数学分析1.2数集与确界原理

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

数集S最小的上界称为上确界；最大的下界称为下确界。

上确界与下确界统称为确界。

定义2：设S是R中的一个数集，若数η满足：1）对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；2）对任何α<η，存在x0∈S，使得x0>α，即η又是S的最小上界，即称η为数集S的上确界，记作：η=sup S.定义3：设S是R中的一个数集，若数ξ满足：1）对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；2）对任何β>ξ，存在x0∈S，使得x0<β，即ξ又是S的最大下界，即称ξ为数集S的下确界，记作：ξ=inf S.例2：设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}。

试按上、下确界的定义验证：sup S=1，inf S=0.解：∀ x0∈S，则0<x0<1，所以1是S的上界，0是S的下界；对任何a<1，若a≤0，则a<x0；若a>0，则在(a,1)中必有有理数x1∈S，使得x1>a. 对任何b>0，若b≥1，则b>x0；若b<1，则在(0,b)中必有有理数x2∈S，使得x2<b. ∴sup S=1，inf S=0.数集S的上(下)确界是唯一的，且有inf S≤sup S.例3：设数集S有上确界，证明：η=sup S∈S η=max S.证：设η=sup S∈S，则对一切x∈S有x≤η，∴η=max S.设η=max S，则对一切x∈S有x≤η，∴η是S的上界；且η∈S。

对任何a<η，只须取x0=η∈S，则x0>a，∴η=sup S.定理1.1(确界原理) 设S为非空数集。

若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

证：不妨设S含有非负数。

∵S有上界，∴有n>0，使得1) 对任何x∈S，有x<n+1；2) 存在a0∈S，使a0≥n.对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9，则存在0,1,2,…,9中的一个数n1，使得；1)对任何x∈S，有x<n.n1+1102)存在a1∈S，使a1≥n.n1.)作10等分，则存在0,1,2,…,9中的一个数n2，使得对[n.n1,n.n1+110；1)对任何x∈S，有x<n.n1n2+11022) 存在a2∈S，使a2≥n.n1n2.依此类推，可知对任何k=1,2,…，存在0,1,2,…,9中的一个数n k，使得1) 对任何x∈S，有x<n.n1n2…n k+1；(1)10k2) 存在a k∈S，使a k≥n.n1n2…n k.无限循环进行，得到实数η= n.n1n2…n k…，若存在x∈S，使x>η，则可找到x的k位不足近似x k，使x k>ηk= n.n1n2…n k+1；10k；这与(1)式矛盾，从而得：x> n.n1n2…n k+110k1)∴对一切x∈S，有x≤η；2) 设a<η，则存在k使η的k位不足近似ηk>a k，即n.n1n2…n k>a k，又有a’∈S，使a’≥ηk，从而有a’≥ηk>a k≥a.∴sup S=η不妨设S无负数；∵S有下界，∴有n>0，使得1) 对任何x∈S，有x>n；2) 存在b0∈S，使b0≤n+1.对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9，则存在0,1,2,…,9中的一个数n1，使得1) 对任何x∈S，有x>n.n1；.2) 存在b1∈S，使b1≤n.n1+110)作10等分，则存在0,1,2,…,9中的一个数n2，使得对[n.n1,n.n1+1101) 对任何x∈S，有x>n.n1n2；2) 存在b2∈S，使b2≤n.n1n2+1.102依此类推，可知对任何k=1,2,…，存在0,1,2,…,9中的一个数n k，使得1) 对任何x∈S，有x>n.n1n2…n k；(2).2) 存在b k∈S，使b k≤n.n1n2…n k+110k无限循环进行，得到实数ξ= n.n1n2…n k…，若存在x∈S，使x<ξ，则可找到x的k位过剩近似x k，使x k<ξk= n.n1n2…n k；从而得：x< n.n1n2…n k；这与(2)式矛盾，1)∴对一切x∈S，有x≥ξ；<b k，2) 设b>ξ，则存在k使ξ的k位过剩近似ξk<b k，即n.n1n2…n k+110k又有b’∈S，使b’≤ξk，从而有b’≤ξk<b k≤b.∴inf S=ξ例4：设A、B为非空数集，满足：对一切x∈A和y∈B有x≤y. 证明：数集A有上确界，数集B有下确界，且sup A≤inf B.证：由题设，知数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数都是B的下界，所以数集A有上确界，数集B有下确界。

