<1,故m的取值范围为{m|-3<m≤1}.故“-3<m<1”是“-3<m≤1”的充分不必要条件.2.若关于x的不等式mx2-mx-1≥0的解集是⌀,则m的取值范围是()A.[-4,0]B.(-4,0]C.[0,4)D.(-4,0)【解析】选B.当m=0时,mx2-mx-1≥0即-1≥0,解集是⌀,当m≠0时,不等式mx2-mx-1≥0的解集是⌀,需满足<0=−2+4<0,解得-4<m<0,所以m的取值范围是(-4,0].【核心考点·分类突破】考点一一元二次不等式的解法【考情提示】一元二次不等式是高考的热点问题,它常与集合的交集、并集、补集相结合出现在选择题中.含参数的一元二次不等式常与导数、圆锥曲线相交汇出现在解答题中,重点考查分类讨论思想和推理论证能力.角度1不含参数的一元二次不等式[例1]解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)9x2-6x+1>0;(4)x2<6x-10.【解析】(1)因为Δ=49>0,所以方程2x2+5x-3=0有两个不相等的实数根,解得x1=-3,x2=12,画出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示.由图可得原不等式的解集为{x−3< <12}.(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.因为Δ=12>0,所以方程3x2-6x+2=0有两个不相等的实数根,解得x1=3−33,x2=3+33,画出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为{x≤3−33或≥3+33}.(3)因为Δ=0,所以方程9x2-6x+1=0有两个相等的实数根,解得x1=x2=13.画出函数y=9x2-6x+1的图象如图③所示.由图可得原不等式的解集为{x≠13}.(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,因为Δ=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实数根,画出函数y=x2-6x+10的图象如图④所示,由图象可得原不等式的解集为∅.【解题技法】解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式的解集为R或∅).(3)求:求出对应的一元二次方程的根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.角度2含参数的一元二次不等式[例2]解关于x的不等式.(1)x2+ax+1<0(a∈R);(2)ax2-(a+1)x+1<0.【解析】(1)Δ=a2-4.①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解.②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程x2+ax+1=0的两根分别为x1x2则原不等式的解集为<<综上所述,当-2≤a≤2时,原不等式无解;当a>2或a<-2时,原不等式的解集为<<(2)若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.若a<0,原不等式等价于−x-1)>0,解得x<1或x>1.若a>0,原不等式等价于−x-1)<0.①当a=1时,1=1,−x-1)<0无解;②当a>1时,1<1,解−x-1)<0,得1<x<1;③当0<a<1时,1>1,解−x-1)<0,得1<x<1.综上所述,当a<0时,解集为{x|x<1或x>1};当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1<x<1}.【解题技法】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.【对点训练】1.(2024·莆田模拟)不等式1−−3<0的解集是()A.−1,3B.−3,1C.{x<1或x>3}D.{x<-3或x>1}【解析】选C.由1−−3<0,可得(x-1)(x-3)>0,所以x<1或x>3,所以不等式的解集为{x<1或x>3}.2.不等式−2r5K2>0的解集为________.【解析】不等式−2r5K2>0等价于−2+5−2>0,即2−5−2<0,解得2<x<52,所以不等式−2r5K2>0的解集为2<<答案:2<<3.(2024·玉林模拟)已知关于x的不等式ax2-b≥2x-ax s∈R.(1)若不等式的解集为−2≤≤−1,求a,b的值;(2)若a<0,b=2,解不等式.【解析】(1)原不等式可化为ax2+−2x-b≥0,由题知,-2,-1是方程ax 2+−2x -b =0的两根,由根与系数的关系得<0−K2=−3−=2,解得=−1=2.(2)当a <0时,原不等式化为−+1≤0,当2>-1,即a <-2时,解原不等式可得-1≤x ≤2;当2=-1,即a =-2时,原不等式即为+12≤0,解得x =-1;当2<-1,即-2<a <0时,解得2≤x ≤-1,综上所述,当-2<a <0时,不等式的解集为≤≤−1;当a =-2时,不等式的解集为−1;当a <-2时,不等式的解集为−1≤≤考点二三个二次的关系[例3](1)(2024·通辽模拟)已知不等式ax 2+bx -1>0的解集为−12<<−则不等式x 2-bx -a ≥0的解集为()A .{x |x ≤-3或x ≥-2}B .{x |-3≤x ≤-2}C .{x |2≤x ≤3}D .{x |x ≤2或x ≥3}【解析】选A .因为不等式ax 2+bx -1>0的解集为−12<<−所以ax 2+bx -1=0的两根分别为-12,-13,即−12+−=−−12×−=−1,解得a =-6,b =-5.