圆锥曲线和导数

圆锥曲线和导数

圆锥曲线

1•位置关系的判定方法一般有两种:

（1）代数方法：转化为方程根个数的判定

（2）几何方法：通过图形本身的特征，寻找存在交点个数的位置关系，列等量（不等）关系式.

2.直线与椭圆（双曲线）的综合

（1）设：设交点A（X1, yι）, B（X1, yι）,设直线I： y=kx+b,

椭圆（双曲线）C： mx2+ny2=l （mn>O椭圆，mnvθ双曲线）；

（2）联（硬解定理）：

联立直线方程与椭圆（双曲线）方≡{mx2+ny2=l,消去y得：

{y=kx+b

（nk2+m） x2+2kbnx+nb2-l=O

Δ =nk2-mnb2+m>O,

{xι+×2=-2kbn∕nk2+m, {yι+y2=2mb∕nk2+m,

{xιx2=nb2-l∕nk2+m {yιy2=mb2-k2∕nk2+m

根系关系是一种设而不求的思想（设点不求点，用系数代替），其目的是代入到与交点有关的关系式中，实现多元归一.

（3）化：条件（结论）几何性质转化为几何等量关系再转化为坐标运算

弦长公式，IEFl=V（X1+X2）2+ （y1-y2）2=Vl+k21X1-X21 =Vl+k2•

V（X1+X2）2-4XI X2;

IEFl=V （xι+x2）2+ （yι-y2）2=Vl+k2∙VΔ∕∣nk2+m∣ =Vl+k2∙√nk2-

mnb2+m∕∣nk2+m∣ （硬解定理）・

以AB为直径的圆经过原点O=>OE丄OFJ‰X2+yιγ2=O0nb2√l+mb2∙

k2∕nk2+m=O,即（n+m） b2=l+k2（硬解定理）・

（4）整：抓住元，将结论表示成某参（一般为斜率或点坐标等）的函数式；

（5）算：根据结论不同问法选取不同的求解策略

求解取值范围一般有两种解题策略：

①利用题设中或明或暗的不等式关系构造不等式解得范围；

②选择合适的参数构造目标函数，转化为函数值域问题•对于比较复杂的动态过程，理顺动态因素之间的从属关系、先后关系.

3.一般性质结论

在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，向量CA=（X1, 丫2）,向量CB=（X2, 丫2）,则S∆ABC=1/21X1y2-X2y11.

在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，且三点坐标分别为A（X1, y2）, B （x2, 丫2）, C （xo, y0）, O 为坐标原点，贝（| SSAOB=I/21X1y2-X2y11, S0ABC=1∕2∣ (Xl-XO) (y2-y0)・(x2"0) (γι-yo)

对椭圆x2∕a2+y2∕b2=l,过原点的两条直线I】和∣2分别与椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ACBD的面积为S,若直线h与∣2的斜率之积为-b2∕a2（在X轴）或心"2 （在y轴），则

(1)Xι2+×22=a2; (2) yι2+y22=b2; (3) S=2ab.(在X 轴)或

(1) xι2+×22=b2; (2) yι2+y22=a2; (3) S=2ab.(在y 轴)

4 •焦点三角形的相关结论

以椭圆X2∕a2+y2∕b2=l (a>b>0)上一点P (xo, yo) (yo≠θ)和焦点FI (-c, O), F2(C, 0)为顶点的I?IPFlF2 (焦点三角形)中,若ZFIPF2=θ, 则(1) IPFIl+

∣PF2∣=2a.

(2)4c2= IPFII2+∣PF2∣2-2IPFII∙∣PF2∣∙cosθ.

(3)IPFIl∙IPF2∣ =2b2∕l+∞sθ・

(4)SSPF1F2=l∕2 IPFIl ∙ IPF21 ∙sinθ=b2tan (θ∕2).

以双曲x2∕a2-y2∕b2=l (a, b>0)上一点P (xo, yo) (yo≠0)和焦点Fl (-c, O), F2 (c, 0)为顶点的I?IPFIF2 (焦点三角形)中，^FιPF2=θ, 则(1) IIPF I MPF2 H =2a.

(2)4c2= IPFl12+1PF212-2IPFIl∙∣PF21∙cosθ.

(3)IPFIl∙∣PF2∣=2b2∕l-cosθ・

(4)S0PFιF2=l∕2IPFlI∙IPF21∙sinθ=b⅞an1(θ∕2)・

4.结论：抛物线E： x2=2Py第一象限上一动点P的切线，与椭圆C：x2∕a2+y2∕b2=l (a>b>0)交于不同的两点A、B,线段AB中点为D,直线OD 与过点P且垂直于X轴的直线交于点M,则点M在定直线y=- pb2∕a2±,当且仅当a2=4b2时，S√S2的最大值为定值9/4；

5.曲线一般性质总结：

圆锥曲线：

过圆锥曲线E： ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=O上任一点P (x0, yo)引两条弦PA、PB,若kp A kp B=k 或kpA+kpB=k （k≠a∕c 椭圆双曲线，k≠0 抛物线）, 则直线AB经过定点.

曲线过定点题型方法归纳：

①参数元关法②探索定点③关系法

6∙［答题模板］

第步:假设结论存在.

第二步:以存在为条件，进行推理求解•

第三步:明确规范表述结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设.

第四步：反思回顾，査看关键点、易错点及解题规范.

7.椭圆与双曲线焦点弦性质总结：

圆锥曲线上的一点P （Xo, Yo）到焦点的线段称为焦半径.

焦半径常考公式；

焦半径公式（I）: 对左、右焦点分别为Fι(-c, O), F2(C, 0)的椭圆

x2∕a2+y2∕b2=l(a>b>0) 或双曲线x2∕a2-y2∕b2=l(a, b>0)上一点P(xo, yo),有IPFII = Ia+exo∣, ∣PF2∣ = ∣a-ex0∣.

焦半径公式(U)：

对左、右焦点分别为Fl(-c, O), F2(c, 0)的椭圆x2∕a2+y2∕b2=l(a>b>0) 或双曲线x2∕a2-y2∕b2=l (a, b>0)上一点P (xo, yo),有IPFII=b2∕a- CCOSa (椭圆)