函数凹凸性的应用
函数凹凸性在优化问题中的重要性及应用
函数凹凸性在优化问题中的重要性及应用函数的凹凸性在优化问题中的应用极为广泛且重要，它直接关系到优化问题的求解难度、解的性质以及算法的选择。
以下是函数凹凸性在优化问题中的几个关键应用方面：1. 简化问题复杂性●凸优化问题：当优化问题被转化为凸优化问题时，其求解过程大大简化。
凸优化问题具有许多优良性质，如局部最优解即为全局最优解、凸集上的凸函数在任意点都有唯一的次梯度等。
这使得我们可以使用更高效的算法来求解凸优化问题。
●凹函数处理：虽然凹函数在优化问题中不如凸函数常见，但可以通过取反（即将凹函数转化为凸函数）或利用其他技巧来处理。
2. 算法选择与效率●算法适用性：不同的优化算法对函数的凹凸性有不同的要求。
例如，梯度下降法、牛顿法等算法在凸函数上表现良好，因为它们能够保证收敛到全局最优解。
而在非凸函数上，这些算法可能只能找到局部最优解或陷入鞍点。
●收敛速度：在凸优化问题中，许多算法都能保证较快的收敛速度，因为它们能够沿着函数值下降最快的方向前进。
而在非凸问题上，算法的收敛速度可能较慢，甚至不收敛。
3. 解的性质分析●最优解的唯一性：在严格凸函数上，如果存在最优解，则这个最优解是唯一的。
这一性质对于许多实际问题来说非常重要，因为它保证了解决方案的唯一性和确定性。
●解的稳定性：凸优化问题的解通常对输入数据的变化具有较好的稳定性。
这意味着当输入数据发生微小变化时，解的变化也会很小。
这种稳定性对于许多实际应用来说是非常重要的。
4. 约束条件的处理●凸约束集：在优化问题中，如果约束条件构成的集合是凸集，则这些约束条件更容易处理。
凸集上的点满足凸组合的性质，这使得我们可以在保持可行性的同时，通过凸组合来探索解空间。
●凸松弛：对于非凸的约束条件，有时可以通过凸松弛（即将非凸约束替换为更宽松的凸约束）来简化问题。
虽然这种方法可能会扩大可行域并降低解的精度，但它有助于找到问题的近似解或启发式解。
5. 实际应用中的转化●问题重构：在实际应用中，许多非凸优化问题可以通过重构（如变量替换、添加辅助变量、改变问题表述等）转化为凸优化问题。
函数的凹凸性在不等式证明中的应用
函数的凹凸性在不等式证明中的应用函数的凹凸性是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数图像的形状。
具体来说，如果函数的图像在一些区间上是向上凸起的，我们称之为凸函数；如果函数的图像在一些区间上是向下凹陷的，我们称之为凹函数。
在不等式证明中，函数的凹凸性具有很重要的应用。
首先，函数的凹凸性可以帮助我们证明不等式的性质。
假设我们要证明一个不等式，例如a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
我们可以考虑定义函数f(x) = x²，则f(x)是一个凸函数。
由凸函数性质可知，对于任意的实数x₁、x₂，有f(λx₁ + (1 - λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1 -λ)f(x₂)，其中0 ≤ λ ≤ 1、将x₁ = a，x₂ = b代入上述不等式，可得2ab ≤ a² + b²。
再将a² + b²除以2，即可得到a + b ≥ 2√(ab)。
因此，通过证明函数的凹凸性，我们可以得到不等式的性质。
其次，函数的凹凸性还可以帮助我们求解优化问题。
假设我们要在非负实数集合中找到满足一些条件的最大值或最小值。
我们可以先通过求导得到函数的极值点，然后通过函数的凹凸性判断这个极值点是最大值还是最小值。
具体来说，如果函数是凸函数，那么极值点就是最小值；如果函数是凹函数，那么极值点就是最大值。
通过函数的凹凸性，我们可以在优化问题中确定最优解。
此外，函数的凹凸性还可以帮助我们证明不等式的反面。
例如，我们要证明a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
假设我们采用反证法，假设不等式不成立，即a + b < 2√(ab)。
我们可以定义函数f(x) = x - 2√(x)，其中x为非负实数。
我们可以证明函数f(x)是一个凹函数，然后通过证明f(a) + f(b) < 0，来推出假设的不等式不成立。
通过函数的凹凸性，我们可以证明不等式的反面。
总的来说，函数的凹凸性在不等式证明中具有重要的应用。
函数凹凸性与极值在优化中的应用指南
函数凹凸性与极值在优化中的应用指南函数的凹凸性和极值之间的关系在优化问题中具有广泛的应用。
这种关系不仅有助于我们理解优化问题的本质，还能指导我们设计求解策略、评估解的质量以及进行算法的选择与改进。
