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电路分析ppt第四章
(b)开路、短路法(即适用于纯电阻电路、也适用于含受控源电路)
原理：
U oc I sc
R0
(c)伏安法(外加电源法)(适用于纯电阻电路及含受控源电路) 原理：
端口也可外 接电流源
R0
Us I
令内部独立源为零 (Uoc=0)
注意：区别 (b)，(c) 中电流、电压的方向及内部电源的处理。 (b)开路、短路法：内部独立源不置零 (c)伏安法：内部独立源置零 这两种方法多用于 含受控源电路，纯 电阻电路一般不用
6 I1 +3I=9
I=-6I/3=-2I Isc=I1=9/6=1.5A I=0
Req = Uoc / Isc =9/1.5=6
(3) 等效电路
a
+ Req + Uoc – b 3 U0 -
Uoc=9V Req = 6
U0
3 6 3
9 3V
综合应用题
图示线性电路，已知RX＝0时, IX＝8A, U=12V; 当RX ＝时，U X ＝36V, U=6V 。
则： U=3+(-1)=2(V)
讨
论
(1)叠加定理成立条件是线性电路。 (2)受控源不单独作用，独立源单独作用的含义是令 其他独立源为零，电阻和受控源不动。 独立源为零的含义是：电压源短路，即在该电 压源处用短路替代；电流源开路，即在该电流处用 开路替代。 (3)计算代数和时,注意各分量前的“+‖，“-‖号。 (4)功率不服从叠加定理。 (5)电源单独作用时，可以“单干”，也可以按组。
1 150
1500()
得
I sc
R0
( A)
U oc I sc
例
求U0 。 6 – 6I + a
电路分析基础4电路的基本定理课件.pptx
将3Ω支路用0.5A的电流源替代
U1
2
0.5 2
0.5V
例2 求如图所示电路中的电流I。
2U 4Ω 2Ω
I
+
+
5Ω 4Ω 8V 6Ω U
-
-
4Ω 2Ω
12A
I
+ 4Ω 8V
-
+ 6Ω U
-
解： U 6 8 6V 26
将受控源支路用电流源替代
4Ω 2Ω
（1）电流源单独作用 4Ω 2Ω
12A
I
+ 4Ω 8V
方法1：电阻化简法： 如果含源单口网络中不含有受控源，则 将内部独立源全部置零后，根据串并联化简或Y-Δ等效变换求 得Ro。
R1 IS +
R2
-
US
R3
R4
由独立电源与电 阻构成的有源单口 网络
R1
R2
R3
R4
独立电源零处 理后的无源网络
Ro Ro=R1//R2+R3//R4
？
思考：
①对于含受控源的电路，求等效电阻时，有源二端网络内部 独立源置零，受控源是否也要置零？ 答案：受控源不能置零！！ ②对于含受控源的有源二端网络，如何求其等效内阻？
uab
6
6
3
1U2s
8V
(3)根据叠加定理， uab uab' uab'' 0 求得US=-15V
例4 电路如图所示，已知R5=2
R1= R2= R3=1 ， R4= R6= 1 ，Is1=1A， R1
US1= US2= 2V，求电流 Us1
I.
R2
IS1
R6
R3
第四章电路基本定PPT课件
路,如图（b）（c），受控源均保留在电路中。
• 图（b）I1ˊ=I2ˊ=12/(8+4)=1A
•
Usˊ=-5I1ˊ+4I2ˊ=-5+4=-1v
• 图（c）I1〞= -
4 8+4
× 3 =-1A
•
Us〞=-5I1〞-8I1〞=5+8=13v
• 所以
Us=Usˊ+Us〞=-1+13=12v
.
6
• 替代定理：
• 在电路中，若某支路的电压和电流分别为 Uk和Ik，则不论该支路由什么元件组成， 只要此支路与其它支路无耦合关系，该支 路就可以用一个电压为Us=Uk的独立电压源 或电流为Is=Ik的独立电流源来替代。替代 前后电路中其它部分的工作状态保持不变。
• 替代定理又称置换定理。
.
