对数的换底公式、对数函数
对数函数公式大全
对数函数公式大全对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将为大家详细介绍对数函数的相关公式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握对数函数的知识。
一、对数函数的定义。
对数函数是指以某个正数为底数，另一个数为真数，求得的幂等于这个数的函数。
通常用log表示，其中底数为e时称为自然对数函数，用ln表示。
对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
二、对数函数的基本性质。
1.对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
2.对数函数的图像是一条曲线，其特点是经过点(1,0)，且在x轴的正半轴上单调递增。
3.对数函数的反函数是指数函数，即y=loga(x)的反函数是x=a^y。
三、常见对数函数的公式。
1.常用对数函数的公式为y=logx，其中底数为10。
2.自然对数函数的公式为y=ln(x)，其中底数为e。
3.对数函数的性质公式为logab=logac/logcb。
4.对数函数的换底公式为logab=lnb/lna。
四、对数函数的运算公式。
1.对数函数的加法公式为loga(mn)=logam+logan。
2.对数函数的减法公式为loga(m/n)=logam-logan。
3.对数函数的乘法公式为loga(m^n)=nlogam。
4.对数函数的除法公式为loga(m^n)=nlogam。
五、对数函数的应用。
对数函数在科学、工程、经济等领域有着广泛的应用。
其中，常见的应用包括：1.在物理学中，对数函数常用于描述震级、声音强度等。
2.在生物学中，对数函数常用于描述生长速率、种群增长等。
3.在经济学中，对数函数常用于描述复利计算、通货膨胀等。
4.在工程学中，对数函数常用于描述信号衰减、材料强度等。
六、对数函数的图像。
对数函数的图像特点是经过点(1,0)，在x轴的正半轴上单调递增。
当底数大于1时，对数函数的图像在(0,1)处是递增的，当底数在0和1之间时，对数函数的图像在(0,1)处是递减的。
对数函数性质运算公式
对数函数性质运算公式对数函数是数学中的一种特殊函数，它是指数函数的逆运算。
对数函数的性质和运算公式是我们学习和应用对数函数的基础。
一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对于正数a和正数x，以a为底的对数函数定义为y=loga(x)，其中a>0且a≠1，x>0。
2.对数函数的性质：a)对数函数的定义域是正实数集R+，值域是实数集R；b) 当x=1时，loga(1)=0，这是对数函数的一个特殊性质；c) loga(a)=1，这是对数函数的另一个特殊性质；d) 对于任意正实数a和正实数x，loga(a^x)=x，这是对数函数的重要性质。
二、对数函数的运算公式1.对数函数的换底公式：对于正实数a、b和正实数x，loga(x)=logb(x)/logb(a)。
这一公式可以用来在不同底数的对数之间进行换算。
2.对数函数的乘法公式：对于正实数a、b和正实数x、y，有loga(xy)=loga(x)+loga(y)。
这一公式表示对数函数可以将乘法运算转化为加法运算。
3.对数函数的除法公式：对于正实数a、b和正实数x、y，有loga(x/y)=loga(x)-loga(y)。
这一公式表示对数函数可以将除法运算转化为减法运算。
4.对数函数的幂函数公式：对于正实数a、b和正实数x，有loga(x^b)=b*loga(x)。
这一公式表示对数函数可以将幂函数运算转化为乘法运算。
5.对数函数的逆函数公式：对于正实数a、b和正实数x，有a^loga(x)=x。
这一公式表示对数函数和指数函数是互为逆函数。
三、应用举例1.求解对数方程：需要利用对数函数的性质和运算公式来求解对数方程，例如：log2(x+3)+log2(x-1)=3，可以先将乘法公式应用到方程中，然后解方程得到结果。
2.求解指数方程：对数函数和指数函数是互为逆函数，可以利用对数函数的性质和运算公式来求解指数方程，例如：2^x=5，可以将对数公式应用到方程中，然后解方程得到结果。
换底公式
换底公式的形式：
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
换底公式的推导过程：
若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M) 和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1
换底公式的应用：
1.在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时
也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。
对数函数及其性质
在对金融风险进行评估时，对数函数也起着重要作用。例如 ，在计算投资组合的风险时，可以使用对数函数来简化计算 过程。