以下是具体的应用：1. 指导求解策略●凸优化问题：对于凸优化问题，由于局部最优解即为全局最优解，因此可以采用各种高效的算法（如梯度下降法、牛顿法等）来求解。
这些算法在凸函数上能够确保收敛到全局最优解。
●非凸优化问题：对于非凸优化问题，虽然不能直接保证局部最优解即为全局最优解，但可以利用函数的凹凸性信息来指导求解策略。
例如，通过寻找函数的拐点（凹凸性变化的点）或利用凸包络等方法来近似原问题，从而更容易地找到全局最优解或较好的局部最优解。
2. 评估解的质量●全局最优性检验：在凸优化问题中，可以通过比较解与已知的全局最优解（如果存在的话）来检验解的质量。
如果两者相等或非常接近，则可以认为找到了全局最优解。
●局部最优性评估：在非凸优化问题中，虽然无法直接判断解是否为全局最优解，但可以利用函数的凹凸性信息来评估解是否为局部最优解。
例如，如果解位于一个由凸变凹或由凹变凸的点上，并且该点处的函数值比其他邻近点都小（或大），那么这个解很可能是局部最优解。
3. 算法选择与改进●算法选择：根据函数的凹凸性选择合适的优化算法。
对于凸函数，可以选择具有全局收敛性的算法；而对于非凸函数，则可能需要采用启发式算法或元启发式算法来寻找近似解。
●算法改进：在算法运行过程中，可以根据函数的凹凸性信息来调整算法参数或改进算法策略。
例如，在梯度下降法中，可以根据函数的二阶导数（即凹凸性信息）来调整学习率的大小；在遗传算法中，可以利用函数的凹凸性信息来指导交叉和变异操作等。
4. 实际应用场景●金融领域：在投资组合优化、风险管理和资产定价等问题中，经常需要求解凸优化问题来找到最优的投资组合或风险策略。
此时，函数的凹凸性对于保证解的全局最优性和稳定性至关重要。
函数的凹凸性与导数的应用
函数的凹凸性与导数的应用函数的凹凸性是微积分中一个重要的概念，它能够帮助我们研究函数的变化趋势以及优化问题。
而导数则是凹凸性的判定理论和应用的基础。
在本文中，我们将探讨函数的凹凸性与导数的应用，并且通过具体的例子来展示它们的重要性。
一个函数的凹凸性是指它的曲线在某一区间上的形状。
具体而言，如果曲线在某一区间上呈现向上凹的形状，我们称之为函数在该区间上为凹函数；而如果曲线呈现向下凸的形状，则称之为函数在该区间上为凸函数。
要确定函数的凹凸性，我们需要借助导数的概念。
导数是函数变化率的一种度量方式。
在微积分中，我们将导数定义为函数在某点上的斜率，即函数曲线在该点上的切线斜率。
函数的凹凸性与导数的关系十分密切。
具体而言，如果一个函数的导数在某一区间上是递增的，那么该函数在该区间上为凹函数；反之，如果导数在某一区间上是递减的，那么该函数在该区间上为凸函数。
这个结论被称为凹凸性的导数判定法则。
函数的凹凸性在优化问题中有广泛的应用。
例如，在求解最优化问题时，我们希望找到一个函数的极小值或极大值点。
通过研究函数的凹凸性，我们可以根据导数的变化来确定函数的极值点。
具体而言，如果一个函数在某一区间上是凸函数，则函数的极小值点一定发生在该区间的端点或者在导数为零的点上；同样地，如果一个函数在某一区间上为凹函数，则其极大值点也发生在该区间的端点或者在导数为零的点上。
这个方法被称为凹凸性的导数应用。
为了更好地理解凹凸性与导数之间的关系，我们举一个例子。
假设有一家生产公司，它的成本函数为C(x) = 100x + 1000/x，其中x表示生产的数量, C(x)表示成本。
我们希望确定在什么情况下公司的成本最低。
首先，我们需要计算成本函数的导数，即C'(x)。
通过求导的运算，我们得到C'(x) = 100 - 1000/x^2。
然后，我们需要找到导数为零的点，即100 - 1000/x^2 = 0。
解这个方程，我们得到x = 10。
函数凹凸性的应用
函数凹凸性的应用函数凹凸性是指函数在各点处的变化状态，它可以分为凹性和凸性。
当一个函数在该点处凹陷时，表明此函数在此点处减少；而凸起的情况则表明此函数在此点处增加。
函数凹凸性的应用涉及很多领域，其中最重要的应用是最优化问题。
最优化问题是科学家们面对实际问题时所使用的一种算法，它可以帮助我们快速、高效地解决问题。
最优化问题可以用来求解某一特定目标函数的最佳取值点。
例如，如果你想要求解汽车维修成本最小，你可以使用最优化问题来寻找最优的维修方案；如果你想要求解最佳投资组合，你也可以使用最优化问题来寻找最佳的投资组合。
最优化问题的基本原理是，函数的凹凸性可以用来判断函数的变化情况，因此可以用来判断最优取值点。
当函数在某一点处呈凹性时，表明此点处函数变化状态最差，即此点处函数变化量最小，因此它可能是最优取值点。
同理，当函数在某一点处呈凸性时，表明此点处函数变化状态最好，即此点处函数变化量最大，因此它有可能是最优取值点。
函数凹凸性的应用不仅仅是最优化问题，还可以用来分析函数的单调性，即在某一点处函数的变化情况，以及函数的稳定性，即函数的变化状态是否会随着时间的推移而发生变化。
