圆锥曲线和导数

圆锥曲线和导数
圆锥曲线
1•位置关系的判定方法一般有两种:
（1）代数方法：转化为方程根个数的判定
（2）几何方法：通过图形本身的特征，寻找存在交点个数的位置关系，列等量（不等）关系式.
2.直线与椭圆（双曲线）的综合
（1）设：设交点A（X1, yι）, B（X1, yι）,设直线I： y=kx+b,
椭圆（双曲线）C： mx2+ny2=l （mn>O椭圆，mnvθ双曲线）；
（2）联（硬解定理）：
联立直线方程与椭圆（双曲线）方≡{mx2+ny2=l,消去y得：
{y=kx+b
（nk2+m） x2+2kbnx+nb2-l=O
Δ =nk2-mnb2+m>O,
{xι+×2=-2kbn∕nk2+m, {yι+y2=2mb∕nk2+m,
{xιx2=nb2-l∕nk2+m {yιy2=mb2-k2∕nk2+m
根系关系是一种设而不求的思想（设点不求点，用系数代替），其目的是代入到与交点有关的关系式中，实现多元归一.
（3）化：条件（结论）几何性质转化为几何等量关系再转化为坐标运算
弦长公式，IEFl=V（X1+X2）2+ （y1-y2）2=Vl+k21X1-X21 =Vl+k2•
V（X1+X2）2-4XI X2;
IEFl=V （xι+x2）2+ （yι-y2）2=Vl+k2∙VΔ∕∣nk2+m∣ =Vl+k2∙√nk2-
mnb2+m∕∣nk2+m∣ （硬解定理）・
以AB为直径的圆经过原点O=>OE丄OFJ‰X2+yιγ2=O0nb2√l+mb2∙
k2∕nk2+m=O,即（n+m） b2=l+k2（硬解定理）・
（4）整：抓住元，将结论表示成某参（一般为斜率或点坐标等）的函数式；
（5）算：根据结论不同问法选取不同的求解策略
求解取值范围一般有两种解题策略：
①利用题设中或明或暗的不等式关系构造不等式解得范围；
②选择合适的参数构造目标函数，转化为函数值域问题•对于比较复杂的动态过程，理顺动态因素之间的从属关系、先后关系.
3.一般性质结论
在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，向量CA=（X1, 丫2）,向量CB=（X2, 丫2）,则S∆ABC=1/21X1y2-X2y11.
在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，且三点坐标分别为A（X1, y2）, B （x2, 丫2）, C （xo, y0）, O 为坐标原点，贝（| SSAOB=I/21X1y2-X2y11, S0ABC=1∕2∣ (Xl-XO) (y2-y0)・(x2"0) (γι-yo)
对椭圆x2∕a2+y2∕b2=l,过原点的两条直线I】和∣2分别与椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ACBD的面积为S,若直线h与∣2的斜率之积为-b2∕a2（在X轴）或心"2 （在y轴），则
(1)Xι2+×22=a2; (2) yι2+y22=b2; (3) S=2ab.(在X 轴)或
(1) xι2+×22=b2; (2) yι2+y22=a2; (3) S=2ab.(在y 轴)
4 •焦点三角形的相关结论
以椭圆X2∕a2+y2∕b2=l (a>b>0)上一点P (xo, yo) (yo≠θ)和焦点FI (-c, O), F2(C, 0)为顶点的I?IPFlF2 (焦点三角形)中,若ZFIPF2=θ, 则(1) IPFIl+
∣PF2∣=2a.
(2)4c2= IPFII2+∣PF2∣2-2IPFII∙∣PF2∣∙cosθ.
(3)IPFIl∙IPF2∣ =2b2∕l+∞sθ・
(4)SSPF1F2=l∕2 IPFIl ∙ IPF21 ∙sinθ=b2tan (θ∕2).
以双曲x2∕a2-y2∕b2=l (a, b>0)上一点P (xo, yo) (yo≠0)和焦点Fl (-c, O), F2 (c, 0)为顶点的I?IPFIF2 (焦点三角形)中，^FιPF2=θ, 则(1) IIPF I MPF2 H =2a.
(2)4c2= IPFl12+1PF212-2IPFIl∙∣PF21∙cosθ.