利用对数函数解决物理问题
声波传播
在物理学中，声波的传播距离与时间的关系可以使用对数函数来表示。在声 音传播过程中，声波的强度会逐渐减弱，而对数函数可以描述这种衰减现象 。
电路分析
VS
对数公式
loga(xy) = loga(x) + loga(y)， loga(x/y) = loga(x) - loga(y)，换底公式 ：logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数函数的基本性质
定义域
x>0
值域
y∈R
函数图像
在直角坐标系中，以直线y = loga(x)为渐近线的双曲线
02
化学领域
物理领域
在物理领域中，对数函数被广泛应 用于声学、光学、电磁学等领域。
在化学中，对数函数被用于描述 化学反应速率与反应物浓度的关 系等。
04 生物学领域
在生物学中，对数函数被用于描述 生物种群增长等。
04
复合对数函数及其性质
复合对数函数的定义和公式
定义
$log_{a}(b\cdot c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$
换底公式的证明
设$x=\log_a(b)$，则$a^x=b$，将等式两边同时取以$c$为底的对数，有 $x\log_c(a)=\log_c(b)$，即$\log_c(b)/\log_c(a)=x=\log_a(b)$。
换底公式的基本应用
1 2
将不同底的对数化为同底的对数
利用换底公式，可以将不同底的对数化为同底 的对数，以便进行计算和比较。
对数函数相加
对数函数相加
对数函数相加log a (M·N)=log a M+log a N
比如：lg20=lg(4×5）=lg4+lg5
扩展
1.对数运算法则
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ：
(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M α＝αlog a M ；
(3)log a M N ＝log a M －log a N .
2.换底公式
对数换底公式：log a b ＝log c b log c
a (a >0且a ≠1，
b >0，
c >0且c ≠1). 拓展：log am M n
＝n m log a M (a >0且a ≠1，M >0，n ∈R ，m ≠0) 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0且a ≠1，b >0，且b ≠1).
(1)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题.
如在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值.
(2)要注意换底公式的两个重要推论的应用，
①log a b ＝1log b
a ；②log am
b n ＝n m log a b ，其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，
m，n∈R.。
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全对数函数是数学中的一种重要函数。
它主要由幂函数的逆运算演变而来，可以描述幂函数的指数部分。
对数函数的定义如下：对于任意的正实数 a 和正实数 x，我们将 b 称为以 a 为底 x 的对数，记作 logₐ(x) = b，如果且仅如果 a^b = x。
在实际问题中，对数函数常被用于解决各种指数增长和指数衰减的问题。
我们先来看一下对数函数的基本特性。
1.对数函数的定义域是正实数集，即x∈(0,+∞)。
2.对数函数的值域是全部实数集，即y∈(-∞,+∞)。
3. 对数函数的图像是由直线 y = x 和平行于 x 轴的直线 y =logₐx 组成。
当a>1时，对数函数是增函数；当0<a<1时，对数函数是减函数。
4.对数函数的性质：(a) logₐ(xy) = logₐx + logₐy(b) logₐ(x/y) = logₐx - logₐy(c) logₐ(x^n) = nlogₐx(d) logₐ(1/x) = -logₐx(e) logₐ1 = 0(f) logₐa = 1(g) log₁₀x = loga(x)/loga(10)下面我们来看一些常见的对数函数运算公式。
1. 换底公式：logₐb = logc(b) / logc(a)，其中 c 是任意的正实数。
2. 对数的乘法运算公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy3. 对数的除法运算公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy4. 对数的幂运算公式：logₐ(x^n) = nlogₐx5. 对数的倒数运算公式：logₐ(1/x) = -logₐx6. 底数为 10 的对数与底数为 a 的对数的转换关系：log₁₀x = loga(x) / loga(10)7. 自然对数和常用对数的转换关系：logₑx = ln(x) / ln(ₑ10)8. 对数函数与指数函数的逆运算关系：a^logₐx = x有了以上的对数函数运算公式，在解决实际问题中，我们可以更方便地进行计算和分析。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