通过分析函数凹凸性，我们还可以推断函数的极值点，即在某一点处函数变化状态最好或最差的点，以及函数的局部极值点，即在某一矩形区域内函数变化状态最好或最差的点。
此外，函数凹凸性的应用还可以用来分析函数的对称性，即函数的变化状态是否会随着参数的变化而发生变化。
函数凹凸性的应用也可以用来分析函数的拐点，即在某一点处函数变化状态由凹性变为凸性或由凸性变为凹性的点。
最后，函数凹凸性的应用还可以用来分析函数的平滑性，即函数的变化状态是否会随着参数的变化而改变，以及函数的连续性，即函数是否在某一点处连续。
总之，函数凹凸性的应用可以用来解决许多实际的问题，为我们快速、高效地解决问题提供了有力的支持。
函数的凸凹性及应用
函数的凸凹性及其应用定义:函数的凸凹性定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立．如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．定理1 （Jensen 不等式）若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ ;若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ,其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ ;类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ,当且仅当n x x x === 21时等号成立．定理3：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数; (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且若10<<a ，则为下凸函数；若1>a ，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且为下凸函数． （3）三角函数sin (0,)(,23cos (,)(,2222tan (,0)(022y x x x y x x x y x x x πππππππππ=∈∈=∈-∈=∈-∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数. （4）二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．（5）反比例函数:)0(≠=k xky当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．（6）双勾函数:)0,0(>>+=b a xbax y当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．T1 设()y f x =是(),a b 上的严格凸函数，则对于(),a b 内的任意n 个点12,,,n x x x ，都有()()()()12121n n x x x f f x f x f x n n+++⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x ===时等号成立。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
《函数凹凸性》课件
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
函数凹凸性的几个应用
1 n
(ln
a1
+ln
a2
+… +ln
an )≤l n
a1 +a2
+… +an n
,
化简得
n
a1 a2
…an
≤
1 n
(a 1
+a2
+… +an).
注 :利用函数凸性证明不等式的关键在于 构造或
引进我们所需的辅助函 数 , 使条 件和结 论 、已知 与未 知建立联系.
2. 求最值 从不等式的证明中我们可以看到 , 如果不 等式的
=
1 2
|an
-1Βιβλιοθήκη |2|an - 1| 22|an - 1|
=
2 2
,
又 0≤〈 an - 1 , an〉 ≤π, ∴an - 1 与 an 的夹角为 π4 .
(3)a1
=( x1
,
y1),
a2
=
1 2
(
x1
-
y1
,
x 1 +y1) ,
a3
=
1 4
(
-
2
y1
, 2 x1)=
1 2
(-
y1
,
x1) ,
凸函数.
2.
f(
x1
+x2 2
)
≥
f(
x1)+ 2
f(
x2)
,
则称
f( x)是 上
凸函数.