7
• 例 如图（ a）所示，试分析替代前后电压电流的变化情况。
• 任何一个与外电路无耦合关系的线性有源二端网 络，对外电路来说都可以用一个电压源和一个电 阻的串联支路来替代。
• 其中，电压源的电压等于有缘二端网络的开路电 压，串联电阻等于网络中所有独立电源为零值时 （无源二端网络）的等效电阻。
• 该电压源和电组串联支路称为戴维南等效电路 。
• 应用替代定理、叠加定理可证明戴维南定理。
• 分析：图（a）有
• 节点分析法可得：
UA=
8 1
+
4 2
11
22
I1=
8-5 1
=3A
I1 A I2
1Ω 2Ω
I3 3A
2Ω
A I2 I3
2Ω 2Ω
I2=
5-4 2
=0.5A
I3=
电路课件(邱关源)04第四章电路定理
( 3)
i3 = i3 + i3 + i3
(1) ( 2)
( 3)
上述以一个具体例子来说明叠加的概念， 上述以一个具体例子来说明叠加的概念，这个方 法也可推广到多个电源的电路中去。 法也可推广到多个电源的电路中去。
叠加定理: 叠加定理
在线性电路中， 任一电流(或电压 或电压)都是电路中各个独立 在线性电路中 ， 任一电流 或电压 都是电路中各个独立 电源单独作用时，在该处产生的电流(或电压 的叠加（ 或电压)的叠加 电源单独作用时 ， 在该处产生的电流 或电压 的叠加 （ 代数 和）。 使用叠加定理应注意以下几点： 使用叠加定理应注意以下几点： （1）叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路。 ）叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路。 （2）在叠加定理中，不作用的电压源置零，在电压源处 ）在叠加定理中，不作用的电压源置零， 用短路代替； 不作用的电流源置零， 用短路代替 ； 不作用的电流源置零 ， 在电流源处用开路 代替。 电路中所有电阻都不予更动，受控源则保留在各 代替。 电路中所有电阻都不予更动 ， 分电路中。 分电路中。
i2 = im1 − im2
= i2 + i2 + i2
(1) ( 2)
R21 + R22 R11 + R12 + R21 + R22 R11 + R12 us1 − us2 + us3 = ∆ ∆ ∆
( 3)
i3 = im2
(1)
R11 + R21 − R21 − R11 us1 + us2 + us3 = ∆ ∆ ∆
( 2)
4 4Ω U I1 = − × 4 = −1.6 A 4+6 6 ( 2) I2 = × 4 = 2.4 A 4+6 ( 2) ( 2) ( 2) U 3 = −10 I 1 + 4 I 2 = −10 × ( −1.6 ) + 4 × 2.4 = 25.6V
精品课件-电路定理PPT课件
扩音机为例
Ri
R=8Ω
信号源的内阻Ri为 1kΩ,扬声器上不可能得到最大功率。为了使阻抗匹配,在信号源和扬声器之间连上一个变压器。
变压器
变压器还有变换负载阻抗的作用,以实现匹配,采用不同的变比,把负载变成所需要的、比较合适的数值。
含源一端口外接可调电阻R,当R等于多少时,它可以从电路 中获得最大功率？求此最大功率。
3、叠加时要注意电流和电压的参考方向与电源分别作用时的方向关系(代数和);4、不能用叠加定理来计算功率,因为功率不是电流或电压的一次函数。以电阻为例:
=
+
图a
图b
图c
例
在图b中
在图c中
图b
图c
所以
=
+
受控电压源
求u3
例:
在图b中
在图c中
所以
(b)
(c)
=
+
上例中,增加一个电压源,求u3
在图b中
替代定理既适用于线性电路也适用于非线性电路.
