数学分析1.2数集与确界原理

第一章实数集与函数

2 数集·确界原理

一、区间与邻域

设a、b∈R，且a

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|xa}，

(−∞, +∞) ={x|−∞

设a∈R，δ>0。满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有

U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)

点a的空心δ邻域定义为

U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}

也简单地记作U⁰ (a).

点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；

点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；

去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).

∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；

+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.

二、有界集·确界原理

定义1：设S为R中的一个数集。若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；

∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

数集S最小的上界称为上确界；最大的下界称为下确界。上确界与下确界统称为确界。

定义2：设S是R中的一个数集，若数η满足：

1）对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；

2）对任何α<η，存在x0∈S，使得x0>α，即η又是S的最小上界，即称η为数集S的上确界，记作：η=sup S.

定义3：设S是R中的一个数集，若数ξ满足：

1）对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；

2）对任何β>ξ，存在x0∈S，使得x0<β，即ξ又是S的最大下界，即称ξ为数集S的下确界，记作：ξ=inf S.

例2：设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}。试按上、下确界的定义验证：

sup S=1，inf S=0.

解：∀ x0∈S，则0

对任何a<1，若a≤0，则a0，则在(a,1)中必有有理数x1∈S，使得x1>a. 对任何b>0，若b≥1，则b>x0；若b<1，则在(0,b)中必有有理数x2∈S，使得x2

数集S的上(下)确界是唯一的，且有inf S≤sup S.

例3：设数集S有上确界，证明：η=sup S∈S η=max S.

证：设η=sup S∈S，则对一切x∈S有x≤η，∴η=max S.

设η=max S，则对一切x∈S有x≤η，∴η是S的上界；且η∈S。

对任何a<η，只须取x0=η∈S，则x0>a，∴η=sup S.

定理1.1(确界原理) 设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

证：不妨设S含有非负数。∵S有上界，∴有n>0，使得

1) 对任何x∈S，有x

2) 存在a0∈S，使a0≥n.

对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9，则存在0,1,2,…,9中的一个数n1，使得

；

1)对任何x∈S，有x

10

2)存在a1∈S，使a1≥n.n1.

)作10等分，则存在0,1,2,…,9中的一个数n2，使得

对[n.n1,n.n1+1

10

；

1)对任何x∈S，有x

102

2) 存在a2∈S，使a2≥n.n1n2.

依此类推，可知对任何k=1,2,…，存在0,1,2,…,9中的一个数n k，使得

1) 对任何x∈S，有x

；(1)

10k

2) 存在a k∈S，使a k≥n.n1n2…n k.

无限循环进行，得到实数η= n.n1n2…n k…，

若存在x∈S，使x>η，则可找到x的k位不足近似x k，使

x k>ηk= n.n1n2…n k+1

；

10k

；这与(1)式矛盾，

从而得：x> n.n1n2…n k+1

10k

1)∴对一切x∈S，有x≤η；

2) 设a<η，则存在k使η的k位不足近似ηk>a k，即n.n1n2…n k>a k，

又有a’∈S，使a’≥ηk，从而有a’≥ηk>a k≥a.

∴sup S=η

不妨设S无负数；∵S有下界，∴有n>0，使得

1) 对任何x∈S，有x>n；

2) 存在b0∈S，使b0≤n+1.

对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9，则存在0,1,2,…,9中的一个数n1，使得

1) 对任何x∈S，有x>n.n1；

.

2) 存在b1∈S，使b1≤n.n1+1

10

)作10等分，则存在0,1,2,…,9中的一个数n2，使得

对[n.n1,n.n1+1

10

1) 对任何x∈S，有x>n.n1n2；

2) 存在b2∈S，使b2≤n.n1n2+1

.

102

依此类推，可知对任何k=1,2,…，存在0,1,2,…,9中的一个数n k，使得

1) 对任何x∈S，有x>n.n1n2…n k；(2)

.

2) 存在b k∈S，使b k≤n.n1n2…n k+1

10k

无限循环进行，得到实数ξ= n.n1n2…n k…，

若存在x∈S，使x<ξ，则可找到x的k位过剩近似x k，使

x k<ξk= n.n1n2…n k；

从而得：x< n.n1n2…n k；这与(2)式矛盾，

1)∴对一切x∈S，有x≥ξ；

2) 设b>ξ，则存在k使ξ的k位过剩近似ξk

10k

又有b’∈S，使b’≤ξk，从而有b’≤ξk

∴inf S=ξ

例4：设A、B为非空数集，满足：对一切x∈A和y∈B有x≤y. 证明：

数集A有上确界，数集B有下确界，且sup A≤inf B.

证：由题设，知数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数都是B的下界，所以数集A有上确界，数集B有下确界。

对任何y∈B，由上确界定义，知sup A≤y；

可见sup A是B的一个下界，由下确界定义，知sup A≤inf B.

例5：设A、B为非空数集，S=AUB. 证明：