所以不等式x 2-bx -a ≥0可化为x 2+5x +6≥0,其解集为{x |x ≤-3或x ≥-2}.(2)(多选题)(2024·安庆模拟)已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为−12<<2,则下列结论正确的是()A.b>0B.c>0C.a+b+c>0D.a-b+c>0【解析】选ABC.由题意可知,方程ax2+bx+c=0的解为x1=-12,x2=2,且a<0,则-=x1+x2=32,=x1x2=-1,解得b=-32a,c=-a,令f=ax2+bx+c=ax2-32ax-a<0,对于A,b=-32a>0,故A正确;对于B,c=-a>0,故B正确;对于C,a+b+c=f1=a-32a-a=-32a>0,故C正确;对于D,a-b+c=f−1=a+32a-a=32a<0,故D错误.【解题技法】一元二次不等式与方程的关系的解题策略1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或利用根与系数的关系求解.【对点训练】(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为<<,其中n>m>0,则以下结论正确的有()A.a<0B.b>0C.cx2+bx+a>0的解集为<<D.cx2+bx+a>0的解集为<1或>【解析】选ABC.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为<<,所以a<0,故A 正确;因为n>m>0,令f=ax2+bx+c,所以-2>0,即b>0,故B正确;由上所述,易知f0<0,c<0,由题意可得m,n为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则m+n=-,mn=,则1·1=,1+1=r B=-,即1,1为方程cx2+bx+a=0的解,则不等式cx2+bx+a>0的解集为<<故C正确,D错误.考点三一元二次不等式恒(能)成立问题角度1在R上的恒成立问题[例4](2024·重庆模拟)当a∈(t1,t2)时,不等式2−B−21−r2<3对任意实数x恒成立,则t1+t2的值为()A.-7B.6C.7D.8【解析】选B.由于1-x+x2=(−12)2+34>0,则不等式2−B−21−r2<3等价于4x2+(a-3)x+1>0,依题意,不等式4x2+(a-3)x+1>0对任意实数x恒成立,则Δ=(a-3)2-16<0,解得-1<a<7,于是t1=-1,t2=7,所以t1+t2=6.【解题技法】ax2+bx+c>0(<0)在R上恒成立的条件1.ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足(1)a =b =0,c >0或(2)>0<0;2.ax 2+bx +c <0的解集为R ,则一定满足(1)a =b =0,c <0或(2)<0<0.角度2在给定区间上的恒成立问题[例5]金榜原创·易错对对碰(1)(一题多法)若对于x ∈[1,3],mx 2-mx +m -6<0(m ≠0)恒成立,则m 的取值范围是________.【解析】由已知得,m (x -12)2+34m -6<0(m ≠0)在x ∈[1,3]上恒成立.方法一:令g (x )=m (x -12)2+34m -6(m ≠0),x ∈[1,3].当m >0时,g (x )在[1,3]上单调递增,所以g (x )max =g (3)=7m -6<0,所以m <67,则0<m <67.当m <0时,g (x )在[1,3]上单调递减,所以g (x )max =g (1)=m -6<0,所以m <6,所以m <0.综上所述,m 的取值范围是{m 0<<67或<0}.方法二:因为x 2-x +1=(x -12)2+34>0,又因为m (x 2-x +1)-6<0,所以m <62−r1.因为函数y =62−r1=6(K 12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m <67即可.因为m ≠0,所以m 的取值范围是{m 0<<67或<0}.答案:{m 0<<67或<0}(2)若mx 2-mx -1<0对于m ∈[1,2]恒成立,则实数x 的取值范围为________.【解析】设g (m )=mx 2-mx -1=(x 2-x )m -1,其图象是直线,当m ∈[1,2]时,图象为一条线段,则o1)<0,o2)<0,即2−−1<0,22−2−1<0,解得1−32<x <1+32,故实数x 的取值范围为(1−32,1+32).答案:(1−32,1+32)【解题技法】在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.(3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围.①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立;②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立.提醒:一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数.角度3不等式能成立或有解问题[例6](一题多法)若关于x的不等式x2-ax+7>0在2,7上有实数解,则a的取值范围是()A.−∞,8B.−∞,8C.−∞,27D.【解析】选A.