(3)IPFIl∙∣PF2∣=2b2∕l-cosθ・
(4)S0PFιF2=l∕2IPFlI∙IPF21∙sinθ=b⅞an1(θ∕2)・
4.结论：抛物线E： x2=2Py第一象限上一动点P的切线，与椭圆C：x2∕a2+y2∕b2=l (a>b>0)交于不同的两点A、B,线段AB中点为D,直线OD 与过点P且垂直于X轴的直线交于点M,则点M在定直线y=- pb2∕a2±,当且仅当a2=4b2时，S√S2的最大值为定值9/4；
5.曲线一般性质总结：
圆锥曲线：
过圆锥曲线E： ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=O上任一点P (x0, yo)引两条弦PA、PB,若kp A kp B=k 或kpA+kpB=k （k≠a∕c 椭圆双曲线，k≠0 抛物线）, 则直线AB经过定点.
曲线过定点题型方法归纳：
①参数元关法②探索定点③关系法
6∙［答题模板］
第步:假设结论存在.
第二步:以存在为条件，进行推理求解•
第三步:明确规范表述结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设.
第四步：反思回顾，査看关键点、易错点及解题规范.
7.椭圆与双曲线焦点弦性质总结：
圆锥曲线上的一点P （Xo, Yo）到焦点的线段称为焦半径.
焦半径常考公式；
焦半径公式（I）: 对左、右焦点分别为Fι(-c, O), F2(C, 0)的椭圆
x2∕a2+y2∕b2=l(a>b>0) 或双曲线x2∕a2-y2∕b2=l(a, b>0)上一点P(xo, yo),有IPFII = Ia+exo∣, ∣PF2∣ = ∣a-ex0∣.
焦半径公式(U)：
对左、右焦点分别为Fl(-c, O), F2(c, 0)的椭圆x2∕a2+y2∕b2=l(a>b>0) 或双曲线x2∕a2-y2∕b2=l (a, b>0)上一点P (xo, yo),有IPFII=b2∕a- CCOSa (椭圆)
或IPFlI=b2∕∣a+ccosa∣ (双曲线),∣PF2∣=b2∕a+ccosβ(椭圆）或
∣PF2∣=b2∕∣a-ccosβ∣ （双曲线），其中a、0为焦半径PF“ PF2⅛
X轴正半轴所成的角
焦点弦长公式：
若椭圆x2∕a2+y2∕b2=l (a>b>0)或双曲线x2∕a2-y2∕b2=l (a, b>0)的焦
点弦AB,设其倾斜角为α,有IAB∣ =2ab2/1a2-c2∙cos2α|.
焦点弦定理
已知焦点在X轴上的圆锥曲线C,经过其焦点F的直线交曲线于A、
B两点，直线AB的倾斜角为θ,斜率为k(k≠0),向量AF=A向量FB,
则曲线C 的离心率e 满足等式：Iecosθ∣ = ∣λ-l∕λ+l∣,e=Vl+k21λ-l∕λ+l| 推论已知焦点在y轴上的圆锥曲线c,经过其焦点F的直线交曲线
于A、B两点，直线AB的倾斜角为0,斜率为k (k≠0),向］
AF=λ向量FB,则曲线C的离心率e满足等式：∣esinθ∣ = ∣λ-l∕λ+l∣, e=Vl+k ∣λ-l∕λ+l∣.
8•抛物线性质总结：
过抛物线c： y2=2px (p>0)的焦点F作直线I交抛物线于A (xι, yι),
B(X2, y2)两点，且A在X轴上方，直线I的倾斜角为6 A、B在准线上的射影分别为P, Q,线段PQ的中点为R, AB的中点为M.
