第2讲 最小二乘配置

推（预报）
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 3、估值公式
L BY
S Y S S
SS S
L BY BT
方法1：参数平差法 方法1：条件平差法
方法1：参数平差法
ˆL V BY
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 1.估计系统误差
2.确定未测点的重力异常
3.确定局部大地水准面(类似于重力异常) 4.GPS水准
问题：确定大地高和正常高的差值，即高程异常。
通常采用拟和法，如平面拟和，二次曲面拟和，三次 样条拟和，得到一个趋势面，没有顾及高程异常的随 机特性
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 5.地壳形变应用（Crustal Deformation）
一般采用高斯型函数，即在一定距离上相关，超出一定 距离不相关
f (s) exp(K 2 S 2 )
最新的研究成果K取0.0016
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
一、概述 1、问题的提出
如 何 求 解 、 的 估 值
函数模型
L AX BY
X—系统性参数（非随机参数） Y—随机参数
随机模型
X Y
E() 0, E( )
T
E(Y ) 0
Y E(YY T )
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
一、概述
ˆ (BT P B P ) 1 BT P L Y Y
解
方法2：条件平差法
ˆ L V 0 BY
极值函数：
S Y S S
SS S
L BY BT
ˆT P Y ˆ 2K T (BY ˆ L V ) V T PV Y Y
a0 X a 1 a2
—系统参数，倾向参数
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
三、最小二乘配置 实际问题（重力测量）
地面点的重力异常既包含随机部分，也包含系统部分
（2）随机部分可看作S，如果有n个重力异常观测值L，于是
g L AX S
函数模型
L AX BY
B I 0
设
S Y S
S Y S S
SS S
S—已测点信号（显信号），能直接与观测值建立函数模型的信号 S’—未测点信号（隐信号），不能直接与观测值建立函数模型的信号
已知
L, , Y ，求
k2 h )
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 5.地壳形变应用（Crustal Deformation）
（1）利用已测点的形变信号，推求我们关心的未测点信号
L AX BY
X—系统参数（对应地球物理模型参数，反映长期变化， 是趋势或倾向，可以验证模型参数） Y—信号，包括已测点和未测点，代表现时的变化
1 T 1 1 1 V ( B B ) L Y L L
方法3：可由全部参数加权平差直接写出滤波推估解
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 4、滤波和推估分解式
原始解：
ˆ BT ( B BT )1 L BT 1L Y Y Y Y L
ˆ S ˆ Y ˆ S
B I
0
S Y S S
SS S
分解：
ˆ S S ˆ S S S
1 SS I 1 S L L L L 1 S 0 S S L L
d 2V T P 2 K T 0 V P1 K dV
d ˆ T P 2 K T B 0 Y ˆ P 1 B T K 2Y Y Y dY
函数模型代入，解
ˆ P 1 B T ( P 1 BP 1 B T ) 1 L Y Y Y 1 1 1 T 1 V P ( P BP Y B ) L
2K T A 0 ˆ X
解得
ˆ ( AT P A) 1 AT P L X L L
ˆ P 1 BT P ( L AX ˆ) Y Y L
分解得
ˆ 1 ( L AX ˆ) S S L
ˆ 1 (L AX ˆ) S SS L
ˆ) V P1 PL (L AX
随机模型
E() 0, E(T )
E(Y ) 0
Y E(YY T )
L BY BT
三、最小二乘配置 2.估值公式
极值函数
ˆ BY ˆL V AX
ˆT P Y ˆ V T PV Y Y
解法1：参数平差法
ˆ T P 0 BT P V P Y ˆ 0 2V T P B 2Y Y Y ˆ Y
（1）系统部分可看作（x，y）的函数
Ti a0 a1 ( xi x0 ) a2 ( yi y0 ) AX
1 x1 x0 1 x x 2 0 A 1 xn x0 y1 y0 y 2 y0 y n y0
误差方程式回代
T T ˆ AT P A A P B A P L X T ˆ T 0 T B P A B P B PY Y B P L
2V T P A 0 AT PV 0 ˆ X
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 4.GPS水准
既考虑其系统性。又顾及高程异常的随机特性，采 用最小二乘配置方法
L AX BY
X—系统参数，Y—信号，包括已测点和未测点 顾及点间高差对高程异常的影响，协方差函数为
f (d , h) b0 (e
k1d 2
关于滤波：