判定定理 :若函 数 f( x)在[ a, b] 连续 且在(a, b)
内具有一阶和二阶导数 , 则
1. 若在(a , b)内 f″( x) <0, 则 f(x)在[ a, b] 是上
函数凹凸性的应用
函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。
通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。
图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。
设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）则称f为I 上的凸函数。
若()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f ff x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）则称f 为I 上的严格凸函数。
函数的应用极值与曲线的凹凸性
函数的应用极值与曲线的凹凸性函数是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在函数的研究过程中，我们会关注函数的极值和曲线的凹凸性，因为这些特性可以帮助我们分析函数的变化趋势和性质。
本文将讨论函数的应用极值和曲线的凹凸性，并探讨它们在实际问题中的应用。
一. 函数的极值函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
在求解函数的极值时，我们常常使用导数的概念和方法。
1. 导函数和导数对于函数f(x)，如果它在某个点x处存在导数，那么这个导数就是函数f(x)在该点的变化率。
而由导数构成的新函数称为原函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
导函数可以帮助我们分析函数的变化趋势和函数的极值。
函数在某个点x处的导数f'(x)等于导函数的极值，当导数小于零时，函数在该点取得最大值；当导数大于零时，函数在该点取得最小值。
这是因为导数的正负表示函数在该点的增减性，而极值点正好是函数增减性发生变化的点。
2. 求解函数的极值通过求解函数的导数，我们可以得到函数的极值点。
首先，我们需要找到导数的零点或者是导数不存在的点，这些点就是函数的极值点。
然后，我们通过使用二阶导数的概念和方法来判断这些极值点的性质。
二阶导数是指原函数的导函数的导数，记作f''(x)。
通过计算二阶导数，我们可以判断一个极值点是极大值还是极小值。
当二阶导数大于零时，函数在该极值点取得极小值；当二阶导数小于零时，函数在该极值点取得极大值。
二. 曲线的凹凸性曲线的凹凸性是指曲线在某一点的弯曲程度。
通过凹凸性，我们可以推断出函数在该点上的变化趋势和函数的性质。
1. 凹凸点和拐点对于函数f(x)，如果它在某一点x上的曲线向上弯曲，那么这个点就是凹点；如果曲线向下弯曲，那么这个点就是凸点。
凹点和凸点的特性对应着函数的变化趋势，因此我们可以通过凹凸性来分析函数的局部性质。
当函数的曲线由凹变为凸或者由凸变为凹的点称为拐点。
拐点是曲线变化的关键点，它标志着函数在该点上的性质的转折。
函数的凹凸性在高考中的应用
1、凹凸函数定义及几何特征⑴引出凹凸函数的定义：如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。
但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。
不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。
⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。
⑶凹凸函数的几何特征：几何特征1（形状特征）图4（凹函数） 图5（凸函数）如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
几何特征2（切线斜率特征）图6（凹函数） 图7（凸函数）设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小；简记为：斜率凹增凸减。
几何特征3（增量特征）图8（凹函数） 图9（凸函数）图10（凹函数） 图11（凸函数）设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小； 由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…） 凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．函数凹凸性的应用应用1 凹凸曲线问题的求法下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题． 题目： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图13中的（ ）．解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．例3（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）图17A B CD图12图13解：易得弓形AxB 的面积的2倍为f(x)=ｘ-sin ｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sin ｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选D ．应用2 凹凸函数问题的求法例1、(2005·湖北卷) 在y=2x , y=log 2x, y=x 2, y=cos2x 这四个函数中,当0<x 1<x 2<1时,恒成立的函数的个数是( ).A.0B.1C.2D.3分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1<x 2,当f(x)总满足 时,函数f(x)在区间I 上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x ,y=x 2,y=cos2x ，应选B 。
函数的单调性与凹凸性
函数的单调性与凹凸性在数学中，函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
本文将介绍函数的单调性和凹凸性的定义以及它们在解决实际问题中的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增大或减小而增大或减小的规律。
