函数凹凸性的应用

函数凹凸性的应用

什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y x

=所表示的曲线是向上凸的,而

2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或

更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.

如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？

设函数

()f x 在区间I

上是凸的（向下凸）,任意

1x ,

2x I

∈（

12

x x <）.

曲线

()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意

12(,)x x x ∈,()

f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程

211121

()()

()()

f x f x y x x f x x x -=

-+-.

对任意12(,)

x x x ∈有,整理得

21

122121

()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤

+--.

令

221()x x t x x -=

-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1

21

1x x t

x x -=--,上式可写成

1212[(1)]()(1)()

f tx t x tf x t f x +-≤+-

1.1凸凹函数的定义

凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下

凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。 设

[]()()()()()21121

2

:,,,0,1,11f I R I f f

f x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立

，（1）则称

f

为I 上的凸函数。若()120,1,,x x λ∀∈

≠

()()

()()()121211f f f x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）

则称

f 为I 上的严格凸函数。若（1）与（2）式中的不等式符号反向，则分别称f 为I 上的凹函数与严

格凹函数。

显然，

f 为I 上的（严格）凸函数f ⇔-是（严格）凸的。因此，只要研究凸函数的性质与判别法，

就不难得到凹函数的相应的判别法。

直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据： 若()[],,f x C a b ∈在(),a b 内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：

1.

[]()()()()()21121

2

:,,,0,1,11f I R I f f

f x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立

。其几何意义是“现在曲线的上方”; 2.()()()()[]0

,,,f x f

a b f x x x x x *

≥+-∀∈其几何意义是“切线在曲线的下方”

； 3. ()[],a b f x *

在上单调递增； 4.

()0f x **

≥

定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,

()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别

是严格凸或严格凹的,这时称(00,

()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.

必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,

如y =x ＝0的情形. 1.2 凸函数的特征

引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：

32212132

()()

()()f x f x f x f x x x x x --≤-- (3)

()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.

证 ⇒记

3231

x x x x λ-=

-,则01λ

<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f

的凸性知

213()()(1)()

f x f x f x λλ≤+-3221133131

()()x x x x

f x f x x x x x --=

+--

(4) 从而有

312321213()()()()()()

x x f x x x f x x x f x -≤-+-

即 322212321213()()()()()()()()

x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-

整理即得

(3)式.

⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,

32

21

x x x x λ-=

-

由必要性的推导步骤可逆,从

(3)式便得(4)式.故f

为凸函数.

同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即

123,,x x x I ∀∈,

123

x x x <<,有

31212131

()()

()()f x f x f x f x x x x x --≤

--

()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.

定理 设为开区间

上的凸函数．若

则

在

上满足利普希茨条件,且

在

上连续．

证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数) 当取定

后,由

为开区间,必可选取

中的四点

满足：

．

如图所示,再在

中任取两点

. 应用引理得到