关于球的历年高考真题与球有关的高考试题.精品资料

《立体几何》之《球》的分类复习
立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。

与球相关的问 题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下，供复习参考之用：
考试核心：性质的应用22212r R OO d -==，构造直角三角形建立三者之间的关系。

类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。

（两题互换条件形成不同的题）
1.15．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1
OO =A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为23
π，则1AO B ∠= . （2009年理科）
2.15．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1
OO =A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2
π，则A,B 两点间的球面距离为 （2009年文科） 类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径r C
c 2sin =，从而解决问题。

3.15. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,
120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

（2009年理科） 析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R ，与R 相关的是重要性质222d r R +=。

∵AA 1=2, ∴12
1121====AA OO OO d 。

现将问题转化到⊙O 2的半径之上。

因为△ABC 是⊙O 2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。

由余弦定理有32444cos 222=++=∠⋅⋅-+=
BAC AC AB AC AB BC ， 由正弦定理有
2sin 22sin =∠=⇒=∠BAC BC r r BAC BC ∴.514222=+=+=d r R ∴ππ2042==R S 。

4.14．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 8 ．（2009年理科）
5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 C （2011年理科）
A ．33
B ．32
C ．3
D ．1
6.（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于 A （2010年文科） （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π
类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。

7.15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。

若圆C 的面积等于74
π，则球O 的表面积等于 .（2009年文科） 析：问题的解决根本——求球半径OB R =。

与R 相关的重要性质222d r R +=中，2r 可求（∵472
ππ=r ∴472=r ） 问题转化到求OC d =上
充分运用题目中未用的条件，2R OM =
，∠OMC=45°，∴22R d = 于是8
4722R R +=求得22=R ，∴ππ842==R S 8.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 D （2011年理科）
(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π
9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬0
60纬线长和赤道长的比值为C （2009文科）
（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25
类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。

10.13．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径
与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 4 cm ．（2010年理科）
11.16．长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为
3
π .（2010年文科） 12.14．体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于 π34 ．（2009年文科）
13.16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一
个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___1/3____．（2011年文
B C D A N M O α科）
14.15.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 22R π .
类型五：平面几何性质在球中的综合应用。

15.（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，
4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．
（2010年理科） 析：由OM=ON 知，⊙M 与⊙No 为等圆，根据球中的重要性质∴7916222=-=-=d R r
又MH ⊥AB 得H 为AB 中点，∴BH=AH=2 ∴322=-==BH r NH MH
∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN
由余弦定理有MN 2=OM 2+ON 2－2OM ·ON ·cos ∠MON
MN 2=MH 2+NH 2－2MH ·NH ·cos(π－∠MON)
解得cos ∠MON=21，即∠MON=3
π ∴三角形OMN 为等边三角形， ∴MN=3. 16.（11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是A （2010年理科）
（A ）17arccos 25R （B ）18arccos 25
R （C ）13R π （D ）415R π 类型六：性质的简单应用。

17.(15)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于______16π_______.（2009年文科）
18.（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,3AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为 24 。

（2011年理科）
19.（9）高为
24
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 C （2011年理科） （A 2
（B 2 (C)1 (D) 2
类型七：估算。

20.7.设球的体积为V ，它的内接正方体的体积为V
，下列说法中最合适的是D （2011年文科） A. V 比V
大约多一半B. V 比V 大约多两倍半C. V 比V 大约多一倍D. V 比V 大约多一杯半。