具体地，一个函数在区间上是单调递增的，即当x1 < x2时，f(x1) ≤ f(x2)，则称函数在该区间上是递增的。
类似地，如果一个函数在区间上是单调递减的，即当x1 < x2时，f(x1) ≥ f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。
函数单调性的研究可以帮助我们确定函数的增减区间以及解决一些优化问题。
例如，在生产成本最小化的问题中，我们可以通过研究成本函数的单调性来确定最佳生产量。
二、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在定义域上的弯曲程度。
具体地，如果一个函数在区间上任意两点间的连线位于函数图像的下方，则称函数在该区间上是凹的；如果函数图像上任意两点间的连线位于函数图像的上方，则称函数在该区间上是凸的。
凹凸性常常与函数的极值点相关。
对于一个凸函数，在定义域上任意两点连线的斜率都大于函数图像上相应的切线斜率，而对于一个凹函数，则相反。
因此，研究函数的凹凸性能够帮助我们找到函数的极值点。
三、在实际问题中，函数的单调性与凹凸性常常同时存在，并能够相互影响。
例如，对于一个单调递增的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凸函数的子区间。
同样地，对于一个单调递减的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凹函数的子区间。
函数的单调性和凹凸性的研究除了能够帮助我们解决实际问题外，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
通过观察函数图像的单调性和凹凸性，我们能够得到更直观的信息，比如函数的整体趋势、局部极值点等。
总结：函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
函数的单调性描述了函数值随自变量增减变化的规律，而函数的凹凸性则描述了函数图像的弯曲程度。
函数的单调性和凹凸性不仅能够解决实际问题，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨
函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨在高中数学中，函数的凹凸性是一个非常重要的概念，它对于函数的性质和图像具有重要的指导和应用作用。
本文将探讨函数凹凸性的概念和其在高中数学中的应用。
首先，我们来了解凹凸性的概念。
给定一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果对于[a,b]上的任意两个不相等的实数x1和x2，总有对应的λ∈(0,1)，使得f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上是凹函数；如果上述不等式反向成立，则称函数f(x)在[a,b]上是凸函数。
其次，函数的凹凸性在高中数学中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：1.极值问题：对于一个凸函数，如果它在一个区间上的两个点处取得极值，则它在该区间上的任意两个点处均取得极值。
这意味着我们可以通过找到凸函数的一个极值点来确定整个区间上的极值点。
同样地，对于一个凹函数，如果它在一个区间上的两个点处取得极值，则它在该区间上的任意两个点处均取得极值。
这对于求解函数的最大值和最小值问题具有重要意义。
2.曲线的凹凸性判断：函数的凹凸性可以用来判断曲线的凹凸性。
通过判断函数的二阶导数或拐点，我们可以判断一个函数在一些区间上是凹函数还是凸函数。
当二阶导数大于0时，函数是凹的；当二阶导数小于0时，函数是凸的。
3.凸集的判定：在几何学中，凸集是指集合中的每两个点之间的连线都在该集合内。
函数的凹凸性可以用来判定几何中的集合是否为凸集。
例如，如果一个多边形的边是凹函数，那么该多边形即是凸多边形。
4.约束条件优化问题：在约束条件优化问题中，我们需要在给定一组约束条件下求解一个目标函数的最值。
通过分析约束条件和目标函数的性质，我们可以判断所求最值点的性质。
如果目标函数是凹函数且约束条件线性，则最值点唯一存在且是凸集的一些边界点；如果目标函数是凸函数且约束条件线性，则最值点唯一存在且是凸集的一些内点。
利用凹凸性可以使我们更有效地求解这类问题。
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性是指函数的变化趋势，即函数的单调性。
单调指的是曲线的一面朝上、一
面朝下，即函数的上凹下凸。
凹凸性判别法是利用函数的三阶导数来判断函数的凹凸性，它的原理是：若一个函数
的三阶导数大于 0，则其对应的前面的函数为凸函数；若一个函数的三阶导数小于0，则
其对应的前面的函数为凹函数。
因此，凹凸性判别法是基于三阶导数判断函数凹凸性的一种方法。
具体来进行凹凸性判断时，首先要求函数的三阶偏导数，记为y''''，如果y''''>0，说明该点处曲线呈凸函数；如果y''''<0，说明该点处曲线呈凹函数。
1、它可以用来判断函数图像的凹凸性，如弧线的凹凸情况；
2、它是非线性优化算法的基本前提。
非线性优化首先要求目标函数的形式，然后通
过数值分析来求解函数的极值、拐点等；
3、它还可以用来分析对策优化问题，研究决策问题中随机变量的影响，研究决策问
题中策略的选择等。
据此，可以看出凹凸性判别法不仅可以用来判断某函数的凹凸性，还能用于优化函数
求解和决策问题的研究中，由此可见它的重要性和实用性。
函数的凹凸性方面的应用
函数的凹凸性方面的应用()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.证 ⇒记3231x x x x λ-=-,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-3221133131()()x x x xf x f x x x x x --=+-- (4)从而有312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-即32221232121()()()()()()()()x x f x x x f x xx f x xx f x -+-≤-+-整理即得(3)式.⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-=-由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123,,x x x I ∀∈,123x x x <<,有31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.定理 设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点. 