两阶段法分析与实现

《最优化方法》

课程设计

题目：两阶段法分析与实现

院系：数学与计算科学学院

专业：统计学

学号：雨坤1200720216

指导教师：丰兵

日期：2015 年01 月22 日

摘要

常用的解线性规划问题的方法有图解法，单纯形法，对偶单纯形法，解乘数法，椭球法等。而本论文即主要阐述的是从属于单纯形法的两阶段法。两阶段法第一阶段是先求解一个目标函数中只包含人工变量的线性规划问题，当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段是从第一阶段的最终单纯形表出发，去掉人工变量，并按问题原来的目标函数，继续寻找问题的最优解，即是一种为使人工变量被替换出成为非基变量的方法。与大M法同时被广为使用，但相较于大M法，两阶段法能够求的更准确地结果。

关键词：线性规划；单纯形法；两阶段法；大M法

Abstract

We usually solve the linear programming problems with graphic method, simplex method and dual simplex method, the multiplier method, ellipsoid method and so on.This paper mainly expounds the two stage method which belongs to simplex method. The first stage of two stage method is used to solve a objective function which only contains artificial variables linear programming problem. When the first phase of solving results show that the problem has a feasible solution, the second stage is from the first stage of the final simplex tableau, remove artificial variables, and according to the problems of the original objective function, continue to look for the optimal solution of the problem. It is a kind of way to make artificial variables substituted the non variable method. The big M method is also widely used at the same time, but compared with the big M method ,two-phase method can more accurate results.

Key words:;Linear programming；Simplex method;Two stage method;

The big M method;

目录

1、引言 (1)

2、两阶段法描述 (1)

2.1 基本可行解 (1)

2.2 两阶段法概述 (1)

2.3 两阶段法第一阶段 (2)

2.4 两阶段法第二阶段 (3)

3、两阶段法求解引例 (4)

3.1 两阶段法计算步骤 (4)

3.2 例1 (5)

3.3 例2 (8)

3.4 引例分析 (9)

4、算法比较 (9)

4.1 大M法 (9)

4.2 算法比较 (10)

4.3 特殊情况 (11)

5、总结 (12)

5.1 总结概括 (12)

5.2 个人感言 (12)

6、参考文献： (13)

1、引言

在各种优化算法中，两阶段法（Two stage method ）是非常重要的一种。即如果线性规划模型中的约束条件系数矩阵不存在单位向量组，阶梯式应先加入人工变量，人工构成一个单位向量组，其只起过渡作用，不应影响决策变量的取值，两阶段法即可控制人工变量取值。

寻找线性规划问题初始基可行解的一种方法.把增加人工变量的线性规划问题分为

两个阶段去求解.第一阶段是构造一个辅助的人工目标函数,即0,0a a Ax x b x x +=⎛⎫

⎪≥≥⎝⎭

或

max ()i

Z y '=-。若原问题有可行解,则在本阶段的最终单纯形表中,必有0Z =和

0(1,2,,)i y i m ==L ,并使人工变量均为非基变量.此时,划去人工变量所在的列与人工目

标函数所在的行,就得到原问题的初始可行基对应的单纯形表,进入第二阶段.

2、两阶段法描述

2.1 基本可行解

当线性规划问题的条件全部为“≤”时，可按下述方法比较方便的寻找可行解： 设给定线性规划问题为

11

max (1,,)..0(1,,)L L n

j j

j n

ij j

i j j

z c x a x b i m s t x j n ===⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 在第i 个约束条件上加上松弛变量(1,,)si x i m =L ，化为标准形式

1

1

1

max 0(1,,)..0(1,,)L L n

m

j j si

j i n ij j

si i j j

z c x x a x x b i m s t x j n ====+⎧+==⎪⎨⎪≥=⎩∑∑∑