本来含义：从接受的电磁波信号中，排除各种干扰 测量平差：利用含有误差（噪声）的观测值，求定 参数最佳估值
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 2、一般概念
与经典LS区别：
经典LS：参数看作非随机量，或不考虑其随机性质，按 照经典或相关最小二乘原理求最佳估值 滤 波：把全部参数作为正态随机变量，按照极大验后 估计、最小方差估计、广义最小二乘原理，求 定参数最佳估值，滤波顾及了参数的先验统计 性质，精度较经典LS估计更高
X , S , S ，为最小二乘配置
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
一、概述 2、分析
函数模型
L AX BY
，经典参数平差模型
如果B＝0， L AX
如果A＝0， L BY
，滤波与推估模型
如果A！＝0，B！＝0，最小二乘配置模型
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 1、数学模型
B I 0
L BY
E() 0, E(T )
S Y S S
观测值的权
SS S
L BY BT
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 2、一般概念
极值函数：
S Y S S
SS S
L BY BT
ˆT P Y ˆ V T PV Y Y
d ˆT P 0 2V T P B 2Y Y dY
函数模型代入
ˆ 0 BT PV P Y Y
ˆ P )Y ˆ BT P L 0 (BT P BY Y
设未测点的随机部分（信号）S’，根据经验协方差函数，可求得 未测点的信号S’，以及重力异常
L AX BY
g p AP X S
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
三、最小二乘配置 1.数学模型
函数模型
L AX BY
B I 0
S Y S
方法2：条件平差法 解
ˆ P 1 B T ( P 1 BP 1 B T ) 1 L Y Y Y 1 1 1 T 1 V P ( P BP Y B ) L
Baidu Nhomakorabea
P P
解的形式为
1 Y 1
Y
ˆ BT ( B BT )1 L BT 1L Y Y Y Y L
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 2、一般概念
配置中参数类型：
L AX BY
第一类：非随机或者先验性质未知的，或已知而不考虑 其随机性质的，称为参数（倾向参数） 第二类：已知其先验统计性质，且求其估值时需要顾及 的，称之为信号。信号又分为滤波信号和推估 信号。推估又可分为两种：内插（平滑）和外
三、最小二乘配置 2.估值公式
极值函数
ˆ BY ˆL V AX
ˆT P Y ˆ 2K T ( AX ˆ BY ˆ L V ) V T PV Y Y
解法2：条件平差法
1 2V T P 2 K T 0 V P K V
ˆ T P 2K T B 0 Y ˆ P 1 BT K 2Y Y Y ˆ Y
四、应用 6.GPS基线网平差模型
不考虑速度参数，GPS基线向量平差模型
vij dXi dX j Lij
一般形式
V AX L
设其中有n1个基准点，它们可能是IGS跟踪站，也可能是网络工程 连续跟踪站，这些点由于常年连续观测其相对准确的地心坐标、速 度场以及相应的坐标精度和速度场精度先验信息是已知的。因此可 将n1个基准点坐标作为随机参数处理，剩余的n2个待估参数作为非 随机参数，按最小二乘配置原理进行参数估计。
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
1、Introduction（the question）
2、Filtering and Prediction
3、Least Squares Collocation
4、Some Applications
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
ˆL S
ˆ 1S ˆ S SS S
0
其解为
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 4.精度估计（自学）
5.重力异常推估
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
三、最小二乘配置 实际问题（重力测量）
地面点的重力异常既包含随机部分，也包含系统部分
ˆ 1 L 滤波解— S S L
推估解—
ˆ 1 L S SS L
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 特例：纯内插或推估模型
在模型
m1
L
m( m g ) ( m g )1
B
Y
m1
视观测值无误差：
L BY S
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 5.地壳形变应用（Crustal Deformation）
（2）如果把形变整体看成是随机量，即是滤波推估模型
L Y
ˆ 1L S S L
ˆ 1L S SS L
协方差函数确定：严密的应变分布协方差函数无法确定，解决的办法是确 定经验协方差函数。给出已算点的协方差分布图形，然 后选择适当的函数式，用最小二乘拟和