应用引理得到．令,则,．显然,上述 L 与中的点无关, 故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 二、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x xx '≥+-证 (i)(ii) ,并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数．(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有相同结论．(iii)(i),并记,则有,由(iii)可得.注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f 在I 上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<）,x I ∈.f 为严格凸⇔1）()0f x ''≥；2）()f x ''不在I 上的任一子区间上恒为零.此定理说明：f 为严格凸,则曲线中不含有直线段（()0f x ''=）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为f 凸,则f -凹）. 可导函数f 有如下相互等价的论断：1）f 为I 上凹函数.2）123,,x x x I ∀∈,123x x x <<有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≥--.即割线斜率递减.3）()f x '为I 上递减函数.4）0x I∀∈,有000()()()()f x f x f x x x '≤+-,x I ∈.当f 在I 上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.5）在I 上()0f x ''≤.对严格凹的情形可类似得出等价论断. 二、拐点定义 2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如y =x ＝0的情形.定理3（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=.综上知：(00,()x f x )的拐点,则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导.定理4 设f 在点0x 可导,在某邻域0()U x 内二阶可导,若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.例1 讨论函数()arctan f x x =的凸性与拐点.解222()(1)xf x x ''=-+,因而当0x ≤时,()0f x ''≥；当0x ≥时,()0f x ''≤,从而函数f 为(,0]-∞上的凸函数,在[0,)+∞上为凹函数.而()f x 在原点连续,故原点为曲线()y f x =的拐点例2 若f 在(,)a b 内可导、凸（凹）函数,则0(,)x a b ∈为f 的极小（大）值点⇔0()0f x '=.即x 为f 的稳定点. 证 ⇒）费马定理.⇐）因f 凸,故(,)x a b ∀∈有000()()()()f x f x f x x x '≥+-.因0()0f x '=,故(,)x a b ∀∈总有0()()f x f x ≥.即x 为f 的极小值点.例3 设f 在开区间I 上为凸（凹）函数,证明f 在开区间I 内任一点0x都存在左、右导数.证 只证凸函数f 在0x存在右导数,其它情形同理可证.令120h h <<,记101x x h =+,202x x h =+,则012x x x <<（取2||h 充分小使02x h I+∈）,由(3)'式得：01002012()()()()f x h f x f x h f x h h +-+-≤记 00()()()f x h f x F h h +-=(0)h >则有21()()F h F h ≤即()F h 为单调递增函数.取4x I∈且40x x ≤,则040004()()()()f x f x f x h f x x x h-+-≤-,从而()F h 递增有下界,从而0lim ()h F h +→存在,即0()f x +'存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为∞.由第五章§1习题10知（若f 在0x的左、右导数都存在,则f 在0x连续）,若f 在为开区间(,)a b 内的凸（凹）函数,则f 为(,)a b 内的连续函数.（但不一定可导,如()||f x x =）三、 詹森(Jensen)不等式定理 (詹森(Jensen)不等式) 设f 为[,]a b 上的凸函数,[,]i x a b ∈,0i λ>(1,2,,)i n =且11nii λ==∑,则有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （6）成立.若f 为严格凸函数,(1,2,,)ix i n =不全相等,则上式严格不等式成立.证 用归纳法：2n =时命题由凸函数定义显然成立.假设n k =时命题成立,即0i λ>(1,2,,)i k =,11kii λ==∑，则有11()()kki i i i i i f x f x λλ==≤∑∑. 要证1n k =+时命题成立.设0iλ>(1,2,,,1)i k k =+,111k ii λ+==∑1111111111()()[(1)]1k kki ii i i i k k k k k i i i k x f x f x x f x λλλλλλλ++++++===+=+=-+-∑∑∑（由归纳法可知,当11nii λ==∑,(,)i x a b ∈时1ni i i x λ=∑(,)a b ∈,因为 111kii k λλ==-∑,故 111ki ii k x λλ=+-∑(,)a b ∈ ）11111(1)()()1ki k i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11()k i i i f x λ+==∑⇒结论成立.注 由于(6)式中当时即为凸函数的定义式(1),所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用．对具体的函数套用Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例4 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y x yx e e e +≤+.例5 设0i x >(1,2,,)i n =,则1212111nn x x x n nx x x +++≤≤+++当且仅当所有i x 全相等时等号成立.