判断对数函数的依据
判断对数函数的依据关于对数函数的依据有以下几个方面：一、函数性质1、对数函数的定义：对数函数定义为对任意正实数x有函数y=logax 满足条件，这个函数的图象是一条直线，其次，函数中存在x是y的复数，此外，函数中存在一个系数a，给函数带来不同的特性。
2、对数函数的应用：(1) 在统计学中，用来求取相关系数；(2) 在概率论中，用来求取似然概率；(3) 在数学分析中，对数函数可以表示势函数。
二、求导法则1、用对数分析求微分：首先，通过两边取对数的方法，把既定的函数y=f(x)变成形如ln y=ln f(x)的形式；其次，将上式打算展开，求出一阶微分；最后，将函数变为原形，即可得出f’(x)的值。
2、函数复合的求导法则：首先，将复合函数的原函数的求导转化为函数的基本求导规则；其次，将基本求导规则应用到复合函数，求出复合函数的导数。
三、对数函数性质1、对数函数的性质：(1) 如果函数y=f(x)，其对数函数为lny=lnf(x)；(2) 当a>1时，函数y=logax单调递增；(3) 当0<a<1时，函数y=logax单调递减；(4) 如果x>0，函数y=logax取值范围为-∞，+∞；(5) 如果a>1,loga(x)<loga(y)当且仅当x>y。
四、换底公式1、对数的换底公式：loga(x)=logb(x)/logb(a)，其中logb(x)表示以b为底的对数，logb(a)表示以b为底的底数a的对数，即等价于用新底数b 来求原先以a为底的对数。
2、性质：(1) loga(m×n)=loga(m)+loga(n)；(2) loga(m/n)=loga(m)-loga(n)；(3) loga(ax)=xloga(a)。
高中数学第七节 对数与对数函数
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第七节
对数与对数函数
结束
[类题通法]
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数 幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用 对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域；
(2)对数底数的取值范围．
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第七节
对数与对数函数
结束
[试一试] 1． (2013· 苏中三市、 连云港、 淮安二调)“M>N”是“log2M>log2N”
成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充 分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 解析：当 M，N 为负数时，不能得到 log2M>log2N，而根据函
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第七节
对数与对数函数
结束
1．对数值的大小比较的基本方法
(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0 或 1)；(4)化同真数后利用图像比较．
2．明确对数函数图像的基本点
(1)当 a>1 时，对数函数的图像“上升”；
当 0<a<1 时，对数函数的图像“下降”．
(2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)∵f(1)＝1， ∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1，3)．
对数函数运算公式
对数函数运算公式对数函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和科学运算中都有广泛的应用。
对数函数有着丰富的性质和运算规则，下面将介绍对数函数的运算公式。
1.对数函数的定义：对数函数是指关于求对数的函数，一般表示为y = logₐx，其中a是底数，x是真数，y是对数。
对数函数的定义域是x > 0，值域是实数集。
2.对数的含义：对数的含义是指一个数相对于一个给定底数的幂次。
对数函数的运算公式是以底数为底的指数函数的反函数。
即x = a^y，y = logₐx。
3.基本对数函数的性质和运算规则：- logₐa = 1：任何数以自己为底的对数都等于1- logₐ1 = 0：任何底数为自然数的对数都等于0。
- logₐaⁿ = n：任何底数为幂的对数等于指数。
- logₐxy = logₐx + logₐy：两个数的乘积的对数等于它们的对数之和。
- logₐ(x/y) = logₐx - logₐy：两个数的商的对数等于它们的对数之差。