方法一:(分离参数法)不等式x2-ax+7>0在2,7上有实数解,等价于不等式a<x+7在2,7上有实数解,因为函数f(x)=x+7在(2,7)上单调递减,在(7,7)上单调递增,又由f(2)=2+72=112,f7=7+77=8,所以f max<f7=8,所以a<8,即实数a的取值范围是−∞,8.方法二:(最值转化法)原不等式在(2,7)上有解,它的否定是不等式x2-ax+7>0在(2,7)上无解,则4−2+7≤049−7+7≤0,解得a≥8,因此不等式x2-ax+7>0在(2,7)上有解时a<8.【解题技法】一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max.(2)最值转化法;若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.(4)最后一定要注意检验区间的开闭.【对点训练】1.(2024·大同模拟)已知命题p:∃x∈R,使得ax2+2x+1<0成立为真命题,则实数a的取值范围是()A.−∞,0B.−∞,1C.0,1D.0,1【解析】选B.命题p为真命题等价于不等式ax2+2x+1<0有解.当a=0时,不等式变形为2x+1<0,则x<-12,符合题意;当a>0时,Δ=4-4a>0,解得0<a<1;当a<0时,总存在x∈R,使得ax2+2x+1<0;综上可得实数a的取值范围为−∞,1.2.若不等式x2+a(x-1)+1≥0对一切x∈(1,2]都成立,则a的最小值为()A.0B.-22C.-22-2D.-5【解析】选D.记f(x)=x2+a(x-1)+1=x2+ax+1-a,要使不等式x2+a−1+1≥0对一切x∈(1,2]都成立,则−2≤1o1)=2≥0或1<−2<2o−2)=−24−+1≥0或−2≥2o2)=+5≥0,解得a≥-2或-4<a<-2或-5≤a≤-4,综上,a≥-5.3.已知对任意m∈1,3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是()B.,+∞C.【解析】选D.对任意m∈1,3,不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈1,3,m2−+1<6恒成立,所以对任意m∈1,3,x2-x+1<6恒成立,所以对任意m∈1,3,x2-x6=2恒成立,所以x2-x+1<2,解得1−52<x<1+5,故实数x【加练备选】已知f=x2+2−x+3a+b,若存在常数a,使f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是________.【解析】使f(x)≥0恒成立,则Δ=(2-a)2-4×1×(3a+b)≤0,化简整理得4b≥a2-16a+4=(a-8)2-60,由于存在常数a,使f(x)≥0恒成立,可知4b≥(2−16+4)min,因此4b≥-60,解得b≥-15.答案:[-15,+∞)。
人教版九年级数学上册《一元二次方程复习课》教学设计
《一元二次方程复习课》教案教学环节教学过程师生活动设计意图一知识梳理一、引入1、类比一元一次方程说一说什么是一元二次方程？2、小组思维导图展示并讲解。
师问生答，学生类比一元一次方程来复习一元二次方程，小组间互相补充，最后得出一元二次方程所有的知识点网络图。
在学生已有认知的基础上查漏补缺。
二教材回顾知识点1：一元二次方程的概念出示习题生练小组代表解答，师补充。
把讲解的任务交给学生，学生在表达自己的想法的同时，加深了对重要知识点的印象。
同时培养学生的表达能力。
知识点2：一元二次方程的解法解下列一元二次方程：（1）（2018·柳州）092=-x（2）（2018·梧州）030422=--xx出示习题，生练习，一题一小组通过师生，生生的互动练习，以（3）01322=--xx（4）0)1(2)1(3=---xxx 展示，一题一小组批改。
师总结。
小组为单位，让每个学生都参与课堂，做到题题过关。
二教材回顾知识点3：一元二次方程的应用1.出示习题，生练习，小组代表解答，师补充。
把讲解的任务交给学生，学生在表达自己的想法的同时，加深了对重要知识点的印象。
同时培养学生的表达能力。
三真题体验（2017·北部湾24题10分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）.该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本.求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率.出示习题，生练习，小组代表解答，师补充.把讲解的任务交给学生，学生在表达自己的想法的同时，加深了对重要知识点的印象。
同时。
一元二次方程教案 一元二次方程数学教学教案8篇
一元二次方程教案一元二次方程数学教学教案8篇元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标知识与技能目标1、构建本章的部分知识框图。
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一元二次方程复习学案学材分析:一元二次方程是中考的考察重点,多以解答体的形式出现, 占8分左右.复习目标:会用因式分解法,公式法,配方法解一元二次方程及相关实际问题.复习重点:一元二次方程的解法和应用问题.复习难点: 从实际问题中抽象出数学模型.学习过程:一、知识梳理考点1一元二次方程1．只含有，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：。
其中2ax叫做，a叫做；bx叫做，b叫做，c叫做。
2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：对于形如b-2)(（a≠0,a b≥0）的方程，a=xk都可以用直接开平方法解。