对任何y∈B，由上确界定义，知sup A≤y；可见sup A是B的一个下界，由下确界定义，知sup A≤inf B.例5：设A、B为非空数集，S=AUB. 证明：1) sup S=max{sup A, sup B}；2) inf S=min{inf A, inf B}.证：依题意，S 为非空有界数集，sup S ，inf S 都存在.1) 对任何x ∈S ，有x ∈A 或x ∈B=>x ≤sup A 或x ≤sup B ，从而有x ≤max{sup A, sup B}， 故得sup S ≤max{sup A, sup B}又对任何x ∈A ，有x ∈S=>x ≤sup S=>sup A ≤sup S ；同理sup B ≤sup S ，故得sup S ≥max{sup A, sup B}∴sup S=max{sup A, sup B}2) 对任何x ∈S ，有x ∈A 或x ∈B=>x ≥inf A 或x ≥inf B ，从而有x ≥min{inf A, inf B}， 故得inf S ≤min{inf A, inf B}又对任何x ∈A ，有x ∈S=>x ≥inf S=>inf A ≥inf S ；同理inf B ≥inf S ，故得inf S ≥min{inf A, inf B}∴inf S=min{inf A, inf B}若数集S 无上界，则定义+∞为S 的非正常上确界，记作sup S=+∞； 若数集S 无下界，则定义-∞为S 的非正常下确界，记作inf S= -∞.习题1、用区间表示下列不等式的解：(1) |1-x|-x ≥0； (2) |x +1x |≤6； (3) (x-a)(x-b)(x-c)>0 (a,b,c 为常数，且a<b<c)；(4) sinx ≥√22. 解：(1) 1-x ≥x 或1-x ≤ - x ；即x ≤ 12；∴原不等式的解为：x ∈(-∞, 12].(2) -6≤x +1x ≤6，且x ≠0；当x>0时，-6x ≤x 2+1≤6x ；解得3-2√2≤x ≤3+2√2；当x<0时，-6x ≥x 2+1≥6x ；解得-3-2√2≤x ≤ -3+2√2；原不等式的解为：x ∈[3-2√2, 3+2√2]∪[-3-2√2, -3+2√2](3)当x>a 时，x>c 或x<b ；即x>c 或a<x<b ；当x<a 时，b<x<c ，即x 无解；∴原不等式的解为：x∈(a,b)∪(c,+∞).(4)当-π<x<π时，x∈[π4, 3π4]；根据正弦函数的周期性，原不等式的解为：x∈[2kπ+π4, 2kπ+3π4]，k为整数。

2、设S为非空数集。

试对下列概念给出定义：(1)S无上界；(2)S无界.解：(1)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使x0>M，则称数集S 无上界；(2)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使|x0|>M，则称数集S无界.3、试证明数集S={y|y=2-x2, x∈R}有上界而无下界.证：对任意x∈R, y=2-x2≤2，∴数集S有上界2.而对任意的M>0，取x1=√M+3，有y1=2-(M+3)= -M-1∈S，且y1<-M，∴数集S无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：(1) S={x|x2<2}；(2) S={x|x=n!, n∈N+}；(3) S={x|x为(0,1)内的无理数}；(4) S={x|x=1−12n, n∈N}.解：(1) sup S=√2；inf S=−√2 .验证：由x2<2，得−√2<x<√2. 因此对于任意x∈S，有x<√2，且x>−√2，即√2和−√2分别是S的上下界.又对任意ε>0，不妨设ε>2√2，于是存在x0=√2−ε2，x1=−√2+ε2，使x0,x1∈S，但x0>√2-ε；x1<−√2+ε，∴sup S=√2；inf S=−√2 .(2) sup S=+∞，inf S=1.验证：对任意x∈S，1≤x<+∞. 所以1是S的下界。