- logₐxⁿ = nlogₐx：一个数的幂的对数等于幂次与对数的乘积。
- logₐa = 1/logₐa：对数函数的互逆性，任何数以底数为底的对数等于指数函数的互逆。
4.对数函数的换底公式：换底公式是指当给定一个对数的底不是我们所熟悉的常用底数，需要将其换成我们所熟悉的底数的公式。
换底公式如下：logₐx = logᵦx / logᵦa其中，a,b,x为正实数，且a≠1,b≠15.对数函数与指数函数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，即对数函数是指数函数的反函数，反之亦然。
对数函数可以用来求解指数方程，而指数函数可以通过对数函数求解指数方程的解。
6.常用对数函数：在实际应用中，常用的对数函数是以10为底的常用对数函数（log₁₀x），以及以自然对数e为底的自然对数函数（lnx）。
常用的对数函数主要用于科学计算、对数缩尺、音量、酸碱度等方面。
总结起来，对数函数的运算公式包括对数函数的性质和运算规则、换底公式、对数函数与指数函数的关系等。
自然对数计算公式
自然对数计算公式
一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于n(n\ue0)，那么数b叫做以a为底n的对数，记作log an=b,读作以a为底n的对数，其中a叫做对数的底数，n叫做真数。
一般地，函数y=log(a)x，（其中a是常数，a\ue0且a不等于1）叫做对数函数。
log函数的运算公式主要有运算法则、换底公式和推导公式。
1.运算法则：
（1）log a(mn)=log am+logan
（2）log a(m/n)=log am-logan
（3）logann=nlogan
（4）(n,m,n∈r)
如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.…为自然对数的底，其为无穷不循环小数。
定义：若an=b（a\ue0，a≠1）则n=log ab。
2.换底公式（很重要）
log mn=log a m/log an
换底公式导出
log mn= -log nm
3推导公式
log (1/a) (1/b) = log (a^-1) (b^-1) = -1logab/-1 = log a(b)
log a(b)*log b(a) =1
loge(x)= ln (x)
lg(x)=log10(x)
介绍了log函数的运算公式，才能对函数公式有效率地展开转变，从而进一步提高运算的效率和准确性。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数函数的运算公式
对数函数的运算公式对数函数是数论中的重要概念，它描述了一个数在一些底数下所对应的指数。
在解决复杂数学问题时，对数函数的运算公式是必不可少的。
本文将介绍基本的对数函数运算公式，并以实际问题为例，进一步说明如何运用这些公式。
一、定义与性质如果 a^x = b，那么 x = log_a(b)其中a为底数，x为指数，b为对数的真数。
1.对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集；2. 对于 a > 1，log_a(x) 是递增函数；对于 0 < a < 1，log_a(x) 是递减函数；3. 对于 a > 1，log_a(a) = 1；对于 0 < a < 1，log_a(a) = 1二、基本运算公式1.换底公式：log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)其中a,b为底数，x为对数的真数。
换底公式是对数函数中应用最广泛的公式之一，它在计算对数时可以选择任意底数，通常选择底数为10（常用对数）或底数为e（自然对数）进行计算。
2.对数相等的性质：如果 log_a(b) = log_c(b)，则 a = c。
这个性质说明了对数函数在底数相等的情况下，当两个对数的真数相等时，它们的底数一定相等。
3.对数乘法公式：log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)其中a为底数，b,c为对数的真数。
对数乘法公式表示，对数函数在真数相乘时，对数相加。
4.对数除法公式：log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)其中a为底数，b,c为对数的真数。
对数除法公式表示，对数函数在真数相除时，对数相减。
5.对数的幂运算公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)其中a为底数，b为对数的真数，c为幂数。
对数的幂运算公式表示，对数函数在真数进行幂运算时，对数乘以幂数。
6.指数函数与对数函数的关系：a^log_a(b) = b其中a为底数，b为对数的真数。
ln换算公式大全
ln换算公式大全 ln是自然对数的特殊表示方式，是以e为底的对数。
在许多科学和工程领域中，ln的换算公式被广泛应用。
本文将介绍常见的ln换算公式，以帮助读者更好地理解和运用这些公式。
1、ln与指数函数的关系 自然对数ln与指数函数e^x是互为反函数的关系。