解法的根据是。
要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。
（2）配方法：配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，再在方程的两边同时除以使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上的一半的平方，使左边成为完全平方；3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠的求根公式。
（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的根据是：若．A．·B．＝．0．，则．．A．＝．0．或．B．＝．0．。
3.一元二次方程20(0)++=≠根的判别式为ax bx c a当时,方程有的实数根;当时,方程有的实数根;当时,方程有的实数根;反过来也成立.4. .一元二次方程20(0)++=≠,当b2-4ac＞0时,设方程的两个ax bx c a解为x1,x2,则有x1+ x2=-ab,x1･x2=ac.5.解一元二次方程的数学应用题的一般步骤:找——找出题中的等量关系设——设未知数列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式解——解出所列的方程验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验答——作答下结论二考点练习1．下列方程中哪些是一元二次方程( )(学生独立完成,5,6号展示)（A ）3523-=+x x （B ）42=x （C ）2112x x x =-+- （D ）22)2(4+=-x x 2．一元二次方程x 2–2x = 0的解是（ ）A 、0B 、0或2C 、2D 、此方程无实数解3. 一元二次方程(2x ＋3)2－25＝0的解为4.用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0,则方程可变形为( ).A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9;C.(x-8)2=16D.(x+8)2=575.(2012德州)若关于x 的方ax 2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数 a 的取值范围是 .6.关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0的一个根为0，则a 的值为 ．7.(2012攀枝花)一元二次方程x 2-3x-1=0的两根分别是x 1,x 2,则x 12+x 22的值为 .8. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为x ，则列出方程正确的是（ ）A.1185)1(5802=+xB.580)1(11852=+xC.1185)1(2802=-xD.580)1(11852=-x三.中考链接1. 将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？2.如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,则甬路的宽度为。
四.小结:谈谈你本节课的收获及不足之处.五,作业:总复习p222.解下列方程(学生独立完成,3,4号展示)（1）(2x＋3)2－25＝0.（直接开平方法）（2）0x（配-x-2722=方法）（3）(x+2)2=3(x+2)（因式分解法）（4）2x x+-=（公式260法）3.(2012德州)若关于x的方ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数 a 的取值范围是 .4.(2012攀枝花)一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1,x2,则x12+x22的值为 .5. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（） A.11851(11852=+x)1()5802=+x B.580C.1185)11852=-x1()-x D.5801(2802=三.中考链接1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？2. 如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,则甬路的宽度为 。
2.用适当的方法解下列方程：（1）16)1(22=-x （2）0222=--x x（3）0)52()13(22=+--x x （4）2232)2(y y y =-+【典型例题】1．等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）A.8B.10C.8或10D.不能确定2.钟老师出示了小黑板上的题目（如图） 后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”。
则你认为（ ）（A ）只有小敏回答正确 （B ）只有小聪回答正确（C ）小敏、小聪回答都正确 （D ）小敏、小聪回答都不正确3.已知关于x 的一元二次方程023)3(22=-++-m x x m 的一个根是零，求m 的值。
4．已知多项式4193212+-x x .试说明：不论x 为任何实数，此多项式的值总为正数。