另外,支路K也可用一个电阻来代替,替代电阻为Rs:
+
+
=8V
例:
工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
精品课件-电路定理
4.1 叠加定理
一、内容 在线性电阻电路中,任一支路电流(或支路电压)都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流(或电压)之叠加。
二、说明 1、叠加定理适用于线性电路,不适用于非线性电路; 2、叠加时,电路的联接以及电路所有电阻和受控源都不予更动;
Ri
R=8Ω
信号源的内阻Ri为 1kΩ,扬声器上不可能得到最大功率。为了使阻抗匹配,在信号源和扬声器之间连上一个变压器。
变压器
变压器还有变换负载阻抗的作用,以实现匹配,采用不同的变比,把负载变成所需要的、比较合适的数值。
含源一端口外接可调电阻R,当R等于多少时,它可以从电路 中获得最大功率？求此最大功率。
3、叠加时要注意电流和电压的参考方向与电源分别作用时的方向关系(代数和);4、不能用叠加定理来计算功率,因为功率不是电流或电压的一次函数。以电阻为例:
=
+
图a
图b
图c
例
在图b中
在图c中
图b
图c
所以
=
+
受控电压源
求u3
例:
在图b中
在图c中
所以
(b)
(c)
=
+
上例中,增加一个电压源,求u3
在图b中
替代定理既适用于线性电路也适用于非线性电路.
另外,支路K也可用一个电阻来代替,替代电阻为Rs:
+
+
=8V
例:
工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
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4.1 叠加定理
一、内容 在线性电阻电路中,任一支路电流(或支路电压)都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流(或电压)之叠加。
二、说明 1、叠加定理适用于线性电路,不适用于非线性电路; 2、叠加时,电路的联接以及电路所有电阻和受控源都不予更动;
第四章电路定理 55页PPT文档
§4.1叠加定理 在线性电路中有多个独立电源，在某支路中 产生的电流（或电压）可看作每个独立电 源单独作用在该支路产生的电流（或电压） 的代数和。这就是叠加定理。
电路如图：
证明：在图（a）中有：
(IRb1IRS2)IaR2Ib US
+
US I2 + IS
R1
IRa 2
U2 I-b
由此可得：
从而有U ：S U rI ( RR 21 I R 2 R)1IR R22r UIS3VR1
US R2
r
电流源IS单独作用时（此时US=0）由图（c）可得：
(R 1 R 2)I R 2IS rI 由此可解得;
I
R1
R2 R2
r
IS
所以有：U R 2(IIS)R R 1 1R 2R 2R 2r rIS9V
图（a）与图（c）比较：
（Un2=U）
由图（a）可得节点①方程：(R 11R 12R 13)U n1R 13U n2U R S 22
1R3 2
R3
3 R3 4
由图（c）可 得节点③方程：
R1
R2 Ia +
-
I + IbRUR1 -
IR c+2 US2
-
Id
I
R1
R+2 US2
-
+ U -
(a)
解：各支路电流
i1 R1 i3 R3
R5
如图所标注：
假设：i5 i5 1A,
2Ω
+ 120V
-
uS20Ω
iR2 2220ΩΩ
Ri4242Ω0Ω
i5 R6
则 uBC (R 5R 6)i5 2V 2
电路如图：
证明：在图（a）中有：
(IRb1IRS2)IaR2Ib US
+
US I2 + IS
R1
IRa 2
U2 I-b
由此可得：
从而有U ：S U rI ( RR 21 I R 2 R)1IR R22r UIS3VR1
US R2
r
电流源IS单独作用时（此时US=0）由图（c）可得：
(R 1 R 2)I R 2IS rI 由此可解得;
I
R1
R2 R2
r
IS
所以有：U R 2(IIS)R R 1 1R 2R 2R 2r rIS9V
图（a）与图（c）比较：
（Un2=U）
由图（a）可得节点①方程：(R 11R 12R 13)U n1R 13U n2U R S 22
1R3 2
R3
3 R3 4
由图（c）可 得节点③方程：
R1
R2 Ia +
-
I + IbRUR1 -
IR c+2 US2
-
Id
I
R1
R+2 US2
-
+ U -
(a)
解：各支路电流
i1 R1 i3 R3
R5
如图所标注：
假设：i5 i5 1A,
2Ω
+ 120V
-
uS20Ω
iR2 2220ΩΩ
Ri4242Ω0Ω
i5 R6
则 uBC (R 5R 6)i5 2V 2
电路第4章ppt课件