即ln(e^x) = x，对于x属于实数集，这个特性可以被用来求解指数方程和求解复合对数函数问题。
2、ln的换底公式 当我们需要计算对不同底数的对数时，可以利用ln的换底公式进行换算。
换底公式如下：log_a(b) = ln(b) / ln(a) 其中，a和b分别为对数的底和真数。
这个公式允许我们在任意底数下进行对数的计算，无论是常见的底数如10，2，还是其他不常见的底数都可以使用这个公式进行换算。
3、ln的级数展开公式 利用泰勒级数展开，我们可以得到ln(x+1)的级数展开公式： ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...这个级数在实际计算中非常有用，可以用来近似计算ln的值。
4、ln的导数公式对ln函数求导数可以得到以下导数公式：d/dx(ln(x)) = 1/x 这个公式对于求解涉及ln的函数的导数非常方便，可以帮助简化计算过程。
5、ln与其他数学常数之间的关系 ln与一些重要的数学常数之间存在一些特殊的关系。
例如，ln(e) = 1，ln(1) = 0，ln(2) ≈ 0.6931，ln(10) ≈ 2.3026。
这些关系有助于我们更好地理解和应用ln的换算公式。
6、ln的应用举例 ln的应用非常广泛，不仅仅在数学领域，还有许多应用于实际问题的场景。
例如，在金融领域中，ln经常用于计算连续复利和资产增长率；在物理学和工程学中，ln用于描述指数衰减的过程和信号传输的衰减情况。
了解ln的换算公式，可以帮助我们更好地理解和运用这些应用。
总结： 本文介绍了ln的换算公式大全，包括ln与指数函数的关系、换底公式、级数展开公式、导数公式，以及ln与其他数学常数之间的关系和应用举例。
对数换底公式
对数换底公式1. 简介对数换底公式是高中数学中的重要概念之一，它可以用来化简计算对数运算。
在数学中，对数是指一个数以另一个数为底的幂，换底公式可以用来将某个底数下的对数转换为另一个底数下的对数。
2. 对数换底公式的表达式对数换底公式可以用以下的数学表达式表示：log<sub>a</sub>b = log<sub>c</sub>b / log<sub>c</sub>a在上述公式中，a，b，c 是正实数，且a ≠ 1，b ≠ 1。
3. 对数换底公式的意义对数换底公式的意义在于可以将一个底数为 a 的对数转化为一个底数为 c 的对数。
换底公式的出现极大地方便了对数的计算，使得不同底数的对数可以互相转换，从而简化了运算过程。
4. 对数换底公式的证明对数换底公式的证明可以通过以下步骤进行：步骤 1:假设 a、b 和 c 是正实数，且a ≠ 1，b ≠ 1。
步骤 2:令 x = logab，y = logcb。
步骤 3:根据对数的定义，可以得出以下两个等式：a^x = b (1)c^y = b (2)步骤 4:将方程 (1) 和方程 (2) 的左右两边同时取对数，得到：log<sub>c</sub>(a^x) = log<sub>c</sub>b (3)log<sub>a</sub>(c^y) = log<sub>a</sub>b (4)步骤 5:根据对数的性质，可以将方程 (3) 和方程 (4) 进一步化简：x * log<sub>c</sub>a = log<sub>c</sub>b (5)y * log<sub>a</sub>c = log<sub>a</sub>b (6)步骤 6:通过方程 (5) 和方程 (6)，可以得出：x = log<sub>c</sub>b / log<sub>c</sub>ay = log<sub>a</sub>b / log<sub>a</sub>c步骤 7:由于 x = logab，y = logcb，所以可以得出：log<sub>a</sub>b = log<sub>c</sub>b / log<sub>c</sub>a即为对数换底公式。
对数函数的换底公式
log₁₀2 = logₑ2 / logₑ10
由于 logₑ10 的值可以用常用的对数来表示，即 logₑ10 ≈ 0.4343，我们可以使用这个近似值进行计算。
因此，log₁₀2 ≈ logₑ2 / 0.4343
换底公式使得我们可以在不同底数之间进行对数运算，方便进行计算和比较。
对数函数的换底公式是指将对数的底数进行转换的公式，常用的换底公式如下：
对数函数的换底公式： logₐb = logₓb / logₓa
其中，logₐb 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓb 表示以任意底数 x 的 b 的对数，logₓa 表示以任意底数 x 的 a 的对数。
换底公式的使用可以将对数的底数转换为其他常用的底数，例如将以 10 为底数的对数转换为以 e（自然对数
对数换底公式推导
对数换底公式推导对数换底公式是一种有用的数学公式，可以快速从一种底数（如2）更改为另一种底数，以便解决复杂的数学问题。
对数换底公式可以起到辅助解决这些问题的作用，也可以用于各种复杂的数学演算。
本文将结合实例来加深对换底公式的理解，并讨论推导过程。
对数换底公式的推导首先，给出对数换底公式的通式：logaX = logbX/logbA其中，“logaX”表示以a为底的X的对数，“logbX”表示以b为底的X的对数，“logbA”表示以b为底的A的对数。