证 所有i x 全相等时,等号显然成立.只须证i x 不全等时,有严格不等号成立即可. 取()ln f x x =-,则f 在(0,)+∞上严格凸,由例4知1121211ln (ln )ln()nn i n i x x x x x x x n n -=+++-<-=-∑即12ln nx x x n +++>因ln x 严格增,故有 12nxx x n +++>又i x 不全等⇒1i x 不全等,故11111ln (ln )lnn ni i i i xn n x ==-<-=-∑∑所以 11n i i nx =<∑例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A .解 考虑函数x x x f x x x f s i n . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤++=++∴πC B A f Cf B f A f .233sinC sinB sinA ≤++⇒.例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 ) ( 解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )作业 P153 3⑶,5,8⑴； P158—159 17,18,19.。
凹凸性概念与应用
凹凸性概念与应用凹凸性是几何学中的重要概念之一，它在数学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍凹凸性的定义、性质以及凹凸性在不同领域中的应用。
一、凹凸性的定义和性质凹凸性是描述一个函数或者一个集合的形状的属性。
在几何学中，我们把一个函数或集合称为凸函数或凸集当且仅当它满足以下定义：定义1：对于一个定义在实数上的函数f(x)，如果对任意的x1和x2，以及0 <= t <= 1，都有 f(tx1 + (1-t)x2) <= tf(x1) + (1-t)f(x2)，那么函数f(x)是凸函数。
定义2：对于一个定义在实数上的函数f(x)，如果对任意的x1和x2，以及0 <= t <= 1，都有 f(tx1 + (1-t)x2) >= tf(x1) + (1-t)f(x2)，那么函数f(x)是凹函数。
定义3：对于一个集合S，如果对于S中的任意两个点x1和x2，以及0 <= t <= 1，都有 tx1 + (1-t)x2 属于S，则集合S是凸集。
凹凸性具有以下性质：性质1：凸函数的两个性质:1）凸函数的图像上的每两点之间的线段总是在或者在函数的图像上方；2）对于一个定义在闭区间[a,b]上的凸函数，我们有 f((a+b)/2) <=(f(a) + f(b))/2，这就是凸函数的Jensen不等式。
性质2：凹函数的两个性质:1) 凹函数的图像上的每两点之间的线段总是在或者在函数的图像下方；2) 对于一个定义在闭区间[a,b]上的凹函数，我们有 f((a+b)/2) >= (f(a) + f(b))/2，这就是凹函数的Jensen不等式。
二、凹凸性在不同领域中的应用1. 数学分析中的应用凹凸性在数学分析领域中有广泛的应用。
在优化理论中，凸优化问题是一类非常重要的问题。
凸优化问题的目标函数和约束函数都是凸函数，因此凸优化问题具有良好的性质，有着高效的求解方法。
一元函数的凹凸性与拐点的判定与应用
一元函数的凹凸性与拐点的判定与应用一、函数凹凸性的定义与判断函数凹凸性是指函数在定义域上的曲线形状是否弯曲或凸起的特征。
在数学中，我们可以通过函数的二阶导数的正负性来判断函数的凹凸性。
1. 定义：设函数f(x)在某个开区间I上具有二阶导数，如果对于任意的x1、x2属于I，且x1 < x2，则有：a) 若f''(x) > 0，称函数f(x)在区间I上为凹函数；b) 若f''(x) < 0，称函数f(x)在区间I上为凸函数。
2. 凹凸性判断：根据函数的二阶导数的正负性，可以推导出以下凹凸性的判定条件：a) 若f''(x) > 0，则函数f(x)是凹函数；b) 若f''(x) < 0，则函数f(x)是凸函数；c) 若f''(x) = 0，则无法确定函数f(x)的凹凸性。
二、函数拐点的定义与判定拐点是指函数曲线在某一点上由凹转凸或由凸转凹的点。
我们可以通过函数的二阶导数的变化来判断函数的拐点位置。
1. 定义：设函数f(x)在某一点x0附近有定义，若存在一个足够小的正数δ，对于任意的x属于区间(x0-δ, x0)和(x0, x0+δ)，有：a) 当f''(x) > 0时，函数f(x)在x0处由凹转凸，称x0为函数f(x)的拐点；b) 当f''(x) < 0时，函数f(x)在x0处由凸转凹，称x0为函数f(x)的拐点；2. 拐点判定：根据函数的二阶导数的正负性变化，我们可以推导出以下的拐点判定条件：a) 若f''(x)的符号在x = x0左侧与右侧不同，则x = x0为函数f(x)的拐点；b) 若f''(x) = 0时，无法确定是否存在拐点；c) 若f''(x)的符号在x = x0左侧与右侧相同，则x = x0不是函数f(x)的拐点；三、凹凸性与拐点的应用函数的凹凸性和拐点在解决实际问题中有重要的应用，下面简单介绍两个典型的应用场景。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y x=所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。
通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。
图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。
设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）则称f为I 上的凸函数。
若()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f f f x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）则称f 为I 上的严格凸函数。
若（1）与（2）式中的不等式符号反向，则分别称f 为I 上的凹函数与严格凹函数。
显然，f 为I 上的（严格）凸函数f ⇔-是（严格）凸的。
因此，只要研究凸函数的性质与判别法，就不难得到凹函数的相应的判别法。
直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据： 若()[],,f x C a b ∈在(),a b 内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：1.[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立。