应用叠加定理时注意以下几点： 应用叠加定理时注意以下几点： 1、叠加定理只适用于线性电路求电压和电流 、叠加定理只适用于线性电路求电压和 适用于线性电路求电压 不能用叠加定理求功率。 不能用叠加定理求功率。
线性电路中，电压、电流是独立源的线性函数， 线性电路中，电压、电流是独立源的线性函数，而功率是独 立源的二次函数
N2
1
若已知端口电压： 若已知端口电压：
1
i
N1
+
u =α
N2
u
1/ 1
+ us= α
-
N1
i + u
1/
i =β
若已知端口电流
N1
i
+
u
1/
is= β
N2
可作类似的替代。 注：（1）对N1可作类似的替代。 （ 2 ）注意电压源 us 的方向与被替代网络端口电压 u 的方向相同； 的方向相同；电流源 is与被替代网络端口电流 i 的方向相 同。
定理: 由两个单口网络N 联接组成的电路， 定理 : 由两个单口网络 1和 N2联接组成的电路， 若已知端口电压值为α、 电流值为β， 若已知端口电压值为 、 电流值为 ， 则可以用一 或用一个电流值为β 个电压值为α的电压源或用一个电流值为 个电压值为α的电压源或用一个电流值为β的电流 来代替单口网络N 源 来代替单口网络 1 或 N2 ， 替代后电路中所有电 压和电流将保持原有（替代前）的值不变。 压和电流将保持原有（替代前）的值不变。
∆ l1 ∆11 ∆ 21 il 1 = uS 11 + uS 22 + L + uSll ∆ ∆ ∆
再将u 代入，便有： 再将us1、us2、…、usb代入，便有：
电路课件-第四章电路定理11 86页PPT文档
零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端 口网络的输入电阻。常用下列方法计算：
返回 上页 下页
①无源一端口的输入电阻的方法；
②开路电压，短路电流法。
R eq
u oc isc
Req +
Uoc -
i
a +
u
-b
返回 上页 下页
注意
外电路可以是任意的线性或非线性电路。
例1 计算Rx分别为1.2、
10V －
1 ＋
＋ ＋ u（1） 2i(1) － －
2 i (2)
1 ＋ 5A
＋ u(2)
2i (2) －
－
10V电源作用： i(1)(1 0 2i(1))/2 (1 ) i(1) 2A
u ( 1 ) 1 i( 1 ) 2 i( 1 ) 3 i( 1 ) 6 V
5A电源作用： 2 i(2 ) 1 (5 i(2 )) 2 i(2 ) 0 i(2) 1A u (2 ) 2 i(2 ) 2 ( 1 )2 V
––
–– 66II++ Io
II
+ ++ 3UU0UC 0
– ––
Uoc=9V
②求等效电阻Req
独立源置零
U=6I+3I=9I
U =9 (2/3)I0=6Io
I=Io6/(6+3)=(2/3)Io Req = U /Io=6
返回 上页 下页
方法2：开路电压、短路电流 6
6I –+
(Uoc=9V) 6 I1 +3I=9 6I+3I=0
I2R1 ER2 R1R 1R2ISI2' I2"
返回 上页 下页
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①无源一端口的输入电阻的方法；
②开路电压，短路电流法。
R eq
u oc isc
Req +
Uoc -
i
a +
u
-b
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注意
外电路可以是任意的线性或非线性电路。
例1 计算Rx分别为1.2、
10V －
1 ＋
＋ ＋ u（1） 2i(1) － －
2 i (2)
1 ＋ 5A
＋ u(2)
2i (2) －
－
10V电源作用： i(1)(1 0 2i(1))/2 (1 ) i(1) 2A
u ( 1 ) 1 i( 1 ) 2 i( 1 ) 3 i( 1 ) 6 V
5A电源作用： 2 i(2 ) 1 (5 i(2 )) 2 i(2 ) 0 i(2) 1A u (2 ) 2 i(2 ) 2 ( 1 )2 V
––
–– 66II++ Io
II
+ ++ 3UU0UC 0
– ––
Uoc=9V
②求等效电阻Req
独立源置零
U=6I+3I=9I
U =9 (2/3)I0=6Io
I=Io6/(6+3)=(2/3)Io Req = U /Io=6
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方法2：开路电压、短路电流 6
6I –+
(Uoc=9V) 6 I1 +3I=9 6I+3I=0
I2R1 ER2 R1R 1R2ISI2' I2"
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《电路定理》课件
通过将有源二端网络中的独立 电源置零，计算出等效电阻。