5．用适当的方法解下列方程：（1）16)1(22=-x （2）0222=--x x（3）0)52()13(22=+--x x （4）2232)2(y y y =-+【当堂反馈】1．下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）3523-=+x x （2）42=x（3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x 2．一元二次方程x 2–2x = 0的解是（ ）A 、0B 、0或2C 、2D 、此方程无实数解3．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0,若a+b+c=0 则该方程必有一根为（ ）（A）1 （B）—1 （C）0 （D）24.解下列方程（1）(2x＋3)2－25＝0.（直接开平方法）（2）0--xx（配22=27方法）（3）(x+2)2=3(x+2)（因式分解法）（4）2+-=（公式x x260法）4．用适当的方法解下列方程：（1）x(3x+1)=9x+3 （2）210-+=x x（3）(2x+1)2=(x-1)2 （4）x2+6x＝1 （5）（x-2）（x+3）=66；（6）（x+1）2=3x+2．【中考聚焦】1.用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可变形为( ).A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9;C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572.关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0，则a的值为 ．3.用配方法将二次函数2432--=x x y 写成形如n m x a y ++=2)(的形式，则m 、n 的值分别是（ ）A 、310,32==n m B 、310,32-=-=n m C 、6,2==n m D 、2,2-==n m 4．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3ｍ，东西方向缩短3ｍ，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比 ( )A ．增加6ｍ2B ．增加9ｍ2C ．减少9ｍ2D ．保持不变5．在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为 耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为BA ．600m 2B ．551m 2C ．550 m 2D ．500m 26.解下列方程 （1）3x 2-x=0． （2）3x 2-5x=2． （3）2x 2+x-7=0．第一轮复习教学案 一元二次方程的应用【知识梳理】解一元二次方程的数学应用题的一般步骤:找——找出题中的等量关系设——设未知数列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式解——解出所列的方程验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验答——作答下结论【典型例题】例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？例2.某电脑公司2007年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2009年经营总收入要达到2160万元，且计划从2007年到2009年，每年经营总收入的年增长率相同，问2008年预计经营总收入为多少万元？例3.已知：如图，在△ABC 中，∠B=900,AB=5cm,BC=7cm .点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？(2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后,PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2?说明理由.【当堂反馈】1. 直角三角形的面积是30，两直角边的和是17，则斜边长为（）A.17B.26C.30D.132.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（）A.1185)1(5802=+xB.580)1(11852=+xC.1185)1(2802=-xD.580)1(11852=-x3. 小娟家有一块矩形花园，他爸爸想把它改建成正方形，这样就必须将长减少3m ，宽增加2m ，同时面积减少5m 2.问改建后的花园面积为 m 24.某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？5. 如图，等腰Rt△ABC中，cmAB，动点P从点A出发，沿AB=BC8=向点B移动.通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于点R、Q，问：AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？【中考聚焦】1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图3-9-4所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=02. 如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,则甬路的宽度为。