其几何意义是“现在曲线的上方”; 2.()()()()[]0,,,f x fa b f x x x x x *≥+-∀∈其几何意义是“切线在曲线的下方”； 3. ()[],a b f x *在上单调递增； 4.()0f x **≥定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如y =x ＝0的情形. 1.2 凸函数的特征引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- (3)()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.证 ⇒记3231x x x x λ-=-,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f的凸性知213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-3221133131()()x x x xf x f x x x x x --=+--(4) 从而有312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-即 322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-整理即得(3)式.⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-=-由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123,,x x x I ∀∈,123x x x <<,有31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.定理 设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数) 当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点. 应用引理得到．令,则,．显然,上述 L 与中的点无关, 故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 1.3、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有 21121()()()()f x f x f x x x '≥+-证 (i)(ii),并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数． (ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有相同结论． (iii)(i),并记,则有,由(iii)可得.注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f 在I 上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<）,x I ∈.f为严格凸⇔1）()0f x ''≥；2）()f x ''不在I上的任一子区间上恒为零.此定理说明：f为严格凸,则曲线中不含有直线段（()0f x ''=）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为f凸,则f-凹）.可导函数f有如下相互等价的论断： 1）f为I 上凹函数.2）123,,x x x I ∀∈,123x x x <<有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≥--.即割线斜率递减.3）()f x '为I上递减函数.4）0x I∀∈,有000()()()()f x f x f x x x '≤+-,x I ∈.当f 在I 上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价. 5）在I 上()0f x ''≤.对严格凹的情形可类似得出等价论断.二、拐点定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如y =x ＝0的情形.定理3（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=.综上知：(00,()x f x )的拐点,则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导.定理4 设f 在点0x 可导,在某邻域0()U x 内二阶可导,若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.例1 讨论函数()arctan f x x =的凸性与拐点.解222()(1)x f x x ''=-+,因而当0x ≤时,()0f x ''≥；当0x ≥时,()0f x ''≤,从而函数f 为(,0]-∞上的凸函数,在[0,)+∞上为凹函数.而()f x 在原点连续,故原点为曲线()y f x =的拐点例2 若f在(,)a b 内可导、凸（凹）函数,则0(,)x a b ∈为f的极小（大）值点⇔0()0f x '=.即x 为f的稳定点.证 ⇒）费马定理.⇐）因f凸,故(,)x a b ∀∈有000()()()()f x f x f x x x '≥+-.因0()0f x '=,故(,)x a b ∀∈总有0()()f x f x ≥.即0x 为f的极小值点.例3 设f在开区间I 上为凸（凹）函数,证明f在开区间I 内任一点x 都存在左、右导数.证 只证凸函数f在x 存在右导数,其它情形同理可证.令120h h <<,记101x x h =+,202x x h =+,则012x x x <<（取2||h 充分小使02x h I+∈）,由(3)'式得：01002012()()()()f x h f x f x h f x h h +-+-≤记00()()()f x h f x F h h +-=(0)h > 则有21()()F h F h ≤即()F h 为单调递增函数.取4x I∈且40x x ≤,则040004()()()()f x f x f x h f x x x h -+-≤-,从而()F h 递增有下界,从而0lim ()h F h +→存在,即0()f x +'存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为∞.由第五章§1习题10知（若f在x 的左、右导数都存在,则f在x 连续）,若f在为开区间(,)a b 内的凸（凹）函数,则f为(,)a b 内的连续函数.（但不一定可导,如()||f x x =）三．凸凹性的应用了解函数凸凹性的判别依据后，我们更在乎在应用领域，它所发挥的重要而广泛的价值。