计算短路电流，即独立电源置 零后，在二端点处加一无穷小 电阻，计算流过该无穷小电阻 的电流。
根据诺顿定理的表述，将等效 电阻和短路电流并联起来，得 到等效电路模型。
戴维南定理与诺顿定理的应用实例
STEP 03
STEP 02
解决实际工程中的电路问 题，如设计电源电路、分 析电子设备的性能等。
《电路定理》PPT课 件
• 电路定理概述 • 基尔霍夫定律 • 欧姆定律 • 叠加定理 • 戴维南定理与诺顿定理
目录
Part
01
电路定理概述
定义与性质
基础概念
电路定理是研究电路网络的基本规律，它描述了电路中电流、电压和功率之间的关 系。
电路定理具有封闭性、线性、时不变和因果性等性质。
电路定理的重要性
核心地位 电路定理是电路分析的核心，是理解和设计电路的基础。
通过电路定理，可以推导出各种电路方程，解决实际工程问题。
电路定理的应用场景
广泛应用 在电力传输、通信、控制等领域，电路定理都有广泛的应用。
通过应用电路定理，可以提高电路的性能，降低能耗，优化设计。
Part
02
基尔霍夫定律
基尔霍夫电流定律
根据戴维南定理的表述， 将等效电阻和开路电压串 联起来，得到等效电路模 型。
诺顿定理的表述
诺顿定理：任何一个线性有源二 端网络，对其外部电路而言，都 可以等效为一个电流源和电阻并
联的电路模型。
电流源的电流等于有源二端网络 的短路电流。
电阻等于有源二端网络中所有独 立电源置零后的等效电阻。
诺顿定理的证明
详细描述
基尔霍夫电压定律是电路分析中的基本定律之一，它适用于任何电路元件和闭 合路径。通过设定参考方向，可以方便地应用基尔霍夫电压定律进行电路分析 。
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U
K = Us / U
UL= K IL RL
四、可加性 (additivity property)
us1
R
r1
例7
us2
R
r2
us1
r1+ r2
us2 R
k1 us1 R k1 r1 例8
k2 us2 R k2 r2
例9
us1 us2
R
r
线性
k1 us1
k1 r1+ k2 r2
k2 us2 R
k us1 k us2 R
一端口网络，对外电路来说，可以用一个独立电压源Uoc 和电阻Req的串联组合来等效替代；其中电压Uoc等于端 口开路电压，电阻Req等于端口中所有独立电源置零后端 口的等效电阻（输入电阻）。
例1 解：
求：I及9Ω电 阻上的功率？
+
I 3 0.2(A) 96
I 6 20.8(A) 69
P 9 0.2290.3(W 6) P 9 0.8295.7(W 6)
III1(A )
P9I2R9(W)
6
例2
求图中电压u。
+ 10V
解: (1) 10V电压源单独作用，
4A电流源开路 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
I1
10 64
1A
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1' = -101+41= -6V
I14 4641.6A U1446649.6V
Us"= -10I1"+U1”
= -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
把 usi 系数合并为Gji
us1 usb
b
G uji si i 1
第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流
ij1 ij2 iji ijb
支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。
同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压等于各 电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压的代数和。
kr
线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数， 则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。
4-2 替代定理 (Substitution Theorem)
任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（电流
为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于
ik的 独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电
三、齐性原理（homogeneity property) 当电路中只有一个激励（独立源）时，则响应(电压或电流)
