基于稀疏矩阵的逆和行列式的计算

基于稀疏矩阵的逆和行列式的计算

摘要：稀疏矩阵在现实中有很多应用，因此稀疏矩阵的计算近年来被广泛地研究.周期三对角矩阵和箭状矩阵作为两种常见的稀疏矩阵被广泛地应用在工程计算中。本文基于周期三对角矩阵和箭状矩阵的结构特点，根据矩阵分解的一些方法，着重讨论了一些周期三对角矩阵和箭状矩阵的求逆与行列式运算问题，并给出了相应的算法。本文首先根据周期三对角矩阵的特点研究了周期三对角矩阵的求逆算法，文中分别应用矩阵的递归方法、矩阵的分块技术来研究周期三对角矩阵的逆矩阵运算问题，并给出了相应于以上方法或技术的求逆新算法，同时也考虑一种求周期三对角矩阵的行列式算法，并通过一些数值例子验证了所给算法的可行性以及有效性。其次根据箭状矩阵的结构特点，利用矩阵的分块技术，给出了一个求解箭状矩阵的逆矩阵及行列式的算法，同时列举一个数值例子并给出了matlab程序，说明算法是有效可行的。

关键词：稀疏矩阵；周期三对角矩阵；箭状矩阵；逆矩阵

Based on sparse matrix inverse and determinant calculation

Abstract: Sparse matrix computation has attracted extensive researches in recent years because it can have a lot of applications in reality .It is acknowledged that periodic tri-diagonal matrix and arrow matrix in sparse matrix have been widely applied in engineering calculation .Based on the structures of periodic tri-diagonal matrix and arrow matrix ,this paper focuses on the arithmetic of the inverse and determinant of periodic tri-diagonal matrix and arrow matrix ,and presents some new computational algorithms by using some methods of matrix decomposition . Firstly, it discusses the inverse of periodic tri-diagonal matrix on matrix structure of periodic tri-diagonal matrix. And some new computational algorithms are created by matrix recursion, blocking matrix technique of the inverse of periodic tri-diagonal matrix on its structure ,and then the feasibility and the effectiveness of these computational algorithms are verified by numerical examples in consideration of a simple algorithm of the determinant of periodic tri-diagonal matrix.Secondly, on the basis of the structure of arrow matrix ,an algorithm of the inverse and determinant of arrow matrix is presented by using the matrix blocking .At the same time ,the effectiveness and the feasibility are tested by numerical examples and the matlab algorithm .

Key words: sparse matrix ;periodic tri-diagonal matrix ;arrow matrix ;inverse matrix

引言

在科学与工程计算中，经常会遇到稀疏矩阵的计算问题，例如关于三对角矩阵、周期三对角矩阵和箭状矩阵的行列式计算、确定逆矩阵、线性方程组求解问题。它们在矩阵分析理论、样条插值函数确定、微分方程的差分法求解等方面都有非常广泛地应用前景。稀疏矩阵计算一直是矩阵计算中的关注点之一，近年来许多学者加强了这方面的研究，也提出了许多新的有效的计算方法，这些成果丰富了矩阵计算的理论和应用。

对于一般的矩阵计算，主要是进行矩阵的行列式计算、矩阵的求逆运算、矩阵的特征值和特征向量计算以及求解相应的线性方程组。对一般矩阵来说，运算复杂度通常是)(3n o .而对于稀疏矩阵，它的结构比较特殊，我们可以根据稀疏矩阵特殊结构特点，采用不同的计算方法，对稀疏矩阵进行计算，从而可以减少运算的复杂度。例如，在本文中，主要解决两个问题，第一个是利用矩阵分块和递推技术求周期三对角矩阵的逆和行列式；第二个是利用分块技术计算箭状矩阵的逆和行列式。由于在许多科学与工程计算中，经常会出现对大型稀疏矩阵进行计算，所以我们有必要对稀疏矩阵的计算进行研究。

对于稀疏矩阵的的计算，目前很多学者根据一些稀疏矩阵的特殊结构，本文主要解决两类稀疏矩阵分别是周期三对角矩阵和箭状矩阵，用不同的方法对稀疏矩阵的逆矩阵计算做了很多研究，得到了很多成果。例如2009年M.Elouafi 和A.D.Aiat Hadj 利用矩阵分块技巧和递归一种求Hessenberg 矩阵逆矩阵的新递归算法

[1]

；2008年，X.G.Lv 等利用升阶手段和

分块技术得到一种计算五对角矩阵行列式和逆的方法[2]

；沈光星、戴华、张振跃等分别给出了对称三对角矩阵、Jacobi 矩阵关于特征值的一些算法

[3]～[7]

。

本文主要研究了周期三对角矩阵和箭状矩阵的逆矩阵和行列式的求解方法，文中首先介绍了矩阵分解的一些方法和技术，如矩阵分块、递归、降阶等技术，然后根据周期三对角矩阵的特殊结构，利用上述分解方法分别对周期三对角矩阵的逆矩阵和行列式进行了探讨，最后分别给出了一些求解算法和数值算例。

其次，文中利用矩阵的分块技术，根据箭状矩阵的特殊结构，给出了一个求解非奇异逆箭状矩阵的逆和行列式的算法，并给出了一个算例以验证算法有效可行，从而丰富了求解箭状矩阵的逆矩阵和行列式的计算方法。

1 利用矩阵分块和递归技术求周期三对角矩阵的逆和行列式

1.1 预备知识

对周期三对角矩阵进行如下分块：