(1) yι∙y2=-p2; ×I∙×2=P2∕4;(2) k2=2p∕yι+y2;
(3)IAFI =xι+p∕2=p∕l-cosθ, ∣ BF∣ =xι+p∕2=p∕l+cosθ
(4)IAFI l+1 BFl l=2/p；
(5)IABl=2p∕sin2θ(6)S∆θAB=p2∕2sinθ;
在直角梯形APQB中;
(7)0PFQ=9O o(以PQ为直径的圆与AB相切)，0ARB=9O o(以AB为
直径的圆与准线相切)；
①∣AF∣, ∣RF∣, IBFl成等比数列；
②∣AF∣, ∣AR∣, IABl成等比数列;
③∣BF∣, ∣BR∣, IABl成等比数列；
(8)直角梯形APQB对角线过原点O；
(9)以AF (或BF)为直径的圆与y轴相切；
若过焦点作直线I的垂线n交抛物线于C、D两点，倾斜角为cx・
(10)IABr I+1 CDI I=l/2p；
(11)IABI +1 CD I =8p∕sin22α(Zl[8p, +∞);
(12)IABI ∙ I CD I =16p2∕sin22cd21[16p2, +«>);
(13)SAPF的面积，SPFQ的面积的一半，[3BQF的面积，成等比数列；
(12)若向量AF=入向量FB,则cosθ=∣λ-l∣∕∣λ+l∣, Vl+kι2=∣λ+l∣∕∣λ- H
9•曲线性质总结：
曲线c： x2=2Py与直线I： y=kx+b (b>0)交于M、N两点.
结论1：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的横坐标与两点的横坐标成等差数列，即2XQ=Xm+XN.
结论2：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的轨迹为ynb；
结论3：过直线y=-b±任一点做曲线C的切线，切点分别为M、N, 则直线MN恒过定点T (0, b)；
结论4：当直线I经过曲线C的焦点时，有MQ丄NQ.
10•结论已知椭圆C： X2∕a2+y2∕b2≡ 1 或y2∕a2+x2∕b2=l (a>b>0),直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A、B,线段AB 的中点为M.
(1)直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值-b2∕a2⅛-a2∕b2;
(2)若I过点(a, b),延长线段OM与C交于点P,当四边形OAPB 为平行四边形时，则直线I的斜率k∣= (4±V7) ∕3∙b∕a或k∣= (4±√7)
∕3∙a∕b・
11. 一般性结论：
已知椭圆C： x2∕a2+y2∕b2=l (a>b>θ),点A为椭圆上的动点，点B为直线y=ab∕c上的动点，若OA丄OB,则直线AB与圆x2+y2=b2相切. 导数1 •求过某点处的切线方程
解题过程①确定切点P (χo, yo)；②求导f (x)；
③求斜率k=f, (xo)；④点斜式y-yo=k (X-XO) (*)
⑤将点P代入切线;⑥将求得的切点代入(*)・
三次函数切线条数：
过三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠θ)图象的对称中心作切线I, 则坐标平面被切线I和函数f (X)的图象分割为四个区域，有以下结论：
(1)当定点P在中心N或在I和In区域时，过点P的切线有1条；
(2)当定点P在函数f (X)或切线I上且不在N时，过点P的切线
有2条；
(3)当定点P在II或在IV区域时，过点P的切线有3条.
记法：内一，上二，外三
2 •隐零点估值与代换解法
(1)分而治之寻找充分条件,逐个求解不等式；
⑵找点过程中放缩的出发点是使不等式能解，易解；
(3)结合“点〃所在的区间，以及各部分的“阶〃，进行放缩.
3.极值点偏移
对数不等式InXl-In×2>2(X1-X2) ∕x1+x2 偏移.
4・构造法的经验总结有两点：
①因为图象y"变化递增的速度比y=lnx快，所以才去“分家”构造新函数的形式，而此时的关键是构造怎样的函数形式.
②联想到常见幕函数、指数函数、对数函数两两组合构成的新函数.
(1)幕函数与指数函数的组合：
y=x+e x, y=x-e x, y=xe x, y=e x∕x, y=x∕e x, y=x n e x, y=e x∕x n, y=x n∕e x;
(2)幕函数与对数函数的组合：
y=x+lnx, y=xlnx, y=x∕lnx, y=lnx∕x, y=x n lnx, y=lnx∕x n, y=x n∕∣n×・
5・(1)以导数为工具证明超越不等式大致有三种不同的思路：
①直接化为最值(或确界)；
②调整结构，分离函数，证最小值大于最大值；
③部分放缩与函数逼近.
(2)证明超越不等式的通性通法为直接化为最值,会涉及导函数的隐零点，也就是无法求出导函数具体零点,这时一般有两个处理方式:
①整体代入化为代数式；
②缩小导函数隐零点的范围，从而达到确定最值符号.。