这个公式可以用来换算出任意一种底数下的任意一个数的对数。
要推导出这个公式，需要考虑两个步骤：第一步：以a为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = A^(logaX)第二步：以b为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = B^(logbX)结合上面两个步骤，得到：A^(logaX) = B^(logbX)将A和B都取以b为底的对数，得到：logbA^(logaX) = logbB^(logbX)化简得到：logbA * logaX = logbB * logbX从而得到：logaX = logbX/logbA实例验证下面利用实例来加深对换底公式的理解。
假设现在有个数为1024，以2为底的对数是10，问它以8为底的对数（log81024）是多少？解：根据换底公式，log81024=log210/log28=10/3=3.33得出结论：log81024=3.33结论本文介绍了对数换底公式的推导过程，并利用实例加深了读者对该公式的理解。
由于换底公式可以方便地从一种底数（如2）更改为另一种底数（如8），因此在解决各种复杂的数学问题时，可以起到辅助解决这些问题的作用。
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对数的换底公式
复习
如果 a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 有：
log ()log log log log log log log ()a a a a
a a n a a MN M N M
M N N
M n M n R =+=-=∈
log log ()m n a a n
M M n R m
=
∈ 新课
试证明与理解： 1.对数换底公式：
a
N
N m m a log log log =
( a ＞0,a ≠1，m ＞0,m ≠ 1,N ＞0)
2．两个常用的推论:
①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b m
n
b a n
a m log log =
（ a , b ＞0且均不为1） 例1、（1）27log 9，（2）81log 43，（3）625log 34
5，
例2、已知2log 3 =a ， 3log 7 =b,用a ,b 表示42log 56 例3、计算：①0.21log 3
5- ② 4
2
1
9432log 2log 3log -⋅
例4、设),0(,,+∞∈z y x 且z
y
x
643==，求证 z
y x 1211=+
练习
①已知18log 9=a ,b
18=5,用a ,b 表示36log 45
②若8log 3=p,3log 5 =q, 求lg5
作业
1. 计算：4
21
938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++
2．若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m
3．求值：12log 2210
33)2(lg 20log 5lg -++⋅
4．求值：2
lg 2)
32(3
log
10)347(log 22
++
-++
对数函数的图像与性质(第一课时)
[互动过程1]
复习：1．对数函数2y log x =的图像与性质,以及与指数函数x
y 2=的图像与性质之间的关系
2．练习:画出下列函数的图像
x x 12
1
(1)y 2;(2)y log x;
(3)y ();
(4)y lg x 3
====
填表:对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质: 函 数 a y log x = （a>1）
a y log x = （0<a<1）
图 像
定义域 值 域 单调性 过定点 取值范围
例1．求下列函数的定义域:
2a a (1)y log x ;
(2)y log (4x)==-
练习1:求下列函数的定义域
1(1)y lg(x 5);
(2)y ln
3x
=-=-
例2．比较下列各题中两个数的大小:
22(1)log 5.3,log 4.7; 0.20.2(2)log 7,log 9
3(3)log ,log 3;ππ a a (4)log 3.1,log 5.2(a 0,a 1)>≠
练习2：比较下列各组数中两个值的大小：
（1）4
.32log _____5.82log （2）8.13.0log _____7
.23.0log
（3）1
.5log a
_____9
.5log a （a ＞0，且a ≠1）
课堂补充练习:
1．求下列函数的定义域： （1）)1(log 3x y -= （2）x y 3log = （3）x
y 311
log 7
-= （4）x y 2log 1=
2．比较大小．
4
log 5log )3(01
.0log 3
1
log )2(log 3log )1(5321.05.05.0和和和π。