与激励成正比。
us
R
r
kus R kr
例6
R1
+ Us
+ U
R2
–-
R3 R4
R5 IL
+ RL UL
–
解
法一：分压、分流。
法二：电源变换。
法三：用齐性原理（单位电流法）
设 IL =1A
流均保持不变。
ik
A+ uk
支 路
–k
A
+
– uk
A
ik
证明: A
A ik
+支
uk
路 k
A
–
B A
A ik
+
+
uk
uk
–
–
B
A ik
支+
路 uk k–
–uk
+
B
–
C uk +
AC等电位
说明 1、替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。 2、替代定理的应用必须满足得条件: 1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。
二、应用叠加定理时注意以下几点 1、叠加定理只适用于线性电路求电压和电流； 不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。 不适用于非线性电路。 2、应用时电路的结构参数必须前后一致。 3、不作用的电压源短路；不作用的电流源开路。 4、含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。 5、叠加时注意参考方向下求代数和。
2.5A
1A
2.5A
10V
2 5V
5 10V
2 5V
1.5A
?
A
1A
++ 1V _1V 1A
B
满足
A
A
+
1A +
1V 1
?
B
不满足
B
? 5V
1A
2) 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。
4-3 戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem)
一、戴维宁定理
任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的
+ 10V
–
+
4 u' –
(2) 4A电流源单独作用，
10V电压源短路 6
+
4 u''
4A
–
u'=4V
u"= -42.4= -9.6V
共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
例3 求电压Us 。
I1 6
+ 10 I1 –
+ 10V
–
+
4
Us 4A
–
解: (1) 10V电压源单独作用：
例4
当 Us=1 (V), Is=1 (A)时，U2=0 (V) Us=10 (V), Is=0 (A)时，U2=1 (V)
求：当Us=0 (V), Is=10 (A)时，U2=？
解： U 2K 1 U s K 2Is
代入已知条件得
K1 K 10 K1
2 1
0
U20.1Us0.1Is
0.100.110 1(V)
I1' 6
+ 10 I1'–
+
10V –
+
+
4 U1' Us'
–
–
(2) 4A电流源单独作用：
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
Us'= -10 I1'+U1'
Us"= -10I1"+U1”
I1' 6
+ 10 I1'–
+ 10V
–
+
+
4 U1' Us'
–
–
I1'' 6
第四章节-电路定理
4-1 叠加定理 (Superposition Theorem)
一、叠加定理 在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中
各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电 压)的代数和。
单独作用：一个电源作用，其余电源不作用
不作用的
电压源（us=0) 短路 电流源 (is=0) 开路
K1 K2
0.1 0.1
例5 K处于1时，I31= - 4 (A) K处于2时，I32= 2 (A) 求：K处于3时，I33= ?
解： I3K1UsK2Us
I31K I3 1U 2 s KK 1U2s(120 )4
I320.6Us I33 20.655 (A )
K 1U s K2
2 0.6
举例证明定理 i1
+R1ia
R2 + ib
R3 +
–us1 –us2 –us3
i11
i12
+R1ia1
R2 ib1
R3
–us1
R1ia2
R2 + ib2
R3
–us2
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i13
R1ia3
R2 R3 ib3 + –us3
Δ Δ 1 ju s1 1 Δ Δ 2 ju s2 2 Δ Δ jju sj j Δ Δ lju sll